Równania całkowe w technice  grupy II i III  ćwiczenia nr 1
Zadanie 1 Obliczyć całki:

a) et cos(x - t) dt, x " R b) tet cos(x - t) dt, x " R

dt
"
c) u sin u du d)
1 - 2t - t2

"
dt
"
e) , x " R f) x2 - 6x - 7 dx
t2 + x2

x dx
" "
g) dx h)
3 3
3x - 2 3x + 1 - 1
2
"
2x5 + 6x3 + 1
3
i) dx j) 4x + 1 dx
x4 + 3x2
0
Ä„
e+1
6
k) x ln(x - 1) dx l) tg 2x dx
2 0
"
5
e -2
x4
m) t3 ln2 t dt n) dx
x10 + 6x5 + 10
"
5
1
-3
Ä„
2
o) esin t sin 2t dt
0
"
3 1 5 1 1 Ä„
3
Odpowiedzi: 1. j) (9 9 - 1), k) e2 + , l) ln 2, m) (5e4 - 1), n) , o) 2.
16 4 4 2 32 20
1
Równania całkowe w technice  grupy II i III  ćwiczenia nr 2
Zadanie 1 Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami odpowiednich równań całkowych:
x
1 t
a) Õ(x) = (1 + x2)-3/2, Õ(x) = - Õ(t) dt;
1 + x2 1 + x2
0
3x + 2x3 x 3x + 2x3 - t
b) Õ(x) = x(1 + x2)-5/2, Õ(x) = - Õ(t) dt;
3(1 + x2)2 (1 + x2)2
0
x
c) Õ(x) = ex cos ex - e2x sin ex, Õ(x) = (1 - xe2x) cos 1 - e2x sin 1 + (1 - (x - t)e2x)Õ(t)dt;
0
x
d) Õ(x) = xex, Õ(x) = sin x + 2 cos(x - t)Õ(t) dt;
0
x
1
e) Õ(x) = x - x3, Õ(x) = x - sinh(x - t)Õ(t) dt;
6
0
x
f) Õ(x) = 1 - x, ex-tÕ(t) dt = x;
0
x
g) Õ(x) = 3, x3 = (x - t)2Õ(t) dt;
0
x
"
1 Õ(t)
"
h) Õ(x) = , dt = x;
2 x - t
0
x
1 Õ(t)
" "
i) Õ(x) = , dt = 1;
Ä„ x x - t
0
1
j) Õ(x) = 1, Õ(x) + x(ext - 1)Õ(t) dt = ex - x;
0
1
1 1 1
k) Õ(x) = sin Ä„x; Õ(x) - Ä„2 K(x, t)Õ(t) dt = x,
2 4 2
0

1
x(2 - t) dla 0 x t,
2
gdzie K(x, t) = ;
1
t(2 - x) dla t x 1
2
Ä„
2 sin x
l) Õ(x) = 1 - , Õ(x) - cos(x + t)Õ(t) dt = 1;
Ä„
1 +
2
0
1
m) Õ(x) = x - 1 + 2ex, Õ(x) + K(x, t)Õ(t) dt = xex + ex,
0
Å„Å‚
sinh x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
sinh(t - 1) dla 0 x t,
òÅ‚
sinh 1
gdzie K(x, t) = ;
ôÅ‚
sinh t
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
sinh(x - 1) dla t x 1
sinh 1
"

n) Õ(x) = xe-x, Õ(x) - 4 e-(x+t)Õ(t) dt = (x - 1)e-x;
0
1
Równania całkowe w technice  grupy II i III  ćwiczenia nr 2
Ä„
o) Õ(x) = cos 2x, Õ(x) - 3 K(x, t)Õ(t) dt = cos x,
0

sin x cos t dla 0 x t,
gdzie K(x, t) = ;
sin t cos x dla t x Ä„
"

4C 4 sin2 t
p) Õ(x) = sin x, C " R, Õ(x) - sin x Õ(t) dt = 0;
Ä„ Ä„ t
0
" "

sin t Ä„ cos 2t sin t
Wskazówka: dt = , = 0
t 2 t
0 0
1
xt 5x
q) Õ(x) = x, Õ(x) - Õ(t) dt =
2 6
0
2
Równania całkowe w technice  grupy II i III  ćwiczenia nr 3 i 4
Zadanie 1 Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami odpowiednich równań całkowych:
x
a) Õ(x) = eix = cos x + i sin x, Õ(x) = 1 + ix - (x - t)Õ(t) dt;
0
1
3(1 - i)
b) Õ(x) = x, Õ(x) -  xtÕ(t) dt = (1 - i)x.
3 - 
0
Zadanie 2 Metodą kolejnych przybliżeń rozwiązać następujące równania całkowe:
x
a) Õ(x) = x - (x - t)Õ(t) dt, Õ0(x) = 0;
0
x
b) Õ(x) = 1 - (x - t)Õ(t) dt, Õ0(x) = 0;
0
x
c) Õ(x) = 1 + (x - t)Õ(t)dt, Õ0(x) = 1;
0
x
d) Õ(x) = x + 1 - Õ(t) dt, Õ0(x) = 1;
0
x
e) Õ(x) = x + 1 - Õ(t) dt, Õ0(x) = x + 1;
0
x
x2
f) Õ(x) = + x - Õ(t) dt, Õ0(x) = 1;
2
0
x
x2
g) Õ(x) = + x - Õ(t) dt, Õ0(x) = x;
2
0
x
x2 x2
h) Õ(x) = + x - Õ(t) dt, Õ0(x) = + x;
2 2
0
x
i) Õ(x) = 1 + x + (x - t)Õ(t) dt, Õ(x) = 1;
0
x
j) Õ(x) = 2x + 2 - Õ(t) dt, Õ0(x) = 1;
0
x
k) Õ(x) = 2x + 2 - Õ(t) dt, Õ0(x) = 2;
0
x
l) Õ(x) = 2x2 + 2 - xÕ(t) dt, Õ0(x) = 2;
0
x
m) Õ(x) = 2x2 + 2 - xÕ(t) dt, Õ0(x) = 2x;
0
1
Równania całkowe w technice  grupy II i III  ćwiczenia nr 3 i 4
x
x3
n) Õ(x) = - 2x - Õ(t) dt, Õ0(x) = x2;
3
0
x
o) Õ(x) = 1 + Õ(t) dt;
0
x
p) Õ(x) = 1 + tÕ(t) dt;
0
1
5 1
q) Õ(x) = x + xtÕ(t) dt;
6 2
0
1/2

r) Õ(x) = x + Õ(t) dt;
0
1
s) Õ(x) = 1 + xt2Õ(t) dt
0
2
Równania całkowe w technice  grupy II i III  ćwiczenia nr 5
Zadanie 1 Rozwiązać następujące równania ze zdegenerowanymi jądrami:
Ä„/2

a) Õ(x) - 4 sin2 xÕ(t) dt = 2x - Ä„;
0
1
b) Õ(x) -  earc sin xÕ(t) dt = tg x;
-1
Ä„
c) Õ(x) -  (x cos t + t2 sin x + cos x sin t)Õ(t) dt = x;
-Ä„
Ä„/4

d) Õ(x) -  tg tÕ(t) dt = ctg x;
-Ä„/4
1
e) Õ(x) -  cos(q ln t)Õ(t)dt = 1;
0
1
1
"
f) Õ(x) -  arc cos tÕ(t) dt = ;
1 - x2
0
1
t) Õ(x) = 1 + xt2Õ(t) dt;
0
1
5
h) Õ(x) -  (x ln t - t ln x)Õ(t) dt = (1 - 4x);
6
0
Ä„/2

i) Õ(x) -  sin x cos tÕ(t) dt = sin x;
0
2Ä„

j) Õ(x) -  |Ä„ - t| sin xÕ(t) dt = x;
0
2Ä„

k) Õ(x) -  (sin x cos t - sin 2x cos 2t + sin 3x cos 3t)Õ(t) dt = cos x;
0
1
1 1 1
l) Õ(x) - x - (3t2 - 1) + t(3x2 - 1) Õ(t) dt = 1;
2 2 2
-1
1
m) Õ(x) =  xtÕ2(t) dt;
0
1
n) Õ(x) = 2 xtÕ3(t) dt
0
1
o) Õ(x) = (xt + x2t2)Õ2(t) dt;
-1
1
p) Õ(x) = x2t2Õ3(t) dt;
0
1
Równania całkowe w technice  grupy II i III  ćwiczenia nr 5
1
xt
q) Õ(x) = dt;
1 + Õ2(t)
-1
1
xt
r) Õ(x) = dt;
1 + Õ2(t)
0
2
Równania całkowe w technice  grupy II i III  ćwiczenia nr 6
Zadanie 1 Znalez
ć jądra iterowane dla podanych poniżej jąder i granic całkowania:
a) K(x, t) = x - t, a = -1, b = 1;
Ä„
b) K(x, t) = sin(x - t), a = 0, b = , n = 2, 3;
2
c) K(x, t) = (x - t)2, a = -1, b = 1, n = 2, 3;
d) K(x, t) = x + sin t, a = -Ä„, b = Ä„;
e) K(x, t) = xet, a = 0, b = 1;
f) K(x, t) = ex cos t, a = 0, b = Ä„;
g) K(x, t) = e|x-t|, a = 0, b = 1, n = 2;
h) K(x, t) = e|x|-t, a = -1, b = 1, n = 2;
i) K(x, t) = x - t, a = 0, b = 1;
j) K(x, t) = emin(x,t), a = 0, b = 1, n = 1, 2;

x + t dla 0 x t,
k) K(x, t) = , a = 0, b = 1, n = 1, 2;
x - t dla t x 1
Zadanie 2 Zbudować rezolwenty następujących jąder:
a) K(x, t) = xt, a = 0, b = 1;
b) K(x, t) = ex+t, a = 0, b = 1;
Ä„
c) K(x, t) = sin x cos t, a = 0, b = ;
2
d) K(x, t) = xet, a = -1, b = 1;
e) K(x, t) = (1 + x)(1 - t), a = -1, b = 0;
f) K(x, t) = x2t2, a = -1, b = 1;
g) K(x, t) = xt, a = -1, b = 1;
Zadanie 3 Za pomocą rezolwenty wyznaczyć rozwiązania podanych równań całkowych:
1
a) Õ(x) -  Õ(t) dt = 1;
0
1
Równania całkowe w technice  grupy II i III  ćwiczenia nr 6
1
b) Õ(x) -  xtÕ(t) dt = x;
0
Ä„/2

c) Õ(x) -  sin x cos tÕ(t) dt = sin x;
0
1
d) Õ(x) -  x2t2Õ(t) dt = 2x2 + 3;
-1
1
ex-t
e) Õ(x) - Õ(t) dt = x;
3
0
1
ex-t
f) Õ(x) - Õ(t) dt = ex;
3
0
1
ex-t
g) Õ(x) - Õ(t) dt = cos x;
3
0
2
Równania całkowe w technice  grupy II i III  ćwiczenia nr 8
Zadanie 1 Wyznaczyć rezolwenty równań całkowych Volterry z następującymi jądrami:
a) K(x, t) = x - t;
b) K(x, t) = ex-t;
2
c) K(x, t) = ex -t2;
1 + x2
d) K(x, t) = ;
1 + t2
2 + cos x
e) K(x, t) = ;
2 + cos t
cosh x
f) K(x, t) = ;
cosh t
g) K(x, t) = ax-t, a > 0;
Zadanie 2 Za pomocą rezolwent wyznaczyć rozwiązania następujących równań:
x
a) Õ(x) = ex + ex-tÕ(t) dt;
0
x
b) Õ(x) = sin x + 2 ex-tÕ(t) dt;
0
x
c) Õ(x) = x3x - 3x-tÕ(t) dt;
0
x
2 + cos x
d) Õ(x) = ex sin x + Õ(t) dt;
2 + cos t
0
x
2
e) Õ(x) = 1 - 2x - ex -t2Õ(t) dt;
0
x
2 2
f) Õ(x) = ex + ex -t2Õ(t) dt;
0
x
2 2
g) Õ(x) = ex +2x + 2 ex -t2Õ(t) dt;
0
x
1 + x2
h) Õ(x) = 1 + x2 + Õ(t) dt;
1 + t2
0
1
Równania całkowe w technice  grupy II i III  ćwiczenia nr 9
Zadanie 1 Zbudować równania całkowe odpowiadające przy podanych warunkach początko-
wych następującym równaniom różniczkowym
a) y + xy + y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0;
b) y + y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1;
c) y - y = 0, y(0) = 1;
d) y + y = cos x, y(0) = y (0) = 0;
e) y - 5y + 6y = 0, y(0) = 1, y (0) = 1;
f) y + y = cos x, y(0) = 0, y (0) = 1;
g) y - y sin x + exy = x, y(0) = 1, y (0) = -1;
h) y + (1 + x2)y = cos x, y(0) = 0, y (0) = 2;
i) y + xy + (x2 - x)y = xex + 1, y(0) = y (0) = 1, y (0) = 0;
1
j) y - 2xy = 0, y(0) = , y (0) = y (0) = 1;
2
k) y - 5y + 6y = 0, y(0) = 0, y (0) = -1;
l) y - 3y + 6y + 8y = 0, y(0) = y (0) = y (0) = 1;
Zadanie 2 Sprowadzić równanie y + y = x, y(0) = 1, y(1) = 0 do równania całkowego.
1
Równania całkowe w technice  grupy II i III  ćwiczenia nr 10
Zadanie 1 Wyznaczyć rozwiązania następujących równań:
x
a) Õ(x) = sin x + 2 cos(x - t)Õ(t) dt;
0
x
b) Õ(x) = ex - ex-tÕ(t) dt;
0
x
c) Õ(x) = x - ex-tÕ(t) dt;
0
x
d) Õ(x) = e2x + et-xÕ(t) dt;
0
x
e) Õ(x) = x - (x - t)Õ(t) dt;
0
x
f) Õ(x) = cos x - (x - t) cos(x - t)Õ(t) dt;
0
x
g) Õ(x) = 1 + x + e-2(x-t)Õ(t) dt;
0
x
h) Õ(x) = x + sin(x - t)Õ(t) dt;
0
x
i) Õ(x) = sin x + (x - t)Õ(t) dt;
0
x
j) Õ(x) = x - sinh(x - t)Õ(t) dt;
0
x
k) Õ(x) = 1 - 2x - 4x2 + (3 + 6(x - t) - 4(x - t)2)Õ(t) dt;
0
x
l) Õ(x) = sinh x - cosh(x - t)Õ(t) dt;
0
x
m) Õ(x) = 1 + 2 cos(x - t)Õ(t) dt;
0
x
n) Õ(x) = ex + 2 cos(x - t)Õ(t) dt;
0
x
o) Õ(x) = cos x + Õ(t) dt;
0
1
Równania całkowe w technice  grupy II i III  ćwiczenia nr 11
Zadanie 1 Wyznaczyć rozwiązania następujących układów równań całkowych:
Å„Å‚
x

ôÅ‚
ôÅ‚
Õ1(x) = sin x + Õ2(t) dt,
òÅ‚
0
a)
x

ôÅ‚
ôÅ‚
ół Õ2(x) = 1 - cos x - Õ1(t) dt;
0
Å„Å‚
x x

ôÅ‚
ôÅ‚
Õ1(x) = 1 - 2 e2(x-t)Õ1(t) dt + Õ2(t) dt,
òÅ‚
0 0
b)
x x

ôÅ‚
ôÅ‚
ół Õ2(x) = 4x - Õ1(t) dt + 4 (x - t)Õ2(t) dt;
0 0
Å„Å‚
x

ôÅ‚
ôÅ‚
Õ1(x) = e2x + Õ2(t) dt,
òÅ‚
0
c)
x

ôÅ‚
ôÅ‚
ół Õ2(x) = 1 - e2(x-t)Õ1(t) dt;
0
Å„Å‚
x x

ôÅ‚
ôÅ‚
Õ1(x) = ex + Õ1(t) dt - ex-tÕ2(t) dt,
òÅ‚
0 0
d)
x x

ôÅ‚
ôÅ‚
ół Õ2(x) = -x - (x - t)Õ1(t) dt + Õ2(t) dt;
0 0
Å„Å‚
x x

ôÅ‚
ôÅ‚
Õ1(x) = ex - Õ1(t) dt + 4 ex-tÕ2(t) dt,
òÅ‚
0 0
e)
x x

ôÅ‚
ôÅ‚
ół Õ2(x) = 1 - et-xÕ1(t) dt + Õ2(t) dt;
0 0
Å„Å‚
x

ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ Õ1(x) = x + Õ2(t) dt,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 0
ôÅ‚
òÅ‚
x

Õ2(x) = 1 - Õ1(t) dt,
f)
ôÅ‚
ôÅ‚ 0
ôÅ‚
ôÅ‚ x

ôÅ‚
ôÅ‚ 1
ôÅ‚
Õ3(x) = sin x + (x - t)Õ1(t) dt;
ół
2
0
Å„Å‚
x

ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ Õ1(x) = 1 - Õ2(t) dt,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 0
ôÅ‚
òÅ‚
x

Õ2(x) = cos x - 1 + Õ3(t) dt,
g)
ôÅ‚
ôÅ‚ 0
ôÅ‚
ôÅ‚ x

ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
Õ3(x) = cos x + Õ1(t) dt;
ół
0
Å„Å‚
x

ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ Õ1(x) = x + 1 + Õ3(t) dt,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 0
ôÅ‚
òÅ‚
x

Õ2(x) = -x + (x - t)Õ1(t) dt,
h)
ôÅ‚
ôÅ‚ 0
ôÅ‚
ôÅ‚ x

ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
Õ3(x) = cos x - 1 - Õ1(t) dt;
ół
0
1
Równania całkowe w technice  grupy II i III  ćwiczenia nr 12
Zadanie 1 Wyznaczyć wartości własne i funkcje własne następujących jednorodnych równań
całkowych ze zdegenerowanymi jądrami:
Ä„/4

a) Õ(x) -  sin2 xÕ(t) dt = 0;
0
2Ä„

b) Õ(x) -  sin x cos tÕ(t) dt = 0;
0
2Ä„

c) Õ(x) -  sin x sin tÕ(t) dt = 0;
0
Ä„
d) Õ(x) -  cos(x + t)Õ(t) dt = 0;
0
1
e) Õ(x) -  (45x2 ln t - 9t2 ln x)Õ(t) dt = 0;
0
1
f) Õ(x) -  (5xt3 + 4x2t)Õ(t) dt = 0;
-1
1
g) Õ(x) -  (5xt3 + 4x2t + 3xt)Õ(t) dt = 0;
-1
1
h) Õ(x) -  (x cosh t - t sinh x)Õ(t) dt = 0;
-1
1
i) Õ(x) -  (x cosh t - t2 sinh x)Õ(t) dt = 0;
-1
1
Transformaty
Lp. Oryginał f(x), x > 0 Obraz F (s) = L{f(x)}
1
1. 1
s
1
2. x
s2
xn 1
3.
n! sn+1
1
4. eÄ…x
s - Ä…
n!
5. xneÄ…x
(s - Ä…)n+1
É
6. sin Éx
s2 + É2
s
7. cos Éx
s2 + É2
É
8. eÄ…x sin Éx
(s - Ä…)2 + É2
s - Ä…
9. eÄ…x cos Éx
(s - Ä…)2 + É2
2sÉ
10. x sin Éx
(s2 + É2)2
s2 - É2
11. x cos Éx
(s2 + É2)2
A