1
Metody pomiaru zmian wartości pieniądza w czasie
I. PROCENT PROSTY – polega na takim oprocentowaniu kapitału, w którym roczny
dochód (procent) z kapitału nie jest do niego dodawany, czyli kapitalizowany. Oznacza to, że
dochód ten nie powiększa podstawy kapitału naliczania odsetek w okresie następnym.
K
n
= K
0
*(1 + rn) = K
0
+ K
0
*Rn
K
n –
wartość kapitału początkowego
K
0
po „n” okresach kapitalizacji prostej (oprocentowania
prostego);
K
0
– kwota początkowa
r – stopa procentowa
II. PROCENT SKŁADANY (rachunek odsetek składanych) – stosuje się wówczas gdy
roczny dochód (procent) z kapitału jest dodawany do kwoty kapitału podstawowego, czyli jest
kapitalizowany. Oznacza to, że dochód ten powiększa podstawę (kapitał) do naliczania
odsetek w okresie następnym. Procent składany ma istotny wpływ na podejmowanie decyzji
związanych z wyborem pożyczki, kredytu bądź lokowania środków pieniężnych na określony
czas.
Przyszła wartość kapitału obejmuje kapitał podstawowy, skapitalizowany według
określonej stopy procentowej:
(
)
n
n
n
q
K
r
K
K
×
=
+
=
0
0
1
K
n
- wartość kapitału początkowego
K
0
po „n” okresach kapitalizacji złożonej
(oprocentowania złożonego); - wartość przyszła kapitału.
K
0
– wartość początkowa kapitału (wartość teraźniejsza kapitału)
r – stopa procentowa
q = 1 + r
2
OPROCENTOWANIE ZŁOŻONE W PODOKRESACH
m
n
n
m
r
K
K
×
+
=
)
1
(
0
Czyli
k
m
k
m
r
K
K
)
1
(
0
+
=
K
n
– wartość kapitału początkowego K
0
po n okresach kapitalizacji złożonej w podokresach
r – stopa procentowa okresowa
m – liczba podokresów w okresie,
N
n ∈
k = mn – liczba podokresów w n okresach,
r/m – stopa procentowa względna (podokresowa)
Kapitalizacja ciągła
t
r
e
K
t
K
×
=
0
)
(
K(t) – wartość kapitału początkowego K
0
po czasie t ≥ 0, mierzonym okresami stopy
procentowej,
r – stopa procentowa okresowa,
Efektywna stopa procentowa
Efektywna stopa procentowa r
ef
zmienia kapitalizację w podokresach lub kapitalizację ciągłą
na równoważną kapitalizację okresową.
Dla kapitalizacji w podokresach
1
)
1
(
−
+
=
m
ef
m
r
r
3
Dla kapitalizacji ciągłej
1
−
=
r
ef
e
r
Gdzie
r – nominalna (okresowa) stopa procentowa
m – liczba podokresów w okresie
Realna stopa procentowa
Wzór Fischera: (1 + r
r
) = (1 + r
n
) / (1 + i)
1
1
1
−
+
+
=
i
r
r
n
r
Strumienie płatności
Strumieniem płatności nazywamy ciąg operacji finansowych (wpłat lub wypłat)
dokonywanych regularnie lub nieregularnie w stałych lub różnych kwotach, np.:
- wkłady oszczędnościowe,
- spłaty kredytu (długu),
- wypłata renty z pewnego kapitału.
1. Operacje dokonywane zgodnie z okresem kapitalizacji i okresem stopy procentowej
Wkłady dokonywane z góry
q
E
q
E
q
E
K
n
n
n
n
+
+
+
=
−
...
1
2
1
- gdy wkłady mają różną wysokość
1
1
−
−
=
q
q
Eq
K
n
n
- gdy wkłady mają jednakową wysokość
n
K
- stan konta po „n” okresach kapitalizacji
q = 1 + r
4
Wkłady dokonywane z dołu
n
n
n
n
n
E
q
E
q
E
q
E
K
+
+
+
+
=
−
−
−
1
2
2
1
1
...
- gdy wkłady mają różną wysokość
1
1
−
−
=
q
q
E
K
n
n
- gdy wkłady mają jednakową wysokość
q = 1 + r
n
K
- stan konta po „n” okresach kapitalizacji
2. Operacje zgodne z okresem stopy procentowej ale niezgodne z okresem kapitalizacji
Wkłady dokonywane z góry
1
1
−
−
=
q
q
q
E
K
n
n
)
)
)
)
n
K
)
- stan konta po n okresach wpłat
E – stały wkład
q)
= 1 + r
ef
= (1+r/m)
m
m – liczba podokresów w okresie
Wkłady dokonywane z dołu
1
1
−
−
=
∧
q
q
E
K
n
n
)
)
n
K
∧
- stan konta po n okresach wpłat
E – stały wkład
q)
= 1 + r
ef
= (1+r/m)
m
m – liczba podokresów w okresie
5
3. Operacje niezgodne z okresem stopy procentowej ale zgodne z okresem kapitalizacji
Wkłady dokonywane z góry
1
1
/
−
−
=
=
q
q
q
E
K
K
k
m
k
n
n
K
- stan konta po „n” okresach
r – stopa procentowa okresowa
m – liczba podokresów w okresie
k = m*n
q
= 1 + r/m
Wkłady dokonywane z dołu
1
1
/
−
−
=
=
q
q
E
K
K
k
m
k
n
n
K
- stan konta po „n” okresach kapitalizacji
r – stopa procentowa okresowa
m – liczba podokresów w okresie
k = m*n
q
= 1 + r/m
6
Decyzje inwestycyjne przedsiębiorstwa
Każda decyzja inwestycyjna przedsiębiorstwa powinna być poprzedzona analizą, czyli
przeprowadzeniem rachunku efektywności ekonomicznej. Podczas dokonywania oceny
przedsięwzięć inwestycyjnych stosuje się dwie podstawowe metody, mianowicie:
•
Metoda wartości bieżącej netto (NPV – Net Present Value)
•
Metoda wewnętrznej stopy zwrotu (IRR – Internal Rate of Return)
Metoda wartości bieżącej netto (ang. Net Present Value) pozwala określić obecną
(aktualną) wartość wpływów i wydatków pieniężnych związanych z ocenianym
przedsięwzięciem inwestycyjnym. NPV określa się jako sumę zdyskontowanych oddzielnie
dla każdego roku przepływów pieniężnych, zrealizowanych w całym okresie, przy stałym
poziomie stopy procentowej. Wartość ta wyraża zdyskontowane na moment dokonywania
oceny, korzyści jakie przedsięwzięcie może przynieść. Zaktualizowaną wartość netto
definiuje się jako obecną wartość wszystkich wpływów i wydatków związanych z realizacją i
eksploatacją projektu. NPV otrzymuje się poprzez zdyskontowanie, oddzielnie dla każdego
roku (lub innego podokresu), różnicy między wpływami i wydatkami przez cały okres trwania
projektu przy określonym poziomie stopy dyskontowej, a następnie zsumowaniu tych
wartości. W celu obliczenia NPV możemy posłużyć się następującym wzorem:
gdzie:
•
NPV
- wartość bieżąca netto,
•
CF
t
- przepływy gotówkowe w okresie t,
•
r
- stopa dyskonta,
•
I
0
- nakłady początkowe,
•
t
- kolejne okresy (najczęściej lata) eksploatacji inwestycji
Możliwe są 3 wartości NPV:
NPV = 0 stopa zwrotu jest równa się kosztowi pozyskania kapitału.
NPV > 0 stopa zwrotu z inwestycji jest większa niż koszt pozyskania kapitału.
NPV < 0 stopa zwrotu z inwestycji jest mniejsza niż koszt pozyskania kapitału.
7
Drugą najczęściej stosowaną metodą dyskontową do oceny przedsięwzięć inwestycyjnych jest
wewnętrzna stopa zwrotu (IRR). IRR to stopa procentowa, przy której obecna wartość
wydatków pieniężnych jest równa obecnej wartości wpływów pieniężnych. Jest to zatem
stopa procentowa, dla której wartość bieżąca netto ocenianej inwestycji jest równa zero
(NPV=0). Wówczas gdy IRR jest wyższa od stopy granicznej, będącej najniższą możliwą do
zaakceptowania przez inwestora stopą rentowności, inwestycja jest opłacalna. W sytuacji
odwrotnej inwestycja będzie nieopłacalna.
Obliczenie wartości IRR polega więc na znalezieniu takiej wartości stopy dyskontowej r,
która spełnia warunek:
gdzie:
•
CF
t
- przepływy gotówkowe w okresie t,
•
r
- stopa dyskonta,
•
I
0
- nakłady początkowe,
•
t
- kolejne okresy (najczęściej lata) eksploatacji inwestycji
Powyższa formuła ma zastosowanie przy stałej stopie dyskonta w rozpatrywanym okresie. W
przypadku ogólnym, gdy stopa ta nie jest stała, saldo przepływów finansowych należy
dyskontować odrębnie dla każdego okresu z daną stopą dyskonta.