MITE zadania domowe seria 2
y
Zadanie 1
Dana jest funkcja:
cy dla (x, y)" D
ż# 1
f (x, y)=
�#0 poza
�#
D
Gdzie obszar D pokazano na rysunku.
1 2 x
Należy:
1. Dobrać stałą c tak, by funkcja f była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y)
2. Obliczyć gęstość rozkładów brzegowych
3. Narysować wykresy gęstości brzegowych
4. Obliczyć wartości oczekiwane E(X) i E(Y)
5. Obliczyć kowariancję zmiennych losowych
6. Obliczyć odchylenie standardowe zmiennych o rozkładach brzegowych
7. Obliczyć współczynnik korelacji �X,Y . Czy istnieje zależność liniowa pomiędzy X a Y ?
Rozwiązanie:
Ad. 1
x
ż# �#
D : (x, y): 0 d" x d" 2 i 0 d" y d"1-
�# Ź#
2�#
�#
D :{(x, y): 0 d" y d" 1i 0 d" x d" 2(1- y)}
1
2(1- y)
1 1 1
Ą# ń#
y2 y3 2c c
y dxdy = c (y - y2)dy = 2có# - = = =1�! c = 3
Ą#
+"+"cydv = c+" +" +"2y(1- y)dy = 2c+"
2 3 6 3
Ł# Ś#0
D 0 0 0 0
Ad. 2
x
1-
2
2
3 x
�#1- ś#
fX (x)= 3 ydy =
ś# ź#
+"
2 2
�# #
0
2(1-x)
fY (y)= 3 ydx = 6(y - y2)= 6y(1- y)
+"
0
Ad. 3
fX(x) fY(y)
1,5 1,5
x y
2 1
Ad. 4
2
2 2 2 2
�# ś# �# ś#
3 x 3 x2 3 x3
ś#
ś#
E(X )= m10 = xfX (x)dx = x�#1- ź#
dx = xś#1- x + ź#
ś#
+" +" +" ź#dx = ś# ź#dx
+"ś# x - x2 + 4 ź# =
2 2 2 4 2
�# #
�# # �# #
0 0 0 0
2
Ą# ń#
3 x2 x3 x4 3 8 1
Ą#2
= - + = - +1ń# =
ó# Ą#
ó# Ą#
2 2 3 16 2 3 2
Ś#
Ł# Ś#0 Ł#
1
1 1
Ą# ń#
y3 y4 1 1
E(Y )= m01 = yfY (y)dy = 6 y2(1- y)dy =6ó# - = 6 =
Ą#
+" +"
3 4 12 2
Ł# Ś#0
0 0
Ad. 5
2(1- y)
1 2(1- y) 1 1 2
Ą# ń#
x2 y2 4(1- y) y2
m11 = E(XY )= xy2 dxdy = 3 dy =
ó# Ą#
+"+"xycydv = 3+" +" +"Ł# 2 Ś#0 dy = 3+"
2
D 0 0 0 0
1
1
Ą# ń#
y3 2y4 y5 1 1 1 6 1
ń#
= 6 y2(1- 2y + y2)dy = 6ó# - + = 6Ą# - + = 2 - 3 + =
Ą#
+" ó#3
3 4 5 5 5
Ś#
Ł# Ś#0 Ł# 2 5Ą#
0
1 1 1 1
COV(X ,Y)= m11 - m10 �" m01 = - �" = -
5 2 2 20
Ad. 6
2
2 2 2 2
�# ś# �# ś#
3 x 3 x2 3 x4
ś#
2
ś#
E(X )= m20 = x2 f (x)dx = x2�#1- ź#
dx = x2ś#1- x + ź# -
ś#
X
+" +" +" ź#dx = +"ś# x2 x3 + 4 ź# =
ś# ź#dx
2 2 2 4 2
�# #
�# # �# #
0 0 0 0
2
Ą# ń#
3 x3 x4 x5 3 8 32 3 160 - 240 + 96 2
Ą# ń#
= - + = - 4 + = �" =
ó#
ó#3
2 3 4 20Ą# 2 5
Ś#
Ł# Ś#0 Ł# 20Ą# 2 60
1
1 1
Ą# ń#
y4 y5 6 3
2
E(Y )= m02 = y2 fY (y)dy = 6 y3(1- y)dy =6ó# - = =
Ą#
+" +"
4 5 20 10
Ł# Ś#0
0 0
2 1 3
2 2
� = m20 - m10 = - =
X
5 4 20
3 1 1
2 2
�Y = m02 - m01 = - =
10 4 20
Ad. 7
1 1
- -
COV(X ,Y ) 1 400 1
20 20
�XY = = = = - �" = - E" -0,577
2 2
� �" �Y 3 1 3 20 3 3
X
�"
20 20 400
Zmienne X i Y nie są zależne.
y
Zadanie 2
Dana jest funkcja:
ż# 1
cxy2 dla (x, y)" D
f (x, y)=
�#
�#0 poza
D
Gdzie obszar D pokazano na rysunku.
1 x
Należy:
1. Dobrać stałą c tak, by funkcja f była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y)
2. Obliczyć gęstość rozkładów brzegowych
3. Obliczyć wartości oczekiwane E(X) i E(Y)
4. Obliczyć kowariancję zmiennych losowych
5. Obliczyć odchylenie standardowe zmiennych o rozkładach brzegowych
6. Obliczyć współczynnik korelacji �X,Y. Czy są zależne liniowo, czy nie ?
Rozwiązanie:
Ad. 1
D :{(x, y): 0 d" x d"1i 0 d" y d" x}
D :{(x, y): 0 d" y d"1i y d" x d"1}
x 1
1 x 1 1
Ą# ń# Ą# ń#
xy3 x4 x5 c
2 2
dx = có# Ą# = =1�! c =15
ó# Ą#
+"+"cxy dv = c+"+"xy dydx = c+"Ł# 3 Ś#0 dx = c+"
3
Ł#15 Ś#0 15
D 0 0 0 0
Ad. 2
x
x
Ą# ń#
xy3
fX (x) = 15 xy2dy = 15ó# Ą# = 5x4
+"
3
Ł# Ś#0
0
1
1
Ą# ń#
x2 y2 15 15
2
fY (y)=15 dx =15ó# Ą# = (y2 - y4)= y2(1- y2)
+"xy
2 2 2
Ł# Ś#
y
y
Ad. 3
1
1 1 1
Ą# ń#
x6 5
E(X )= m10 = xfX (x)dx = �"5x4dx =5 x5dx = 5ó# Ą# =
+" +"x +"
6
Ł# Ś#0 6
0 0 0
1
1 1
Ą# ń#
15 15 y4 y6 15 5
E(Y )= m01 = yfY (y)dy = (y3 - y5)dy = - = =
ó# Ą#
+" +"
2 2 4 6 24 8
Ł# Ś#0
0 0
Ad. 4
x
1 x 1 1 1
Ą# ń#
x2 y4 x2x4 15
2 2 6
m11 = E(XY)=15 dx = dx =
ó# Ą#
+"+"xyxy dv =15+"+"x y3 dydx =15+"Ł# 4 Ś#0 dx =15+" +"x
4 4
D 0 0 0 0 0
1
Ą# ń#
15 x7 15 1 15
= = �" =
ó# Ą#
4 7 4 7 28
Ł# Ś#0
15 5 5 15 25 180 -175 5
COV(X ,Y )= m11 - m10 �" m01 = - �" = - = = E" 0,0149
28 6 8 28 48 336 336
Ad. 5
1
1 1
Ą# ń#
x7 5
2
E(X )= m20 = x2 fX (x)dx = 5 x6dx =5ó# Ą# =
+" +"
7
Ł# Ś#0 7
0 0
1
1 1
Ą# ń#
15 15 y5 y7 15 1 1 15 2 3
Ą# ń#
2
E(Y )= m02 = y2 fY (y)dy = (y4 - y6)dy = - = - = �" =
ó# Ą#
+" +"
ó#5
2 2 5 7 2 7Ą# 2 35 7
Ł# Ś#0 Ł# Ś#
0 0
5 25 5
2 2
� = m20 - m10 = - = E" 0,0198
X
7 36 252
3 25 17
2 2
�Y = m02 - m01 = - = E" 0,0379
7 64 448
Ad. 6
COV(X ,Y ) 0,0149 0,0149
�XY = E" = = 0,544
2 2
� �" �Y 0,0198 �" 0,0379 0,0273
X
Zmienne X i Y nie są zależne.
y
Zadanie 3
Dana jest funkcja:
ż# 1
cxy3 dla (x, y)" D
f (x, y)=
�#
�#0 poza
D
Gdzie obszar D pokazano na rysunku.
1 x
Należy:
1. Zapisać analitycznie obszar D
2. Dobrać stałą c tak, by funkcja f była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y)
3. Obliczyć gęstość rozkładów brzegowych
4. Obliczyć momenty zwykłe rzędu (0,1) i (1,0)
5. Obliczyć kowariancję zmiennych losowych
6. Obliczyć odchylenie standardowe zmiennych o rozkładach brzegowych
7. Obliczyć współczynnik korelacji �X,Y. Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?
Rozwiązanie:
Ad. 1
D :{(x, y): 0 d" x d"1i x d" y d" 1}
D :{(x, y): 0 d" y d"1i 0 d" x d" y}
Ad. 2
y 1
1 y 1 1
Ą# ń# Ą# ń#
x2 y3 y5 x6 c
3
xy3 dxdy = c dy = có# Ą# = =1�! c =12
ó# Ą#
+"+"cxy dv = c+"+" +"Ł# 2 Ś#0 dy = c+"
2
Ł#12 Ś#0 12
D 0 0 0 0
Ad. 3
1
1
Ą# ń#
xy4
3
fX (x)=12 dy =12ó# Ą# = 3(x - x5)
+"xy
4
Ł# Ś#x
x
y
y
Ą# ń#
x2 y3
fY (y)=12 xy3dx =12ó# Ą# = 6y5
+"
2
Ł# Ś#0
0
Ad. 4
1
1 1
Ą# ń#
x3 x7 1 1 12 4
ś#
= =
E(X )= m10 = (x)dx = 3 (x2 - x6)dx =3ó# - = 3�# - ź#
ś#
X Ą#
+"xf +"
3 7
Ł# Ś#0 �# 3 7 # 21 7
0 0
1
1 1
Ą# ń#
y7 6
E(Y )= m01 = yfY (y)dy = 6 y6dy =6ó# Ą# =
+" +"
7
Ł# Ś#0 7
0 0
Ad. 5
y
1 y 1 1
Ą# ń#
x3 y4 y3 y4 1
3
m11 = E(XY )=12 x2 y4 dxdy =12 dy = 4 y7dy =
ó# Ą#
+"+"xyxy dv =12+"+" +"Ł# 3 Ś#0 dy =12+" +"
3
D 0 0 0 0 0
1
Ą# ń#
y8 1 1
= 4ó# Ą# = 4�" =
8
Ł# Ś#0 8 2
1 4 6 1 24 49 - 48 1
COV(X ,Y)= m11 - m10 �" m01 = - �" = - = = E" 0,0102
2 7 7 2 49 98 98
Ad. 6
1
1 1
Ą# ń#
x4 x8 1 1 3
ń#
2
E(X )= m20 = x2 f (x)dx = 3 (x3 - x7)dx =3ó# - = 3Ą# - =
X Ą#
+" +"
ó#4 Ś#
4 8
Ł# Ś#0 Ł# 8Ą# 8
0 0
1
1 1
Ą# ń#
y8 6 3
2
E(Y )= m02 = y2 fY (y)dy = 6 y7dy =6ó# Ą# = =
+" +"
8
Ł# Ś#0 8 4
0 0
3 16 19
2 2
� = m20 - m10 = - = E" 0,0485
X
8 49 392
3 36 3
2 2
�Y = m02 - m01 = - = E" 0,0153
4 49 196
Ad. 7
COV(X ,Y ) 0,0102 0,0102
�XY = E" = = 0,37
2 2
� �" �Y 0,0485 �" 0,0153 0,0272
X
Zmienne X i Y nie są zależne.
y
Zadanie 4
Dana jest funkcja:
c(x + y )dla (x, y)" D
ż# 4
f (x, y)=
�#0 poza
�#
D
Gdzie obszar D pokazano na rysunku.
1 x
Należy:
1. Dobrać stałą c tak, by funkcja f była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y)
2. Obliczyć gęstość rozkładów brzegowych
3. Narysować wykresy gęstości brzegowych
4. Obliczyć wartości oczekiwane E(X) i E(Y)
5. Obliczyć kowariancję zmiennych losowych
6. Obliczyć odchylenie standardowe zmiennych o rozkładach brzegowych
7. Obliczyć współczynnik korelacji �X,Y . Czy istnieje zależność liniowa pomiędzy X a Y ?
Rozwiązanie:
Ad. 1
D :{(x, y): 0 d" x d"1i 0 d" y d" 4(1- x)}
y
ż# �#
D : (x, y): 0 d" y d" 4 i 0 d" x d" 1-
�# Ź#
4
�# �#
4(1-x)
1 4(1-x) 1 1 1
Ą# ń#
y2
2
(x + y)dydx = c +
ó# Ą#
+"+"cydv = c+" +" +"Ł#xy 2 Ś#0 dx = c+"4x(1- x)+ 8(1- x) dx = c+"8 -12x + 4x2dx =
D 0 0 0 0 0
1
Ą# ń#
3x2 x3 3 1 20c 3
ś#
= 4có#2x - + = 4c�#2 - + = =1�! c =
ś# ź#
Ą#
2 3 10
Ł# Ś#0 �# 2 3 # 6
Ad. 2
4(1- y)
3 3 12
2
f (x)= (4x(1- x)+ 8(1- x) )= (2 - 3x + x2)
X
+"(x + y)dy =
10 10 10
0
y
y
y
1-
1-
1-
4
4
4
Ą# ń#
3 3 x2 3 Ą# x ń# 3 y 1 y
�# ś# �#1- ś#
fY (y)= + xyĄ# = =
ś# - ź#
ó#
+"(x + y)dx = ó#xś# + y ź#Ą# = ś# ź#�"�# + yś#
10 10 2
Ł# Ś#0
Ł# Ś#0 10 �# 2 # 10 �# 4 # �# 2 8 #
0
�# ś#
3 y 7 y 3 3y 7 y2
�#1- ś# ś#
= �"�#1- = ś# - ź#
ś# ź# ś# ź#
ś#1+ ź#
20 4 4 20 2 16
�# # �# #
�# #
Ad. 3
fY(y)
fX(x)
12/5
3/20
x y
1 4
Ad. 4
1
1 1 1
Ą# ń#
12 12 12 2x2 3x3 x4
E(X )= m10 = (x)dx = x(2 - 3x + x2)dx = (2x - 3x2 + x3)dx = - + =
X ó# Ą#
+"xf +"10 +"
10 10 2 3 4
Ł# Ś#0
0 0 0
12 1 12 1 3
Ą#1-1+ ń#
= = �" =
ó#
10 4Ą# 10 4 10
Ł# Ś#
4
4 4
�# ś# Ą# ń#
3 3y 7 y2 3 y2 3y3 7 y4 3 192 1792 9
�#8 ś#
ś# =
E(Y )= m01 = yfY (y)dy = yś#1+ - ź# + - = + - ź#
ś#
ó# Ą#
+" +" ź#dy =
20 2 16 20 2 6 64 20 6 64 5
#
�# # Ł# Ś#0 �#
0 0
Ad. 5
4(1-x)
1 4(1-x) 1 4(1-x) 1
Ą# ń#
3 3 3 x2 y2 xy3
m11 = E(XY )= xy(x + y)dydx = x2 y + xy2 dydx = dx =
ó# Ą#
+"+"xycydv = +" +" +" +" +"Ł# +
10 10 10 2 3
Ś#0
D 0 0 0 0 0
1 1
Ą# ń#
�# ś#
3 x2 4x(1- x)ź# 3 8
2
= ś# (8x -
+"ó#16(1- x) �"ś# 2 + 3 #Ś# = +"
ź#Ą#dx 10 3 - 21x2 +18x3 5x4)dx =
10
�#
0 Ł# 0
1
Ą# ń#
4 8x2 21x3 18x4 5x5 4 9 4 1 2
Ą#4
= - + - = - 7 + -1ń# = �" =
ó# Ą#
ó# Ą#
5 2 3 4 5 5
Ł# Ś#0 Ł# 2 Ś# 5 2 5
2 3 9 7
COV(X ,Y )= m11 - m10 �" m01 = - �" = - E" -0,14
5 10 5 50
Ad. 6
1 1 1
12 12
2 2
E(X )= m20 = f (x)dx = x2(2 - 3x + x2)dx = (2x2 - 3x3 + x4)dx =
X
+"x +"10 +"
10
0 0 0
1
Ą# ń#
12 2x3 3x4 x5 12 2 3 1 12 7 7
Ą# ń#
= - + = - + = = = 0,14
ó# Ą#
ó#3
10 3 4 5 10 4 5Ą# 10 60 50
Ś#
Ł# Ś#0 Ł#
4 4 4
�# ś# �# ś#
3 3y 7 y2 3 3y3 7 y4
2
ś#
E(Y )= m02 = y2 fY (y)dy = y2ś#1+ - ź#
+" +" ź#dy = ś# ź#dy
+"ś# y2 + 2 - ź# =
20 2 16 20 16
�# # �# #
0 0 0
4
Ą# ń#
3 y3 3y4 7 y5 3 64 768 7168 3 416 104
Ą# ń#
= + - = + - = �" = = 4,16
ó# Ą#
ó# Ą#
20 3 8 80 20 3 8 80 20 15 25
Ś#
Ł# Ś#0 Ł#
2 2
� = m20 - m10 = 0,14 - 0,09 = 0,05
X
2 2
�Y = m02 - m01 = 4,16 - 3,24 = 0,92
Ad. 7
COV(X ,Y ) - 0,14 - 0,14
�XY = = = = -0,14�"4,66 = -0,65
2 2
� �" �Y 0,05 �" 0,92 0,046
X
Zmienne X i Y nie są zależne.
Zadanie 5.
Wypowiedziano twierdzenie:
COV(X,Y)=0 �! zmienne losowe X i Y są niezależne.
Czy twierdzenie jest prawdziwe ?
Odpowiedz
uzasadnij.