Miara rozmaito´sci a miara jej otoczenia

Twierdzenie 15.1 (o otoczeniu ko lnierzykowym*)

Niech M ⊆ R

k

be

,

dzie m –wymiarowa

,

rozmaito´scia

,

zwarta

,

klasy C

2

. Niech N

p

(δ)

oznacza zbi´or wszystkich takich punkt´ow x ∈ R

k

, ˙ze wektor x − p jest prostopad ly

do T

p

M i jego d lugo´s´c jest mniejsza od δ , tzn. x ∈ N

p

(δ) wtedy i tylko wtedy, gdy

kx − pk < δ i dla ka˙zdego w ∈ T

p

M zachodzi r´owno´s´c (x − p) · w = 0 . Istnieje

wtedy taka liczba r > 0 , ˙ze je´sli p

1

6= p

2

, p

1

, p

2

∈ M , to N

p

1

(δ) ∩ N

p

2

(δ) = ∅

a zbi´or ∪

p∈M

N

p

(δ) jest otwartym podzbiorem R

k

.

Dow´

od. Niech p ∈ M . Niech U ⊆ M be

,

dzie takim otoczeniem punktu p , kt´ore

jest dziedzina

,

pewnej mapy ϕ

−1

klasy C

2

i niech ϕ

−1

(U ) = V , ϕ

−1

(p) = q . W tej

sytuacji wektory

∂ϕ

∂t

1

(q) ,

∂ϕ

∂t

2

(q) , . . . ,

∂ϕ

∂t

m

(q) tworza

,

baze

,

przestrzeni liniowej T

p

M .

Niech w

m+1

, w

m+2

, . . . , w

k

be

,

da

,

takimi wektorami, ˙ze uk lad w

1

:=

∂ϕ

∂t

1

(q) ,

w

2

:=

∂ϕ

∂t

2

(q) , . . . , w

m

:=

∂ϕ

∂t

m

(q) , w

m+1

, w

m+2

, . . . , w

k

jest baza

,

w przestrzeni

R

k

. Zasta

,

pimy te

,

baze

,

przez baze

,

z lo˙zona

,

z wektor´ow

n

1

(p) =

w

1

kw

1

k

,

n

2

(p) :=

w

2

−(w

2

·n

1

(p))n

1

(p)

kw

2

−(w

2

·n

1

(p))n

1

(p)(p)k

, n

3

(p) :=

w

3

−(w

3

·n

1

(p))n

1

(p)−(w

3

·n

2

(p))n

2

(p)

kw

3

−(w

3

·n

1

(p))n

1

(p)−(w

3

·n

2

(p))n

2

(p)k

, . . .

W ten spos´ob skonstruowali´smy baze

,

z lo˙zona

,

z wzajemnie prostopad lych wektor´ow

o d lugo´sci 1 . Jasne jest, ˙ze wektory w

1

, w

2

, . . . , w

j

rozpinaja

,

te

,

sama

,

przestrze´

n

liniowa

,

, co wektory n

1

(p), n

2

(p), . . . , n

j

(p) dla ka˙zdego j = 1, 2, . . . , k . Wobec tego

wektory n

1

(p), n

2

(p), . . . , n

m

(p) sa

,

styczne w punkcie p do rozmaito´sci M , a po-

zosta le wektory w

m+1

(p), w

m+2

(p), . . . , w

k

(p) sa

,

prostopad le do rozmaito´sci M

(czyli do T

p

M ) w punkcie p .

Poniewa˙z liniowa niezale˙zno´s´c wektor´ow w

1

:=

∂ϕ

∂t

1

(q) , w

2

:=

∂ϕ

∂t

2

(q) , . . . ,

w

m

:=

∂ϕ

∂t

m

(q) , w

m+1

, w

m+2

,. . . , w

k

r´ownowa˙zna jest niezerowaniu sie

,

wyznacz-

nika macierzy z nich utworzonej, wie

,

c istnieje taka liczba η > 0 , ˙ze je´sli kt − qk < η ,

to wektory

∂ϕ

∂t

1

(t) ,

∂ϕ

∂t

2

(t) ,. . . ,

∂ϕ

∂t

m

(t) , w

m+1

, w

m+2

, w

k

sa

,

liniowo niezale˙zne

(wektory w

m+1

, w

m+2

, . . . , w

k

nie zale˙za

,

od t ). Niech x = ϕ(t) . Zaste

,

pujemy te

wektory baza

,

ortonormalna

,

n

1

(x) , n

2

(x) , . . . , n

m

(x) , n

m+1

(x) , . . . , n

k

(x) skon-

struowana

,

w spos´ob wy˙zej opisany.

Zdefiniowali´smy wie

,

c w pewnym otoczeniu e

U

p

⊆ U punktu p funkcje

n

1

,

n

2

, . . . , n

m

, n

m+1

, . . . , n

k

. Funkcje n

j

◦ ϕ sa

,

klasy C

1

, bowiem ϕ jest klasy C

2

,

a wobec tego funkcje

∂ϕ

∂t

j

sa

,

klasy C

1

— dodaja

,

c, odejmuja

,

c, mno˙za

,

c skalarnie

*

ang: tubular neighbourhood; jak wida´

c polski termin, do kt´

orego mnie kiedy´s przyzwyczajono, nie

jest dos lownym t lumaczeniem z angielskiego.

1

Miara rozmaito´sci a miara jej otoczenia

i dziela

,

c funkcje klasy C

1

otrzymujemy funkcje

,

klasy C

1

.

Niech

Φ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

, t

m+1

, . . . , t

k

) = ϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

) + t

m+1

n

m+1

ϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)

+

+ t

m+2

n

m+2

ϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)

+ · · · + t

k

n

k

ϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)

.

Dla j = 1, 2, . . . , m mamy wtedy

∂Φ

∂t

j

(t

1

, t

2

, . . . , t

m

, t

m+1

, . . . , t

k

) =

∂ϕ

∂t

j

(t

1

, t

2

, . . . , t

m

) +

k

X

i=m+1

t

i

∂(n

i

◦ϕ)

∂t

j

(t

1

, t

2

, . . . , t

m

) ,

a dla j = m + 1, m + 2, . . . , k —

∂Φ

∂t

j

(t

1

, t

2

, . . . , t

m

, t

m+1

, . . . , t

k

) = n

j

ϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)

.

Wobec tych r´owno´sci mamy

∂Φ

∂t

j

(t

1

, t

2

, . . . , t

m

, 0, 0, . . . , 0) =

∂ϕ

∂t

j

(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)

dla j = 1, 2, . . . , m oraz

∂Φ

∂t

j

(t

1

, t

2

, . . . , t

m

, 0, 0, . . . , 0) = n

j

ϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)

dla j =

m + 1, m + 2, . . . , k . Wynika sta

,

d, ˙ze kolumny macierzy DΦ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

, 0, 0, . . . , 0)

sa

,

liniowo niezale˙zne, wie

,

c jest to macierz izomorfizmu. Z twierdzenia o odwraca-

niu funkcji wynika, ˙ze istnieje takie otoczenie U

p

⊆ e

U

p

i liczba ε

p

, ˙ze na zbiorze

ϕ

−1

(U

p

) × B

k−m

(0, ε

p

) przekszta lcenie Φ jest dyfeomorfizmem, B

k−m

(0, ε

p

) ozna-

cza tu kule

,

w R

k−m

o ´srodku w punkcie 0 ∈ R

k−m

i promieniu ε

p

. Jasne jest te˙z, ˙ze

Φ {ϕ

−1

(x)} × B

k−m

(0, ε

p

)

= N

x

(ε

p

) . Poniewa˙z Φ jest r´o˙znowarto´sciowe, wie

,

c je´sli

x

1

6= x

2

i x

1

, x

2

∈ U

p

, to N

x

1

(ε

p

) ∩ N

x

2

(ε

p

) = ∅ . Poniewa˙z Φ jest homeomorfi-

zmem, wie

,

c

S

x∈U

p

N

x

(ε

p

) = Φ ϕ

−1

(U

p

) × B

k−m

(0, ε

p

)

jest otwartym podzbiorem

przestrzeni R

k

.

Zbiory U

p

stanowia

,

otwarte pokrycie rozmaito´sci M , wie

,

c istnieja

,

takie punkty

p

1

, p

2

, . . . , p

n

, ˙ze U

p

1

∪ U

p

2

∪ . . . ∪ U

p

n

= M . Niech ε = min(ε

p

1

, ε

p

2

, . . . , ε

p

n

)

i niech λ > 0 be

,

dzie taka

,

liczba

,

, ˙ze je´sli kx

1

− x

2

k < λ , to istnieje taki numer

j ∈ {1, 2, . . . , n} , ˙ze x

1

, x

2

∈ U

p

j

( λ to liczba Lebesgue’a tego pokrycia otwartego).

Niech r ≤ min(ε,

1
2

λ) .

Je´sli 0 < δ ≤ r , to zbi´or

S

x∈M

N

x

(δ) jest otwarty jako suma zbior´ow otwartych.

Zbiory N

x

sa

,

parami roz la

,

czne, bo je´sli N

x

1

∩ N

x

2

6= ∅ , to kx

1

− x

2

k < 2δ ≤ λ , wie

,

c

istnieje takie j ∈ {1, 2, . . . , n} , ˙ze x

1

, x

2

∈ U

p

j

, a z tego wynika, ˙ze N

x

1

∩ N

x

2

= ∅ ,

wbrew temu, co za lo˙zyli´smy przed chwila

,

. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Uwaga 15.2 (o istotno´sci za lo˙ze´

n tw. o otoczeniu ko lnierzykowym)

(a) Udowodni´c, ˙ze je´sli M =

(x, y):

3

p

y

4

− 1

2

+ x

2

= 1

, to M jest zwarta

,

roz-

maito´scia

,

klasy C

1

, kt´ora nie jest rozmaito´scia

,

klasy C

2

. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnej

liczby δ > 0 istnieja

,

takie punkty p

1

, p

2

∈ M , ˙ze N

p

1

∩ N

p

2

6= ∅ i kp

1

− p

2

k < δ .

2

Miara rozmaito´sci a miara jej otoczenia

(b) Niech M =

(e

t

cos t, e

t

sin t):

t ∈ R

. Wykaza´c, ˙ze M jest rozmaito´scia

,

kla-

sy C

∞

, ale niezwarta

,

. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnej liczby δ > 0 istnieja

,

takie punkty

p

1

, p

2

∈ M , ˙ze N

p

1

∩ N

p

2

6= ∅ i kp

1

− p

2

k < δ .

Wykazane twierdzenie m´owi co´s na temat wygla

,

du ma lych otocze´

n rozmaito´sci

zwartej zanurzonej w R

k

. Nie m´owi ono jednak, jak przekonamy sie

,

niebawem, ˙ze do-

statecznie ma le i dostatecznie dobrze wybrane otoczenie rozmaito´sci zwartej M ⊆ R

k

jest dyfeomorficzne, albo chocia˙z homeomorficzne z produktem M ×R

k−m

. Naste

,

pne

twierdzenie r´ownie˙z tego nie m´owi, cho´c te˙z sugeruje, ˙ze tak by´c powinno, a przynaj-

mniej mog loby.

Twierdzenie 15.3 (o mierze ko lnierzyka*)

Je´sli M jest zwarta

,

rozmaito´scia

,

klasy C

2

i N

M

(δ) =

S

p∈M

N

p

(δ) , to

lim

δ→0

`

k

(N

p

(δ))

δ

k−m

= `

k−m

B

k−m

(0, 1)

· `

M

(M ) .

Dow´

od. Be

,

dziemy stosowa´c oznaczenia u˙zyte w dowodzie poprzedniego twierdze-

nia. Niech j ∈ {1, 2, . . . , n} Zajmiemy sie

,

najpierw zbiorem

S

x∈U

pj

N

x

(δ) zak la-

daja

,

c, ˙ze 0 < δ ≤ r . Niech ϕ

−1

j

be

,

dzie mapa

,

klasy C

2

okre´slona

,

na zbiorze U

p

j

i niech ϕ

−1

j

U

p

j

= V

j

. Niech Φ

j

: V

j

× B

k−m

(0, 1) −→ R

k

be

,

dzie przekszta lceniem

zdefiniowanym za pomoca

,

r´owno´sci

Φ(t

1

, t

2

, . . . , t

k

) = ϕ

j

(t

1

, t

2

, . . . , t

m

) + δ

k

X

i=m+1

t

i

n

i

ϕ

j

(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)

.

Z dowodu poprzedniego twierdzenia wynika, ˙ze Φ

j

jest dyfemomorfizmem oraz ˙ze

kolumnami macierzy DΦ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

, 0, 0, . . . , 0) sa

,

wektory:

∂ϕ

j

∂t

1

(t

1

, t

2

, . . . , t

m

) ,

∂ϕ

j

∂t

2

(t

1

, t

2

, . . . , t

m

) , . . . ,

∂ϕ

j

∂t

m

(t

1

, t

2

, . . . , t

m

) ,

δn

m+1

ϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)

, δn

m+2

ϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)

, . . . , δn

k

ϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)

.

Poniewa˙z ka˙zdy wektor z grupy z lo˙zonej z pierwszych m wektor´ow jest prostopad ly

do ka˙zdego wektora z grupy z lo˙zonej z k − m pozosta lych wektor´ow, wie

,

c macierz

Grama tego uk ladu wektor´ow, czyli (DΦ(t))

T

·DΦ(t) sk lada sie

,

z macierzy kwadrato-

wej wymiaru m×m („lewy g´orny r´og”), macierzy kwadratowej wymiaru k−m×k−m

(„prawy dolny r´og”) oraz dwu macierzy prostoka

,

tnych z lo˙zonych z samych zer, wie

,

c

jej wyznacznik r´owny jest iloczynowi wyznacznik´ow tych macierzy kwadratowych:

det Dϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)

T

· Dϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)

· det δ

2

· I

k−m

=

= δ

2(k−m)

det Dϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)

T

· Dϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)

.

*

A mo˙ze to nie ko lnierzyk tylko rurka?

3

Miara rozmaito´sci a miara jej otoczenia

Bez straty og´olno´sci rozwa˙za´

n mo˙zemy zak lada´c, ˙ze mapa ϕ

−1

j

jest okre´slona na

pewnym otoczeniu zbioru zwartego U

p

j

. Mamy wie

,

c r´owno´s´c

δ

−(k−m)

· `

k

N

U

pj

(δ)

=

Z

V

j

×B

k−m

(0,1)

δ

−(k−m)

·

q

det (DΦ(t))

T

· DΦ(t)

d`

k

(t) .

Funkcja podca lkowa da

,

˙zy i to jednostajnie, dzie

,

ki temu, ˙ze mapa jest okre´slona na

pewnym otoczeniu zbioru zwartego U

p

j

, do funkcji

q

det Dϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)

T

· Dϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

) .

Z twierdzenia o zamianie zmiennych wynika wie

,

c, ˙ze

lim

δ→0

δ

−(k−m)

· `

k

N

U

pj

(δ)

=

=

Z

V

j

×B

k−m

(0,1)

q

det Dϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)

T

· Dϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)d`

k

(t)

Fubini

======

= `

k−m

B

k−m

·

Z

V

j

q

det Dϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)

T

· Dϕ(t

1

, t

2

, . . . , t

m

)d`

k−m

(t) =

= `

k−m

B

k−m

· `

M

(U

p

j

) .

To prawie wszystko. Pozostaje stwierdzi´c, ˙ze zbi´or U

p

j

mo˙zna w tych rozwa˙zaniach

zasta

,

pi´c jego dowolnym mierzalnym podzbiorem, co pozwala na przedstawienie zbioru

N

M

(δ) w postaci sumy parami roz la

,

cznych zbior´ow:

N

U

p1

(δ) , N

U

p2

\U

p1

(δ) , N

U

p3

\(U

p1

∪U

p2

)

(δ) , . . . , N

U

pn

\(U

p1

∪U

p2

∪...∪U

pn−1

)

(δ)

i powo la´c sie

,

na addytywno´s´c miary.

4