PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN 0033-2097, R. 85 NR 11/2009 313

Ryszard KOPKA

Politechnika Opolska, Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki, Instytut Automatyki i Informatyki

Estymacja parametrów niezawodnościowych

półprzewodnikowych źródeł światła

Streszczenie. Coraz częściej półprzewodnikowe źródła światła zastępują tradycyjne żarówki. Ich bardzo duża żywotność wynika z własności emisji
światła ze struktury półprzewodnika. To praktycznie eliminuje uszkodzenia związane z całkowitym zanikiem świecenia. Jednak zachodzące w takiej
strukturze procesy degradacji istotnie zmniejszają ilość emitowanego światła. W pracy przedstawiono wyniki badań modelowana matematycznego
pozwalającego szacować parametry niezawodnościowe półprzewodnikowych źródeł światła zarówno w oparciu o obserwację czasów do uszkodzeń
nagłych jak i stopniowych, związanych z zachodzącymi procesami degradacji.

Abstract. Semiconductor light sources replace traditional incandescent lamp. Their very long durability is a consequence of performance of light
emission from semiconductor structure. This almost completely eliminates hard failures results. But degradation processes existing in such structure
seriously reduce the intensity of light emitted, generating soft failures. The paper presents mathematical modeling results enabling to estimate the
reliability parameters of semiconductor light sources based on hard and soft failures as a result of degradation processes.
(Estimation of reliability parameters of semiconductor light sources)


Słowa kluczowe: półprzewodnikowe źródła światła, ocena niezawodności, procesy degradacji.
Keywords: semiconductor light sources, reliability assessment, degradation processes.

Wprowadzenie
Rosnące wymagania ekonomiczne oraz ekologiczne
zmuszają producentów źródeł światła do szukania nowych
rozwiązań charakteryzujących się lepszą sprawnością i
wyższą żywotnością w stosunku do tradycyjnych źródeł
żarowych. Pewnym rozwiązaniem tego problemu było
pojawienie się niskoprężnych źródeł wyładowczych w
postaci świetlówek kompaktowych. Jednak ogromny postęp
w dziedzinie półprzewodników sprawił, że pojawiły się
całkowicie nowe możliwości w zakresie produkcji źródeł
światła – intensywne źródła półprzewodnikowe. Źródła LED
charakteryzują się obecnie najlepszą skutecznością
świetlną oraz bardzo dużą trwałością w stosunku do źródeł
tradycyjnych. Ich duża trwałość wynika również z bardzo
małej awaryjności, związanej miedzy innymi z odpornością
na wstrząsy czy uderzenia. Jednak porównanie
niezawodności, definiowanej jako żywotność, tak różnych
źródeł światła może stanowić istotny problem. W przypadku
tradycyjnych źródeł żarowych, uszkodzenie najczęściej
związane jest z przerwaniem włókna, co skutkuje
całkowitym zaprzestaniem emisji promieniowania. W
przypadku źródeł półprzewodnikowych takie uszkodzenia
nagłe, występują niezmiernie rzadko, natomiast istotnym
czynnikiem, który powinien decydować o czasie ich
użytkowania jest proces stopniowego zmniejszania
intensywności świecenia na skutek zachodzących wewnątrz
struktury półprzewodnika procesów degradacyjnych.
Dodatkowo, wiele czynników zewnętrznych, które nie miały
wpływu na trwałość źródeł żarowych, bardzo mocno
oddziaływuje na szybkość tego procesu. Trwałość diod LED
bardzo mocno zależy od stabilności warunków pracy, tzn.
stabilności napięcia i prądu w punkcie pracy, co ma istotne
znaczenie dla źródeł użytkowanych na wszelkiego rodzaju
pojazdach. Również bardzo istotnym czynnikiem, podobnie
jak dla każdego półprzewodnika, jest temperatura pracy.
Podniesienie temperatury pracy złącza o kilkanaście stopni
powyżej pewnej wartości granicznej, powoduje istotne
skrócenie trwałości takich źródeł.

Tradycyjne metody oceny niezawodności związane są z

analizą obserwowanych czasów do powstania uszkodzeń.
Duża żywotność źródeł półprzewodnikowych powoduje
istotne ograniczenie liczby takich danych, co wyraźnie
wpływa na dokładność oceny. Z drugiej zaś strony
zachodzące procesy degradacyjne w sposób znaczący
zmniejszają intensywność emitowanego światła.

Przekroczenie pewnego przyjętego poziomu granicznego
również powinno być traktowane jako uszkodzenie. Tak
więc ocena trwałości takich źródeł musi być
przeprowadzona z uwzględnieniem obydwu typów
uszkodzeń. Dodatkowo każda analiza niezawodności
związana jest z koniecznością przyjęcia pewnego modelu
rozkładu czasów do powstania uszkodzeń. Dla uszkodzeń
katastroficznych można założyć stałą intensywność
uszkodzeń, co pozwala przyjąć model wykładniczy lub
Weibulla. Natomiast sam proces degradacji uzależniony
jest od wielu czynników. Wpływ na niego mają zarówno
własności źródeł światła uzyskane na etapie produkcji, jak
również późniejsze warunki eksploatacji. Ich ilość oraz
bardzo duża zmienność powodują, że należy je traktować
jako pewien proces losowy [1, 2].
Celem prowadzonych prac jest określenie metody
szacowania parametrów niezawodnościowych
półprzewodnikowych źródeł światła uwzględniając łącznie
zarówno czasy do powstania uszkodzeń katastroficznych
jak i uszkodzeń stopniowych. Uszkodzenia nagłe
analizowane są zakładając rozkład Weibulla lub
wykładniczy, natomiast uszkodzenia stopniowe, ze względu
na losowy charakter procesów degradacji, przy pomocy
stochastycznych równań różniczkowych.
W pracy przedstawiono wyniki szacowania rozkładu
funkcji niezawodności zarówna na podstawie analizy
czasów do uszkodzeń nagłych i stopniowych, jak również
prognozowania funkcji niezawodności tylko na podstawie
obserwacji początkowego procesu degradacji. Wszystkie
obliczenia są prowadzone w Matlabie, wykorzystując
narzędzia przybornika SDE [3]. Prowadzone obecnie prace
związane są z weryfikacją praktyczną prowadzonych analiz
teoretycznych.

Funkcja niezawodności

Niezawodność elementu jest definiowana jako
prawdopodobieństwo, że element jest zdolny do pełnienia
przypisanych mu funkcji przez określony czas:

(1)

( )

{

}

t

T

t

R

>

= Pr

czyli, że jego trwałość T, jest większa od przyjętego odcinka
czasu t. Dla źródeł światła pełnienie przypisanych mu
funkcji związana jest z generacją promieniowania
optycznego. W przypadku źródeł żarowych brak zdolności

314 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN 0033-2097, R. 85 NR 11/2009

do pełnienia przypisanych im funkcji następuje w momencie
ich przepalenia. Na podstawie obserwacji tych czasów,
przyjmując typowe modele statystyczne, można szacować
parametry niezawodnościowe takich źródeł. W przypadku
źródeł półprzewodnikowych, bardzo duża trwałość
powoduje, że czasy do całkowitego zaniku świecenia są
bardzo długie. Powoduje to znaczne ograniczenie
możliwości zastosowania tradycyjnych metod analizy lub
znacznie wydłuża sam proces badań. Jednak w przypadku
źródeł półprzewodnikowych w trakcie ich użytkowania
następuje istotny, w porównaniu do źródeł żarowych,
spadek intensywności świecenia [4]. Spadek poniżej
pewnego przyjętego poziomu krytycznego również musi być
traktowany jako uszkodzenie. Dlatego ocena
niezawodności takich źródeł musi być prowadzona na
podstawie zarówno obserwacji czasów do uszkodzeń
nagłych, pomimo, że ich liczba jest bardzo ograniczona, jak
również czasów do uszkodzeń stopniowych.

Rys. 1. Definicja czasów do powstania uszkodzeń nagłych T

ki

i stopniowych T

pj

Zakładając, że podczas badań niezawodnościowych

zostanie zaobserwowana określona liczba czasów T

ki

do

powstania uszkodzeń nagłych oraz pewna liczba czasów T

pj

do powstania uszkodzeń parametrycznych, trwałość
elementu

T może być zdefiniowana jako T = min(T

ki

,T

pj

). Dla

tak przyjętych założeń, funkcja niezawodności elementu
uwzględniająca obydwa typy uszkodzeń, może być wtedy
określona jako [5]:

(2)

( )

{

}

( )

{

}

( )

( )

t

R

t

R

t

T

T

t

T

t

R

p

k

j

i

×

=

>

=

>

=

,

min

Pr

Pr

gdzie R

k

(t) oraz R

p

(t) oznaczają odpowiednio funkcję

niezawodności wyznaczone na podstawie uszkodzeń
nagłych (katastroficznych) i stopniowych (para-
metrycznych). Dla tak zdefiniowanego modelu wyznaczenie
funkcji niezawodności związane jest więc z możliwością
wykorzystania zarówno informacji o postępującym procesie
degradacji jak i uszkodzeniach nagłych.

Analiza rozkładu uszkodzeń

Biorąc pod uwagę zmiany intensywności uszkodzeń w
funkcji czasu pracy urządzenia technicznego, normalny
okres użytkowania obejmuje zakres, w którym
intensywność uszkodzeń jest stała. Pozwala to wykorzystać
do modelowania typowe rozkłady statystyczne, takie jak
rozkład wykładniczy, czy rozkład Weibulla. Funkcje gęstości
mają wtedy następującą postać:

(3)

( )

( )

t

t

f

λ

λ

−

= exp

dla rozkładu wykładniczego oraz:

(4)

( )

⎥

⎥
⎦

⎤

⎢

⎢
⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

−

β

β

η

η

η

β

t

t

t

f

exp

1

dla rozkładu Weibulla. Parametr

λ

jest definiowany jako

intensywność uszkodzeń, a

β

i

η

odpowiednio jako

parametr kształtu i skali rozkładu Weibulla. Na podstawie
metody największej wiarygodności, mając zaobserwowane
czasy do uszkodzeń nagłych, można wyznaczyć estymatory
szukanych parametrów. Dla przyjętych modeli, funkcje
niezawodności opisane są zależnościami, odpowiednio dla
rozkładu wykładniczego:

(5)

( )

t

e

t

R

λ

−

=

oraz dla rozkładu Weibulla:

(6)

( )

⎥

⎥
⎦

⎤

⎢

⎢
⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

β

η

t

t

R

exp

Procesy degradacyjne z kolei, ze względu na złożoność

narażeń środowiskowych związaną zarówno z liczbą
występujących czynników jak i zakresem ich zmienności,
sprawia, że modelem probabilistycznym najlepiej je
opisującym, może być pewien proces stochastyczny. W
ogólnej postaci różniczkowej może on być przedstawiony
jako [6, 7]:

(7)

( )

( )

t

t

t

t

Z

t

Y

t

t

Y

Y

d

,

d

,

d

σ

α

+

=

gdzie

α

(

⋅

)

jest nazywane dryftem, a

σ

(

⋅

)

zmiennością

procesu. Wielkość

Z

t

modeluje występujące zakłócenie i jest

realizowane pewnym procesem stochastycznym. W
podstawowych modelach analizy jest to proces Wienera,
charakteryzujący się występowaniem częstych zmian w
stosunkowo niewielkich granicach. Do wyznaczenia
parametrów procesu wymagana jest znajomość funkcji
wiarygodności, a dokładnie funkcji gęstości
prawdopodobieństw przejść, gdyż funkcja wiarygodności
jest ich iloczynem. W większości przypadków procesów
stochastycznych nie jest znana jawna postać tej funkcji.
Istnieje jednak kilka metod pozwalających uzyskać
przybliżone rozwiązanie.
Przyjmując w modelu (7) stałość parametrów w funkcji
czasu oraz ich niezależność od wartości procesu, po
dokonaniu kilku przekształceń, otrzymuje się równanie
postaci:

(8)

t

t

W

t

Y

Y

σ

α

+

+

=

0

nazywane geometrycznym ruchem Browna. Ponieważ w
tym przypadku istnieje jawna postać funkcji przejścia,
można wyznaczyć estymatory parametrów modelu metodą
największej wiarygodności.
Przyjmując do opisu postępującego procesu degradacji
geometryczny ruch Browna, funkcja gęstości
prawdopodobieństwa rozkładu czasów do osiągnięcia
pewnego poziomu granicznego, opisana jest odwrotnym
rozkładem Gausa [8]:

(9)

( )

(

)

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

−

=

t

t

t

t

f

2

2

3

2

exp

2

μ

μ

λ

π

λ

gdzie

λ

jest parametrem kształtu, a

μ

wartością średnią.

PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN 0033-2097, R. 85 NR 11/2009 315

Parametry rozkładu można oszacować na podstawie

zaobserwowanych czasów do uszkodzeń stopniowych:

(10)

n

t

n

i

i

IG

∑

=

=

1

μ

oraz

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

∑

=

IG

n

i

i

IG

n

t

n

μ

λ

1

lub bezpośrednio znając parametry modelu
stochastycznego (8) jako:

(11)

α

μ

0

Y

h

SRR

−

=

oraz

(

)

2

2

0

σ

λ

Y

h

SRR

−

=

Przyjmując model rozkładu opisany odwrotnym

rozkładem Gaussa, funkcja niezawodności ma wtedy
postać:

( )

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

Φ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

Φ

−

=

1

2

exp

1

1

μ

λ

μ

λ

μ

λ

t

t

t

t

t

R

(12)
gdzie

Φ jest funkcją Laplace’a.

Wyniki badań symulacyjnych

Przeprowadzone

symulacje

miały na celu porównanie

wartości estymowanych parametrów dwoma metodami:
bezpośrednio na podstawie oszacowanych estymatorów
parametrów procesu stochastycznego oraz na podstawie
wyznaczonych czasów do momentu powstania uszkodzenia
stopniowego zakładając, że podlegają one odwrotnemu
rozkładowi Gaussa. Rysunek 2 przedstawia modelowane
przebiegi pewnego procesu stochastycznego z
naniesionym poziomem granicznym h . Dla wybranego
przebiegu oszacowano parametry procesu stochastycznego
i wyznaczono parametry odwrotnego rozkładu Gaussa na
podstawie (11).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.5

1

1.5

Y

(t)

t

h = 0.8

Rys. 2. Przykładowe symulowane procesy degradacji
z naniesionym poziomem krytycznym h,

α

*=1,49,

σ

*=0,09

Dla symulowanych procesów degradacji wyznaczono

również czasy do powstania uszkodzenia stopniowego, jako
chwila ich przecięcia z pewnym ustalonym poziomem
krytycznym h . Na podstawie tak otrzymanych czasów
wyznaczono estymatory parametrów odwrotnego rozkładu
Gaussa zgodnie z równaniem (10). Rysunek 3a oraz 3b
przedstawiają odpowiednio funkcję

gęstości

prawdopodobieństwa oraz funkcję niezawodności
wyznaczone na podstawie tak oszacowanych parametrów
oraz ich wartości.

W drugiej części badań dodatkowo symulując
uszkodzenia nagłe, wyznaczono rozkład funkcji
niezawodności uwzględniając łącznie zarówno uszkodzenia
nagłe jak i uszkodzenia stopniowe.

a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

t

f(t)

IG
SRR

b)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

R(

t)

IG
SRR

Rys. 3. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa a) oraz funkcja
niezawodności b) odwrotnego rozkładu Gaussa, uzyskana dla
parametrów oszacowanych na podstawie estymatorów procesu
stochastycznego:

μ

SRR

=0,54 i

λ

SRR

=72 oraz wyznaczonych czasów

do uszkodzeń stopniowych:

μ

IG

=0,6 i

λ

IG

=80

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

R(

t)

Weibull
Odwrotny Gaussa
Iloczyn

Rys. 4. Łączny rozkład funkcji niezawodności R(t) uwzględniający
uszkodzenia nagłe, modelowane rozkładem Weibulla o
parametrach

η

= 0,8 i

β

= 4,4 oraz uszkodzenia parametryczne,

modelowane odwrotnym rozkładem Gaussa

μ

IG

=0,52 i

λ

IG

=59,8

316 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN 0033-2097, R. 85 NR 11/2009

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Y(

t)

t

Zakres

"obserwowany"

Zakres "prognozowany"

h = 2

Prognozowany

zakres

uszkodzenia

Rys. 5. Prognozowanie czasu uszkodzenia stopniowego na
podstawie obserwacji początkowego przebiegu procesu degradacji;
parametry procesu po identyfikacji dla zakresu „obserwowanego”:

α

*=0,84,

σ

*=0,13, parametry odwrotnego rozkładu Gaussa czasu

do uszkodzenia:

μ

SRR

=2,57,

λ

SRR

=101 oraz

μ

IG

=3,6,

λ

IG

=218

Wyznaczając odpowiednio rozkłady funkcji
niezawodności opisanych rozkładem Weibulla (zależność
(6)), dla uszkodzeń nagłych oraz opisanych odwrotnym
rozkładem Gaussa dla uszkodzeń stopniowych (zależność
(12)), wyznaczono ich rozkład łączny, na podstawie
zależności (2). Rysunek 4 przedstawia uzyskane w ten
sposób rozkłady funkcji niezawodności.
W trzeciej części badań podjęto próbę oszacowania
(prognozowania) czasu osiągnięcia przez proces degradacji
przyjętego poziomu granicznego, mając do dyspozycji
jedynie początkowy fragment tego procesu. Na jego
podstawie dokonano estymacji parametrów procesu
degradacji, a następnie zamodelowano ich spodziewane
kontynuacje. Dalsza procedura przebiegała tak, jak w
części pierwszej badań.

Rys. 6. Schemat ideowy stanowiska pomiarowego

Stanowisko pomiarowe
Do weryfikacji prowadzonych prac teoretycznych
przygotowano specjalne stanowisko badawcze. W jego
skład wchodzi badane źródło światła wraz z układem
zasilania, kamera do analizy zmian intensywności
świecenia, komora termiczna wraz z układem stabilizacji
temperatury oraz system zbierania, gromadzenia i analizy
danych pomiarowych w postaci komputera PC. Jako źródło
światła zaprojektowano zestaw diod LED. Ustawienie
wartości temperatury oraz jej stabilizacja realizowana jest
poprzez sterownik programowalny typu PLC. Układ ten
wraz z układem zasilającym stabilizują punkt pracy źródeł
światła. W określonych chwilach czasu, odmierzanych
przez układ sterujący, przechwytywany i zapisywany jest

obraz rejestrowany przez kamerę. Zgromadzone w czasie
całego procesu badawczego obrazy są następnie
przetwarzane przez środowisko Matlaba. Schemat blokowy
stanowiska przedstawia rysunek 6.
Przeprowadzone pierwsze badania nie pozwalają
jeszcze na wykorzystanie ich do celów weryfikacji
prowadzonych analiz teoretycznych. Wyraźnie jednak da
się już zauważyć duży wpływ czynników zakłócających w
postaci zmian temperatury czy parametrów zasilania.
Dlatego dalsze prace skupione są właśnie na stworzeniu
takich warunków, aby wpływy te w jak największym stopniu
wyeliminować. Dodatkowo prowadzone są prace mające na
celu skrócenie czasu trwania procedury badań.

Podsumowanie
Celem prowadzonych prac badawczych jest
opracowanie procedury pozwalającej na szacowanie
parametrów niezawodnościowych półprzewodnikowych
źródeł światła bazującej na obserwacji czasów zarówno do
uszkodzeń katastroficznych jak i parametrycznych. Rozkład
funkcji niezawodności uszkodzeń nagłych szacowany jest
przyjmując standardowe rozkłady statystyczne takie jak
rozkład Weibulla czy rozkład wykładniczy. Rozkład czasów
uszkodzeń stopniowych, definiowanych jako chwile czasu,
w których intensywność emitowanego światła spada poniżej
przyjętego progu granicznego, analizowany jest
wykorzystując teorię procesów stochastycznych. W
najprostszym przypadku może on być modelowany jako
geometryczny ruch Browna. W takim przypadku rozkład
funkcji niezawodności może być modelowany przy pomocy
odwrotnego rozkładu Gaussa.
W celu weryfikacji prowadzonych rozważań
teoretycznych przygotowano stanowisko pomiarowe
pozwalające na badanie procesu zmian intensywności
emitowanego światła w czasie dla określonych warunków
pracy. Pierwsze badania wskazują bardzo duży wpływ
warunków otoczenia na własności badanych elementów.
Dodatkowo celem prowadzonych badań jest ocena wpływu
różnych wielkości na zmianę

własności

niezawodnościowych, jak również ocena możliwości
prognozowania trwałości na podstawie obserwacji
początkowego proces degradacji.

LITERATURA

[1] B a e J. S., K u o W., K v a m H. P., Degradation models and

implied life time distributions, Reliability Engineering and
System Safety, vol. 92, (2007), 601-608

[2]

K o p k a R., Możliwość wykorzystania modelowania
stochastycznego dla potrzeb oceny systemów bezpieczeństwa
funkcjonalnego, Korbicz J. (red.), Patan K., Kowal M.:
Diagnostyka Procesów i Systemów, Oficyna Wydawnicza
EXIT, Warszawa, 2007

[ 3 ] P i c c h i n i U., SDE Toolbox: An introduction to the Simulation

and the Numerical Solution of Stochastic Differential Equations
with Matlab,

http://sdetoolbox.sourceforge.net

, (05.01.2008)

[ 4 ] F u k u d a M., Reliability and Degradation of Semiconductor

Lasers and LEDs, Artech House, Boston, 1991

[5] Z h a o W., E l s a y e d E. A., An Accelerated Life Testing Model

Involving Performance Degradation, Reliability and
Maintainability, Annual Symposium-RAMS, (2004), 324-329

[6] P a r k Ch., P a d g e t t J. W., Accelerated Degradation Models

for Failure Based on Geometric Brownian Motion and Gamma
Processes. Lifetime Data Analysis, vol. 11, (2005), 511-527

[7] S o b c z y k K., Stochastyczne równania różniczkowe. WNT,

Warszawa 1996

[8]

K o p k a R., Szacowanie niezawodności elementów
elektronicznych w oparciu o postępujący proces degradacji. XIII
Conference Computer Applications in Electrical Engineering
ZKwE, Poznań, April 20-22, 2009

Autor: dr inż. Ryszard Kopka, Politechnika Opolska, Wydział
Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki, ul. Sosnkowskiego 31,
45-272 Opole, E-mail:

[e-mail]

;