Egzamin poprawkowy z Rachunku Prawdopodobie ´nstwa II, 28 II 2005

(cz˛e´s´c pierwsza)

1. Wyznaczy´c wszystkie pary liczb rzeczywistych (a, b), dla których funkcja

ϕ(t) = a cos t + b sin t + ab jest funkcj ˛

a charakterystyczn ˛

a pewnej rzeczy-

wistej zmiennej losowej.

(15 p.)

2. Niech E = {1, 2, 3, 4}. Zmienne losowe X i Y o warto´sciach w zbiorze E

maj ˛

a t˛e własno´s´c, ˙ze ci ˛

ag X, Y, X, Y, X, Y, X, Y, . . . jest ła´ncuchem Markowa

na przestrzeni stanów E. Czy wynika st ˛

ad, ˙ze istniej ˛

a x, y ∈ E takie, i˙z

P (X = x) = 1 i P (Y = y) = 1?

(20 p.)

3. Rzeczywiste zmienne losowe G, X

1

, X

2

, X

3

, . . . s ˛

a niezale˙zne i G ma rozkład

N (0, 1). Niech Z

n

= X

n

+ G dla n = 1, 2, . . . Udowodni´c, ˙ze je´sli ci ˛

ag

Z

n

zbiega według rozkładu do pewnej rzeczywistej zmiennej losowej przy

n → ∞, to ci ˛

ag X

n

tak˙ze zbiega według rozkładu do pewnej rzeczywistej

zmiennej losowej, gdy n → ∞.

(15 p.)

W

SZYSTKIE ODPOWIEDZI NALE ˙

ZY UZASADNI ´

C

!

Egzamin poprawkowy z Rachunku Prawdopodobie ´nstwa II, 28 II 2005

(cz˛e´s´c druga)

1. Poda´c dokładne sformułowanie Centralnego Twierdzenia Granicznego

w wersji Lindeberga.

(10 p.)

2. Martyngał (X

n

, F

n

)

∞

n=0

ma t˛e własno´s´c, ˙ze tak˙ze ci ˛

ag (X

2

n

, F

n

)

∞

n=0

jest

martyngałem. Udowodni´c, ˙ze P (X

n+1

= X

n

) = 1 dla n = 0, 1, 2, ..

(25

p.)

3. Ci ˛

ag (X

n

)

∞

n=0

, zbie˙zny według rozkładu do pewnej rzeczywistej zmien-

nej losowej Y przy n → ∞, jest jednorodnym ła´ncuchem Markowa na
przestrzeni stanów E = {1, 2, 3}. Ma on symetryczn ˛

a macierz przej´scia

A = (a

i,j

)

1≤i,j≤3

, w której a

1,1

= a

1,2

= a

1,3

= a

2,2

= a

2,3

= a

3,3

.

Obliczy´c P (Y = 2).

(15 p.)

W

SZYSTKIE ODPOWIEDZI NALE ˙

ZY UZASADNI ´

C

!