MITE Zadania domowe i testowe seria 2
Zadanie 1
Czy twierdzenie Moivre a - Laplace a jest szczególnym przypadkiem twierdzenia
Lindeberga-Fellera ?. Uzasadnij szczegółowo.
Rozwiązanie:
Omawiano na wykładzie. Zobacz tekst wykładu.
Zadanie 2
Ogniwa krótkie pewnego łańcucha rolkowego mają wymiar , ogniwa o średniej
k = 20.05+0.05
-0.04
długości mają wymiar a ogniwa długie wymiar . Montujemy łańcuch z
s = 25.05+0.03 d = 27.05+0.03
-0.03 -0.03
20 ogniw krótkich, 25 ogniw średnich i 25 długich.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy długość całego łańcucha mm
L = 1703.6+0.1
-0.1
(przewidzianą normą).
Wskazówka: Oszacować nieznane parametry rozkładów wymiarów poszczególnych ogniw na
podstawie znajomości pola tolerancji korzystając z prawa a następnie wykorzystać CTG
3�
LF (centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Fellera).
Rozwiązanie:
Wartości średnie i odchylenia standardowe (w mm):
0.05 + 0.04
�1 = = 0.015
20.05 + 0.05 + 20.05 - 0.04
6
,
ź1 = = 20.055
2
0.03 + 0.03
� = = 0.01
2
25.05 + 0.03 + 25.05 - 0.03
6
,
ź2 = = 25.05
2
0.03 + 0.03
�3 = = 0.01
27.05 + 0.03 + 27.05 - 0.03
6
,
ź3 = = 27.05
2
Wartości do standaryzacji zmiennej:
,
ź = 20�" 20.055 + 25�" 25.05 + 25�" 27.05 = 1703.6 � = 20 �" 0.0152 + 25�" 0.012 + 25�" 0.012 = 0.0975
oraz
1703.5 -1703.6 1703.7 -1703.6
P(1703.5 < Xi <1703.7) = P( < Xi < ) =
" "
0.0975 0.0975
= P(-1.03 < Y < 1.03) = 2 �" Ś(1.03) -1 = 2 �" 0.848 -1 = 0.70
Dokonano odczytu z tablic rozkładu normalnego.
Uwaga: Sprawdzić powyższe obliczenia !.
Zadanie 3 (podobne do tego wykładu)
Prawa zastrzeżone � J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację. [e-mail]. Wersja 02. Modyfikowana ostatni raz 7.06.09 Strona 1
Lina spleciona jest z 20 drutów grubych i 70 cienkich. Wytrzymałość drutu grubego ma
rozkład równomierny w przedziale <3.2,4.8> kN. Wytrzymałość drutu cienkiego ma rozkład
równomierny w przedziale <0.8,1.2>. Przyjmując, że wszystkie te zmienne losowe są
niezależne, i że wytrzymałość liny jest sumą wytrzymałości wszystkich drutów, znalez
ć
prawdopodobieństwo, że wytrzymałość liny Q jest większa od 145 kN i mniejsza niż 153 kN.
Uwaga: Wartość średnią oraz wariancję dla rozkładu równomiernego na przedziale
oblicza się odpowiednio ze wzorów:
a + b (b - a)2
2
ź = , � =
2 12
Zadanie 4
Przestudiuj zadanie numer 2.19, str. 58 ze skryptu Jana Oderfelda (zobacz piśmiennictwo w
wykładzie 1)
Zadanie 5
Odczytać wartość kwantyla rzędu 0.90 z tablic rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody
r=100 i wartość tego kwantyla z tablic rozkładu N(0.1). Obliczyć względną różnicę
procentową.
Wskazówka: Z tablic rozkładu Studenta odczytuje się wartości krytyczne. Jakiego rzędu
kwantylem jest wartość krytyczna ?
Zadanie 6
Błąd zaokrąglenia przy dodawaniu na kalkulatorze ma rozkład jednostajny w przedziale
- 10-8, 108 . Oszacować prawdopodobieństwo, że przy dodawaniu 1001 liczb błąd
bezwzględny nie przekroczy 10-7 .
Wskazówka: Wykorzystać CTG LL
Rozwiązanie:
Dodając 1001 liczb wykonamy 1000 działań dodawania. Niech oznacza błąd (zmienna losowa) przy
X
i
wykonywaniu i-tego dodawania. Zmienna ta rozkład jednostajny więc:
- 10-8 + 108 (108 - (-10-8))2 10-16 2
,
ź = E(X ) = = 0 D2 (X ) = = = � > 0
i i
2 2 3
1000
Błąd całościowy to . Chcemy oszacować . Z CTG LL otrzymujemy przybliżenie:
P( S1000 d" 10-7 )
S1000 = X
" i
i=1
S1000 - 1000ź - 0
10-7
P( S1000 d" 10-7 ) = P( d" H" 2Ś( 0.3) - 1 H" 2Ś(0.55) - 1 = 2 �" 0.7088 - 1 = 0.418
� 1000
10-13 / 3
Wykorzystaliśmy tablice rozkładu normalnego.
Prawa zastrzeżone � J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację. [e-mail]. Wersja 02. Modyfikowana ostatni raz 7.06.09 Strona 2
Zadanie 7
Należy oszacować czas bezawaryjnej pracy wyprodukowanej partii dysków twardych.
Wiadomo, że czas pracy ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym �, które nie jest
znane. Wylosowana niezależnie z tej partii próba n = 11 dysków dała wyniki pomiarów czasu
ich bezawaryjnej pracy (w tys. godzin): 2630, 2820, 2900, 2810, 2770, 2840, 2700, 2950,
2690, 2720, 2800. Przyjmując poziom ufności 1-ą = 0.98 oszacować metodą przedziałową
średni czas bezawaryjnej pracy tej partii oraz szerokość przedziału ufności.
Uwaga: Proszę przed obliczeniami koniecznie napisać wzór ogólny.
Rozwiązanie:
Średnia z 11 realizacji (jednostki pomijam):
11
xi
"
i=1
,
x = = 2784.55
11
11
- x)2
"(xi
s
i=1
Estymator oraz
s = = 90.59 = 90.59 / 10 = 28.65
n
n -1
s
Odczyt z tablic studenta t(0.02,10)=2.76 czyli
t �" = 2.76�" 28.65 = 79.05
n -1
Czyli przedział ufności:
2784,55 - 79,05;2784,55 + 79,05 = 2705,50;2863,60
Szerokość przedziału
L = 2 �" 79,05 = 158,10
Zadanie 8
Za pomocą metody największej wiarygodności wyznaczyć estymator parametru p rozkładu
populacji ogólnej o rozkładzie dwumianowym:
m
�# ś#
P(x, p) = ś# ź# px(1- p)m- x, x = 1,2,..., m
ś# ź#
x
�# #
Wyznaczyć, na podstawie n niezależnych pomiarów x1,x2,...,xn, estymator największej
wiarygodności dla p.
Rozwiązanie:
Było na wykładzie. W domu należy sprawdzić, że znalezione rozwiązanie przynosi maksimum funkcji
wiarygodności.
Zadanie 9
Czas pracy elementu jest zmienną losową X o gęstości
Prawa zastrzeżone � J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację. [e-mail]. Wersja 02. Modyfikowana ostatni raz 7.06.09 Strona 3
ż#ą�xą -1exp(-�xa ), gdy x > 0
f (x) =
�#
gdy x d" 0
�#0,
gdzie ą jest znanym dodatnim parametrem, � zaś jest nieznaną dodatnią stałą (jest to gęstość
rozkładu Weibulla). Wyznaczyć, na podstawie niezależnych pomiarów x1,x2,...,xn czasu pracy
elementu, estymator największej wiarygodności dla �.
Zadanie 10
Na podstawie n-elementowej próby prostej pobranej z populacji, w której badana cecha X ma
rozkład Poissona:
i
ż#
�#c e-c i = 0,1,2,... c > 0
P(X = i) =
�#
i!
�#
0 poza
�#
należy:
1. Skonstruować estymator parametru c metodą analogii.
2. Skonstruować estymator parametru c metodą największej wiarygodności
3. Wykazać, że estymator według punktu 2 jest nieobciążony.
Zadanie 11
Zmienna losowa określająca populację ma rozkład określony funkcją gęstości ( > 0) :
2
ż#cxe-x dla x > 0
f (x) =
�#
poza
�#0
Należy:
1. Wyznaczyć stałą c.
2. Napisać funkcję dystrybuanty.
3. Wyznaczyć estymator parametru  metodą największej wiarygodności.
Zadanie 12
Należy oszacować żywotność (w godzinach świecenia) wyprodukowanej partii świetlówek.
Wiadomo, że czas świecenia świetlówek ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym
�. Wylosowana niezależnie z tej partii próba n = 11 świetlówek dała wyniki pomiarów czasu
ich świecenia (w godzinach): 2630, 2820, 2900, 2810, 2770, 2840, 2700, 2950, 2690, 2720,
2800. Przyjmując poziom ufności 1-ą = 0.98 oszacować metodą przedziałową średni czas
świecenia świetlówek tej partii oraz szerokość przedziału ufności.
Rozważyć trzy przypadki:
a) Odchylenie standardowe jest znane i wynosi �=100 godzin.
Prawa zastrzeżone � J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację. [e-mail]. Wersja 02. Modyfikowana ostatni raz 7.06.09 Strona 4
b) Odchylenie standardowe nie jest znane.
c) Jak zmieniłyby się brzegi przedziału ufności w przypadku 2 gdyby oszacowanie
pierwiastka z wariancji było równe wartości odchylenia z przypadku 1 (tzn.
s=�=100) ? Przeliczyć.
Uwaga: W zadaniu proszę przed obliczeniami napisać wzór ogólny.
Rozwiązanie:
a)
Średnia z 11 realizacji (jednostki pomijam):
11
"xi
i=1
x = = 2784.5
11
Jeśli odchylenie standardowe jest znane to:
x0.99� 2.326 �"100
= = 70.131
n 11
ą
gdzie x0.99 jest kwantylem rzędu 1- rozkładu normalnego tzn. kwantylem rzędu 0.99, który odczytujemy z
2
tablic i x0.99 = 2.326
w takim razie przedział ufności wynosi: <2784.5-70.131;2784.5+70.131>=<2714.4 ; 2854.7>
Szerokość przedziału ufności wynosi 140.3
b)
11
- x)2
"(xi
i=1
Estymator
s = = 90.59
n
Jeśli odchylenie standardowe nie jest znane to:
t(0.02,10) �" s 2.764 �" 90.59
= = 79.181
r 11 - 1
ą
gdzie t(0.02,10) jest wartościa krytyczną (kwantylem rzędu 1- ) rozkładu Studenta, którą odczytujemy z
2
tablic i t(0.02,10) = 2.764
w takim razie przedział ufności wynosi: <2784.5-79.181;2784.5+79.181>=<2705.4 ; 2863.7>
Szerokość przedziału ufności wynosi 158.36
c) Powtarzamy obliczenia z punktu b ale zamiast s wstawiamy wartość 100.
Otrzymujemy przedział ufności <2697.1 ; 2871.9> i szerokość przedziału
równą 174.81 a zatem znacznie więcej niż w punkcie a).
Zadanie 13
Zmienna losowa określająca populację ma rozkład Rayleigha określony funkcją
gęstości ( > 0) :
2
ż#2xe-x dla x > 0
f (x) =
�#
poza
�#0
Prawa zastrzeżone � J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację. [e-mail]. Wersja 02. Modyfikowana ostatni raz 7.06.09 Strona 5
Wyznaczyć estymator parametru  metodą największej wiarygodności.
Rozwiązanie:
Funkcja wiarygodności:
n
2
n -
i
"x n
2
i i=1
L = xi
i
(2x e-x ) = (2)ne 
i =1 i =1
Czyli:
n
n - xi2 n
"
2
i i=1
ln(L) = ln( xi ) =
i
(2x e-x )) = ln[(2)n] + ln[e ] + ln( 
i =1 i=1
n
n
= n[ln(2) + ln ] -  xi2 + ln( xi )
"

i=1
i =1
Obliczamy pochodną lewej strony względem parametru  :
n
n
d(nln(2) -  xi2 + ln( xi))
"

d ln(L)
i =1
i=1
= =
d d
n
n
= - "
xi2 = 0
 i =1
n
Ć
Zatem:  =
n
xi2
"
i =1
Nie wiemy jeszcze czy to jest maksimum zatem obliczymy druga pochodną:
2
d ln(L) n
= -
d2 2
Ma ona zawsze znak ujemny bez wględu na to jakie  postawimy.
Zatem estymatorem parametru  otrzymanym MNW jest:
n
� =
n
Xi2
"
i=1
Zadanie 14
Zmierzono wytrzymałość 10 losowo wybranych gotowych elementów walcowanych i
otrzymano następujące wyniki: 383, 284, 339, 340, 305, 386, 387, 335, 344, 346 [Pa]. Przy
założeniu, że wytrzymałość tych elementów jest zmienną losową N (ź,� ) o nieznanych ź
i � , wyznaczyć na podstawie tej próbki 95 % (tzn. przyjąć ą = 0.05) realizację przedziału
ufności dla ź.
Prawa zastrzeżone � J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację. [e-mail]. Wersja 02. Modyfikowana ostatni raz 7.06.09 Strona 6
Zadanie 15
Zakłada się następujący sposób zdawania egzaminów poprawkowych:
Prawdopodobieństwo niezadania egzaminu poprawkowego (parametr �) jest stałe dla
określonego przedmiotu i jednakowe dla wszystkich studentów w określonej grupie. Ze
względu na sens fizyczny musi być: 0 < � < 1 (parametr � nie zależy od tego po raz który
zdaje się egzamin poprawkowy).
Niech X oznacza zmienną losową, która jest zdefiniowana jako liczba egzaminów
poprawkowych ustalonego studenta aż do zdania włącznie. W założonym modelu X ma
rozkład geometryczny:
k -1
P( X = k) = � (1 - � )
(k=1,2,...)
W pewnej grupie o liczności n=40 studentów zarejestrowano wynik przedstawiony w tablicy:
Krotność zdawania k: Liczba studentów o krotności k:
1 22
2 8
3 5
4 5
>4 0
Oszacować metoda największej wiarygodności parametr �.
Zadanie 16
Dokonano serii 5 pomiarów rezystancji metodą mostkową. Otrzymano następujące wyniki:
53.2, 53.6, 53.1, 54.9, 53.7 &!. Obliczyć niepewność standardową typu A uA oraz
niepewność rozszerzoną UA dla poziomu ufności 0.95.
Rozwiązanie:
Przypominam fragment wykładu, że niepewność standardową obliczamy jako odchylenie standardowe lub
estymatę tego odchylenia.Obliczamy kolejno:
Średnia arytmetyczna serii pomiarów (jednostki pomijam):
5
xi
"
i=1
x = = 53.7
5
Jako estymator odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru przyjmujemy (zobacz fragment wykładu
dotyczący estymowania wariancji w metodzie analogii):
5
- x)2
"(xi
(52.3 - 53.7)2 + (53.6 - 53.7)2 + (53.1 - 53.7)2 + (54.9 - 53.7)2 + (53.7 - 53.7)2
i=1
s = = = 0.72
n - 1 5 - 1
Powyższe jest estymatorem odchylenia standardowego dla pojedynczego pomiaru. Natomiast wiadomo, że
odchylenie standardowe średniej arytmetycznej jest
n = 5
Prawa zastrzeżone � J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację. [e-mail]. Wersja 02. Modyfikowana ostatni raz 7.06.09 Strona 7
s 0.72
sx = = = 0.32
5
n
A zatem tą wartość przyjmujemy jako niepewność standardową pomiaru to znaczy uA=0.32 &!.
Niepewność rozszerzona jest połową szerokości przedziału ufności dla wartości oczekiwanej na poziomie
ufności 0.95 przy założeniu, że odchylenie standardowe nie jest znane (nie podano w zadaniu).
Oblicza się ja następująco (porównaj rozwiązanie zadania 12b):
=0.89 &!
U = t(0.05,4) �" sx = 2.776 �" 0.32
A
gdzie t(0.05,4) jest wartością krytyczną rozkładu studenta o r=4 stopniach swobody, albo jak kto woli
kwantylem rzędu 1-0.05/2. W ocenie niepewności rozszerzonej kwantyl t rozkładu studenta nosi nazwę
współczynnika rozszerzenia i oznacza jako k.
Zadanie 17.
Wez
my pod uwagę zadanie 12 punkt b). Postawimy hipotezę H0: przeciwko
ź = 2790
hipotezie H1: (ta hipoteza jest uzasadniona bo z obliczeń otrzymaliśmy wartość
ź < 2790
estymatora wartości oczekiwanej <2790).
Należy zweryfikować hipotezę H0 na poziomie istotności ą = 0.05 .
Rozwiązanie:
Tworzymy statystykę (odchylenie standardowe nie jest znane):
X - ź0
i obliczamy jej realizację dla zadanych danych:
n -1
S
x - ź0 2784.5 - 2790
n - 1 = 10 = -0.192
s 90.59
Tworzymy obszar krytyczny lewostronny dla poziomu istotności ą = 0.05 :
Uod = (-", t0.05)
Gdzie t0.05 jest kwantylem rzędu 0.05 rozkładu Studenta dla 10 stopni swobody. Jest on zatem równy:
t0.05 = -t(0.1,10) gdzie t(0.1,10) jest wartością krytyczna rozkładu studenta. Z tablic wartości krytycznych
odczytujemy t(0.1,10)=1.81. Stąd:
. Zatem - 0.192 "Uod
a zatem brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
Uod = (-",-1.81)
(stosujemy orzekanie dwuorzeczeniowe).
Uwaga: Analizując rozwiązania wszystkich zadań należy zawsze sprawdzać obliczenia
i wzory!
Prawa zastrzeżone � J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację. [e-mail]. Wersja 02. Modyfikowana ostatni raz 7.06.09 Strona 8