1 Przykªady zada« z geometrii

Oznaczenia: ~v = (a, b) wektor o wspóªrz¦dnych a, b, ~

AB

, A = (x

1

, y

1

)

, B =

(x

2

, y

2

)

wektor o pocz¡tku w punkcie A i ko«cu w punkcie B, ~v ◦ ~u - iloczyn

skalarny wektorów. 1. Dla wketorów ~v = (−1, 2), ~u = (2, 4), ~w = (2, 3) wyz-

naczy¢ wektor

~z = 3~v + 2~u − 5 · (~v ◦ ~u) ~

w,

obliczy¢ ~w ◦ ~v − 3

oraz obliczy¢ kosinus k¡ta pom¦dzy wektorami ~u, ~w.

2. Dla jakiej warto±ci p wektory (p − 1, 2), (p, 3) s¡ prostopadªe a dla jakiej

równolegªe.

3. Dla punktów A = (1, 2), B = (−2, 3), C = (3, 1) wyznaczy¢ wektory ~

AB

,

~

BC

, wyznaczy¢ równanie prostej przechodz¡cej przez punkty B, C.

4. Dla prostych l : 3x + 2y − 1 = 0 oraz k : −x + y + 3 = 0 wyznaczy¢ ich punkt

wspólny oraz k¡t pomi¦dzy nimi.

5. Dla punktu A = (−1, 2) oraz prostej l : −x + 5y − 1 = 0 obliczy¢ odlegªo±¢

punktu A od prostej l.

2 Algebra liniowa

6. Przykªadowe ukªady równa« liniowych do rozwi¡zania

(

2x + 3y = 7
x + 2y

= −2











3x + 6y − z

= −4

−2x − 4y + z = 3
z =

1











x + y

= −2

5x + 2y = 5
x + 2y

= −7

7. Stosuj¡c algorytm Gaussa-Jordana (metoda macierzy doª¡czonej) rozwi¡za¢

ukªady równa«

(

x + 3y = 7
x + 2y = 1

(

2x + 6y

= 2

−2x + y = 1











x + y

= −2

5x + 2y = 5
x + 2y

= −7

8. Wykona¢ podanie dziaªania je±li to mo»liwe (zaznaczy¢ wyra¹nie je±li nie jest

mo»liwe)

(a)

·

1 2 −1
0 2

2

¸

−

·

3 1 0
1 1 1

¸

(b) 2

·

1
3

¸

−5

·

2
2

¸

+3

·

4
1

¸

(c) 2

·

1 4
0 0

¸

+3

·

0 0
2 1

¸

(d) 3

·

1 1
1 1

¸

+ 2

·

1
1

¸

(e)





1 2 −1
0 0

2

0 2 −2



 + 2





3 1 0
5 2 1
1 1 1





9. Dla ka»dej pary macierzy, obliczy¢ ich iloczyn lub zaznaczy¢, »e iloczyn jest

nieokre±lony

(a)

·

1 0
0 1

¸

,

·

3

−2 0

−2

5

8

¸

(b)

·

2 1 0
0 8 2

¸

,

·

1 1
2 2

¸

(c)





3 1 2
1 0 0
4 3 2



 ,





−5 4 −2
−2 3

1

1

0

4





1

(d)





3 1
1 0
4 3



 ,

·

−5 4 −2
−2 3

1

¸

(e)





3
1
4



 ,

·

−5 4
−2 3

¸

(f)

·

2 0
2 3

¸

,

·

3
1

¸

2