Przykładowe zadania na egzamin pisemny z topologii. 1).Udowodnić, że ciąg Cauchy jest ograniczony. Dowód: Przyjmijmy, że {xn} ciąg Cauchy. Weźmy ε = 1 Nl > N d(xl,xN) < ε, tzn. xlϵB(xN,1). Niech r = max{d(x1,xN), d(x2,xN),…,d(xn,xN)}. Wtedy kula B(xN,r+1) zawiera wszystkie xn. 2).Udowodnić, że ciąg ma najwyżej jedną granicę. Dowód: Przypuśćmy, że ciąg {xn} ma dwie granice g1, g2ϵR,  g1 ≠ g2. Weźmy liczbę $\varepsilon = \frac{g_{2} - g_{1}}{3}$ i rozważmy otoczenia liczb g1, g2 o promieniu ε. Zgodnie z definicją w otoczeniu g2 w przedziale (g2 − ε, g2 + ε) znajdują się prawie wszystkie wyrazy tego ciągu, a więc w przedziale (g1 − ε, g1 + ε) znajduje się tylko ich skończona ilość. Zatem g1 nie może być granicą ciągu {xn}. 3). Udowodnić, korzystając tylko z definicji, że jeśli F jest taką funkcją dla której przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest otwarty to obraz każdego ciągu zbieżnego jest zbieżny. Dowód: Niech (X,d1),  (Y, d2) przestrzenie metryczne. Niech F : X → Y taka, że otwartego VY F^−1(V) otwarty w X. Niech {xn}X taki, że xn → xoϵX. Pokazać, że f(xn) zbieżny w Y do f(x0). Ze zbieżności B(f(x0), ε)Y dla dowolnego ε > 0 i B(f(x0), ε) jest zbiorem otwartym. Zatem f^−1(B(f(x0),ε)) jest otwarty, zatem istnieje δ > 0 takie, że B(x0,δ)f^−1(B(f(x0),ε))X, a stąd f(B(x0,δ))B(f(x0), ε). Ponieważ xn → x0 więc istnieje N takie, że jeśli n ≥ N to xnϵB(x0, δ), ale wtedy f(xn)ϵB(f(x0), ε). 4). Udowodnić, że podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej jest domknięty. Dowód: Niech (X, d) przestrzeń metryczna, AX jest przestrzenią zwartą i anϵA,  an → x0. Pokażemy, że x0ϵA. Ponieważ A zwarty więc istnieje podciąg ank → anϵA zatem an = x0ϵA. 5). Udowodnić, że jeśli F:X→Y jest funkcją ciągłą to jej wykres jest domknięty w iloczynie kartezjańskim przestrzeni X i Y. Dowód: Niech (X,d1), (Y,d2) przestrzenie metryczne, F : X → Y funkcja ciągła. Pokażemy, że wykres F, tj. zbioru F = {(x,F(x))ϵX × Y :  xϵX} jest domknięty w X × Y. Niech (x0, y0) będzie punktem skupienia F. Pokażemy, że (x0, y0)ϵF. Istnieje ciąg {(xn,yn)}F taki, że (xn,yn) → (x0,y0) oraz (xn,yn) ≠ (x0,y0) dla n = 1, 2, …. Ponieważ (xn,yn) → (x0,y0), więc xn → x0,  yn → y0. Wiemy, że yn = F(xn) dla n = 1, 2, … zatem z ciągłości funkcji F wynika, że F(xn)→F(x0), czyli yn → F(x0), ale w przestrzeni metrycznej ciąg może mieć tylko jedną granicę więc y0 = F(x0), a to oznacza, że punkt (x0, y0)∈F.  6). Udowodnić, że jeśli F:X→Y jest jednostajnie ciągła to obraz ciągu Cauchy jest ciągiem Cauchy. Dowód: Niech (X,d1),  (Y, d2) przestrzenie metryczne, {xn}X ciąg Cauchy.  F : X → Y jest jednostajnie ciągła tzn. ε > 0δ > 0x1, x2ϵX d1(x1,x2) < δ ⇒ d2(f(x1),f(x2)) < ε ^(1) {xn} jest ciągiem Cauchy w X tzn. α > 0Nl, k ≥ N d1(xl, xk)<α ^(2). Aby pokazać, że f(xn) jest ciągiem Cauchy ustalamy dowolne ε > 0. Istnieje takie δ > 0 takie, że zachodzi ^(1). Z ^(2) dla α = δ dobieramy N. Dla dowolnego l, k ∈ N,  l, k ≥ N mamy: z ^(2) wynika, że d1(xl,xk) < δ, z ^(1) wynika, że d2(f(xl), f(xk).	7). Udowodnić, że suma dwóch zbiorów zwartych jest zbiorem zwartym. Dowód: Niech A,  B zwarte. Niech $\{\bigcup_{\alpha}^{}{\ :\alpha < k}\}$ będzie rodziną zbiorów otwartych pokrywających zbiór A ∪ B. Rodzina ta pokrywa zbiór A oraz zbiór B. Jeżeli A zwarty zatem istnieje podciąg {αnk} dla pewnego k takie, że rodzina $\{\bigcup_{\alpha_{n}}^{}{\ :n < k + 1}\}$ pokrywa zbiór A. Jeżeli B zwarty zatem istnieje podciąg {βnl} dla pewnego l takie, że rodzina $\{\bigcup_{\beta_{n}}^{}{\ :n < l + 1}\}$ pokrywa zbiór B. Zauważmy, że rodzina $\{\bigcup_{\alpha_{n}}^{}{\ :n < k + 1}\} \cup \{\bigcup_{\beta_{n}}^{}{\ :n < l + 1}\}$ pokrywa zbiór A ∪ B i jest skończoną podrodziną rodziny $\left\{ \bigcup_{\alpha}^{}{\ :\alpha < k} \right\}$. Zatem A ∪ B jest zwarty. Zadania z kolokwiów: 1). Udowodnij że podzbiór domknięty przestrzeni zupełnej jest przestrzenią zupełną. Dowód: A-domkniety, X-zupełna. Trzeba pokazać że każdy ciąg Cauchy an w A jest zbieżny do punktu xЄA. an ciąg Cauchy w AcX, więc an się Cauchy w X. X zupełna więc an→x, xЄX => xЄĀ. (x-punkt skupienia zbioru A). Ponieważ A=Ā więc xЄA czyli an jest zbieżny do punktu xЄA. 2). Udowodnij że jeśli X i Y przestrzenie zupełne to ich iloczyn kartezjański XxY też jest przestrzenią zupełną. Dowód:XxY zupełna. Niech xn, yn ciąg Cauchy w XxY, tzn. ∀ε > 0∃N∀m, n > N d((xn,yn),(xm.ym))<ε. d(xn,xm)≤$\sqrt{{d(xn,xm)}^{2}} \leq \sqrt{{d(xn,xm)}^{2} + {d(yn,ym)}^{2}} \leq \varepsilon$ i d(yn,ym)≤ - || - Więc ∀ε > 0∃N∀m, n > N d(xn,xm)<ε => xn ciąg Cauchy i ∀ε > 0∃N∀m, n > N d(yn,ym)<ε => yn ciąg Cauchy. xn→x0, yn→y0 => (xn,yn)→(x0,y0) więc Z zupełna. 3). Udowodnij że funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest ograniczona. Dowód: Weźmy ε=1, istnieje ε-sieć skończona, bo jeśli nie to ∃x1, x2, …d(xi,xj) ≥ 1 i nie ma podciągu zbieżnego-sprzeczność. Niech a1,a2,…,ak sieć to znaczy => d(x,ak)<1 akЄB(x,1) lub xЄB(ak,1). Xc$\cup_{i = 1}^{k}B$(ai,1) =>B(a1,max(d(a1,ai)+1)).