MITE Zadania domowe i testowe seria 2
Zadanie 1
Czy twierdzenie Moivre a - Laplace a jest szczególnym przypadkiem twierdzenia
Lindeberga-Fellera ?. Uzasadnij szczegółowo.
RozwiÄ…zanie:
Omawiano na wykładzie. Zobacz tekst wykładu.
Zadanie 2
Ogniwa krótkie pewnego łańcucha rolkowego mają wymiar , ogniwa o średniej
k = 20.05+0..05
-0 04
długości mają wymiar . Montujemy łańcuch z
a ogniwa długie wymiar
s = 25.05+0.03 d = 27.05+0.03
-0.03 -0.03
20 ogniw krótkich, 25 ogniw średnich i 25 długich.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy długość całego łańcucha mm
L = 1703.6+0.1
-0.1
(przewidzianÄ… normÄ…).
Wskazówka: Oszacować nieznane parametry rozkładów wymiarów poszczególnych ogniw na
podstawie znajomości pola tolerancji korzystając z prawa a następnie wykorzystać CTG
3Ã
LF (centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Fellera).
RozwiÄ…zanie:
Wartości średnie i odchylenia standardowe (w mm):
0.05 + 0.04
Ã1 = = 0.015
20.05 + 0.05 + 20.05 - 0.04
6
,
µ1 = = 20.055
2
0.03 + 0.03
à = = 0.01
2
25.05 + 0.03 + 25.05 - 0.03
6
,
µ2 = = 25.05
2
0.03 + 0.03
Ã3 = = 0.01
27.05 + 0.03 + 27.05 - 0.03
6
,
µ3 = = 27.05
2
Wartości do standaryzacji zmiennej:
,
µ = 20Å" 20.055 + 25Å" 25.05 + 25Å" 27.05 = 1703.6 Ã = 20 Å" 0.0152 + 25Å" 0.012 + 25Å" 0.012 = 0.0975
oraz
X - 1703.6
1703.5 - 1703.6 1703.7 - 1703.6
" i
P(1703.5 < X <1703.7) = P( < < ) =
" i
0.0975 0.0975 0.0975
= P(-1.03 < Y < 1.03) = 2Å" Åš(1.03) -1 = 2Å" 0.848 -1 = 0.70
Dokonano odczytu z tablic rozkładu normalnego.
Uwaga: Sprawdzić powyższe obliczenia !.
Zadanie 3 (podobne do tego z wykładu)
Prawa zastrzeżone © J.FrÄ…czek, MateriaÅ‚ na prawach rÄ™kopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia bÅ‚Ä™dów proszÄ™
o informacjÄ™. [e-mail]. Wersja 06. Modyfikowana ostatni raz 6.06.2010 Strona 1
Lina spleciona jest z 20 drutów grubych i 70 cienkich. Wytrzymałość drutu grubego ma
rozkład równomierny w przedziale <3.2,4.8> kN. Wytrzymałość drutu cienkiego ma rozkład
równomierny w przedziale <0.8,1.2>. Przyjmując, że wszystkie te zmienne losowe są
niezależne, i że wytrzymałość liny jest sumą wytrzymałości wszystkich drutów, znalez
ć
prawdopodobieństwo, że wytrzymałość liny Q jest większa od 145 kN i mniejsza niż 153 kN.
Uwaga: Wartość średnią oraz wariancję dla rozkładu równomiernego na przedziale
oblicza się odpowiednio ze wzorów:
a + b (b - a)2
2
µ = , Ã =
2 12
Zadanie 4
Przestudiuj zadanie numer 2.19, str. 58 ze skryptu Jana Oderfelda (zobacz piśmiennictwo w
wykładzie 1)
Zadanie 5
Odczytać wartość kwantyla rzędu 0.90 z tablic rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody
r=100 i wartość tego kwantyla z tablic rozkładu N(0.1). Obliczyć względną różnicę
procentowÄ….
Wskazówka: Z tablic rozkładu Studenta odczytuje się wartości krytyczne. Jakiego rzędu
kwantylem jest wartość krytyczna ?
Zadanie 6
Błąd zaokrąglenia przy dodawaniu na kalkulatorze ma rozkład jednostajny w przedziale
-10-8, 10-8 . Oszacować prawdopodobieństwo, że przy dodawaniu 1001 liczb błąd
bezwzględny nie przekroczy 10-7 .
Wskazówka: Wykorzystać CTG LL
RozwiÄ…zanie:
Dodając 1001 liczb wykonamy 1000 działań dodawania. Niech oznacza błąd (zmienna losowa) przy
X
i
wykonywaniu i-tego dodawania. Zmienna ta rozkład jednostajny więc:
- 10-8 + 10-8 (108 - (-10-8 ))2 10-16 2
,
µi = E( X ) = = 0 D2 ( X ) = = = Ã > 0
i i
2 12 3
1000
Błąd całościowy to . Chcemy oszacować . Z CTG LL otrzymujemy przybliżenie:
P( S1000 d" 10-7 )
S1000 = X
" i
i=1
S1000 - 1000µ
10-7 - 0
P( S1000 d" 10-7 ) = P( d" H" 2Åš( 0.3) - 1 H" 2Åš(0.55) - 1 = 2 Å" 0.7088 - 1 = 0.418
à 1000
10-13 / 3
Wykorzystaliśmy tablice rozkładu normalnego.
Prawa zastrzeżone © J.FrÄ…czek, MateriaÅ‚ na prawach rÄ™kopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia bÅ‚Ä™dów proszÄ™
o informacjÄ™. [e-mail]. Wersja 06. Modyfikowana ostatni raz 6.06.2010 Strona 2
Zadanie 7
Należy oszacować czas bezawaryjnej pracy wyprodukowanej partii dysków twardych.
Wiadomo, że czas pracy ma rozkÅ‚ad normalny z odchyleniem standardowym Ã, które nie jest
znane. Wylosowana niezależnie z tej partii próba n = 11 dysków dała wyniki pomiarów czasu
ich bezawaryjnej pracy (w tys. godzin): 2630, 2820, 2900, 2810, 2770, 2840, 2700, 2950,
2690, 2720, 2800. Przyjmując poziom ufności 1-ą = 0.98 oszacować metodą przedziałową
średni czas bezawaryjnej pracy tej partii oraz szerokość przedziału ufności.
Uwaga: Proszę przed obliczeniami koniecznie napisać wzór ogólny.
RozwiÄ…zanie:
Åšrednia z 11 realizacji (jednostki pomijam):
11
xi
"
i=1
,
x = = 2784.55
11
11
- x)2
"(xi
s
i=1
Estymator oraz
s = = 90.59 = 90.59 / 10 = 28.65
n
n -1
s
Odczyt z tablic studenta t(0.02,10)=2.76 czyli
t Å" = 2.76 Å" 28.65 = 79.05
n -1
Czyli przedział ufności:
2784,55 - 79,05;2784,55 + 79,05 = 2705,50;2863,60
Szerokość przedziału
L = 2 Å" 79,05 = 158,10
Zadanie 8
Za pomocą metody największej wiarygodności wyznaczyć estymator parametru p rozkładu
populacji ogólnej o rozkładzie dwumianowym:
m
ëÅ‚ öÅ‚
P(x, p) = ìÅ‚ ÷Å‚ px (1- p)m- x, x = 1,2,..., m
ìÅ‚ ÷Å‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚
Wyznaczyć, na podstawie n niezależnych pomiarów x1,x2,...,xn, estymator największej
wiarygodności dla p.
RozwiÄ…zanie:
Było na wykładzie. W domu należy sprawdzić, że znalezione rozwiązanie przynosi maksimum funkcji
wiarygodności.
Zadanie 9
Czas pracy elementu jest zmienną losową X o gęstości
Prawa zastrzeżone © J.FrÄ…czek, MateriaÅ‚ na prawach rÄ™kopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia bÅ‚Ä™dów proszÄ™
o informacjÄ™. [e-mail]. Wersja 06. Modyfikowana ostatni raz 6.06.2010 Strona 3
Å„Å‚Ä…²xÄ… -1exp(-²xa ), gdy x > 0
f (x) =
òÅ‚
gdy x d" 0
ół0,
gdzie Ä… jest znanym dodatnim parametrem, ² zaÅ› jest nieznanÄ… dodatniÄ… staÅ‚Ä… (jest to gÄ™stość
rozkładu Weibulla). Wyznaczyć, na podstawie niezależnych pomiarów x1,x2,...,xn czasu pracy
elementu, estymator najwiÄ™kszej wiarygodnoÅ›ci dla ².
Zadanie 10
Na podstawie n-elementowej próby prostej pobranej z populacji, w której badana cecha X ma
rozkład Poissona:
i
Å„Å‚
ôÅ‚c e-c i = 0,1,2,... c > 0
P(X = i) =
òÅ‚
i!
ôÅ‚
0 poza
ół
należy:
1. Skonstruować estymator parametru c metodą analogii.
2. Skonstruować estymator parametru c metodą największej wiarygodności
3. Wykazać, że estymator według punktu 2 jest nieobciążony.
Zadanie 11
Zmienna losowa określająca populację ma rozkład określony funkcją gęstości ( > 0) :
2
Å„Å‚cxe-x dla x > 0
f (x) =
òÅ‚
poza
ół0
Należy:
1. Wyznaczyć stałą c.
2. Napisać funkcję dystrybuanty.
3. Wyznaczyć estymator parametru  metodą największej wiarygodności.
RozwiÄ…zanie:
Stała c z warunku:
" " "
"
2 2 2
c c c
-x2
czyli:
f (t)dt = 1 cxe-x dx = c [- ]
0
+" +" +"xe dx = 2 e-x = 2 (1- lim(e-x )) = 2 = 1
T "
-" -" -"
A zatem c=2.
Dystrybuanta:
dla
x d" 0 : F(x) = 0
x
x
2 2 2
dla
x > 0 : F(x) = 2te-t dt =[- e-t ] = 1- e-x
0
+"
0
Funkcja wiarygodności:
2
n n -
"xi
2
i i
L = e-x ) = 2nn( xi )e
"(2xi "
i=1 i=1
Logarytmiczna funkcja wiarygodności:
Prawa zastrzeżone © J.FrÄ…czek, MateriaÅ‚ na prawach rÄ™kopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia bÅ‚Ä™dów proszÄ™
o informacjÄ™. [e-mail]. Wersja 06. Modyfikowana ostatni raz 6.06.2010 Strona 4
n - xi2 n - xi2 n
" "
i i
ln L = ln(2n n ( xi )e ) = ln(2n ( xi )) + ln n + ln e = ln(2n ( xi )) + n ln  -  xi2
"
" " "
i
i =1 i =1 i =1
Pochodna:
d(ln L) n n
= - "
xi2 =0 gdy  =
d  i xi2
"
i
Sprawdzamy, że:
2
d (ln L) n
niezależnie od wartości parametru .

= - < 0
d2 2
n
Estymatorem NW parametru jest:

› =
Xi2
"
i
Zadanie 12
Należy oszacować żywotność (w godzinach świecenia) wyprodukowanej partii świetlówek.
Wiadomo, że czas świecenia świetlówek ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym
Ã. Wylosowana niezależnie z tej partii próba n = 11 Å›wietlówek daÅ‚a wyniki pomiarów czasu
ich świecenia (w godzinach): 2630, 2820, 2900, 2810, 2770, 2840, 2700, 2950, 2690, 2720,
2800. Przyjmując poziom ufności 1-ą = 0.98 oszacować metodą przedziałową średni czas
świecenia świetlówek tej partii oraz szerokość przedziału ufności.
Rozważyć trzy przypadki:
a) Odchylenie standardowe jest znane i wynosi Ã=100 godzin.
b) Odchylenie standardowe nie jest znane.
c) Jak zmieniłyby się brzegi przedziału ufności w przypadku 2 gdyby oszacowanie
pierwiastka z wariancji było równe wartości odchylenia z przypadku 1 (tzn.
s=Ã=100) ? Przeliczyć.
Uwaga: W zadaniu proszę przed obliczeniami napisać wzór ogólny.
RozwiÄ…zanie:
a)
Åšrednia z 11 realizacji (jednostki pomijam):
11
"xi
i=1
x = = 2784.5
11
Jeśli odchylenie standardowe jest znane to:
x0.99Ã 2.326 Å"100
= = 70.131
n 11
Ä…
gdzie x0.99 jest kwantylem rzędu 1- rozkładu normalnego tzn. kwantylem rzędu 0.99, który odczytujemy z
2
tablic i x0.99 = 2.326
w takim razie przedział ufności wynosi: <2784.5-70.131;2784.5+70.131>=<2714.4 ; 2854.7>
Szerokość przedziału ufności wynosi 140.3
b)
Prawa zastrzeżone © J.FrÄ…czek, MateriaÅ‚ na prawach rÄ™kopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia bÅ‚Ä™dów proszÄ™
o informacjÄ™. [e-mail]. Wersja 06. Modyfikowana ostatni raz 6.06.2010 Strona 5
11
- x)2
"(xi
i=1
Estymator
s = = 90.59
n
Jeśli odchylenie standardowe nie jest znane to:
t(0.02,10) Å" s 2.764 Å" 90.59
= = 79.181
r 11 - 1
Ä…
gdzie t(0.02,10) jest wartościa krytyczną (kwantylem rzędu 1- ) rozkładu Studenta, którą odczytujemy z
2
tablic i t(0.02,10) = 2.764
w takim razie przedział ufności wynosi: <2784.5-79.181;2784.5+79.181>=<2705.4 ; 2863.7>
Szerokość przedziału ufności wynosi 158.36
c) Powtarzamy obliczenia z punktu b ale zamiast s wstawiamy wartość 100.
Otrzymujemy przedział ufności <2697.1 ; 2871.9> i szerokość przedziału
równą 174.81 a zatem znacznie więcej niż w punkcie a).
Zadanie 13
Zmierzono wytrzymałość 10 losowo wybranych gotowych elementów walcowanych i
otrzymano następujące wyniki: 383, 284, 339, 340, 305, 386, 387, 335, 344, 346 [Pa]. Przy
zaÅ‚ożeniu, że wytrzymaÅ‚ość tych elementów jest zmiennÄ… losowÄ… N (µ,à ) o nieznanych µ
i à , wyznaczyć na podstawie tej próbki 95 % (tzn. przyjąć Ä… = 0.05) realizacjÄ™ przedziaÅ‚u
ufnoÅ›ci dla µ.
Zadanie 14
Zakłada się następujący sposób zdawania egzaminów poprawkowych:
PrawdopodobieÅ„stwo niezadania egzaminu poprawkowego (parametr ¸) jest staÅ‚e dla
określonego przedmiotu i jednakowe dla wszystkich studentów w określonej grupie. Ze
wzglÄ™du na sens fizyczny musi być: 0 < ¸ < 1 (parametr ¸ nie zależy od tego po raz który
zdaje siÄ™ egzamin poprawkowy).
Niech X oznacza zmienną losową, która jest zdefiniowana jako liczba egzaminów
poprawkowych ustalonego studenta aż do zdania włącznie. W założonym modelu X ma
rozkład geometryczny:
k -1
P( X = k) = ¸ (1 - ¸ )
(k=1,2,...)
W pewnej grupie o liczności n=40 studentów zarejestrowano wynik przedstawiony w tablicy:
Krotność zdawania k: Liczba studentów o krotności k:
1 22
2 8
3 5
4 5
>4 0
Prawa zastrzeżone © J.FrÄ…czek, MateriaÅ‚ na prawach rÄ™kopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia bÅ‚Ä™dów proszÄ™
o informacjÄ™. [e-mail]. Wersja 06. Modyfikowana ostatni raz 6.06.2010 Strona 6
Oszacować metoda najwiÄ™kszej wiarygodnoÅ›ci parametr ¸.
Zadanie 15
Dokonano serii 5 pomiarów rezystancji metodą mostkową. Otrzymano następujące wyniki:
53.2, 53.6, 53.1, 54.9, 53.7 &!. Obliczyć niepewność standardową typu A uA oraz niepewność
rozszerzoną UA dla poziomu ufności 0.95.
RozwiÄ…zanie:
Przypominam fragment wykładu, że niepewność standardową obliczamy jako odchylenie standardowe lub
estymatÄ™ tego odchylenia.Obliczamy kolejno:
Średnia arytmetyczna serii pomiarów (jednostki pomijam):
5
xi
"
i=1
x = = 53.7
5
Jako estymator odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru przyjmujemy (zobacz fragment wykładu
dotyczÄ…cy estymowania wariancji w metodzie analogii):
5
- x)2
"(xi
(52.3 - 53.7)2 + (53.6 - 53.7)2 + (53.1 - 53.7)2 + (54.9 - 53.7)2 + (53.7 - 53.7)2
i=1
s = = = 0.72
n - 1 5 - 1
Powyższe jest estymatorem odchylenia standardowego dla pojedynczego pomiaru. Natomiast wiadomo, że
odchylenie standardowe średniej arytmetycznej jest
n = 5
s 0.72
sx = = = 0.32
5
n
A zatem tą wartość przyjmujemy jako niepewność standardową pomiaru to znaczy uA=0.32 &!.
Niepewność rozszerzona jest połową szerokości przedziału ufności dla wartości oczekiwanej na poziomie
ufności 0.95 przy założeniu, że odchylenie standardowe nie jest znane (nie podano w zadaniu).
Oblicza się ja następująco (porównaj rozwiązanie zadania 12b):
=0.89 &!
U = t(0.05,4) Å" sx = 2.776 Å" 0.32
A
gdzie t(0.05,4) jest wartością krytyczną rozkładu studenta o r=4 stopniach swobody, albo jak kto woli
kwantylem rzędu 1-0.05/2. W ocenie niepewności rozszerzonej kwantyl t rozkładu studenta nosi nazwę
współczynnika rozszerzenia i oznacza jako k.
Zadanie 16.
Wez
my pod uwagÄ™ zadanie 12 punkt b). Postawimy hipotezÄ™ H0: przeciwko
µ = 2790
hipotezie H1: (ta hipoteza jest uzasadniona bo z obliczeń otrzymaliśmy wartość
µ < 2790
estymatora wartości oczekiwanej <2790).
Należy zweryfikować hipotezę H0 na poziomie istotności ą = 0.05
.
RozwiÄ…zanie:
Tworzymy statystykÄ™ (odchylenie standardowe nie jest znane):
Prawa zastrzeżone © J.FrÄ…czek, MateriaÅ‚ na prawach rÄ™kopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia bÅ‚Ä™dów proszÄ™
o informacjÄ™. [e-mail]. Wersja 06. Modyfikowana ostatni raz 6.06.2010 Strona 7
X - µ0
i obliczamy jej realizacjÄ™ dla zadanych danych:
n -1
S
x - µ0 2784.5 - 2790
n - 1 = 10 = -0.192
s 90.59
Tworzymy obszar krytyczny lewostronny dla poziomu istotności ą = 0.05
:
Sod = (-", t0.05)
Gdzie t0.05 jest kwantylem rzędu 0.05 rozkładu Studenta dla 10 stopni swobody. Jest on zatem równy:
t0.05 = -t(0.1,10) gdzie t(0.1,10) jest wartością krytyczna rozkładu studenta. Z tablic wartości krytycznych
odczytujemy t(0.1,10)=1.81. StÄ…d:
. Zatem - 0.192 " Sod
a zatem brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
Sod = (-",-1.81)
(stosujemy orzekanie dwuorzeczeniowe).
Zadanie 17.
Wez
my pod uwagÄ™ zadanie 12 punkt a). Postawimy hipotezÄ™ H0: przeciwko
µ = 2790
hipotezie H1: (ta hipoteza jest uzasadniona bo z obliczeń otrzymaliśmy wartość
µ < 2790
estymatora wartości oczekiwanej <2790).
Należy zweryfikować hipotezę H0 na poziomie istotności ą = 0.05
.
RozwiÄ…zanie:
Tworzymy statystykÄ™ (odchylenie standardowe jest znane):
X - µ0
i obliczamy jej realizacjÄ™ dla zadanych danych:
n
Ã
x - µ0 2784.5 - 2790
n = 11 = -0.182
à 100
Tworzymy obszar krytyczny lewostronny dla poziomu istotności ą = 0.05
:
Sod = (-", u0.05)
Gdzie u0.05 jest kwantylem rzędu 0.05 rozkładu N(0.1). Jest on zatem równy:
u0.05 = -1.64
. Zatem - 0.192 " Sod
a zatem brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
Uod = (-",-1.64)
(stosujemy orzekanie dwuorzeczeniowe).
Uwaga: Analizując rozwiązania wszystkich zadań należy zawsze sprawdzać obliczenia
i wzory!
Prawa zastrzeżone © J.FrÄ…czek, MateriaÅ‚ na prawach rÄ™kopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia bÅ‚Ä™dów proszÄ™
o informacjÄ™. [e-mail]. Wersja 06. Modyfikowana ostatni raz 6.06.2010 Strona 8