WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

1)

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska

Budownictwo, Rok II, Semestr III

Wykładowca:

dr hab. inż. Jacek CHRÓŚCIELEWSKI, prof. PG,

Katedra Mostów, Gmach Żelbetu, p. 201, tel. 22-03,

e-mail: [e-mail]

Program zajęć: wykład (w) 4 godz. tygodniowo, 22 tematy,

ćwiczenia (c) 3 godz. tygodniowo.

Literatura podstawowa:

B

IELEWICZ

E.: Wytrzymałość materiałów. Skrypt PG.

S

ZYMCZAK

C

Z

.,

S

KOWRONEK

M.,

W

ITKOWSKI

W.,

K

UJAWA

M.:

Wytrzymałość materiałów. Zadania.
Politechnika Gdańska, Gdańsk 2002, Skrypt PG.

C

HRÓŚCIELEWSKI

J.: Materiały pomocnicze do wykładu z WM

(rękopis bez rysunków).
Wersja elektroniczna u asystentów lub na stronie domowej
Katedry Mostów i Katedry Mechaniki Budowli.

Jacek Chróścielewski WM2F001_005.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

2)

Tematyka wykładu

1. Zagadnienia wstępne, założenia WM.
2. Naprężenie i odkształcenie – PSN, PSO, prawo Hooke'a.
3. Klasyfikacja zagadnień WM.
4. Rozciąganie (ściskanie) osiowe.
5. Charakterystyki geometryczne.
6. Zginanie.
7. Ściskanie (rozciąganie) mimośrodowe.
8. Skręcanie swobodne.
9. Połączenia.
10. Ścinanie przy zginaniu.
11. Belki złożone i wielokrotne
12. Pręty zespolone.
13. Linia ugięcia belki.
14. Energia potencjalna układów.
15. Stateczność pręta.
16. Hipotezy wytrzymałościowe.
17. Elementy teorii plastyczności.
18. Cięgna.
19. Naprężenia prostopadłe do osi belki.
20. Pręty silnie zakrzywione.
21. Elementy reologii.
22. Belki na podłożu sprężystym.

Jacek Chróścielewski WM2F001_005.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

3)

Tematy zadań ćwiczeniowych do samodzielnego wykonania

1. Płaski stan naprężenia (PSN).
2. Rozciąganie/ściskanie osiowe.
3. Przekrój złożony z ceowników.
4. Linia ugięcia – metoda Eulera.
5. Linia ugięcia – metoda Mohra.

Jacek Chróścielewski WM2F001_005.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

4)

Warunki zaliczenia przedmiotu WM

Obecność: obowiązkowa, ćwiczenia - sprawdzana.

I. Część zadaniowa ćwiczeń: 5 prac (domowych) po 1–20 pkt.

W ocenie uwzględnia się termin oddania (I i II), kompletność
i poprawność. Zadanie po terminie II oceniane jest na 1 pkt.

II. Część kolokwialna ćwiczeń: średnia z 2 + 1 kolokwiów wspólnych

dla całego roku, każde 0-100 pkt. Zadania (~4) pisane na
pojedynczych własnych kartkach formatu A4.

Terminy: 2 czwartki godz. 18

30

(18:30):

1. kolokwium – 24 listopada 2005,
2. kolokwium – 12 stycznia 2006.

Kol. poprawkowe: poniedziałek 30 stycznia 2006

1. kolokwium – godz. 9

00

( 9:00),

2. kolokwium – godz. 11

30

(11:30).

Udziału w kolokwium poprawkowym nie ogranicza się,

ale ostatnia ocena jest wiążąca.

Jacek Chróścielewski WM2F001_005.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

5)

Warunki zaliczenia przedmiotu WM

III. Część wykładowa – egzamin: 2 terminy, 2 faz egzaminu:,

a)

zadaniowo – problemowej

(~2 zadania),

b)

testu

(~10 krótkich zadań i pytania z wykładu),

średnia – każda faza oceniana od 0 do 100 pkt.
Zwolnienia z części zadaniowej przy wyniku powyżej 84 pkt.
z ćwiczeń (dot. tylko I terminu egzaminu).

Terminy: 2 poniedziałki godz. 9

00

(9:00):

I. termin – 6 lutego 2006,
II. termin – 13 lutego 2006.

Dopuszczalny jest udział w obu terminach, ostatnia ocena jest wiążąca.

Ocena z przedmiotu: łączna, z ocen cząstkowych o skali 0–100 pkt.

= 55% egzamin + 35% kolokwia + 10% zadania.

UWAGA: warunkiem upoważniającym do pisania kolokwiów i egzaminu

jest posiadanie ze sobą INDEKSU z aktualnymi wpisami.

Jacek Chróścielewski WM2F001_005.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

3)

Wytrzymałość Materiałów, charakterystyka, cel i zadania

• przedmiot badań i charakterystyka metody:

- cia

ła odkształcalne,

- uproszczone modele matematyczne,
- proste obliczenia rachunkowe;

• cel: dostarczenie podstaw teoretycznych umożliwiających wybór

materia

łu i wymiarów elementów konstrukcji tak aby całość

spe

łniała zadania eksploatacyjne (zabezpieczenie przed

zniszczeniem i nadmiernymi deformacjami);

• dobór (projektowanie) elementów konstrukcji:

- przekroju poprzecznego ( , , , , ,...

a b h d

δ

),

- kszta

łtu (belki, łuki, ramy , ,...

H L

);

• badanie stanu wewnętrznego i deformacji ciała, wyznaczanie:

- napr

ężeń  ,

- odkszta

łceń ¤ ,

- przemieszcze

ń ;

u

• podstawa projektowania 3 podstawowe warunki:

- wytrzyma

łości (nośności)

max

R

σ

≤

,

- sztywno

ści (użytkowania)

max

dop

u

u

≤

,

- stateczno

ści

kr

dop

/

P

P

n

≤

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F001_005.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

4)

Podstawowe założenia wytrzymałości materiałów

• ośrodek ciągły ⇒ opisują funkcje ciągłe w sensie matematycznym;
• liniowość (

)

( )

( )

α

β

α

β

=

+

L

L

a +

b

a

b

L

⇒ zasada superpozycji;

• obciążenia statyczne (wolny sposób narastania obciążenia);
• małe deformacje (|| ||

L

u

) i ma

łe odkształcenia (||

)

⇒ liniowa relacja odkształcenia–przemieszczenia (

||

1

ε

( )

=

u

B

ε

)

⇒ zasada zesztywnienia
(nie uwzgl

ędnianie deformacji w równaniach równowagi)

(odst

ępstwo – zagadnienia stateczności i cięgna);

• materiał liniowo sprężysty (odstępstwo – nośność graniczna)

⇒ liniowa relacja naprężenia–odkształcenia (

( )

= D

ε

σ ),

jednorodno

ść (

) i izotropowo

ść (

( )

≠

D D x

( )

≠

D D n )

⇒ uogólnione prawo Hooke'a;

• lokalność wpływu przyłożenia siły skupionej na naprężenia

⇒ zasada Saint-Venanta,

Lokalnie zrównowa

żony układ sił zewnętrznych

powoduje powstanie odkszta

łceń jedynie w niewielkim

obszarze w s

ąsiedztwie miejsca przyłożenia tych sił.

• założenie płaskich przekrojów w prętach (płytach, powłokach)

⇒ hipoteza kinematyczna Bernoulliego (Kirchhoffa–Love’a),
⇒ belka Timoshenki (hipoteza Reissnera–Mindlina).

Jacek Chró

ścielewski WM2F001_005.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

5)

Zasady (prawa) równowagi statyki

szczególny przypadek ogólnych zasad zachowania:

masy,
p

ędu,

kr

ętu (momentu pędu);

• uniwersalność zasad zachowania

(obowi

ązują dla wszystkich Newtonowskich układów fizycznych,

niezale

żnie z jakiego są wykonane materiału i w jakim stanie skupienia

si

ę znajdują), w statyce przyjmują postać:

• równowagi sił

(1 równanie wektorowe

1

0

N

n

n

=

=

∑

P

⇒ 3 równania skalarne

1

0

N

n

i

n

P

=

=

∑

,

);

, ,

i x y z

=

• równowagi momentów

(1 równanie wektorowe

1

0

N

n

n

=

=

∑

M

⇒ 3 skalarne

1

0

N

n

i

n

M

=

=

∑

,

, ,

i x y z

=

);

• pojęcia:

- statycznej wyznaczalno

ści układu (nadliczbowe),

- kinematycznej niezmienniczo

ści układu (łańcuch kinematyczny)

(reakcje i stopnie swobody).

Jacek Chró

ścielewski WM2F001_005.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

6)

Przestrzenny stan naprężenia

• wektora naprężenia w punkcie ( przekroju ciała

)

a

A o orientacji

n

0

lim

a

A

A

∆

∆
∆

→

=

P

σ

,

a

a

a

σ

τ

=

+

n

t

σ

,

- składowa normalna

( )

||

|| cos

a

σ

α

= σ

,

- składowa styczna

( )

||

|| sin

a

τ

α

= σ

,

gdzie

,

(np. na

ściance

elementarnego sze

ścianu

( )

(

,

a

α

≡

n

σ

)

X

+

( X)

x

xy

xz

σ

τ

τ

+

=

+

+

i

j

k

σ

);

• symetryczny tensor (macierz 3 3

× ) naprężenia określa całkowicie i

jednoznacznie przestrzenny stan napr

ężenia w każdym punkcie ciała

11

12

13

(3 3)

21

22

23

31

32

33

[

]

x

xy

xz

ij

yx

y

yz

zx

zy

z

sym

sym

σ σ σ

σ τ τ

σ

σ σ σ

τ σ τ

σ σ σ

τ τ σ

×

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

σ

,

9 sk

ładowych - symetria wynika z warunków równowagi momentów

, (

T

=

σ

σ

ij

ji

σ σ

=

,

ij

ji

τ τ

= ) ⇒ daje tylko 6 niezależnych składowych;

• naprężenia główne

I

II

III

σ σ σ

< <

i

kierunki główne

problem w

łasny

I

II

III

,

,

ν ν ν

(

)

det(

)

0

σ

σ

=
=

1

0

1

σ

ν

σ

,

1 0 0

0

0 1 0

0

0 0 1

0

x

xy

xz

x

xy

y

yz

y

xz

yz

z

z

v

v

v

σ τ τ

τ σ τ

σ

τ τ σ

⎛

⎞

⎡

⎤

⎡

⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

⎜

⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢

⎥

⎢

⎥

+

=

⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎜

⎟

⎢

⎥

⎢

⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎜

⎟

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎣

⎦

⎝

⎠

;

•

lokalne równania równowagi w punkcie (z warunku równowagi sił)

,

ij i

j

0

f

σ

+ =

, ,

, ,

i j x y z

=

, gdzie

(.)

(.),

x

x

∂

≡

∂

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F006_011.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

7)

Płaski stan naprężenia (PSN)

• określenie PSN -

wyró

żniona jest płaszczyzna (np. x y

− ) do której wektory naprężeń ( )

i obci

ążenia (

σ

f

) s

ą równoległe

prostopad

łe do niej są równe zero

⇒

np. x y

−

,

( X)

( Y)

,

,

,

x

xy

yx

y

x

y

f

f

σ

τ

τ

σ

+

+

=

+

=

+

=

+

σ

σ

i

j

i

j

f

i

j

0, ,

,

,

,

,

0,

0,

0 .

ij

x

y

xy

yx

x

x

y

y

i j x y

X

f

R

Y

f

R

σ

σ σ τ τ

ρ

ρ

≠

=

⇒

≠

= =

≠

= =

≠

• lokalne równania równowagi PSN

musz

ą być spełnione w każdym punkcie ciała, z warunków równowagi

elementu ró

żniczkowego d d

x y otrzymuje się

( )

0

,

0

0,

,

0

0

A

xy

yx

yx

x

x

x

xy

y

y

y

M

P

f

x

y

P

f

x

y

τ

τ

τ

σ

τ

σ

⎫

∑

=

⇒

=

⎪

⎪

⎪

∂

∂

∑ =

⇒

+

+

= ⎬

∂

∂

⎪

⎪

∂

∂

∑ =

⇒

+

+

= ⎪

∂

∂

⎭

,

,

0

ij

ji

ij i

j

f

σ σ

σ

=

⎧

⇒

⎨

,

+ =

⎩

,

,

i j x y

=

,

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F006_011.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

8)

•

PSN, naprężenia

,

φ

φ

σ τ

w przekroju zorientowanym

( , )

x

ϕ

=

n

otrzymuje si

ę na podstawie znajomości

,

,

x

y

xy

σ σ τ

z war. równowagi

elementarnego trójk

ąta, podstawiając

sin

dx

ds

ϕ

=

,

cos

dy

ds

ϕ

=

i

rzutuj

ąc na kierunek normalny oraz styczny otrzymuje się

2

2

cos

sin

2

sin cos

φ

x

y

xy

σ

σ

ϕ σ

ϕ

τ

ϕ

=

+

+

ϕ

,

2

2

(

)sin cos

(cos

sin

)

φ

x

y

xy

τ

σ

σ

ϕ

ϕ τ

ϕ

ϕ

= −

−

+

−

,

uwzgl

ędniając tożsamości trygonometryczne

2

1
2

cos

(1 cos 2 )

ϕ

ϕ

=

+

,

2

1
2

sin

(1 cos 2 )

ϕ

ϕ

=

−

, sin2

2sin cos

ϕ

ϕ

ϕ

=

,

2

2

cos2

sin

cos

ϕ

ϕ

ϕ

=

−

,

otrzymuje si

ę naprężenia normalne

1

1

(

)

(

) cos 2

sin

2

2

φ

x

y

x

y

xy

2

σ

σ σ

σ σ

ϕ τ

=

+

+

−

+

ϕ

,

napr

ężenia styczne

1

(

)sin 2

cos

2

φ

x

y

xy

2

τ

σ σ

ϕ τ

ϕ

=−

−

+

;

Jacek Chró

ścielewski WM2F006_011.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

9)

•

PSN, normalne naprężenia ekstremalne, poszukuje się przekroju

0

ϕ

dla którego

0

φ

σ

s

ą ekstremalne, z warunku

0

0

d

(

)sin 2

2

cos 2

0

d

φ

x

y

xy

σ

σ σ

ϕ

τ

ϕ

ϕ

=−

−

+

≡

⇒

0

2

tan 2

xy

x

y

τ

ϕ

σ σ

=

−

,

dwie warto

ści

0

2

[0, 2 ]

ϕ

π

∈

ró

żniące się o

π

spe

łniające

d

/d

0

ϕ

σ

ϕ

=

s

ą dwa ortogonalne przekroje o ekstremalnych naprężeniach

⇒

σ

,

poniewa

ż

1
2

d

/d

ϕ

ϕ

σ

ϕ

τ

=

, ekstremalne

σ

wyst

ępuje dla

0

ϕ

τ

=

ekstremalne

⇒

σ

s

ą naprężeniami głównymi

1

max

σ σ

=

i

2

min

σ σ

=

,

odpowiednie k

ąty, wykorzystując

0

2

(

) tan 2

xy

x

y

τ

σ σ

ϕ

=

−

, obl. si

ę z war.

2

2

0

0

0

2

0

d

2(

) cos 2

4

sin 2

2(

) cos 2

[1 tan 2

]

d

x

y

xy

x

y

ϕ

σ

0

σ σ

ϕ

τ

ϕ

σ σ

ϕ

ϕ

>

=−

−

−

=−

−

+

ϕ

max

0

1

|

φ

σ σ

=

dla

0

(

) cos 2

x

y

0

σ σ

ϕ

−

>

⇐

,

2

2

d

/d

φ

σ ϕ

<0

0

2

|

φ min

σ

σ

=

dla

0

(

) cos 2

x

y

0

σ σ

ϕ

−

<

⇐

,

2

2

d

/d

φ

σ ϕ

>0

uwzgl

ędniając

0

tan 2

2

/(

)

xy

x

y

ϕ

τ σ σ

=

−

w to

żsamościach

,

po podstawieniu do zale

żności na

2

1/ 2

2

2

0

0

cos 2

(1 tan 2

)

(

)[(

)

4

]

x

y

x

y

xy

ϕ

ϕ

σ σ

σ σ

−

−

=± +

=±

−

−

+

1/ 2

τ

1/ 2

2

1/ 2

2

2

0

0

0

sin 2

tg2

(1 tan 2

)

2

[(

)

4

]

xy

x

y

xy

ϕ

ϕ

ϕ

τ

σ σ

τ

−

−

=±

+

=±

−

+

ϕ

σ

otrzymuje si

ę

2

2

1 2

,

(

2

2

x

y

x

y

)

xy

σ σ

σ σ

σ

τ

+

−

=

±

+

,

suma

1

2

x

y

σ σ σ σ

+

= +

jest niezmiennikiem;

Jacek Chró

ścielewski WM2F006_011.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

10)

• PSN, styczne naprężenia ekstremalne, poszukuje się przekroju

0

ϕ

dla którego

0

ϕ

τ

s

ą ekstremalne; z warunku

0

0

d

(

) cos 2

2

sin 2

0

d

x

y

xy

ϕ

τ

σ σ

ϕ

τ

ϕ

ϕ

=−

−

−

≡

⇒

0

(

)

tan 2

2

x

y

xy

σ σ

ϕ

τ

−

=−

zachodzi

1

0

0

tan 2

tan 2

ϕ

ϕ

−

=−

⇒

0

0

/4

ϕ ϕ π

= +

p

łaszczyzny naprężeń głównych tworzą kąt

z p

łaszczyznami

ekstremalnych napr

ężeń stycznych, analogicznie do

⇒

o

45

σ

otrzymuje si

ę

2

2

1/ 2

1

2

3

[(

)

]

2

2

x

y

xy

σ σ

σ σ

τ

τ

−

−

=±

+

=

∧

0

2

x

y

ϕ

σ σ

σ

+

=

,

z rozwa

żań PSN jak stanu przestrzennego wynika, że ekstremalne

napr

ężenia styczne w PSN nie leżą w płaszczyźnie obciążenia, lecz

pod k

ątem

do niej i wynosz

ą

o

45

2

1

1

2

,

2

2

σ

σ

τ

τ

=±

=±

;

Jacek Chró

ścielewski WM2F006_011.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

11)

• PSN, koło Mohra – interpretacja graficzna stanu naprężenia,

konstrukcja wynika z przekszta

łcenia wzorów na

,

ϕ

ϕ

σ τ

,

grupuj

ąc i podnosząc obustronnie do kwadratu mamy

2

2

1

1

2

2

[

(

)]

[ (

) cos 2

sin 2

x

y

x

y

xy

ϕ

]

σ

σ σ

σ σ

ϕ τ

ϕ

−

+

=

−

+

,

2

2

1
2

[

]

[

(

)sin 2

cos 2 ]

x

y

xy

ϕ

τ

σ σ

ϕ τ

ϕ

= −

−

+

po dodaniu stronami otrzymuje si

ę równanie okręgu o promieniu

R

2

2

1
2

[

(

)]

[

]

x

y

2

R

ϕ

ϕ

σ

σ σ

τ

−

+

+

=

,

2

2

1
2

[ (

)]

[

]

2

x

y

x

R

y

σ σ

τ

=

−

+

;

• problemu własny dla naprężeń, naprężenia głównych można także

otrzyma

ć formalnie

)

σ

=

1

0

σ

ν

∼

0

0

x

xy

x

xy

y

y

σ

σ τ

ν

τ

σ

σ ν

−

⎡

⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

=

⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢

⎥

−

⎩ ⎭

⎣

⎦ ⎩ ⎭

rozwi

ązanie nietrywialnie dla

det

)

0

σ

=

1

σ

∼

2

det

(

)(

)

0

x

xy

x

y

xy

xy

y

σ

σ τ

σ

σ σ

σ

τ

τ

σ

σ

−

⎡

⎤

=

−

−

−

⎢

⎥

−

⎣

⎦

=

x

y

x

y

xy

σ

σ σ

σ

σ σ

τ

−

+

+

−

=

⇒

⇒

2

2

(

)

(

)

0

1

1

(

, )

σ

ν i

2

2

(

,

)

σ

ν .

Jacek Chró

ścielewski WM2F006_011.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

12)

Płaski stan odkształcenia (PSO)

• określenie PSO -

odkszta

łcenia (

ij

ε

) wyst

ępują tylko w płaszczyznach równoległych do

danej sta

łej płaszczyzny (np. x y

−

⇒

ij

ε

, ,

,

i j x y

=

→

x

xx

ε ε

≡

,

y

yy

ε ε

≡

,

2

xy

yx

xy

γ

γ

=

≡

ε

jz

, pozosta

łe składowe są równe zero

0

zj

ε

,

;

,

j x y

=

ε

= =

•

deformacja elementu różniczkowego d d

x

y

×

(

ABDC

A B D C

′ ′ ′ ′

→

), np.

x

y

AA

u

u

′ = =

+

JJJJG

u

i

j , (bok)

d

d

(

d

d )

(

d

d

y

y

x

x

x

y

u

u

u

u

DD

x

y

u

x

y

u

x

y

x

y

x

y

x

y

)

∂

∂

∂

∂

∂

∂

′= +

+

=

+

+

+

+

+

∂

∂

∂

∂

∂

∂

JJJJJG

u

u

u

i

j ,

0

d

d

d

AD

s

x

y

=

=

+

i

JJJJG JJJG

j

, (przek

ątna)

d

(d

d

d )

(d

d

d )

y

y

x

x

u

u

u

u

A D

s

x

x

y

y

x

y

x

y

x

y

∂

∂

∂

∂

′ ′= =

+

+

+

+

+

∂

∂

∂

∂

JJJJJJG JJG

i

j

;

wynikaj

ąca z rozwinięcia przemieszczeń

( , )

x y

=

u u

w szereg Taylora,

ograniczonego do wyrazów pierwszego rz

ędu (małe odkształcenia);

•

przybliżenie różnicy kwadratów przekątnej

2

2

2

2

0

(d )

(d )

2[

(d )

(d )

(

)d d ]

y

y

x

x

u

u

u

u

s

s

x

y

x

x

y

x

x y

∂

∂

∂

∂

−

≈

+

+

+

∂

∂

∂

∂

;

pomija si

ę iloczyny typu

x

x

u

u

x

y

∂ ∂

∂ ∂

jako ma

łe drugiego rzędu;

Jacek Chró

ścielewski WM2F012_014.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

13)

• PSO, jednostkowe odkształcenie podłużne:

0

0

0

d

d

d

1

d

d

s

s

s

s

s

ε

−

=

=

−

stosunek wyd

łużenia (

0

d

d

s

s

−

) odcinka do d

ługości początkowej (

0

d

s ),

dla ma

łych odkształceń otrzymuje się

2

2

0

0

0

2

0

0

0

0

(d )

(d )

d

d

d

d

d

(

1)

(

2)

2

(d )

d

d

d

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

ε

ε ε

ε

−

−

+

=

=

+ =

+ ≈

2

2

2

2

0

2

0

0

0

1 (d )

(d )

(

)

(

)

(

)

2

(d )

y

y

x

x

u

u

0

0

s

s

u

dx

dy

u

dx dy

s

x ds

x

ds

y

x

ds ds

ε

∂

∂

−

∂

∂

≈

=

+

+

+

∂

∂

∂

∂

,

oznaczaj

ąc

x

x

u

x

ε

∂

=

∂

,

y

y

u

y

ε

∂

=

∂

,

2

(

y

x

xy

xy

u

u

y

x

γ

ε

∂

∂

=

=

+

)

∂

∂

i uwzgl

ędniając

0

cos

dx

ds

ϕ

=

,

0

sin

dy

ds

ϕ

=

, otrzymuje si

ę wzór na

jednostkowe odkszta

łcenie podłużne w kierunku

ϕ

:

2

2

cos

sin

sin cos

x

y

xy

ϕ

ε

ε

ϕ ε

ϕ γ

ϕ

=

+

+

ϕ

;

Jacek Chró

ścielewski WM2F012_014.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

14)

• PSO, odkształcenia główne analogiczna do PSN

ϕ

ϕ

σ

ε

↔ ,

x

x

σ

ε

↔ ,

y

y

σ

ε

↔ , 2

xy

xy

τ

γ

↔

,

wynika z podobie

ństwa wzorów

2

2

cos

sin

sin cos

x

y

xy

ϕ

ε

ε

ϕ ε

ϕ

γ

ϕ

=

+

+

ϕ

2

2

cos

sin

2

sin cos

x

y

xy

ϕ

σ

σ

ϕ σ

ϕ

τ

ϕ

=

+

+

ϕ

pozwala natychmiast wypisa

ć zależności

2

2

1 2

,

(

)

(

2

2

2

x

y

x

y

xy

ε ε

ε ε

γ

ε

+

−

=

±

+

)

,

0

tan 2

xy

x

y

γ

ϕ

ε ε

=

−

;

• interpretacja

x

ε

- odkszta

łcenie jednostkowe krawędzi AB

d

d

x

def

x

x

x

x

u

u

x

u

A B

AB

u

x

AB

x

ε

x

∂

+

−

′ ′ −

∂

∂

=

=

=

∂

;

•

interpretacja

y

ε

- odkszta

łcenie jednostkowe krawędzi

AC

d

d

y

y

y

def

y

y

u

u

y

u

u

A C

AC

y

AC

y

ε

y

∂

+

−

∂

′ ′ −

∂

=

=

=

∂

;

•

interpretacja

2

xy

xy

γ

ε

=

- k

ąt odkształcenia postaciowego

(spaczenie), zmiana k

ąta między ściankami elementu

d

d

2

d

d

x

y

y

x

xy

xy

yx

xy

u

u

y

x

u

u

y

x

x

y

y

γ

ε

ε

ε

x

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

+

=

=

+

=

+

∂

∂

;

Jacek Chró

ścielewski WM2F012_014.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

15)

Związki fizyczne (relacje konstytutywne)

• prawa szczególne dot. własności materiału (tyle praw ile materiałów),

relacje np. typu

mi

ędzy stanami odkształcenia i naprężenia;

↔

ε

σ

, , )

=

ε

σ x n

F

materia

ł sprężysty (nie zależy od historii deformacji),

je

śli funkcja

materia

ł liniowo

( )

≠ σ

F F

−sprężysty (naprężeń),

materia

ł jednorodny

(po

łożenia),

materia

ł izotropowy

(kierunku),

( )

≠

x

F F

( )

≠ n

F F

•

jednorodny izotropowy materiał liniowo

−sprężysty funkcja

materia

łowa jest stała i całkowicie określona tylko przez dwie stałe,

najbardziej popularnymi sta

łymi materiałowymi są:

F

a)

moduł sprężystości E (moduł Younga) [

]

charakteryzuje opór materia

łu jaki stawia on przy rozciąganiu,

2

/

N m

b)

liczba Poissona

ν

[-]

charakteryzuje stosunek odkszta

łceń poprzecznych do podłużnych,

c)

moduł odkształcenia postaciowego (ścinania)

2(1

)

E

G

ν

=

+

[

]

wyra

ża się przez dwie poprzednie stałe

2

/

N m

E i

ν

(tak jak inne sta

łe);

• uogólnione prawo Hooke'a − związek fizyczny dla jednorodnego

izotropowego materia

ł liniowo

−sprężystego w postaci

6

równa

ń skalarnych wiążących 6 składowych przestrzennego

stanu napr

ężeń z 6-cioma składowymi odkształceń, albo

reprezentacji macierzowej w postaci:

relacja odkszta

łcenia

= D

ε

σ

−naprężenia, albo odwrotna

relacja napr

ężenia

1

−

= D

σ

ε

−odkształcenia.

Jacek Chró

ścielewski WM2F015_018.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

16)

Uogólnione prawo Hooke'a, stan przestrzenny, zapis macierzowy

{

}

T

x

y

z

xy

xz

yz

ε ε ε γ γ γ

=

ε

,

{

}

T

x

y

z

xy

xz

yz

σ σ σ τ τ τ

=

σ

,

2(1

)

E

G

ν

=

+

,

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

E

E

E

E E

E

E

E E

G

G

G

ν ν

ν

ν

ν ν

⎡

⎤

− −

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

− −

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

D

,

1

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

2

1 2

1 2

0

0

0

0

0

2

1 2

0

0

0

0

0

2

1 2

0

0

0

0

0

2

G

ν ν

ν

ν

ν ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

0

ν

−

⎡

⎤

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

=

⎢

⎥

−

− ⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎣

⎦

D

posta

ć skalarna

i odwrotna:

1

(

(

))

x

x

y

z

E

ε

σ ν σ σ

=

−

+

,

[(1

)

(

)]

(1

)(1 2 )

x

x

y

z

E

σ

ν ε ν ε ε

ν

ν

=

−

+

+

−

+

1

(

(

y

y

x

))

z

E

ε

σ ν σ σ

=

−

+

,

[(1

)

(

)]

(1

)(1 2 )

y

y

E

x

z

σ

ν ε ν ε ε

ν

ν

=

−

+

+

−

+

1

(

(

z

z

x

))

y

E

ε

σ ν σ σ

=

−

+

,

[(1

)

(

)]

(1

)(1 2 )

z

z

E

x

y

σ

ν ε ν ε ε

ν

ν

=

−

+

+

−

+

xy

xy

G

τ

γ

=

,

xz

xz

G

τ

γ

=

,

yz

yz

G

τ

γ

=

,

xy

x

G

y

τ

γ

=

,

xz

x

G

z

τ

γ

=

,

yz

yz

G

τ

γ

=

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F015_018.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

17)

Uogólnione prawo Hooke'a PSN

0

z

zx

zy

σ τ τ

= = =

⇒

(

)

z

x

y

E

ν

ε

σ σ

=−

+

,

1

0

1

0

1

0

0

x

x

y

y

xy

x

E

E

E

E

G

ν

y

ε

σ

ν

ε

σ

γ

τ

⎡

⎤

−

⎢

⎥

⎧ ⎫

⎧

⎢

⎥

⎪ ⎪

⎪

⎢

⎥

= −

⎨ ⎬

⎨

⎢

⎥

⎪ ⎪

⎪

⎩ ⎭

⎩

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎫

⎪

⎬

⎪⎭

,

2

1
2

1

0

1

0

1

0 0 (1

)

x

x

y

y

xy

x

E

y

σ

ε

ν

σ

ν

ε

ν

ν

τ

γ

⎧ ⎫

⎧

⎡

⎤

⎫

⎪ ⎪

⎪

⎢

⎥

=

⎪

⎨ ⎬

⎨

−

⎢

⎥

⎬

⎪ ⎪

⎪

−

⎣

⎦

⎩ ⎭

⎩ ⎭⎪

posta

ć skalarna

i odwrotna:

1

(

)

x

x

y

E

ε

σ νσ

=

−

,

1

(

)

y

y

x

E

ε

σ νσ

=

−

2

(

)

1

x

x

y

E

σ

ε νε

ν

=

+

−

,

2

(

)

1

y

y

E

x

σ

ε νε

ν

=

+

−

xy

xy

G

τ

γ

=

,

xy

G

xy

τ

γ

=

,

2(1

)

E

G

ν

=

+

.

Uogólnione prawo Hooke'a PSO

0

z

zx

zy

ε γ

γ

= = =

⇒

(

)

z

x

y

σ ν σ σ

=

+

,

1
2

1

0

2

1

0

1 2

0

0

(1 2 )

x

x

y

y

xy

xy

G

σ

ε

ν ν

σ

ν

ν

ε

ν

ν

τ

γ

⎧ ⎫

⎧ ⎫

−

⎡

⎤

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎢

⎥

=

−

⎨ ⎬

⎨ ⎬

− ⎢

⎥

⎪ ⎪

⎪ ⎪

−

⎣

⎦

⎩ ⎭

⎩ ⎭

1

0

1

1

0

2

0

0

2

x

x

y

y

xy

xy

G

ε

σ

ν ν

ε

ν

ν

σ

γ

τ

⎧ ⎫

⎧ ⎫

− −

⎡

⎤

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎢

⎥

=

−

−

⎨ ⎬

⎨ ⎬

⎢

⎥

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎣

⎦

⎩ ⎭

⎩ ⎭

,

posta

ć skalarna

i odwrotna:

2

[(1

)

]

1 2

x

x

y

G

σ

ν ε νε

ν

=

−

+

−

,

1

[(1

)

]

2

x

x

y

G

ε

ν σ νσ

=

−

−

,

2

[(1

)

]

1 2

y

y

G

x

σ

ν ε νε

ν

=

−

+

−

,

1

[(1

)

]

2

y

y

G

x

ε

ν σ νσ

=

−

−

,

2

(

)

1 2

z

x

y

G

ν

σ

ε ε

ν

=

+

−

,

xy

x

G

y

τ

γ

=

,

xy

xy

G

τ

γ

=

,

2(1

)

E

G

ν

=

+

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F015_018.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

18)

•

Uwaga a) wykazać zależność pomiędzy

G

a

E

,

ν

czyste ścinanie PSN:

0

x

y

σ σ

= =

,

0

xy

τ

τ

= ≠

,

(

G

τ

γ

=

)

napr

ężenia główne:

1

σ τ

=

,

2

σ

τ

=−

,

(z

ko

ła Mohra),

o

0

45

ϕ

=

odkszta

łcenie główne:

1

1

2

1

1

(

)

(1

)

E

E

ε

σ νσ

ν τ

=

−

=

+

(z prawa Hooke’a),

wyd

łużenie przekątnej:

1

1

d

d

2 d

s

s

x

∆

ε

ε

=

=

,

d

d

y

x

=

,

d

2d

s

x

=

(z definicji),

2

2

1

1

2

2

d

(

d )

(

d )

d /

s

x

x

x

∆

γ

γ

γ

=

+

=

2 (z geometrii),

porównanie stronami:

1

2

γ

ε

≡

⇒

1

1

2

2

E

G

ν

γ

τ

ε

τ

+

=

≡ =

⇒

2(1

)

E

G

ν

=

+

;

•

Uwaga b) wykazać ograniczenie na liczbę Poissona

ν

,

PSN, przyrost objętości jednostkowego sześcianu w wyniku
rozci

ągania

,

0

x

y

σ σ

>

,

0

xy

τ

=

0

(1

)(1

)(1

) 1

1

1

(

)

(

)

(

)

(1 2 )

0

x

y

z

x

y

z

x

y

y

x

x

x

y

V

E

E

E

E

∆

ε

ε

ε

ε ε ε

ν

y

σ νσ

σ νσ

σ σ

σ σ

ν

>

= +

+

+

− ≈ + +

=

−

+

−

−

+

+

=

−

≥

⇒

1 2

0

ν

−

≥

⇒

1/ 2

ν

≤

,

(z odkszta

łceń wydłużenie odcinka

0

0

d

d

d

(1

)d

0

s

s

s

s

∆

ε

=

+

= +

).

Jacek Chró

ścielewski WM2F015_018.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

19)

Pojęcie pręta

Pręt najbardziej ogólne pojęcie obiektu jednowymiarowego w mech.,

ujmuje np.: wykratowanie, s

łupy, belki, łuki, ruszty, itd.

Pr

ęt może być: zakrzywiony, prosty, płaski, przestrzenny;

o przekroju sta

łym, zmiennym, pryzmatycznym, cienkościenny.

Modelem pręta jest krzywa przestrzenna wyposażona w dodatkową

struktur

ę pozwalającą na przenoszenie oddziaływań mechanicznych.

• redukcja zagadnienia trójwymiarowego do jednowymiarowego;
• oś pręta

, jej usytuowania w stosunku do przekroju poprzecznego

( )

z

( , )

x y (środek ciężkości, środek skręcania);

• założenie płaskich przekrojów (hipoteza kinematyczna Bernoulliego i

belka Timoshenki);

• przekrojowe siły wewnętrzne

x x

y

y

T

T

N

=

+

+

e

e

W

z

e ,

x

x

y

y

s

M

M

M

z

=

+

+

e

e

M

e

sk

ładowe: siły poprzeczne ,

x

y

T T (tnące) i podłużna

(normalna),

momenty

zginaj

ące

N

,

x

y

M M i skręcający

s

z

M

M

≡

;

•

wyznaczenie przekrojowych si

ł wewnętrznych

,

,

( )

x

T z

( )

y

T z

( )

N z

( )

x

M

z

,

( )

y

M

z

,

( )

s

M z

jest zadaniem Mechaniki Budowli, podczas gdy

wyznaczenie rozk

ładów naprężeń ( , , )

x y z

σ

przy danych si

łach

wewn

ętrznych jest zadaniem wytrzymałości Materiałów;

•

wykresy si

ł wewnętrznych (interpretacja, ciągłość, ekstrema, sposób

rysowania);

Jacek Chró

ścielewski WM2F019_021.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

20)

Definicja sił przekrojowych pręta

d ,

d

d ,

d ,

x

zx

A

y

zy

A

A

z

A

T

A

A

T

A

N

A

τ

τ

σ

⎧ ≡

⎪

⎪

≡

⇒

≡

⎨

⎪

≡

⎪⎩

∫

∫

∫
∫

W

σ

d ,

(

)d

d ,

(

y)d ,

x

z

A

y

z

A

A

s

zy

zx

A

M

y A

A

M

x A

M

x

A

σ

σ

τ

τ

⎧

≡

⎪

⎪

≡

×

⇒

≡ −

⎨

⎪

≡

−

⎪⎩

∫

∫

∫

∫

M

r σ

tutaj ( , , )

zx

x

zy

y

z

z

x y z

τ

τ

σ

=

+

+

e

e

σ

e wektor naprężenia w punkcie

( , )

x

y

x y

x

y

=

+

e

e

r

przekroju pr

ęta ( )

A z

;

(def. obowi

ązuje niezależnie od rozkładu naprężeń).

Jacek Chró

ścielewski WM2F019_021.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

21)

Lokalne równania równowagi

•

lokalne równania równowagi przestrzennego pr

ęta prostego

zale

żności różniczkowe pomiędzy

si

łami wewnętrznymi

,

,

( )

x

T z

( )

y

T z

( )

N z

( )

x

M

z

,

( )

y

M

z

,

( )

s

M z

i

obci

ążeniem ciągłym

,

,

,

,

,

( )

x

m z

( )

y

m z

( )

s

m z

( )

x

q z

( )

y

q z

( )

s

q z

z warunku równowagi elementu ró

żniczkowego o długości d :

z

d

0

d

s

N

q

z

+

=

,

d

0

d

x

x

T

q

z

+

=

,

d

0

d

y

y

T

q

z

+

=

,

d

0

d

s

s

M

m

z

+

=

,

d

0

d

x

y

x

M

T

m

z

−

+

=

,

d

0

d

y

x

y

M

T

m

z

+ +

=

,

2

2

d

d

0

d

d

x

x

y

M

m

q

z

z

+

+

= ,

2

2

d

d

0

d

d

y

y

x

M

m

q

z

z

−

+

=

.

•

stany wyt

ężenia pręta:

proste (jedna sk

ładowa

0

≠

),

z

łożone

(kombinacja kilku sk

ładowych

0

≠

).

Jacek Chró

ścielewski WM2F019_021.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

22)

Jednoosiowy stan naprężenia

jest to prosty stan wyt

ężenia, tylko siła normalna

0

N

≠ :

a)

rozciąganie

,

b) ściskanie

0

N

>

0

N

< .

• założenia

0

z

σ σ

≡ ≠

i

( , , )

( )

x y z

z

const

σ σ

σ

=

=

=

w przekroju

( )

A z ;

•

si

ła normalna, naprężenia normalne

⇒

.

( )

( )

( , , )d

d

( ) ( )

def

z

A z

A

N z

x y z A

A

z A z

σ

σ

σ

≡

=

=

∫

∫

( )

( )

( )

N z

z

A z

σ

=

;

• odkształcenie podłużne, odkształcenie poprzeczne

0

z

σ

≠

'

z prawa

Hooke a

⎯⎯⎯⎯

→

z

z

E

σ

ε

=

,

N

EA

ε

=

,

x

y

z

E

ν

ε

ε

σ

=

= −

,

p

z

ε

νε

= −

;

• wydłużenie pręta (z relacji odkształcenia-przemieszczenia)

1

d

( ,

, )

2

d

z

z z

z z

w

u

u

z

ε

=

+

=

⇒ d

d

d

N

w

z

z

dz

E

EA

σ

ε

=

=

=

⇒

|

( )

d

( ) ( )

b

b

a b

a

a

N z

w

z

E z A z

ε

−

=

=

∫

∫

dz

,

dla

N

const

EA

=

⇒

|

|

a b

a b

N

w

l

EA

−

−

=

;

• obciążenie termiczne : odkształcenie

t

t

t

t

ε α

=

,

wyd

łużenie swobodne

t

t

l

l

tl

∆ ε

α

=

=

;

ważność rozwiązania (ograniczenia wynikają z założenia

const

σ

=

, A ):

a) w pewnej odległości od działających sił (zasada de Saint-Venanta),
b) dla prętów o stałym przekroju lub o ,,łagodnych” zmianach (inaczej

koncentracja napr

ężeń przy silnych lub skokowych zmianach), np.:

taśma - szerokość b, otwór - średnica d

d/b

0 0.2 0.4 0.8

współczynnik koncentracji naprężeń

β

3 2.48 2.22 2.08

Jacek Chró

ścielewski WM2F022_025.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

23)

Jednoosiowy stan naprężenia

wymiarowanie wytrzymałościowe

•

metoda napr

ężeń dopuszczalnych:

obl

obl

dop

N

A

σ

σ

=

≤

/

dop

R n

σ

≡

napr

ężenia dopuszczalne,

granice wytrzyma

łości,

wspó

łczynnik bezpieczeństwa

(

zale

żnie od materiału i zagadnienia);

mat. plastyczny,

mat. kruchy (ściskanie),

mat. kruchy (rozciąganie),

pl

r

c

R

R

R

R

⎧

⎪

=⎨

⎪

⎩

1

n

>

1.5 10

n

≈

÷

•

metoda napr

ężeń granicznych:

1

2

...

i

i

n

P

R k k

k

A

η

σ

∑

=

≤

1

i

η

≥

wspó

łczynnik przeciążenia (dot. rodzaju obciążenia ),

,

wsp. jednorodno

ści materiału (dot. mat., produkcji itp.),

wsp. warunków pracy (dot. war. realizacji konstrukcji);

i

P

1

i

k

≤

1

k

−

2

k

−

•

metoda stanów granicznych

1

2

...

i

i

gr

n

A

P

N k k

k

σ

η

= ∑

≤

,

gr

N oznacza

no

śność przekroju lub całej konstrukcji;

kształtowanie sztywnościowe (warunki geometryczne)

max

( )

dop

u

u A

u

=

≤

⇒

A ;

warunek stateczności konstrukcji

;

obl

KR

P

P

≤

Jacek Chró

ścielewski WM2F022_025.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

24)

Zwykła statyczna próba rozciągania (i ściskania)

fakty eksperymentalne, podstawa wzór np.:

0

0

/

E

Nl

A l

∆

=

;

•

krzywa rozciągania stali miękkiej, żeliwa, betonu, drewna, gumy

(

⇒

0

P

l

∆

−

σ ε

−

gdzie

0

/

P A

σ

=

,

0

0

/

l l

ε ∆

=

),

- zakresy spr

ężysty liniowy i nieliniowy,

-

p

łynięcie plastyczne (odkształcenia trwałe – plast., spr.),

- wzmocnienie materia

łu,

- utrata stateczno

ści materiału (szyjka),

- zniszczenie (z

łomy);

•

obci

ążenie, odciążenie w zakresie sprężystym i plastycznym,

napr

ężenia umowne (nominalne) i rzeczywiste (szyjka);

•

materia

ł o jednakowej (np. stal) i niejednakowej (np. beton)

wytrzyma

łości na rozciąganie i ściskanie (rys.);

•

interpretacja modu

łu sprężystości (wykres

σ ε

−

⇒

tan

E

α

=

dla

H

pr

R

op

σ

σ

≤

=

) (próba

ścisła);

•

granice: proporcjonalno

ści

H

pr

R

op

σ

=

(prawa Hooke'a),

spr

ężystości

s

spr

R

σ

=

,

plastyczno

ści (wyraźna)

pl

plast

R

σ

=

,

wytrzyma

łości na rozciąganie

max

r

R

σ

=

,

wytrzyma

łości na ściskanie

min

c

R

σ

= −

;

•

granice umowne (próba

ścisła).

Jacek Chró

ścielewski WM2F022_025.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

25)

Własności ważniejszych materiałów konstrukcyjnych

E

ν

pl

plast

R

σ

=

max

r

R

σ

=

, [

MPa

]

Materiał

[

GPa

]

[ ]

−

[

MPa

] rozciąganie ściskanie

Stal zwykła 210

0.33

220-240

320-380

320-380

Stal o wysokiej
wytrzymałości

210 0.33 320-360

520-640

520-640

Stop aluminium

72

0.34

90-300

90-430

90-430

Sosna (wzdłuż włókien) 10

−

−

∼ 55

∼ 35

Sosna (w poprzek włókien) 0.3

−

−

∼ 4

∼ 5

Beton konstrukcyjny

15-40

∼ 0.16

−

0.5-3 5-50

Cegła 2-4

−

−

0.5-3 5-15

______________________________________________________________________________________________________

Jednoosiowy stan naprężenia

•

układy statycznie niewyznaczalne:

- koncepcja rozwi

ązania (metoda sił),

- warunek geometryczny (zgodno

ści przemieszczeń),

- plan przemieszcze

ń przy założeniu małych deformacji;

•

wykresy rozwiązań:

-

si

ł normalnych

,

-

przemieszcze

ń

( )

N z

( )

( )

z

u z

w z

≡

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F022_025.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (26)

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

• pole przekroju

d

A

A

A

=

∫

[m

2

];

• momenty statyczne w/z osi [m

3

] i środek ciężkości

d

x

c

A

S

y A

A

=

≡

∫

y

,

d

y

c

A

S

x A

A

=

≡ x

∫

i

x

c

S

y

A

=

,

y

c

S

x

A

=

• osie centralne

0

,

0

x y

- przechodz

ą przez środek ciężkości,

je

śli figura ma oś symetrii to jej środek ciężkości leży na tej osi,

je

śli ma dwie osie symetrii to środek ciężkości leży na ich przecięciu;

• figura złożona z

cz

ęści o polach

1,...,

i

=

n

i

A i środkach (

)

,

ci

ci

y

x

1

n

x

i

i

S

A

=

= ∑

ci

y

,

1

n

y

i

i

S

A

=

= ∑

ci

x

środek ciężkości figury złożonej z dwóch części - sposób wykreślny;

• momenty bezwładności [m

4

]

w/z osi

2

d

x

A

J

y

=

∫

A

,

2

d

y

A

J

x

=

A

∫

,

biegunowy

2

o

d

A

J

r A

=

∫

2

2

( + )d

+

x

y

A

x

y

A J

J

=

=

∫

, z def.:

,

o

,

,

0

x

y

J J J

>

dewiacyjny

d

xy

A

J

xy

=

∫

A

;

• promienie bezwładności

k

k

J

i

A

=

,

, ,

,

k

x y xy o

=

;

• centralne (środkowe) momenty bezwładności

0

0

0

,

,

0

x

y

x y

J

J

J

to momenty w/z osi centralnych

0

0

,

x y ;

Jacek Chró

ścielewski WM2F026_028.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (27)

Momenty bezwładności figur płaskich

• wzór Steinera dla osi

0

||

x

x ,

0

||

y

y

0

2

x

x

c

J

J

Ay

=

+

,

0

2

y

y

J

J

Ax

=

+

c

,

0 0

xy

x y

c

J

J

Ax y

c

=

+

,

figura z

łożona

0

2

1

(

)

i

n

x

x

i

ci

i

J

J

A y

=

=

+

∑

,

,

0

2

1

(

)

i

n

y

y

i

ci

i

J

J

A x

=

=

+

∑

0

0

1

(

)

i

i

n

xy

x y

i

ci

ci

i

J

J

A x y

=

=

+

∑

;

• obrót układu współrzędnych o

( , )

x

ϕ

ξ

=)

zgodny z ruchem zegara,

transformacja wspó

łrzędnych

cos

sin

sin

cos

x

y

x

y

ξ

ϕ

ϕ

η

ϕ

ϕ

=

−

=

+

, daje z def.:

2

2

2

2

2

2

2

2

d

cos

sin

2sin cos

d

sin

cos

2sin cos

d

(

)sin cos

(cos

sin

)

x

y

xy

A

x

y

xy

A

x

y

xy

A

J

A

J

J

J

J

A

J

J

J

J

A

J

J

J

ξ

η

ηξ

η

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ξ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ηξ

ϕ

ϕ

ϕ

≡

=

+

+

≡

=

+

−

≡

= −

−

+

−

∫
∫
∫

ϕ

• główne momenty i główne osie bezwładności,

analogia do PSN

J

ϕ

ξ

σ

↔ ,

x

x

J

σ

↔

,

y

y

J

σ

↔

,

xy

J

xy

τ

↔

, st

ąd np.

2

2

1,2

2

2

x

y

x

y

xy

J

J

J

J

J

J

+

−

⎛

⎞

=

±

+

⎜

⎟

⎝

⎠

,

0

2

2

xy

x

y

J

tg

J

J

ϕ

=

−

,

- warunek maksimum

01

(

) cos 2

x

y

J

J

0

ϕ

−

>

;

- osie g

łówne (

1,

) s

ą ortogonalne

2

01

02

/ 2

ϕ

ϕ

π

=

+

;

- w uk

ładzie osi głównych

12

0

J

=

;

- niezmienniczo

ść wz obrotu

1

2

x

y

J

J

J

J

J

J

const

ξ

η

+ = + = + =

;

Jacek Chró

ścielewski WM2F026_028.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (28)

Momenty bezwładności figur płaskich

•

główne centralne momenty bezwładności i osie bezwładności

i

1,

, s

ą obliczone dla układu centralnego

,

1

2

,

J J

2

0

1

x x

= =

0

2

y y

= =

o pocz

ątku w środku ciężkości

- je

śli figura ma oś symetrii to jest to oś główna,

- je

śli ma dwie osie sym. to są to główne centralne osie bezwładności,

- je

śli ma trzy i więcej, to każda prosta przez środek ciężkości

jest g

łówną centralną osią bezwładności;

•

znajomo

ść momentów bezwładności figur:

prostok

ąt

0

3

12

x

bh

J

=

-

,

1

3

| dolna

3

x

bh

J

=

-

,

trójk

ąt

1

3

| dolna

12

x

bh

J

∆

=

,

0

3

36

x

bh

J

∆

=

,

ko

ło

4

O

o

2

r

J

π

=

,

0

0

O

4

O

O

o

2

4

x

y

J

r

J

J

π

=

=

=

;

• koło Mohra - graficzne wyznaczanie

1

2

,

,

J J

0

ϕ

orientacja

osi

,

,

x

y

x

J J J

y

, k

ąt

( , )

x

ϕ

ξ

+ =)

odmierzany zgodnie

z ruchem wskazówek zegara,

o

ś momentów dewiacyjnych

xy

J skierowana w dół;

• przekroje cienkościenne (grubość ścianki

δ

<< , , ,...

a b h

)

uproszczenie przy obliczaniu charakterystyk geometrycznych polega
na pomijaniu sk

ładników z

2

δ

i w wy

ższej potędze jako małych.

Jacek Chró

ścielewski WM2F026_028.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (29)

Zginanie czyste (ukośne)

W przekroju wyst

ępuje tylko wektor momentu

0

x

x

y

y

M

M

=

+

≠

e

e

M

st

ąd tylko

0

z

σ σ

≡

≠

(tzw. zginanie uko

śne);

• hipoteza kinematyczna Bernoulliego (o płaskich przekrojach):

przekroje pocz

ątkowo płaskie i prostopadłe do osi pręta pozostają

p

łaskie i prostopadłe do osi pręta w trakcie procesu deformacji,

konsekwencja

( , )

z

x y

ax

by

c

ε

ε

≡ =

+

+ (płaszczyzna);

• ogólnie, dla założenia o płaskich przekrojach i prawa Hooke'a

( , )

( , )

(

)

z

z

x y

E

x y

E ax

by

c

σ

ε

≡

=

+

+

z

A

A

x

z

A

A

y

z

A

A

N

A

E ax

by

c

,

po podstawieniu do definicji si

ł przekrojowych otrzymuje się układ

d

(

)d

d

(

) d

d

(

) d

A

M

y A

E ax

by

c y A

M

x A

E ax

by

c x A

σ

σ

σ

⎧

=

=

+

+

⎪

⎪

=

=

+

+

⎨

⎪

= −

= −

+

+

⎪⎩

∫

∫

∫

∫

∫

∫

⇒

x

y

x

x

xy

x

y

xy

y

y

A S S

Ec

N

S J J

Eb

M

S J

J

Ea

M

⎡

⎤

⎧

⎧

⎫

⎫

⎪

⎪ ⎪

⎪

⎢

⎥

=

⎨

⎬ ⎨

⎬

⎢

⎥

⎪

⎪ ⎪

⎪

⎢

⎥

−

⎩

⎭

⎣

⎦

⎩

⎭

;

•

zginanie ukośne w układzie osi centralnych (

0

N

=

,

)

po wyznaczeniu sta

łych

0

x

y

S

S

=

=

,

,

Ea Eb Ec otrzymuje się:

napr

ężenia

2

2

( , )

y

x

x

xy

x

y

y

xy

z

x

y

xy

x

y

xy

M J

M J

M J

M J

x y

x

J J

J

J J

J

σ

y

+

+

= −

+

−

−

,

o

ś obojętna

( , )

0

def

z

x y

σ

=

⇒

y

x

x

xy

x

y

y

xy

M J

M J

y

x

M J

M J

+

=

+

, lub

o

ś zerowa - przechodzi ukośnie przez początek układu,

-

napr

ężenia ekstremalne występują w punktach

najbardziej oddalonych od niej;

Jacek Chró

ścielewski WM2F029_031.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (30)

Zginanie czyste: ukośne i proste

•

zginanie ukośne w głównych centralnych osiach bezwładności

napr

ężenia

0

x

y

xy

S

S

J

= = =

⇒

( , )

y

x

y

x

M

M

x y

x

J

J

σ

= −

+

y

,

o

ś obojętna

( , )

0

z

x y

σ

=

⇒

y

x

x

y

M J

y

x

M J

=

;

naprężenia w przekroju o dwóch osiach symetrii

s

ą to główne centralne osie bezwładności

oraz zachodzi

⇒

max

min

|

|

x

x

=

i

max

min

|

|

y

y

=

y

x

eks

x

y

M

M

W

W

σ

= ±

±

, gdzie

max

x

x

J

W

y

=

,

max

y

y

J

W

x

=

wska

źnikami wytrzymałości w/z odpowiednich osi;

•

zginanie proste (płaskie) - w gł. centralnych osiach bezwładności,

jedna

ze

sk

ładowych wektora momentów równa zero

napr

ężenia

( )

x

z

x

M

y

y

J

σ

=

,

o

ś zerowa

0

y

=

g

ł. centralna oś bezwładności,

napr

ężenia

g

x

g

x

M

W

σ

= −

,

d

x

d

x

M

W

σ

=

,

gdzie

|

|

g

x

x

g

J

W

y

=

,

|

|

d

x

x

d

J

W

y

=

,

tzw.

wska

źniki wytrzymałości górny i dolny;

Jacek Chró

ścielewski WM2F029_031.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (31)

Zginanie proste (czyste), lokalna deformacja osi belki

uwaga

prosta

-

g

łówna centralna oś bezwładności,

- o

ś naprężeń zerowych,

0

y

=

napr

ężenia

(

z

z

E

E ax

σ

ε

≡

=

by c

+

+

N

)

z

x

x

M

E by

y

J

ε

=

≡

;

obliczamy: wyd

łużenia pasma długości

oddalonego o od osi belki

w wyniku zakrzywienia

dz

y

1

κ

ρ

= osi belki

do

łuku kołowego o promieniu

( )

z

d

d

z

ρ

ϕ

=

⇒

1

d

dz

ϕ

κ

ρ

=

=

,

war. zgodno

ści geometrycznej

N

d ( )

d ( )

( )d

d

z

s y

s y

y z

y

ε

ϕ

=

⇒

d

( )

d

z

y

y

y

z

y

ϕ

ε

κ

ρ

=

= =

,

prawo Hooke'a

d

( )

( )

d

z

z

y

E

y

E

z

y

ϕ

σ

ε

=

=

,

definicja momentu

2

d

d

d

d

d

d

x

z

x

A

A

M

y A

E

y A

E

J

z

z

ϕ

ϕ

σ

=

=

=

∫

∫

,

st

ąd równanie na krzywiznę osi belki

1

d

d

x

x

M

z

EJ

ϕ

κ

ρ

=

=

=

,

x

EJ - sztywnością przekroju na zginanie;

rozwi

ązanie opisuje deformację belki w łuk kołowy i jest

rozwi

ązaniem ścisłym w ramach przyjętych założeń.

Jacek Chró

ścielewski WM2F029_031.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (32)

Mimośrodowe rozciąganie/ściskanie

Stan z

łożony, występują moment

0

x

x

y

y

M

M

=

+

≠

M

e

e

,

i

si

ła normalna

0

z

N

=

≠

W

e

⇒

0

z

σ σ

≡

≠ ;

Superpozycja stanu: osiowego rozci

ągania i zginania ukośnego:

• w osiach centralnych

x

, (

y

0

x

y

S

S

= = ) obowiązuje:

(

)

( , )

N

N

x y

const

A

σ

=

=

,

(

)

2

2

( , )

y

x

x

xy

x

y

y

xy

M

x

y

xy

x

y

xy

M J

M J

M J

M J

x y

x

J J

J

J J

J

σ

+

+

=−

+

−

−

;

uwzgl

ędnienie

,

= ×

M r W

x

y

u

v

=

+

r

e

e

⇒

x

M

Nv

=

,

y

M

Nu

=−

daje

napr

ężenia

(

)

(

)

2

2

1

x

xy

y

xy

N

M

x

y

xy

x

y

xy

uJ

vJ

vJ

uJ

N

Ax

Ay

A

J J

J

J J

J

σ σ

σ

⎡

⎤

−

−

=

+

=

+

+

⎢

⎥

−

−

⎢

⎥

⎣

⎦

,

o

ś zerową

0

def

σ

=

⇒

2

2

1 0

x

xy

y

xy

x

y

xy

x

y

xy

uJ

vJ

vJ

uJ

Ax

Ay

J J

J

J J

J

−

−

+

+ =

−

−

;

•

w g

łównych centralnych osiach bezwładności (

0

x

y

xy

S

S

J

= =

=

)

napr

ężenia

2

2

1

y

x

N

ux

vy

A

i

i

σ

⎡

⎤

=

+

+

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

, gdzie

2

x

x

J

i

A

=

,

2

y

y

J

i

A

=

o

ś zerową

2

2

1 0

y

x

ux

vy

i

i

+

+ = dla

2

2

0

/

0

/

x

y

x

y

i

y

x

=

⇒

= −

=

⇒

= −

v

i

u

,

tzn. o

ś zerowa nigdy nie przecina ćwiartki w której działa siła

;

trzy charakterystyczne po

łożenia osi zerowej względem przekroju,

o

ś: nie przecina, jest styczna i przecina przekrój.

( , )

u v

Jacek Chró

ścielewski WM2F032_035.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (33)

Uwaga 1 przejście z układu osi centralnych x , ,

do

g

łównych osi centralnych

y

,

,

0

x

y

xy

J J

J

≠

1

ξ

≡ ,

2

η

≡ ,

,

,

1

J

J

ξ

≡

2

J

J

η

≡

01

ϕ

przez transformacj

ę ortogonalną

,

x y oraz

, tutaj

,

u v

01

( , )

x

ϕ

ξ

=

)

01

01

01

01

cos

sin

sin

cos

x

y

x

y

ξ

ϕ

ϕ

η

ϕ

ϕ

=

+

= −

+

.

Uwaga 2 jeżeli siła przesuwa się po prostej u av b

=

+ to oś

0

σ

=

⇒

2

2

1 0

y

x

av b

v

x

y

i

i

+

+

+ =

⇒

N

2

2

2

0

0

(

)

1

y

x

y

ax

y

bx

v

i

i

i

=

=

0

+

+

+ ≡

, niezale

żnie od

u

,

zawsze przechodzi przez punkt

v

2

y

b

i

x

b

= −

,

2

x

b

i a

y

b

=

,

tzn.

o

ś zerowa obraca się wokół punktu

( ,

)

b

b

x y stanowiąc

p

ęk prostych przechodzących przez ten punkt.

Kontur przekroju K jest to najmniejsza figura wypukła, w którą da się

wpisa

ć przekrój

A

K

⊆

.

Rdzeń (jądro) przekroju

R

jest to miejsce geometryczne punktów

przy

łożenia siły, dla których w całym przekroju panują

napr

ężenia jednakowego znaku.

•

Punktom granicy rdzenia odpowiadaj

ą osie styczne do konturu.

•

Rdze

ń R jest zawsze figurą wypukłą leżącą wewnątrz konturu

R

K

⊆

.

•

Rdze

ń ma te same oś symetrii co przekrój.

•

Środek ciężkości przekroju zawsze leży w obszarze rdzenia.

•

Je

śli kontur jest wielobokiem to rdzeń jest także wielobokiem

o

tej

samej

liczbie

boków.

Praktyczne znaczenie rdzenia np.:

•

materia

ły kruche,

•

materia

ły nie przenoszące ciągnień,

•

fundamenty.

Jacek Chró

ścielewski WM2F032_035.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (34)

Wyznaczenie rdzenia polega na określeniu jego granic, z definicji przez
podstawienie do równania osi oboj

ętnej

( , )

( , )

y

a u v x

b u v

=

+

albo

(I) równań granicy rdzenia (

i

−

temu wierzcho

łkowi konturu

( ,

)

i

i

x y

odpowiada

i

−

te równanie boku rdzenia

i

v

u

i

α

β

=

+

) albo

(II) równań boków konturu (

i

−

temu bokowi konturu

i

i

y

a x

b

=

+

odpowiada

i

−

ty wierzcho

łek rdzenia

), st

ąd:

( , )

i

i

u v

i

i

y

a x

b

=

+

,

0

i

a

≠

i

0

i

b

≠

0

i

y

b

= ≠

,

(

,

)

x

∈ −∞ +∞

⇒

0

i

a

=

0

i

x

c

= ≠

,

(

,

y

∈ −∞ +∞)

(

)

N

0

,

/

/

i

i

i

i

i

a b

i

x

y a

b a

c

≡ ⇒

=∞

⇒ =

−

≡

i

u

2

2

i

y

xy

i y

xy

i

i

a J

J

a i

i

b A

b

b

−

=

−

i

2

xy

x

i

i

J

i

b A

b

y

−

= −

2

y

y

i

i

J

i

c A

c

−

= −

i

v

2

2

i

xy

x

i xy

x

i

i

a J

J

a i

i

b A

b

b

−

=

−

i

2

x

x

i

i

J

i

b A

b

−

= −

2

1

xy

xy

i

i

J

i

c A

c

−

= −

•

Metoda wykre

ślna znajdowania osi zerowej ( ,

x y ) w układzie głównych

centralnych osiach bezw

ładności z war.

2

/

y

x

i

u

= −

,

2

/

x

y

i

= −

v

i granic rdzenia

x

d

g

d

J

W

v

y A

A

=

=

,

g

d

W

v

A

=

,

y

p

l

p

J

W

u

x A

A

=

=

,

l

p

W

u

A

=

.

• Granice rdzenia typowych figur:

prostok

ąt

( b h

× )

/ 6

g

v

h

=

,

/ 6

p

u

b

=

;

trójk

ąt równoboczny (b h

× )

/ 6

g

v

h

=

,

/ 8

p

u

b

=

;

ko

ło

(

/12

d

v

h

=

R )

/ 4

R

ρ

=

;

rura

grubo

ścienna

( ,

R r )

2

2

(

) / 4

R

r

R

ρ

=

+

;

rura

cienko

ścienna

( , )

R

δ

/ 2

R

ρ

=

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F032_035.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (35)

Mimośrodowe ściskanie przy wyłączeniu strefy rozciąganej

(fundamenty – nie przenosz

ą ciągnień)

Fundament prostok

ątny (stopa) A h b

= × ,

wierzcho

łki rdzenia

,

obci

ążenie w płaszczyźnie symetrii (

/ 6,

/ 6

h

b

±

±

x

x

b

− ⊥ ) siłą w odległości

od kraw

ędzi stopy,

trzy przypadki ustawienia si

ły:

P

c

−

3

h

c

≥ rozkład

σ

trapezowy, si

ła wewnątrz rdzenia

max

min

,

y

y

M

P

A

W

σ

σ

= − ±

⇒

max

2

3

(1

)

P

bh

h

σ

=

−

c

,

min

2

3

( 2

)

P

c

bh

h

σ

=

− +

;

−

3

h

c

= rozkład

σ

trójk

ątny na całej długości , siła na skraju rdzenia

h

max

0

σ

= ,

min

2P

bh

σ

= −

;

−

3

h

c

< rozkład

σ

trójk

ątny tylko na części , siła poza rdzeniem

h

max

0

σ

= ,

min

2

3

P

bc

σ

= −

.

W praktyce nie dopuszcza si

ę przypadków odporu fundamentu na

obszarze mniejszym od po

łowy powierzchni całkowitej

⇒ 3

2

h

c

> ⇒

6

h

c

> .

Jacek Chró

ścielewski WM2F032_035.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (36)

Skręcanie swobodne de Saint

−

Venanta

Skr

ęcanie czyste, tylko

i

0

s

z

M

M

≡

≠

tylko

0

τ

≠ + swoboda deplanacji.

Skr

ęcanie nieswobodne, skrępowane = brak swobody deplanacji (przez

np.: podparcie, zmienne obci

ążenie, zmienny przekrój),

powstaj

ą także samorównoważące się

0

σ

≠ ( ,

,

x

y

N M M

0

= ).

Pręt o przekroju kołowym - skręcanie swobodne (i skrępowane)

(pe

łny, rura grubościenna, rura cienkościenna - rozwiązania ścisłe)

za

łożenia

• sztywne obroty ( )

z

ϕ

przekrojów (brak deplanacji !!!),

• tworzące mają postać krzywej śrubowej, przybliżaną

dla ma

łych kątów prostą

⇒

d

dz

ρ ϕ γ

=

⇒

N

skręcenie

d

dz

ϕ

γ ρ

⎛

⎞

= ⎜

⎟

⎝

⎠

,

•

czyste

ścinanie (p. Hooke’a)

⇒

G

τ

γ

=

⇒

d

d

G

z

ϕ

τ

ρ

=

,

•

napr

ężenia styczne ( )

Ž ρ prostopadłe ρ stąd

skr

ęcenie z def.

0

2

d

d

d

d

s

A

A

J

M

A G

A

z

ϕ

τρ

ρ

≡

=

=

∫

∫

⇒

0

d

d

s

M

z

GJ

ϕ

=

,

obrót odcinka

0

( )

|

d

( )

b

b

s

a b

a

a

M z

z

GJ z

ϕ

ϕ

−

=

=

∫

∫

d

dla

0

s

M

const

GJ

=

0

|

s a b

a b

M l

GJ

ϕ

−

−

=

,

napr

ężenia

0

( )

s

M

J

τ ρ

ρ

=

⇒

max

max

0

s

M

J

τ

ρ

=

⇒

max

s

s

M

W

τ

=

,

-

sztywno

ść na skręcanie (

),

0

GJ

2

0

d

A

J

A

ρ

=

∫

0

ma

/

s

W

J

x

ρ

=

-

wska

źnik wytrzymałości na skręcanie.

Jacek Chró

ścielewski WM2F036_040.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (37)

Pręt pryzmatyczny o przekroju prostokątnym

skręcanie swobodne

Brak rozwi

ązań elementarnych (takich jak dla prętów kołowych).

Fakty wynikaj

ące ze ścisłych rozwiązań teorii sprężystości

dla pr

ęta o założeniach

• długość l ,

• przekrój prostokątny b h

× , stały na długości,

• stały moment skręcający

s

M

const

=

, to:

−

w wyniku swobodnego skr

ęcenia występuje deplanacja przekroju,

−

wektory napr

ężeń stycznych Ž na brzegu przekroju są równoległe

do konturu a w naro

żach równe zero,

−

napr

ężenie maksymalne

max

τ

wyst

ępuje w środku dłuższego boku,

−

wzory przybli

żone (analogia do wzorów dla prętów kołowych):

napr

ężenia styczne max.

max

s

s

M

W

τ

=

,

k

ąt skręcenia pręta

s

s

M l

GJ

ϕ

=

,

- wska

źnik wytrzymałości

- moment bezw

ładności na skręcanie,

2

s

W

h

β

=

b

3

s

J

hb

α

=

s

GJ

- sztywno

ść przekroju na skręcanie.

Wspó

łczynniki

α

i

β

z tablic w zale

żności od proporcji

/

h b

/

h b

1 1.5 2 3 4 6 8 10

→ ∞

α

0.140 0.196 0.229 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313

→

1/3

β

0.208 0.231 0.246 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313

→

1/3

Jacek Chró

ścielewski WM2F036_040.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (38)

Pręt cienkościenny o przekroju otwartym (wieogałęziowy)

skręcanie swobodne

Za

łożenia: (występuje silna deplanacja przekroju)

• zbudowany z wąskich prostokątów

n

i

i

h

δ

× ( /

1

i

i

h

0

δ

≥

),

,

1, 2,...,

i

n

=

• przekroje w płaszczyźnie doznają jedynie sztywnego obrotu
(jako

ca

łość

i

const

ϕ ϕ

≡ =

),

• przyjmuje się wzór dla prostokąta (b

δ

≡ ), zatem

h

δ

≈ ∞ ⇒

1

3

α β

= = ,

− momentem bezwładności na skręcanie

3

1

3

n

s

i

i

i

J

h

η

δ

=

=

∑

− wskaźnik wytrzymałości na skręcanie

3

1

max

max

1

3

n

s

s

i

i

i

J

W

h

δ

δ

ηδ

=

=

=

∑

,

− współczynnik kształtu

η

dla profili walcowanych (wyoblenia)

k

ątownik ceownik, teownik dwuteownik profili idealnych

1

η

=

1.12

η

=

1.30

η

=

1

η

=

napr

ężenia styczne:

max

max

s

s

s

s

M

M

W

J

τ

δ

=

=

max

s

i

i

s

M

J

(

)

τ

δ

=

,

,

max

w

i

tej

−

ściance w środku dłuższego boku,

k

ąt skręcenia pręta:

s

s

M l

GJ

ϕ

=

.

Uzasadnienie wzorów: (z warunku sztywnego obrotu)

1

1

...

...

i

n

i

n

s

s

s

s

i

s

s

s

s

M l

M l

M l

M l

GJ

GJ

GJ

GJ

ϕ ϕ

≡ =

= =

= =

≡

⇒

i

i

s

s

s

s

J

M

M

J

=

, gdzie

3

1

2

i

s

i

i

J

h

δ

=

,

st

ąd

1

2

...

n

s

s

s

s

M

M

M

+

+ +

= M ⇒

max

(

)

i

i

i

i

s

s

s

i

i

s

s

s

M

M

M

W

J

J

i

τ

δ

δ

=

=

=

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F036_040.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (39)

Jednokomorowe pręt cienkościenne o przekroju zamkniętym

(skręcanie swobodne)

Rozwi

ązanie ścisłe: stały momentu, stały przekroju, swoboda deplanacji.

Za

łożenia:

• przekroje doznają jedynie sztywnego obrotu ( )

z

ϕ

w p

łaszczyźnie

ale nie pozostaj

ą płaskie (deplanacja),

( )

z

• naprężenia ( , )

z s

τ

s

ą styczne linii środkowej ścianki ( )

s

i

roz

łożone równomiernie na jej grubości ( )

s

δ

,

Warunek:

max

min

( )

( ) ( )

t s

s

s

const

τ

δ

τ δ

=

=

=

wynika z równowagi

0

Z

∑ = fragmentu obwodu d ,

z

I. wzór Bredta dla napr

ężeń

( )

2

(

s

s

M

s

F

s

τ

δ

=

)

,

wynika z def.

d

d

d

d

2

s

s

A

M

A

tr s

t r s

r s

F

τρ

τδ

=

=

=

=

=

∫

∫

∫

∫

τδ

v

v

v

,

1
2

d

s

F

r

=

s

∫v

pole ograniczone lini

ą środkową ( )

s ,

−

∫v

ca

łka po obwodzie zamkniętym ( )

s ,

napr

ężenia styczne max.

max

min

2

s

s

s

s

M

M

F

W

τ

δ

=

=

,

wynikaj

ą z warunku

max

min

const

τδ τ δ

=

=

,

min

2

s

s

W

F

δ

=

wska

źnik wytrzymałości na skręcanie.

Jacek Chró

ścielewski WM2F036_040.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (40)

Jednokomorowe pręt cienkościenne o przekroju zamkniętym (cd.)

II. wzór Bredta dla skr

ęcenia

d

d

s

s

M

z

GJ

ϕ

=

,

obrót odcinka

|

d

b

b

s

a b

a

a

s

M

z

GJ

ϕ

ϕ

−

=

=

∫

∫

d

,

2

(2

)

d

s

s

F

J

s

δ

=

∫v

moment bezw

ładności na skręcanie,

s

GJ

sztywno

ść na skręcanie.

II. wzór Bredta wyprowadza si

ę na podstawie twierdzenia Clapeyrona

(które b

ędzie podane później). Przyrównując

praca

z

L

zewn

ętrznego

momentu skr

ęcającego

s

M

na k

ącie obrotu

ϕ

≡

energia potencjalna

p

E

odkszta

łcenia sprężystego

dla pr

ęta o długości

l

1

1

2

2

d

z

s

p

V

L

M

E

V

ϕ

τγ

=

≡

=

∫

,

Uwzgl

ędniając:

p. Hooke’a

G

τ

γ

=

, I. wzór Bredta

( )

2

(

s

s

M

s

F

s

τ

δ

=

)

s

oraz

d

d

V

l

δ

=

,

otrzymuje si

ę

2

2

2

2

2

2

d

d

d

d

G

4

4

s

s

s

V

V

s

s

M

M l

s

M

V

V

l s

GF

GF

τ

ϕ

τγ

δ

δ

δ

=

=

=

=

∫

∫

∫

∫

v

v

,

st

ąd ostatecznie

2

d

d

d

4

s

s

M

s

z

l

GF

ϕ ϕ

δ

≡ =

∫v

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F036_040.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (41)

Łączenie elementów konstrukcji

(stalowych i drewnianych, uproszczona teoria techniczna)

G

łówne założenie:

• równomierne rozkładu naprężeń w łączonych elementach,

mimo wyst

ępowania w rzeczywistości koncentracji naprężeń;

• sprawdza się tylko warunki wytrzymałościowe (typu

obl

obl

R

σ

≤

),

przyjmuj

ąc, że warunki odkształceniowe są spełnione;

•

po

łączenie nie powinno zmieniać charakteru pracy łączonych części,

np. osiowo

ść przenoszenia sił (wypadkowe: łączników obciążenia);

≡

•

szczegó

ły projektowania połączeń regulują normy

(maksymalne i minimalne wielko

ści technologiczne,

tj. rozmieszczenie, rozstawy i odst

ępy, grubości itp.).

Połączenia spawane

Czo

łowe proste

e

R

bt

σ

σ

=

≤

N

,

uko

śne, kąt

ϕ

2

cos

,

sin2

2

e

e

R

R

bt

bt

ϕ

σ

ϕ

τ

σ

ϕ

τ

ϕ

=

≤

=

N

N

≤

,

gdzie:

szeroko

ść blachy,

t

b

−

−

grubo

ść blachy,

napr

ężenia dopuszczalne spoiny na rozciąganie

,

typowo

e

R

σ

−

blach

R

≤

0.8

blach

R

=

przy rozci

ąganiu,

blach

R

=

przy

ściskaniu,

napr

ężenia dopuszczalne spoiny na ścinanie

.

e

R

τ

−

blach

R

<

Pachwinowe

e

R

la

τ

τ

=

≤

N

, (pod

łużne i poprzeczne),

gdzie:

l

sumaryczna d

ługość spoin (po jednej stronie łącznika),

−

obliczeniowa grubo

ść spoiny, typowo

a

−

0.7

t

=

;

Jacek Chró

ścielewski WM2F041_042.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (42)

Połączenia nitowane

Sposoby zniszczenie po

łączenia nitowanego przez:

•

ścięcie nitów,

•

docisk nitów,

•

rozerwanie blach;

no

śność nita

ci

ętego

m

−

min

min(

,

)

m

t

d

N

N

=

N

na

ścinanie

2

4

m

t

R

d

N

m

τ

π

=

,

na

docisk

min

d

d

N

R d t

=

,

liczba nitów

min

n

N

≥

N

,

napr

ężeń w osłabionej blasze

min

(

)

i

R

b

d t

σ

σ

Σ

=

≤

−

N

,

gdzie

−

N

si

ła normalna przenoszona przez połączenie,

średnica nita,

b

szeroko

ść blachy,

z sumy grubo

ści blach po jednej stronie połączenia),

d

−

−

min

min(

t

=

R

τ

−

napr

ężenia dopuszczalne nita na ścinanie,

d

R

−

napr

ężenia dopuszczalne nita na docisk, (typowo

2R

σ

=

),

suma

średnic nitów w osłabieniu przekroju.

i

d

Σ

=

Połączenia ciesielskie

Anizotropowo

ść materiału - wytrzymałość zależy od kierunku obciążenia

w stosunku do w

łókien drewna.

Sposoby zniszczenie po

łączenia ciesielskie przez:

•

ścięcie zaciosu,

•

docisk zaciosu,

•

rozerwanie os

łabionego przekroju.

Jacek Chró

ścielewski WM2F041_042.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (43)

Zginanie ze ścinaniem belek grubościennych

Za

łożenia:

• w przekroju działają moment i siła tnąca (stan złożony) np.

;

,

0

x

y

M T

≠

• zginanie proste w gł. centralnych osiach bezwładności

;

,

,

0

x

y

xy

S S J

=

• siła tnąca nie wpływa na rozkład naprężeń normalnych

y

T

( , )

x y

σ

(rozs

ądne przy

1 5

h L

≤

, wówczas b

łąd nie przekracza

1%

);

•

na prostych

równoleg

łych do

(

y y ustalone

γ

=

)

x

(o

ś naprężeń zerowych)

napr

ężenia od ścinania są stałe

( ,

)

x y

con

γ

st

τ

=

(po szeroko

ści).

Napr

ężenia styczne

( , )

( )

y

x y

T

τ

τ

=

•

z war.

0

Z

Σ

=

dla wycinka

i cz

ęści przekroju

dz

(

)

y

γ

A

Ω

⊂

odci

ętej

p

łaszczyzną

(

y y ustalone

γ

)

=

na szeroko

ści

(

)

b y

γ

otrzymuje si

ę

(

d )d

d

(

) (

)d

0 /:d

A

A

y b y

z

γ

γ

Ω

Ω

σ σ

σ

τ

+

−

−

=

∫

∫

z

⇒

d

d

(

) (

)

d

A

y b y

z

γ

γ

Ω

0

σ

τ

−

=

∫

,

•

uwzgl

ędniając zróżniczkowane

x

x

M

y

J

σ

=

po

z

d

d

d

x

x

x

x

M

y

T

y

z

z J

J

σ

=

=

mamy

d

0

y

x

T

y A

b

J

γ γ

Ω

τ

−

=

∫

⇒

y

x

x

T S

J b

γ

γ

γ

τ

=

,

gdzie

(

)

(

)

d

x

x

y

S

S y

y

γ

γ

γ

Ω

=

=

∫

A

momentem statycznym wz. osi x

odci

ętej części przekroju ( )

y

γ

Ω

;

Maksymalne napr

ężenia styczne dla środka ciężkości (

):

prostok

ąt

0

max

|

x

x y

S

S

γ

=

=

max

0

3

|

2

y

y

T

A

γ

τ

τ

=

=

=

,

ko

ło

max

0

4

|

3

y

y

T

A

γ

τ

τ

=

=

=

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F043_045.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (44)

Zginanie ze ścinaniem belek cienkościennych

Za

łożenia:

•

w przekroju dzia

łają 2 momenty

+

2 si

ły tnące (stan złożony);

•

zginanie uko

śne w gł. centralnych osiach bezwładności

;

,

,

0

x

y

xy

S S J

=

•

si

ły tnące

x

T

,

nie wp

ływa na rozkład naprężeń normalnych

y

T

( , )

x y

σ

;

•

napr

ężenia styczne

( )

s

τ

sta

łe na gr. ścianki

( )

s

δ

, (

s

−

wsp. bie

żąca).

Napr

ężenia styczne

( , )

( ,

)

y

y

x y

T T

τ

τ

=

•

równanie równowagi

0

Z

Σ

=

elementarnej obj

ętości

(d

d )

s

z

δ

×

d

d

d

d

0

z

s

s

z

z

s

σ

τ

δ

δ

∂

∂

⎛

⎞

⎛

⎞

+

=

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠

⎝

⎠

⇒

( )

( )

0

s

s

z

s

σ

τ

δ

δ

∂

∂

+

=

∂

∂

,

•

ca

łka po

s

w przekroju

γ

daje

0

0

0

d

s

s

z

γ

γ γ

σ

τ δ

δ

τ δ

∂

= −

+

∂

∫

0

0

, (

τ

=

),

•

ró

żniczkując

y

x

y

x

M

M

x

y

J

J

σ

=−

+

po , uwzgl

ędniając

z

d

d

x

y

M

T

z

=

,

d

d

y

x

M

T

z

=−

,

mamy

0

0

d

s

s

y

x

x

y

T

T

y s

x s

J

J

γ

γ

γ γ

τ δ

δ

δ

= −

−

∫

∫

d

st

ąd

•

napr

ężenia

y

x

x

y

x

y

T S

T S

J

J

γ

γ

γ

γ

γ

τ

δ

δ

= −

−

, gdzie

d

x

S

y A

γ

γ

Ω

=

∫

,

d

y

S

x A

γ

γ

Ω

=

∫

momenty statyczne cz

ęści

( )

s

γ

γ

Ω Ω

=

.

•

uwaga dla

0

τ

>

wektor

τ jest zgodny z kierunkiem

s

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F043_045.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (45)

Środek zginania (skręcania)

− punkt w płaszczyźnie przekroju,

w którym winna dzia

łać siła tnąca aby pręt był tylko zginany,

w przeciwnym razie obok zginania wyst

ąpi również skręcanie:

•

dla przekroju o osi symetrii

− leży na tej osi,

•

dla dwóch osi symetrii

− pokrywa się ze środkiem ciężkości,

•

dla przekrojów gwia

ździstych

− pokrywa się ze środkiem gwiazdy,

(krzy

żują się strumienie naprężeń stycznych z ramion

np.: k

ątownik, teownik, krzyżak),

•

dla ceownika cienko

ściennego (

,

b

b

δ

,

,

h

h

δ

i

0

y

T

≠

,

0

x

T

=

),

pó

łka

1

2

x

b

S

h

γ

x

γ

δ

=

⇒

2

y

x

T hx

J

γ

γ γ

b

δ

τ δ

= −

rozk

ład liniowy

brzeg

, naro

że

(0)

0

|

b

x

γ

τ

τ

=

=

= 0

(1)

|

2

y

b

x

b

x

T hb

J

γ

τ

τ

=

=

= −

,

wypadkowa z napr

ężeń (pozioma)

2

(1)

2

4

y

b

b

b

b

x

T hb

b

t

J

δ

τ δ

=

=

,

środnik

/ 2

półki

2

2

1

1

1

d

(

2

8

2

h

x

x

h

b

h

h

y

S

S

y y

hb

h

y

γ

γ

)

γ

δ

δ

δ

δ

=

+

=

+

−

∫

(parabola),

naro

że

(1)

(1)

2

|

b

h

h

y

h

γ

b

δ

τ

τ

δ

=

=

=

τ

, max

2

(1)

max

0

|

8

y

y

h

x

T h

J

γ

τ

τ

τ

=

=

=

−

,

wypadkowa z napr

ężeń środnika (pionowych)

,

h

y

t

T

=

po

łożenie środka ścinania

x

α

, war. zerowania momentów od ( )

s

γ

τ

0

b

h

x

t h

t

α

−

=

⇒

2

2

4

b

b

x

h

x

t h

h b

t

J

δ

α

=

=

,

x

α

mierzone od linii

środkowej środnika.

Jacek Chró

ścielewski WM2F043_045.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (46)

Belki wielokrotne i złożone

(pr

ęt składa się z kilku części połączonych lub niepołączonych ze sobą,)

Belka wielokrotna, części tworzące belkę nie są połączone, pracujące

niezale

żnie.

Np. identycznych cz

ęści o długości l :

n

0

max

max

max

(

)

(

)

(

)

x

x

z

x

M

nW

n

σ

σ

=

=

.

Belka złożona, części tworzące belkę połączone w monolit, traktuje się

jako ca

łości.

Np. cz

ęści o przekroju (

n

)

b h

× i wysokości

:

(

)

nh

0

max

max

max

max

2

2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) / 6

x

x

x

z

x

M

M

b nh

n W

n

σ

σ

=

=

=

2

.

Za

łożenie. Połączenie (klej, nity, śruby, spawki,

zgrzewki punktowe, klocki, gwo

ździe, pierścienie itp.)

jest niepodatne i przenosi napr

ężenia styczne

γ

τ

w

miejscu

łączenia y y

γ

= ;

Jacek Chró

ścielewski WM2F046_048.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (47)

Siła rozwarstwiająca w belkach złożonych

Wypadkowa z napr

ężeń (mierzona na jednostkę długości ) zebraną z

ca

łej szerokości belki w miejscu łączenia

z

y

x

z

x

T S

R

b

J

γ

γ

γ γ

τ

=

=

.

Na si

łę rozwarstwiającą projektuje się łączniki o charakterze ciągłym (np.

kleje, spawki ci

ągłe).

Łączniki punktowe (nity, śruby, klocki itp.) rozmieszczonych w rozstawie

formalnie musz

ą przenieść wypadkową z odcinka

e

e

( )

d

d

z e

z e

e

x

z

z

z

z

x

S

y

R

R z

T z

J

γ

γ

γ

+

+

=

=

∫

∫

.

• W praktyce, mimo osłabień przekroju otworami (ich mały wpływ)

i zmienno

ści siły tnącej (gęsty rozstaw łączników), stosuje się wzór

brutto

max

( )

brutto

x

y

e

z

x

S

T

R

e

J

γ

γ

=

.

Sprawdzanie naprężeń normalnych w belkach złożonych

wykonuje si

ę dla przekroju osłabionego łącznikami (

)

netto

max

max

netto

(

)

(

)

x

z

dop

x

M

W

σ

σ

=

≤

.

• W belkach drewnianych (wykonanie całkowicie niepodatnych łączników

jest niemo

żliwe) do obliczenia

stosuje si

ę odpowiednie (zgodne

z normami) wspó

łczynniki korygujące.

netto

x

W

Jacek Chró

ścielewski WM2F046_048.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (48)

Naprężenia prostopadłe do osi belki w zginaniu prostym

Za

łożenia:

• stan złożony moment

i tn

ąca

0

x

M

≠

0

y

T

≠

, zginanie proste

,

,

0

x

y

xy

S S J

=

,

•

obci

ążenie stałe rozłożone na górnej powierzchni belki ,

0

b

•

szeroko

ść przekroju

, wysoko

ść

( )

b

b y

=

g

d

h

h

h

= +

.

Napr

ężenia

y

σ

(dot

ąd pomijanych

− uzasadnienie),

z

⇒

0

Y

Σ

=

(

y

σ

d ) d

d

y

y

y b z

b z

y

σ

σ

∂

+

−

∂

(

zy

τ

+

d ) d

d

zy

zy

z b y

b y

z

τ

τ

∂

+

−

∂

0

=

podstawiaj

ąc

|

y

x

zy

x

T S

J b

γ

γ

γ

τ

=

i

d

( )

d

y

T

p z

z

= −

d

( )

...

d

y

zy

y

x

x

x

x

T

S

p z S

y

z

z J b

J b

γ

γ

γ

γ

σ

τ

∂

∂

= −

= = −

=

∂

∂

,

ca

łka po daje

y

0

( )

( )

|

d

g

y

x

y

h

x

p z

S

p

y

J

b

b

γ

γ

γ

γ

σ

−

=

−

∫

z

.

Wynik

ca

łkowania zależy od kształtu przekroju.

Przekrój (

) ,

b h

×

3

2

2

3

3

/ 2

( )

( )

( )

|

(

) d

[3

/12

2 4

2

x

x

y

y

h

S

J

y

y

p z

b h

p z

p z

y

y

b bh

b

b

h

h

γ

γ

γ

γ

γ

γ

σ

−

=

−

−

=

−

∫

i

4

1]

−

.

Np. dla belki swobodnie podpartej

l

,

(

)

b h

×

,

/ 2

|

y

h

p

const

=−

=

mamy:

max

/ 2

(

)

|

| |

y

y

h

|

p

b

γ

σ

σ

=−

=

= −

,

2

2

max

max

2

(

)

/ 8

3

(

)

( )

/ 6

4

x

z

x

M

pl

p l

W

bh

b h

σ

=

=

=

,

st

ąd

max

2

max

(

)

4

( )

(

)

3

y

z

h

l

σ

σ

=

⇒

max

max

10

(

)

0.0133

(

)

y

h

z

l

σ

σ

=

=

(ma

łe).

Jacek Chró

ścielewski WM2F046_048.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (49)

Pręty zespolone

Pr

ęt zespolony z materiałów o różnych modułach sprężystości

(

b

E

i

s

E

np.: beton stal, beton

−

−cegła, drewno −stal itp.) połączonych

w ca

łość, siła rozwarstwiająca jest przenoszona przez łączniki.

Za

łożenia:

• stan złożony moment

i si

ła normalna

0

x

M

≠

0

N

≠ ,

• przekroju o pionowej ( ) osi symetrii (

0

y

)

xy

J

= ,

• przekroju złożony z dwóch materiałów

b

A ,

s

A i

s

b

E

nE

=

,

• obowiązuje hipoteza o płaskich przekrojach

by

c

ε

=

+ ,

• z p. Hooke’a

( )

( )

(

)

,

( )

( ) ( )

( )

( )

(

)

(

)

.

b

b

b

b

s

s

s

b

y

E

y

E by c na A

y

E y

y

y

E

y

E by c

nE by c na A

σ

ε

σ

ε

σ

ε

=

=

+

⎧

=

⇒ ⎨

=

=

+ =

+

⎩

s

Napr

ężeń (w obu materiałach)

d

d

d

(

)

(

),

d

d

d

(

)

(

),

b

s

b

s

def

b

s

b

x b

b

b

x s

s

A

A

A

def

x

b

s

b

x b

x b

b

x s

x s

A

A

A

N

A

A

A E bS

cA

nE bS

cA

M

y A

y A

y A E bJ

cS

nE bJ

cS

σ

σ

σ

σ

σ

σ

=

=

+

=

+

+

+

=

=

+

=

+

+

+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

=

∫

d

s

x s

A

S

y

=

∫

2

d

b

x b

A

J

y

=

gdzie

,

,

d

b

x b

A

S

y A

A

A

∫

,

2

d

s

x s

A

J

y A

=

∫

st

ąd

x c

C

x c

x c

S

A

b

s

x b

x s

b

x b

x s

x b

x s

x

S

J

b

N

A

nA S

nS

E

c

S

nS

J

nJ

b

M

E

⎧

⎫

⎡

⎤

⎪

⎪

⎢

⎥

+

+

⎧ ⎫ ⎪

⎢

⎥

=

⎨ ⎬ ⎨

⎬

+

+

⎢

⎥ ⎩ ⎭ ⎪

⎪

⎢

⎥

⎪

⎪

⎣

⎦

⎩

⎭

⎪

dla

1

1

0

x c

1

x

x b

x s

c

c

b

S

S

S

nS

y

s

A

A

nA

≡

+

=

=

+

⇒

x

b

c

b

c

M

b

E J

N

c

E A

⎧ =

⎪⎪

⎨

⎪ =

⎪⎩

,

( )

(

)

( )

( )

(

)

.

x

b

b

c

c

x

b

s

b

s

c

c

N

M

y

E by

c

y

na A

A

J

y

nN

nM

y

nE by

c

y na A

A

J

σ

σ

σ

⎧

=

+ =

+

⎪⎪

⇒ ⎨

⎪

=

+ =

+

⎪⎩

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F049_051.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (55)

Równanie linii ugięcia belki

wyznaczanie przemieszcze

ń przy zginaniu

Za

łożenia:

• zginanie płaskie w gł. centralnych osiach bezwładności

;

,

,

0

x

y

xy

S S J

=

• małe: przemieszczenia

1

v

L

<< , obroty

d

1

d

v

v

z

′=

<< , odkształcenia

1

ε

<< ;

• rozważamy tylko pionowe przemieszczenia belki tzw. ugięcia;
• siła tnąca nie wpływa na ugięcia belki.

y

T

Lina ugięcia krzywa reprezentująca zdeformowana oś belki

,

okre

śla całkowicie deformację

odkszta

łcenia belki.

−

( )

v z

−

⇒

Równanie Eulera porównanie wzorów

krzywizna osi belki

w czystym zginaniu

krzywizna krzywej p

łaskiej

z geometrii ró

żniczkowej

równanie

Eulera

d

1

d

x

x

M

s

EJ

ϕ

κ

ρ

=

=

=

≡

(

)

3 / 2

małe

2

1 ( )

v

v

v

v

′

′′

′′

±

−

′

+

⇒

2

2

d

d

x

x

M

v

z

E

= −

J

równanie Eulera

− zwyczajne równanie różniczkowe II-rzędu o stałym

wsp., rozwi

ązanie wymaga znajomości

( )

x

M

z

.

Równanie IV-rzędu, niech

x

EJ

const

=

, uwzgl

ędniając

2

2

d

d

dz

dz

y

x

y

T

M

q

=

= −

dwukrotne

ró

żniczkowanie równania Eulera

x

x

EJ v

M

′′ = −

daje:

x

x

y

EJ v

M

T

′′′

′

= −

= − ,

IV

x

x

y

y

EJ v

M

T

q

′′

′

= −

= − =

,

4

4

d

d

x

x

q

v

z

EJ

=

posta

ć do obliczania ugięć w układach statycznie niewyznaczalnych

− rozwiązanie nie wymaga znajomości sił wewnętrznych.

Jacek Chró

ścielewski WM2F055_057.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (56)

Metoda Eulera - metoda całkowania bezpośredniego

polega na obustronnym ca

łkowaniu równań

2

2

1

1

2

d

,

d

d

,

[

d ] d

x

x

M

v

v

z

EJ

v

z

C

v

z

z

C z

′′ =

= −

′ =

+

=

+

∫

.

C

+

∫ ∫

= f(z)

f(z)

f(z)

• jeśli f( ma odcinkowo różne postaci analitycznych całkujemy

z)

przedzia

łami;

• stałe C

1

, C

2

wyznaczamy z warunków brzegowych i/lub warunków:

− ciągłości linii ugięcia na końcach przedziałów

,

l

p

v

v

=

− ciągłości stycznych (kątów)

l

p

v

v

′

′

=

d

tg

d

x

x

y

v

z

ϕ

ϕ

′= = −

≅ − interpretuje się jako kąt obrotu stycznej.

Uwaga przy zmianie w przedziałach zwrotu osi (

)

z

z

= − ,

przyrównuj

ąc na brzegach przedziału funkcje nieparzyste

(

)

x

v

ϕ

′ ≅ −

,

zmieniamy znak na przeciwny.

y

v′′′

↔ T

Równanie

4

4

d

d

IV

x

x

q

v

v

z

EJ

=

=

ca

łkuje się analogicznie, czterokrotnie

(uk

łady statycznie niewyznaczalnych).

• stałe C

3

, C

4

wyznaczamy z warunków brzegowych i/lub warunków:

− ciągłości (znajomości) momentów

l

p

v

v

′′

′′

=

, (

0

x

v

M

0)

′′ = ⇔

=

,

− ciągłości (znajomości) sił tnących

l

p

v

v

′′′

′′′

=

, (

0

y

v

T

0)

′′′ = ⇔

=

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F055_057.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (57)

Metoda Mohra - metoda obciążeń wtórnych

równanie równowagi

2

2

d

d

dz

dz

y

x

y

T

M

q

=

=

−

równanie linii ugi

ęci

2

2

d

d( )

d

d

x

x

v

v

z

z

′

=

= −

M

EJ

analogia wielko

ści:

x

M

v

↔ ,

y

T

v′

↔ ,

/

y

x

x

q

M EJ

↔

obciążenie wtórne

*

/

y

x

q

M

EJ

≡

x

statyki daje:

⇒

• wtórne siły tnące

*

(

)

x

y

T

v

ϕ

′

≡

≅ −

⇒

pierwotne obroty,

• wtórne momenty

*

x

M

v

≡

pierwotne ugi

ęcia,

⇒

układ rzeczywisty - nie spełnia analogii w warunkach brzegowych
układ zastępczy - warunki brzegowe, zapewniające analogie,

okre

śla się według reguły:

belka rzeczywista (

pierwotna) ⇒ belka wtórna (zastępcza)

podpora przegub.

0

v

= ,

0

ϕ

≠

⇒

*

0

M

= ,

*

0

T

≠ podpora przegub.

utwierdzenie

0

v

= ,

0

ϕ

=

⇒

*

0

M

= ,

*

0

T

= brzeg swobodny

brzeg swobodny

0

v

≠ ,

0

ϕ

≠

⇒

*

0

M

≠ ,

*

0

T

≠ utwierdzenie

przegub

l

p

v

v

= ,

0

l

p

ϕ ϕ

≠ ≠

⇒

*

*

l

p

M

M

=

,

*

*

0

l

p

T

T

≠ ≠

podpora ci

ągła

podpora ci

ągła

0

v

= ,

0

l

p

ϕ ϕ

= ≠

⇒

*

0

M

= ,

*

*

0

l

p

T

T

= ≠

przegub

metoda efektywna w obliczeniach ugi

ęć w ustalonych

punktach

uk

ładów statycznie wyznaczalnych.

*

(

)

i

v

M

≡

x i

Jacek Chró

ścielewski WM2F055_057.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (58)

Energia potencjalna odkształcenia sprężystego

cia

ła sprężyste, zagadnienie statyki

⇒

energia kinetyczna

,

0

=

Praca sił zewnętrznych niezależnych od deformacji

1

n

z

i

i

i

L

P

δ

=

= ∑

,

obci

ążenie zewnętrzne

i

P

−

niezale

żne od przemieszczeń,

i

δ

−

przemieszczenia pkt. dzia

łania sił zgodnie ze wektorem siły .

i

P

Praca sił wewnętrznych

w

L

, praca napr

ężeń (sił przekrojowych) na

odpowiednich odkszta

łceniach (przemieszczeniach-deformacjach).

Energia potencjalna odkształcenia sprężystego

p

E

, na jej istnienie

wskazuje w

łasność powracania ciała sprężystego do pierwotnej

postaci po odci

ążeniu.

Twierdzenie Clapeyrona:

p

w

z

E

L

L

=

=

(z zasady zachowania energii).

Praca si

ł zewnętrznych (

z

L

) równa jest pracy si

ł

wewn

ętrznych (

w

L

), która ca

łkowicie zamienia się na

energia potencjalna odkszta

łcenia sprężystego (

p

E

);

Przykład: jednorodny pręt (

l

,

EA

const

=

) rozci

ągany osiowo ( )

wyd

łużenie całkowite

P

Pl

l

EA

∆

=

⇒ liniowa funkcja siły ( )

EA

P u

u

l

=

,

praca

si

ły zewnętrznej

dla

( ) d

P u

u

0

u

l

∆

≤ ≤

:

2

2

0

0

1

( ) d

d

(

)

2

2

2

l

l

z

z

EA

EA

P l

L

P u

u

u u

l

P l

l

l

EA

∆

∆

∆

∆

=

=

=

=

=

∫

∫

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F058_061.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (59)

Energia właściwa odkształcenia sprężystego

Φ

to energia potencjalna odkszta

łcenia sprężystego

p

E mierzona na

jednostk

ę objętości

d

/ d

d

/ d

p

w

E

V

L

V

Φ

=

=

⇒

d

p

w

V

E

L

V

Φ

=

=

∫

.

Przykłady

• Jednoosiowy stan naprężenia ( ) E

σ ε

ε

=

),

1 1 1 1

V

= × × = :

2

2

0

0

1

1

( ) d

d

2

2

2

E

E

E

ε

ε

Φ

σ ε ε

ε ε

ε

σ

σ

=

=

=

=

=

∫

∫

ε

.

• Czyste ścinanie ( ) G

τ γ

γ

=

),

1 1 1 1

V

= × × = :

2

2

0

0

1

1

( ) d

d

2

2

2

G

G

G

γ

γ

Φ

τ γ γ

γ γ

γ

τ

τ

=

=

=

=

=

∫

∫

γ

.

• Ogólny przestrzenny stan naprężeń – superpozycja:

– stanów jednoosiowych napr

ężenia np.

1

1

1

2

2

2

z

z

zz

zz

Φ

σε

σ ε

σ ε

Φ

zz

=

≡

=

=

,

– stanów czystego

ścinania (

2

ij

ij

γ

ε

=

, i

j

≠ ) np.

1

1

1

2

2

2

(

)

xy

xy

xy

xy

yx

yx

xy

yx

Φ

τγ

τ γ

σ ε

σ ε

Φ

Φ

=

≡

=

+

=

+

,

– sumuj

ąc

po

ij

Φ

,

, ,

i j

x y z

=

otrzymuje si

ę

1

1

2

2

[

]

ij

ij

x

x

y

y

z

z

xy

xy

xz

xz

yz

yz

Φ

σ ε

σ ε σ ε σ ε τ γ

τ γ

τ γ

=

=

+

+

+

+

+

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F058_061.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (60)

Energia właściwa odkształcenia sprężystego

przestrzenny stan wytężenia

1
2

ij

ij

Φ

σ ε

=

, ,

, ,

i j

x y z

=

Uwzgl

ędniając uogólnione prawo Hooke’a (

/ 2(1

)

G E

ν

=

+

,

2

ij

ij

γ

ε

=

, i

j

≠

)

posta

ć skalarna

i odwrotna:

1

(

(

))

x

x

y

z

E

ε

σ ν σ σ

=

−

+

,

[(1

)

(

)]

(1

)(1 2 )

x

x

y

z

E

σ

ν ε ν ε ε

ν

ν

=

−

+

+

−

+

1

(

(

y

y

x

))

z

E

ε

σ ν σ σ

=

−

+

,

[(1

)

(

)]

(1

)(1 2 )

y

y

E

x

z

σ

ν ε ν ε ε

ν

ν

=

−

+

+

−

+

1

(

(

z

z

x

))

y

E

ε

σ ν σ σ

=

−

+

,

[(1

)

(

)]

(1

)(1 2 )

z

z

E

x

y

σ

ν ε ν ε ε

ν

ν

=

−

+

+

−

+

xy

xy

G

τ

γ

=

,

xz

xz

G

τ

γ

=

,

yz

yz

G

τ

γ

=

,

xy

x

G

y

τ

γ

=

,

xz

x

G

z

τ

γ

=

,

yz

yz

G

τ

γ

=

.

otrzymuje si

ę energię właściwą wyrażoną w różnych postaciach

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

[

]

1 1

(

)

(1

)(

2

1

(

)

(

)

1 2

2

ij

ij

x

x

y

y

z

z

xy

xy

xz

xz

yz

yz

x

y

z

xy

xz

yz

x

y

y

z

z

x

x

y

z

x

y

z

xy

xz

yz

E

G

Φ

σ ε

σ ε σ ε σ ε τ γ

τ γ

τ γ

Φ

σ σ σ

ν τ

τ τ

σ σ σ σ σ σ

ν

Φ

ε ε ε

ε ε ε

γ

γ

γ

ν

=

=

+

+

+

+

+

⎡

⎤

=

+ +

+ +

+ +

−

−

−

⎢

⎥

⎣

⎦

⎡

⎤

=

+ + +

+ +

+

+

+

⎢

⎥

−

⎣

⎦

)

Energi

ę właściwą

Φ

rozk

łada się na części związane ze zmianą:

obj

ętości

, postaci

V

Φ

f

Φ

⇒

V

f

Φ Φ Φ

=

+

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F058_061.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (61)

Zmiana objętości zależy tylko od wydłużeń (zmian długości), np.

1

V

=

(1

)(1

)(1

) 1

3

1 2

1 2

(

)

x

y

z

x

y

z

s

3

x

y

z

s

E

E

Θ

ε

ε

ε

ε ε ε

ε

ν

ν

σ σ σ

σ

= +

+

+

− ≅ + +

=

−

−

=

+ +

=

,

średnie odkształcenie podłużne

1
3

(

)

s

x

y

z

ε

ε ε ε

=

+ +

,

średnie naprężenie normalne

1
3

(

)

s

x

y

z

σ

σ σ σ

=

+ +

;

Deformacja ściśle objętościowe (bezpostaciowa) – tylko jednakowe
odkszta

łcenia podłużne (krawędzi sześcianu)

⇒

xV

yV

zV

s

ε

ε

ε

ε

≡

≡

≡ ;

Deformacja postaciowa pozostaje po odjęciu def. ściśle objętościowej

xf

x

s

ε

ε ε

= − ,

yf

y

s

ε

ε ε

= − ,

zf

z

s

ε

ε ε

= −

2

xy

xy

γ

ε

=

,

2

xz

xz

γ

ε

=

,

2

yz

yz

γ

ε

=

;

Jest to dekompozycja macierzy

s

f

=

+

& &

& ,

s

f

=

+

$ $

$ (tensorów) na:

aksjator

s

s

ε

≡

&

1

,

s

s

σ

≡

$

1

(tzw. cz

ęść kulista),

dewiator

f

s

ε

= −

&

& 1

,

f

s

σ

= −

$

$ 1

.

Z prawa Hooke’a:

1 2

s

s

E

ν

ε

σ

−

=

,

2

xf

xf

G

σ

ε

=

,

2

yf

yf

G

σ

ε

=

,

2

zf

zf

G

σ

ε

=

.

Dekompozycja energii właściwej

V

f

Φ Φ Φ

=

+

, cz

ęści:

objętościowa

2

2

1

3 (1 2 )

3

(

) 3

2

2

2 (1

V

s

s

s

E

E

2 )

s

ν

Φ

σ ε

σ

ε

ν

−

=

× =

=

−

,

postaciowa

1
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

[

]

1

[

2(

)]

4

1

[(

)

(

)

(

)

6(

)

12

1

[

(

)].

2

f

xf

xf

yf

yf

zf

zf

xy

xy

xz

xz

yz

yz

xf

yf

zf

xy

xz

yz

2

]

x

y

y

z

z

x

xy

xz

y

xf

yf

zf

xy

xz

yz

G

G

G

z

Φ

σ ε

σ ε

σ ε τ γ

τ γ

τ γ

σ

σ

σ

τ

τ τ

σ σ

σ σ

σ σ

τ

τ τ

ε

ε

ε

γ

γ

γ

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+ +

=

−

+

−

+

−

+

+ +

=

+

+

+

+

+

Jacek Chró

ścielewski WM2F058_061.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (62)

Energia potencjalna odkształcenia sprężystego

różne stany wytężenia pręta

• Rozciąganie/ściskanie osiowe,

E

σ

ε

=

, pr

ęt o długości l ,

:

d

d

V

A

=

z

energia

w

łaściwa

⇒

2

2

2

1

1

2

2

2

N

E

EA

Φ

σε

σ

=

=

=

⇒

N

A

σ

=

2

d

d

d

d

2

N

p

A

V

E

N

z

z

EA

Φ

=

=

∫

⇒

d

N

N

p

p

l

E

E

=

∫

⇒

2

0

1

d

2

l

N

p

N

E

z

EA

=

∫

• Skręcanie swobodne,

G

τ

γ

=

, p. ko

łowy

2

0

d

A

J

A

ρ

=

∫

, , d

:

l

d d

V

z

=

A

0

s

M

J

τ

ρ

=

energia

w

łaściwa

⇒

2

2

2

2

0

1

1

2

2

2

s

M

G

GJ

ρ

Φ

τγ

τ

=

=

=

⇒

2

2

2

2

0

0

d

d

d

d

d

2

2

S

p

s

s

A

A

V

E

M

M

A

z

z

GJ

GJ

Φ

ρ

=

=

=

∫

∫

2

0

0

1

d

2

l

S

s

p

M

E

z

GJ

=

∫

• Zginanie czyste,

E

σ

ε

=

,

2

d

x

A

J

y

=

A

∫

, pr

ęt o długości ,

:

l

d

d d

V

z

=

A

x

x

M

y

J

σ

=

energia

w

łaściwa

⇒

2

2

2

2

1

1

2

2

2

x

x

M

y

E

EJ

Φ

σε

σ

=

=

=

⇒

2

2

2

2

d

d

d

d

d

2

2

M

p

x

x

A

A

x

x

V

E

M

M

y A

z

z

EJ

EJ

Φ

=

=

=

∫

∫

⇒

2

0

1

d

2

l

M

x

p

x

M

E

z

EJ

=

∫

.

• Ścinanie przy zginaniu,

G

τ

γ

=

,

(

)

d

x

y

S

y

γ

γ

Ω

=

A

∫

, l , d

d d

V

z A

=

:

y

x

x

T S

J b

γ

γ

γ

τ

=

energia

w

łaściwa

⇒

2

2

2

2

2

(

)

1

1

2

2

2

y

x

x

T

S

G

GJ

b

γ

γ

Φ

τγ

τ

=

=

=

⇒

2

2

2

2

2

d

(

)

d

d

2

2

T

p

y

y

x

A

x

E

T

T

S

A k

z

GJ

b

GA

γ

γ

=

=

∫

⇒

2

2

2

2

0

(

)

d ,

d

2

l

y

T

x

p

A

x

T

S

k

A

E

z

k

GA

J

b

γ

γ

=

=

∫

∫

A

charakteryzuje rozk

ład

k

−

τ

, zale

żny od A (

,

).

1.2

k

=

2T

2 2.5

k

= ÷

Jacek Chró

ścielewski WM2F062_066.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (63)

Twierdzenia Castigliano

Niech

1

2

,

,...,

n

δ δ

δ

b

ędzie liniowo

−sprężystym stanem przemieszczeń

zgodnym co do miejsca kierunku i zwrotu z obci

ążeniem zewnętrzny

takim,

że

1

2

,

,...,

n

P P

P

(

)

i

i

j

P

δ

δ

=

,

,

1, 2,...,

i j

n

=

.

Praca si

ł zewnętrznych

1

1

2

1

2

funkcja obciążenia

funkcja przemieszczeń

1

( ,

,...,

)

( ,

,...,

)

2

n

z

i

i

i

z

n

z

n

L

P

L P P

P

L

δ

δ δ

δ

=

= ∑

=

=

.

I tw. Castigliano przem.

−

i

δ

w miejscu i kierunku dzia

łania siły

równa jest pochodnej cz

ąstkowej pracy sił

zewn

ętrznych względem siły

i

P

i

P

z

i

i

L

P

δ

∂

=

∂

.

II tw. Castigliano siła

dzia

łająca w miejscu i kierunku przem.

−

i

P

i

δ

równa jest pochodnej cz

ąstkowej pracy sił

zewn

ętrznych względem przem.

i

δ

z

i

i

L

P

δ

∂

=

∂

.

Dowód do tw. I. Niech

1

2

( ,

,...,

)

z

z

n

L

L P P

P

=

, obci

ążenie w dwóch etapach:

(1) uk

ładu sił

(2) ma

ły przyrost

d

1

2

,

,...,

n

P P

P

+

i

P

⇒

(1)

d

z

z

z

i

i

L

L

L

P

P

∂

=

+

∂

,

(1) ma

ły przyrost

d

(2) uk

ładu sił

i

P

+

1

2

,

,...,

n

P P

P

⇒

(2)

d

z

z

i

i

L

L

P

δ

=

+

,

praca nie mo

że zależeć od kolejności

(1)

(2)

z

z

L

L

≡

⇒

z

i

i

L

P

δ

∂

=

∂

, cnd.

Dowód do tw. II. Niech

1

2

( ,

,...,

)

z

z

L

L

n

δ δ

δ

=

+

zaburzenie ma

łym

d

i

δ

,

analogicznie

(1)

(2)

d

d

z

z

z

i

i

z

z

i

i

L

L

L

L

L

P

δ

δ

δ

∂

=

+

∂

=

+

⇒

(1)

(2)

z

z

L

L

≡

⇒

z

i

i

L

P

δ

∂

=

∂

, cnd.

Jacek Chró

ścielewski WM2F062_066.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (64)

Przyk

ład wykorzystania I tw. Castigliano

•

Cienko

ścienny pręt o przekroju zamkniętym

,

,

s

F l

δ

,

d

d d

V

z s

δ

=

G

,

τ

γ

=

:

energia

w

łaściwa

⇒

2

2

2

2

1

1

2

2

8

s

s

M

G

GF

Φ

τγ

τ

δ

=

=

=

⇒

2

s

s

M

F

τ

δ

=

2

2

0

1

d

d

d

8

l

S

s

p

V

s

M

s

E

V

z

G

F

Φ

δ

⎛

⎞

=

=

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

∫

∫

,

s

s

,

⇒

2

2

1

d

8

S

s

p

s

M l

s

E

GF

δ

=

∫

M F

const

=

z tw. Castigliano i tw. Clapeyrona (otrzymuje si

ę II wzór Bredta)

2

1

d

4

p

s

s

z

s

s

s

E

s

M l

L

s

M l

M

M

GF

GJ

ϕ

δ

∂

∂

=

≡

=

=

∂

∂

∫

,

2

(2

)

d

s

s

F

J

s

δ

=

∫

.

Zastosowanie I tw. Castigliano do obliczania dowolnych

przemieszczeń(II)

•

Tw.

/

z

i

L

P

i

δ

∂

∂ =

mówi,

że

i

δ

jest zgodne z wektorem si

ły .

i

P

•

Wielko

ści

( , )

i

i

P

δ

,

( ,

)

i

i

M

ϕ

,

( ,

)

ij

ij

ε σ

, itp. to pary energetycznie sprz

ężone.

•

Je

śli z

/

z

i

L

P

i

δ

∂

∂ =

ma by

ć obliczone pewne dowolne

δ

to potrzebne

jest energetycznie sprz

ężone obciążenie. W tym celu wprowadza się

obci

ążenie fikcyjne tworzące parę energetycznie sprzężoną ( , P

δ

).

•

Je

śli P jest obciążeniem fikcyjnym (

0

P

=

) sprz

ężonym z

δ

to

I tw. Castigliano, na podstawie tw. Clapeyrona

p

z

E

L

≡

, ma posta

ć

0

0

p

z

P

P

E

L

P

P

δ

=

=

∂

∂

=

≡

∂

∂

.

•

Niech P oznacza obciążenie fikcyjne a rzeczywiste.

P

Jacek Chró

ścielewski WM2F062_066.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (65)

Zastosowanie I tw. Castigliano do obliczania przemieszczeń (II)

Na podstawie zasady superpozycji w uk

ładach liniowych można zapisać:

( , )

( )

x

x

x

M

P P

M

P

P M

=

+

i

,

( , )

( )

N P P

N P

P N

=

+

i , ( , )

( )

y

y

T P P

T P

P T

=

+ i

y

,

gdzie

,

,

x

y

M T N siły wewnętrzne od obciążenia jednostkowego ( )

1

energetycznie

sprz

ężonego z

δ

, ( , )

δ

1 .

Dla ram wzoru

0

p

P

E

P

δ

=

∂

=

∂

, gdzie

2

2

2

1

d

2

y

x

p

s

x

kT

M

N

E

z

EJ

GA

EA

⎛

⎞

=

+

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

, wobec

2

2

2

2

2

0

0

0

d[

( , )]

d[(

) ]

d[

2

]

2

d

d

d

x

x

x

x

x

x

x

x

x

P

P

P

M

P P

M

M P

M

M M P M P

M M

P

P

P

=

=

=

+

+

+

=

=

=

,

przyjmuje posta

ć

0

d

p

y

y

x

x

s

x

P

E

T T

M M

NN

k

z

P

EJ

GA

EA

δ

=

⎛

⎞

∂

=

=

+

+

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

⎝

⎠

∫

,

gdzie

,

,

x

y

M T N siły od obciążenie rzeczywistego ( , , ,

, ,...

p P m M t

),

,

,

x

y

M T N siły od obc. jednostkowego ( )

1 energetycznie

sprz

ężonego z poszukiwanym

δ

, ( , )

δ

1 ,

Dla kratownic

1

0

n

p

k

k

k

k

k

P

E

N N

l

P

E

δ

=

=

∂

=

=

∂

∑

A

,

gdzie

si

ła w

tym pr

ęcie od obciążenia rzeczywistego (

),

k

N

k

−

, ,...

P t

k

N siła od fikcyjnego obc. jednostkowego ( )

1 energetycznie

sprz

ężonego z poszukiwanym

δ

, ( , )

δ

1 ;

Jacek Chró

ścielewski WM2F062_066.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (66)

Obliczanie (graficzne) całek z iloczynu dwóch funkcji

We wzorach (energetycznych) do obliczania przemieszcze

ń występują

ca

łki z iloczynu dwóch funkcji typu

2

1

1

2

d

z

z

f f z

∫

(np.

d

x

x

s

x

M M

z

EJ

∫

).

• wykresy funkcji

1

f

i

2

f

s

ą znane,

• niech jedna z funkcji będzie liniowa np.

2

( )

f z

az

b

=

+ , wówczas

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

( )

(z) d

( ) (

) d

( ) d

( ) d

z d

d

(

)

(

)

z

z

z

z

z

z

z

z

A

A

C

C

C

f z

f

z

f z

az

b

z

a

f z z z

b

f z

z

a

A

b

A

aS

bA

aA z

bA

A az

b

A f z

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

i

i

i

i

2

1

1

1

2

1

2

d

(

z

C

z

)

f f z

A f z

=

∫

i

gdzie

2

1

1

1

( ) d

z

z

A

f z

z

=

∫

pole ograniczone funkcj

ą

1

f

,

1

2

(

C

)

f z

warto

ść f. liniowej

2

f

pod

środkiem ciężkości

pola

1

C

z

1

A

,

•

dla funkcji skomplikowanych, daj

ących się przedstawić w postaci sumy

funkcji prostych np.

1

1

1

f

f

f

=

+

obowi

ązuje

2

2

1

1

1

1

1

2

1

1

2

1

2

1

2

d

(

) d

(

)

(

z

z

C

C

z

z

)

f f z

f

f

f z

A

f z

A

f z

=

+

=

+

∫

∫

i

i

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F062_066.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (67)

Stateczności prętów sprężystych ściskanych osiowo

Analogia do poj

ęć równowagi położenia (

0

x

) kulki Q na powierzchniach.

Energia potencjalna

( )

( )

p

E

x

Qz x

=

c

+ siły ciężkości , gdzie

Q

0

x

x

u

∆

=

±

:

• powierzchnia wklęsła:

0

(

)

(

z x

u

z x

0

)

∆

±

>

wychylenie u

∆

generuje si

łę

powrotu do

0

x (warunek stateczności lokalnej: ekstremum i min.)

równowaga stateczna

⇒

0

(

)

min

p

p

E

x

E

=

2

2

0

0

p

p

E

E

x

x

∂

∂

= ∧

>

∂

∂

,

•

powierzchnia wypuk

ła:

0

(

)

(

z x

u

z x

0

)

∆

±

<

wychylenie

u

∆

generuje si

łę

oddalaj

ącą od

0

x

równowaga niestateczna

⇒

0

(

)

max

p

p

E

x

E

=

2

2

0

0

p

p

E

E

x

x

∂

∂

= ∧

<

∂

∂

,

•

p

łaszczyzna pozioma:

0

(

)

(

z x

u

z x

0

)

∆

±

=

wychylenie

u

∆

nie generuje si

ł

równowaga obojętna

⇒

0

0

( )

(

)

p

p

E x

E x

u

∆

=

±

2

2

0

0

p

p

E

E

x

x

∂

∂

= ∧

=

∂

∂

.

Podobne metody badania stateczno

ści równowagi stosuje się do

uk

ładów sprężystych;

Uk

ład sprężysty jest stateczny, jeżeli po wychyleniu z

po

łożenia równowagi powraca lub drga wokół tego

po

łożenia, inaczej jest niestateczny.

Badanie stateczno

ści wymaga uwzględnienia deformacji w równaniach

równowagi (rezygnacja z zasady zesztywnienia); mówi si

ę:

−

teoria I-rz

ędu, kiedy obowiązuje zasada zesztywnienia,

−

teoria II-rz

ędu, kiedy uwzględniamy wpływ małych przemieszczeń

(ma

łych obrotów)

,

/

1

v L

<<

−

dalsze udok

ładnienia teorii polegają na podnoszeniu rzędu

rozwa

żanych przemieszczeń (odkształceń).

Jacek Chró

ścielewski WM2F067_073.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (68)

Swobodnie podparty pręt sprężysty ściskany osiowo

Za

łożenia: długość pręta L , płaszczyzna y z

−

,

x

EJ

EJ

const

=

=

,

osiowa si

ła ściskająca

z

P

P

≡

, ugi

ęcie

( )

v

v z

=

,

( )

1

v z

L

<< .

Moment zginaj

ący

( )

( )

M z

P v z

=

.

Równanie Eulera

EJv

M

P v

′′ = − = −

⇒

0

P

v

v

EJ

′′ +

= ,

2

P

EJ

α

=

2

0

v

v

α

′′ +

= − jednorodne zwyczajne równanie

ró

żniczkowe II

−rzędu o stałym wsp.

Rozwi

ązanie ogólne

1

2

( )

sin

cos

v z

C

z

C

z

α

α

=

+

.

Z warunków brzegowych oblicza si

ę stałe:

⇒

,

⇒

0

|

0

z

v

=

=

2

0

C

=

|

0

z L

v

=

=

1

sin

0

C

L

α

= ⇒

1

0

( trywialne, oś prosta),

sin

0

,

1, 2,3,... ,

C

L

L

n

n

α

α

π

=

−

⎧⎪

⎨

= ⇒

=

=

⎪⎩

s

ą to wartości własne r.

2

0

v

v

α

′′ +

= .

Dla tej samej si

ły są możliwe dwa stany równowagi pręta o postaci:

P

(a) prostej

,

1

0

C

=

(b)

wygi

ętej

⇒

1

0

C

≠

2

2

2

EJ

P

n

L

π

=

,

1

( )

sin(

)

z

v z

C

n

L

π

=

posta

ć

wyboczenia,

gdzie

- nieokre

ślone,

1

C

wyst

ępuje rozdwojenie rozwiązania – tzw. bifurkacja rozwiązania.

Jacek Chró

ścielewski WM2F067_073.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (69)

Krytyczna siła Eulerowska

swobodnie podparty pręt sprężysty ściskany osiowo

2

1

2

|

KR

E

n

EJ

P

P

P

L

π

=

≡

=

=

pierwsza, najmniejsza warto

ść siły krytycznej.

−

•

dla

pr

ęt zachowuje postać prostoliniową,

uk

ład pozostaje stateczny,

KR

P

P

<

•

dla

pr

ęt może ulec wyboczeniu (lub nie),

–

posta

ć prostoliniowa jest niestateczna,

KR

P

P

≥

– istniej krzywoliniowa posta

ć równowagi, która wymaga

rozwi

ązania równania nieliniowego

2 3 / 2

(1 ( ) )

v

EJ

P

v

v

′′

= −

′

+

,

jest to tzw. rozwi

ązanie pokrytyczne, powyboczeniowe,

pobifurkacyjne.

•

wyboczenie – wygięcie w wyniku utraty stateczności

.

KR

P

P

>

•

siły krytyczne wyższego rzędu dla

– postaci wyboczenia,

– znaczenie przy dodatkowych podporach pr

ęta.

1

n

>

Jacek Chró

ścielewski WM2F067_073.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (70)

Prosty wspornik sprężysty ściskany siłą osiową

Za

łożenia: długość wspornika

L

, p

łaszczyzna

y

z

−

,

x

EJ

EJ

const

=

=

,

osiowa si

ła ściskająca

z

P

P

≡

, ugi

ęcie

( )

v

v z

=

,

( )

1

v z

L

<<

ugi

ęcie na końcu wspornika ma wartość

( )

f

v L

=

.

Moment zginaj

ący

( )

(

( ) )

M z

P f

v z

= −

−

.

Równanie Eulera

( )

(

( ) )

EJv

M z

P f

v z

′′ = −

=

−

, przy

2

P

EJ

α

=

2

2

v

v

f

α

α

′′ +

=

niejednorodne zwyczajne równanie

ró

żniczkowe II

−rzędu o stałym wsp.

Rozwi

ązanie składa się z całki ogólnej (jw.) i całki szczególnej

1

2

( )

sin

cos

v z

C

z

C

z

f

α

α

=

+

+

.

Z warunków brzegowych oblicza si

ę stałe:

⇒

,

⇒

(

0

|

0

z

v

=

=

2

C

f

= −

0

|

0

z

v

=

′ =

1

0

C

=

1

2

( )

(

cos

sin

)

v z

C

z

C

z

α

α

α

′

=

−

).

Ponadto

⇒

|

z L

v

f

=

=

(1 cos

)

f

f

L

α

=

−

⇒

cos

0

f

L

α

=

dla

0

f

>

⇒ cos

0

L

α

=

⇒

najmniejsze

2

L

π

α

=

st

ąd

siła krytyczna

2

2

(2 )

KR

EJ

P

L

π

=

,

posta

ć wyboczenia

( )

[1 cos

]

2

z

v z

f

L

π

=

−

, ( f nieokreślone).

Jacek Chró

ścielewski WM2F067_073.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (71)

Z jednej strony utwierdzony, z drugiej swobodnie podparty

pręt sprężysty ściskany siłą osiową

Za

łożenia: długość pręta L , płaszczyzna y z

− ,

x

EJ

EJ

const

=

=

,

osiowa si

ła ściskająca

z

P

P

≡ , ugięcie

( )

v

v z

=

,

( )

1

v z

L

<< ,

w wyniku wygi

ęcia powstaje moment utwierdzenia

A

M .

Moment zginaj

ący

( )

( )

A

z

M z

P v z

M

L

=

+

,

2

P

EJ

α

=

.

Równanie Eulera

( )

(

( )

)

A

z

EJv

M z

P v z

M

L

′′ = −

= −

+

,

2

A

M

EJL

β

=

,

2

v

v

2

z

α

β

′′+

=−

niejednorodne zwyczajne równanie

ró

żniczkowe II

−rzędu o stałym wsp.

Rozwi

ązanie składa się z całki ogólnej (jw.) i całki szczególnej

2

1

2

( )

sin

cos

/

v z

C

z

C

z

z

2

α

α

β

=

+

−

α

,

2

2

1

2

( )

cos

sin

/

v z

C

z

C

z

α

α

α

α

β α

′

=

−

−

.

Z warunków brzegowych oblicza si

ę stałe:

⇒

0

|

0

z

v

=

=

2

0

C

= ,

|

0

z L

v

=

=

⇒

2

2

1

sin

/

0

C

L

L

α

β α

−

= ,

⇒

|

0

z L

v

=

′

=

2

2

1

cos

/

0

C

L

α

α

β α

−

= .

Dziel

ąc dwa ostatnie stronami otrzymuje się

tg L

L

α

α

=

, przybli

żone rozwiązanie daje

min

(

)

4.49

L

α

=

, st

ąd

siła krytyczna

2

2

2

2

(4.49)

(0.7 )

KR

EJ

E

P

J

L

L

π

=

≅

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F067_073.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (72)

Stateczności prętów sprężystych ściskanych osiowo

• Długość wyboczeniowa (wolna na wyboczenie), wynik ujednolicenie

wzoru

dla ró

żnych warunków podparcia pręta o długości

KR

E

P

P

≡

L .

2

2

KR

E

w

EJ

P

P

l

π

≡

=

w

l

L

=

– swobodnie podparty obustronnie,

– wspornik;

2

w

l

= L

1
2

w

l

= L

L

– utwierdzony obustronnie,

– swobodnie podparty i utwierdzony jednostronnie.

0.7

w

l

• Smukłość pręta – współczynnik bezwymiarowy

0

λ

> ,

w

l

i

λ

=

, gdzie

2

J

i

A

= ⇒

2

2

KR

E

EA

P

P

π

λ

≡

=

.

• Minimalna siła krytyczna, płaszczyzna wyboczenia w konstrukcjach

rzeczywistych wyboczenie mo

że wystąpić w różnych płaszczyznach.

2

2

max

min

KR

E

EA

P

P

π

λ

≡

=

⇐

max

max(

,

)

x

y

λ

λ λ

=

p

łaszczyzną wyboczenia jest płaszczyzna największej smukłość pręta.

W obliczeniach

max

λ

nale

ży uwzględnić:

– ró

żne

x

J ,

(rzutuj

ące na promień bezwładności

),

– ró

żne warunki podparcia w płaszczyznach (

y

J

2

/

i

J

=

A

x

z

− ) lub (

)

(rzutuj

ące na długość wyboczeniową ).

y

z

−

w

l

Jacek Chró

ścielewski WM2F067_073.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (73)

Stateczności prętów sprężystych ściskanych osiowo

• Naprężenia krytyczne, smukłość graniczna zakresu sprężystego

2

2

( )

( )

KR

KR

P

E

A

λ

π

σ

λ

λ

=

=

– funkcji smuk

łości tzw. hiperbola Eulera.

♦ Formalnie możliwy jest wzrost

KR

σ

→ ∞ przy

0

λ

→ .

♦

( )

KR

σ

λ

prawdziwe tylko w zakresie liniowo spr

ężystym (do granicy

proporcjonalno

ści – stosowalności p.Hooke'a

H

R ).

2

2

KR

H

prop

E

R

π

σ

σ

λ

=

≤

≡

⇒

gr

prop

prop

E

λ

λ

π

σ

=

=

.

♦

gr

λ

jest kolejn

ą charakterystyką materiałową (a nie geometryczną),

♦

gr

λ

ogranicza od do

łu zakres sprężysty (

gr

prop

λ

λ

λ

≡

≤ ),

dla stali wynosi

.

102

stal

stal

gr

prop

λ

λ

=

≈

• Wyboczenie w zakresie niesprężystym

prop

λ λ

<

♦ projektowanie dopuszcza

σ

do warto

ści granicy plast.

pl

plast

R

σ

≡

,

♦ ważność hiperboli Eulera

2

2

KR

prop

E

π

σ

σ

λ

=

≤

do granicy prop.,

♦ przy wyboczeniu poza granicą proporcjonalności (pręty krępe

gr

λ λ

<

) uplastycznienie nie od razu obejmuje ca

ły przekrój,

fakt ten jest baz

ą różnych propozycji

krzywych

( )

KR

KR

σ

σ

λ

=

,

przechodz

ących

od

H

pr

R

op

σ

≡

do

pl

plast

R

σ

≡

,

w przedziale smuk

łości

0

gr

λ λ

< <

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F067_073.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (74)

Krzywa

Engessera–Karmana

(1/2)

wyboczenie poza granicą proporcjonalności

prop

λ λ

<

Założenie: na pręt działa ustalona osiowa siła P const

=

, (

P

A

σ

= − ),

y

− położenie osi obojętnej w zginaniu.

Badania: nadajemy zaburzenie poprzeczne powodujące wygięcie v jeśli

• po usunięciu przyczyny znika – równowaga stateczna,

v

• po usunięciu przyczyny trwałe –

wyboczenie.

v

KR

P

P

≥

Analiza:

•

po stronie wkl

ęsłej (pole

1

A

,

1

h

y

y

− ≤ ≤

)

przyrost napr

ężeń ujemnych (dociążenie po stycznej)

wg modu

łu stycznego

d

tg

d

t

E

σ

β

ε

=

=

,

•

po stronie wypuk

łej (pole

2

A

,

1

y

y

h

≤ ≤

)

spadek napr

ężeń ujemnych (odciążenie sprężyste) tg

E

α

=

.

Wniosek: przypadek materiału o różnych własnościach w przekroju

na

ściskanie (

t

E

) i rozci

ąganie ( E ).

Stan naprężeń w wyniku wygięcia:
Zgodnie z za

łożeniem o płaskich przekrojach w zginaniu:

•

przyrost odkszta

łceń

1

(

)

(

)

y

y

y y

∆ε

κ

ρ

=

−

= −

⇒

przyrost napr

ężeń:

•

po stronie wkl

ęsłej ( )

(

)

t

t

E

E

y

y

∆σ

∆ε

ρ

−

=

=

−

(

1

A ,

1

h

y

y

− ≤ ≤

),

•

po stronie wypuk

łej ( )

(

)

E

E

y

y

∆σ

∆ε

ρ

+

=

=

−

(

2

A ,

1

y

y

h

≤ ≤

).

Jacek Chró

ścielewski WM2F074_080.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (75)

Krzywa Engessera–Karmana

(2/2)

Warunek równowagi od zginania:

•

poniewa

ż N

P

const

= =

⇒

d

0

A

A

∆σ

=

∫

⇒

1

2

(

)d

(

)d

t

A

A

E

E

y

y

A

y

y

A

ρ

ρ

−

+

−

=

∫

∫

0

⇒

1

2

0

t

E S

E S

+

=

• stąd oblicza się położenie osi obojętnej y ,

i

s

ą momentami statycznymi pól

1

0

S

<

2

0

S

>

1

A i

2

A względem y .

Równanie linii wygięcia:
Z definicji moment zginaj

ącego otrzymuje się (

(

)

y

y y

=

− + y )

d

(

) d

d

x

A

A

A

M

y A

y y

A

y

A

∆σ

∆σ

∆σ

=

=

−

+

∫

∫

∫

(

) d

A

y y

A

Pv

∆σ

=

−

≡

∫

,

1

2

1

(

)

x

t

M

E J

E J

Pv

ρ

=

+

≡

,

gdzie

i

s

ą momentami bezwładności pól

1

J

2

J

1

A

i

2

A

wz

y

.

Uwzgl

ędniając

2 3 / 2

1

d

d

(1 ( ) )

v

v

z

v

ϕ

κ

ρ

′′

′′

=

=

= −

≈ −

′

+

, otrzymuje si

ę

1

2

(

)

t

E J

E J v

Pv

′′

+

= −

⇒

0

x

EJ v

Pv

′′ +

=

⇒

2

0

v

v

α

′′ +

=

,

gdzie

2

x

P

EJ

α

=

,

1

t

x

2

E J

E J

E

J

+

=

– sprowadzony modu

ł wyboczenia.

Analogia: wzorów do wyboczenia sprężystego, zamieniając modułu

spr

ężystości

E

na modu

ł E . Obowiązuje:

2

2

KR

E

π

σ

λ

=

krzywa

⇒

(

)

(

)

KR

KR

KR

E

σ

λ σ

π

σ

=

.

zast

ępującą w zakresie

prop

λ λ

<

hiperbol

ę Eulera.

Jacek Chró

ścielewski WM2F074_080.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (76)

Krzywa Engessera–Shanleya

wyboczenie poza granicą proporcjonalności

prop

λ λ

<

Założenie: wyboczeniu towarzyszy wzrost siły i wzrost naprężeń

⇒

w ca

łym przekroju obowiązuje ten sam moduł styczny

P

t

E .

Analogia: stosuje się wzory z zakresu sprężystego zamieniając

modu

łu sprężystości E na moduł styczny

t

E .

Obowi

ązuje:

0

t

x

E J v

Pv

′′+

= ⇒

2

0

v

v

α

′′+

=

, gdzie

2

t

x

P

E J

α

=

⇒

2

2

t

KR

E

π

σ

λ

=

⇒ krzywa

(

)

(

)

t

KR

KR

KR

E

σ

λ σ

π

σ

=

.

zast

ępującą w zakresie

prop

λ λ

<

hiperbol

ę Eulera.

• Ponieważ zachodzi

t

E

E

E

< < to naprężenia krytyczne

wg teorii Engessera–Shanleya

( )

KR

σ

λ

s

ą trochę mniejsze od obl.

wg teorii Engessera–Karmana

( )

KR

σ

λ

.

• Doświadczenia pokazały, że lepsza jest teoria Engessera–Shanleya.

Jacek Chró

ścielewski WM2F074_080.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (77)

Wpływ siły tnącej na wielkość siły krytycznej

Równanie linii ugi

ęcia uwzględniające wpływ siły tnącej

y

T

(

)

(

)

x

M

x

T

y

x

M

k

v

v

M

v T

T

y

EJ

GA

′′

′′

′′

′

=

+

= −

+

gdzie

x

M

x

M

v

EJ

′′ = −

równanie Eulera,

(

)

T

y

y

k

v T

T

GA

′′

=

′

T

ugi

ęcie od siły tnącej.

(

)

T

y

v T

oblicza si

ę na podstawie kąta odkształcenia postaciowego

d

/ d

T

v

z

v

γ

′

=

=

T

wywo

łanego siłą tnącą i tw. Clapeyrona

y

T

T

z

p

L

E

≡

mamy

2

d

d

2

2

2

y

T

y

y

T v

T

z

kT

z

GA

γ

=

≡

d

⇒

y

T

k T

v

GA

γ

′

=

≡

⇒

y

y

T

k T

k p

v

GA

GA

′

′′ =

= −

.

Przykład: wyboczenie swobodnie podpartego pręta sprężystego

(

L

,

x

EJ

const

=

)

ściskanego siłą osiową

P

( )

( )

M z

P v z

=

⇒

y

T

M

P v

′

′

=

=

⇒

y

T

M

P v

′

′′

′′

=

=

st

ąd

x

P

kP

v

v

v

EJ

GA

′′

′′

= −

+

⇒

(1

)

0

x

kP

EJ

v

Pv

GA

′′

−

+

=

⇒

,

2

ˆ

0

v

v

α

′′+

=

gdzie

2

1

ˆ

1

/

x

P

EJ

kP G

α

=

−

A

. Z warunku wyboczenia

1

ˆ

sin

0

C

L

α

=

⇒

ˆ

L

π

α

=

,

otrzymuje si

ę

1

1

2

2

2

2

ˆ

1

1

x

x

KR

E

E

EJ

EJ

k

k

P

P

L

GA

L

GA

π

π

−

−

⎛

⎞

⎛

⎞

=

+

=

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

P

2

2

ˆ

(

)

KR

EA

P

π

βλ

=

, tutaj

2

2

1

1

E

k

k

P

GA

G

π

β

λ

=

+

=

+

E

Posta

ć

β

wskazuje,

że dla przekrojów jednolitych (pryzmatycznych)

wp

ływ siły tnącej jest bardzo mały i może być pominięty.

Jacek Chró

ścielewski WM2F074_080.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (78)

Wpływ siły tnącej na wielkość siły krytycznej

Przykład: wyboczenie pręta złożonego (wielogałęziowego) swobodnie

podpartego

ściskanego siłą osiową . Pręt o długości

P

L

z

łożony z pasów

,

p

J

p

A (dwóch teowników) rozstawionych

na szeroko

ść i utrzymywanych prostym wykratowaniem w

postaci s

łupków

h

s

A w rozstawie i pojedynczych krzyżulców

a

k

A o długości równej

.

2

2 1/

(

)

d

a

h

=

+

2

Moment bezw

ładności przekroju

.

2

2 [

( /2) ]

x

p

p

J

J

A h

= ×

+

Koncepcja: deformacj

ę

T

v

a

∆

γ

=

oczka ( a h

× ) wykratowania sprowadza

si

ę do deformacji odcinka d belki jednolitej

z

d

d

y

T

k T

v

GA

z

γ

=

≡

.

Si

ły w prętach wykratowania:

oczko ( a

) musi przenie

ść siłę tnącą

powsta

łą w wyniku

globalnego wygi

ęcia pręta v , otrzymuje się:

h

×

y

T

• siła rozciągającą w słupku

s

y

N

T

= ,

• siłę ściskającą w krzyżulcu

/

k

y

N

T d h

= −

,

• siłę rozciągającą w pasie

/

p

y

N

T a h

=

(pomijana

w

stosunku

(

p

EA

∞

)

s

EA ,

k

EA )

Jacek Chró

ścielewski WM2F074_080.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (79)

Przykład: wyboczenie pręta złożonego cd.

K

ąt spaczenia oczka wykratowania

T

v

a

∆

γ

=

.

przyrost ugi

ęcia

T

v

∆

od si

ły tnącej

w ramach oczka wykratowania

oblicza si

ę wykorzystując:

y

T

a h

×

tw. Clapeyrona

N

z

p

L

E

≡

energia potencjalna uk

ładu kratowego oczka

2

(

)

2

N

i

i

p

i

i

N

l

E

EA

=

∑

2

(

)

2

y

s

T

h

EA

=

2

(

/ )

2

y

k

T d h d

EA

−

+

2

(

/ )

2

(

y

p

T a h a

EA

+

∞

)

,

I tw. Castigliano

z

T

y

L

v

T

∆

∂

=

∂

⇒

1

1

z

T

y

L

v

a

a

γ

∆

T

∂

=

=

∂

3

2

1

1

(

)

N

p

y

y

y

s

k

E

T h

T d

a

T

a EA

h EA

γ

∂

=

=

+

∂

3

3

2

(

)

y

s

k

T

h

d

Eah

A

A

=

+

.

Porównuj

ąc kąty odkształcenia postaciowego dla belki jednolitej

i z

łożonej otrzymuje się sprowadzoną sztywność przekroju na ścinanie

3

3

2

1

(

)

y

s

k

h

GA

T

Eah

A

A

γ

=

≡

+

k

d

która pozwala okre

ślić współczynnik

2

3

3

2

2

1

1

1

(

)

x

E

s

k

EJ

k

h

d

P

GA

Eah

A

A

L

π

β

=

+

=

+

+

.

Posta

ć

β

wskazuje,

że dla przekrojów złożonych wpływ siły tnącej na

warto

ść siły krytycznej

2

ˆ

/(

)

KR

P

EA

2

π

βλ

=

jest znacz

ąca.

Jacek Chró

ścielewski WM2F074_080.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (80)

Wymiarowanie prętów ściskanych

Rzeczywiste konstrukcje (nie spe

łniają wielu poczynionych tu założeń):

•

nie s

ą liniowo sprężyste (np.: uplastycznienia),

•

nie spe

łniają warunków idealnych: mimośrodowość obciążeń,

wst

ępne wygięcia (imperfekcje), niejednorodność materiału,

•

wyst

ępują obciążenia poprzeczne, itp.

Pojawia si

ę jakościowo inne zjawisko:

•

nie wyst

ępuje tu problem bifurkacji - siły wybaczającej

E

P

lecz

•

o

ś pręta wygina się od początku - pojawia się siła graniczna

.

GR

P

Tradycyjna nazywa

•

si

ły Eulerowskiej

E

KR

P

P′

≡

- si

ła krytyczna I-rodzaju,

•

si

ły granicznej (maksymalnej)

GR

KR

P

P′′

≡

- si

ła krytyczna II-rodzaju.

Zmniejszający współczynnik wyboczenia

β

ma uj

ąć rzeczywiste

zachowanie si

ę konstrukcji (redukując naprężenia krytyczne

( )

KR

KR

σ

σ

λ

=

, hiperbola Eulera + krzywa przej

ściowa).

Wspó

łczynnik

( )

β β λ

=

,

/

w

l

i

λ

=

w postaci tablic w normach.

Metoda napr

ężeń dopuszczalnych, warunki:

( )

dop

brutto

P

A

σ

σ

β λ

=

≤

i

dop

netto

P

A

σ

σ

=

≤

.

Metoda stanów granicznych, warunki:

1

2

(

)

...

i

i

gr

n

P

N

brutto

k k

k

η

β

∑

≤

i

1

2

(

)

...

i

i

gr

n

P

N

netto k k

k

η

∑

≤

,

gdzie

(

)

gr

pl

brutto

N

brutto

A

σ

=

(

)

gr

pl

N

netto

A

,

netto

σ

=

,

1

i

η

≥

, wsp. przeci

ążenia

(rodzaj obci

ążenia),

, np.: wsp. materia

łowe, warunków pracy, itp.

1

i

k

≤

Jacek Chró

ścielewski WM2F074_080.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (81)

Hipotezy

wytrzymałościowe

Standardowe badania materiałów jednoosiowe (podsumowanie)

• cechy – prostota wykonania, łatwości interpretacji,

• podstawowe charakterystyki stanu niebezpiecznego materiału:

– granica plastyczno

ści

pl

plast

R

σ

=

,

– wytrzyma

łości na rozciąganie

max

r

R

σ

=

,

– wytrzyma

łości na ściskanie

min

c

R

σ

= −

.

⇒

0

0

E

σ

ε

=

graniczne odkszta

łcenie,

Napr

ężenie

graniczne:

0

{

,

,

}

pl

r

c

R

R R

σ

=

⇒

0

0

2

σ

τ

=

graniczne napr

ężenie

styczne,

(

0

x

σ σ

= )

⇒

2

0

0

6G

σ

Φ

=

graniczna energia spr

ężysta

odkszta

łcenia postaciowego.

Krucho

ść i plastyczność (zniszczenie konstrukcji) zależą

nie tylko od materia

łu ale także od złożoności stanu wytężenia.

Hipotezy wytrzymałościowe

• uogólniają stan jednoosiowy

0

σ

na przestrzenny stan napr

ężenia,

• określają w przestrzeni naprężeń obszar bezpieczny

wewn

ątrz hiperpowierzchni odpowiadającej wartości

0

σ

,

• jest wiele różnych hipotez wytrzymałościowych

o ich przydatno

ści decyduje zgodność z doświadczeniem.

Jacek Chró

ścielewski WM2F081_084.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (82)

Hipoteza największego naprężenia normalnego Galileusza

• stan niebezpieczny

(

)

I

II

III

max |

|,|

|,|

|

0

σ σ σ

σ

=

,

• stan bezpieczny

I

II

III

0

|

|,|

|,|

|

σ σ σ

σ

<

,

• w PSN dwa warunki

I

|

|

0

σ σ

<

i

II

0

|

|

σ

σ

<

w 2-wym. przestrzeni napr

ężeń głównych tworzą

kwadrat o bokach

0

2

σ

ograniczaj

ący obszar bezpieczny,

• hipoteza nie znalazła potwierdzenia w badaniach doświadczalnych.

Hipoteza największego odkształcenia podłużnego

de Saint–Venanta

• stan niebezpieczny

(

)

I

II

III

max | |,|

|,|

|

0

ε ε ε

ε

= ,

• stan bezpieczny

I

II

III

| |,|

|,|

|

0

ε ε ε

ε

< ,

• w PSN z prawa Hooke’a dwa warunki

I

II

|

|

0

σ νσ

σ

−

<

i

II

I

0

|

|

σ

νσ

σ

−

<

,

w 2-wym. przestrzeni napr

ężeń głównych tworzą

romb o bokach

0

2

σ

nachylonych pod k

ątem

α

( tg

α ν

= )

ograniczaj

ący obszar bezpieczny,

• hipoteza nie znalazła potwierdzenia w badaniach doświadczalnych.



Obie hipotezy maj

ą znaczenie historyczne.

Jacek Chró

ścielewski WM2F081_084.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (83)

Hipoteza Treski, największego naprężenia stycznego

• stan niebezpieczny

(

)

1

1

1

II

III

III

I

I

II

0

2

2

2

max

|

|, |

|, |

|

σ

σ

σ

σ

σ

σ

τ

−

−

−

= ,

• stan bezpieczny

1

1

1

II

III

III

I

I

II

0

2

2

2

|

|, |

|, |

|

σ

σ

σ

σ

σ

σ

τ

−

−

−

< ,

• w PSN wobec

0

0

/2

τ

σ

=

trzy warunki

I

II

|

|

0

σ

σ

σ

−

<

,

I

0

|

|

σ σ

<

i

II

0

|

|

σ

σ

<

,

w 2-wym. przestrzeni napr

ężeń głównych tworzą

sze

ściobok wpisany w kwadrat o bokach

0

2

σ

ograniczaj

ący obszar bezpieczny,

• hipoteza wykazuje lepszą zgodność z doświadczeniem,
• wada – nie można uwzględnić różnych gr. na rozciąganie i ściskanie.

Hipoteza energii sprężystej odkształcenia postaciowego

Hubera–Misesa–Hencky’ego (HMH)

• obszar bezpieczny

0

f

Φ

Φ

≤

,

2

2

2

2

2

1

[(

)

(

)

(

)

6(

)

12

2

]

f

x

y

y

z

z

x

xy

xz

yz

G

Φ

σ σ

σ σ

σ σ

τ

τ

=

−

+

−

+

−

+

+ +

τ

2

0

0

6

G

σ

Φ

=

w stanie jednoosiowym, tj. dla

0

x

σ σ

= , stąd

2

2

2

2

2

2

0

(

)

(

)

(

)

6(

)

2

x

y

y

z

z

x

xy

xz

yz

2

σ σ

σ σ

σ σ

τ

τ τ

−

+

−

+

−

+

+ +

≤

σ

,

• w przestrzeni naprężeń głównych

2

2

2

I

II

II

III

III

I

(

)

(

)

(

)

2

2

0

σ σ

σ σ

σ σ

σ

−

+

−

+

−

≤

tworzy niesko

ńczenie długi walec o podstawie kołowej

i osi jednakowo nachylonej do osi napr

ężeń głównych,

• w PSN

2

2

2

0

3

x

y

x

y

xy

2

σ

σ σ σ

τ

σ

+

−

+

≤

i

2

2

I

II

I

II

2

0

σ

σ

σ σ

σ

+

−

≤

warunek HMH

ma posta

ć elipsy ograniczając obszar bezpieczny,

• hipoteza HMH dla mat. plast. o jednakowej wytrzymałości na

rozci

ąganie i ściskanie daje b. dobrą zgodność z doświadczeniem.

Jacek Chró

ścielewski WM2F081_084.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (84)

Naprężeń zastępczych wg danej hipotezy

Zapis obszaru bezpieczne

I

II

III

0

(

,

,

)

zast

f

σ

σ σ σ

σ

=

≤

.

Dla hipotezy Treski w PSN, wobec

2

2

1/

1

1

1 2

2

4

,

(

) [ (

)

]

x

y

x

y

xy

σ

σ σ

σ σ

τ

=

+

±

−

+

2

zast

σ

≡

2

2

1

I

II

[(

)

4

]

Treska

x

y

xy

σ

σ σ

σ σ

τ

= −

=

−

+

/ 2

dla

I

II

0

σ σ

<

i

lub

I

zast

Treska

σ

σ

≡

=

σ

i

II

zast

Treska

σ

σ

σ

≡

=

dla

I

II

0

σ σ

>

i

,

Dla hipotezy Hubera–Misesa–Hencky’ego

zast

σ

≡

2

2

2

3

HMH

x

y

x

y

xy

σ

σ

σ σ σ

τ

=

+

−

+

2

2

I

II

I

II

σ

σ

σ σ

=

+

−

w PSN,

zast

σ

≡

2

2

2

2

2

1
2

[(

)

(

)

(

)

6(

)

HMH

x

y

y

z

z

x

xy

xz

yz

σ

σ σ

σ σ

σ σ

τ

τ

=

−

+

−

+

−

+

+ +

2

]

τ

w 3D.

Przykład. Określić, który z 3 stanów naprężeń jest najbardziej

niebezpieczny wg hipotezy Hubera–Misesa–Hencky’ego:

a)

10 0 0

0 80 0

0 0 30

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

σ

, b)

10 0 20

0 60 0

20 0 0

−

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

σ

, c)

,

0 20 0

20 75 0

0 0 10

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

σ

gdzie sk

ładowe naprężeń zapisane są w kartezjańskim

uk

ładzie współrzędnych ( , , ) ( , , )

x

y

z

≡

i j k

e e e , jednostki MPa .

Rozwi

ązanie:

a)

zast

σ

≡

2

2

2

1
2

[(10 80)

(80 30)

(30 10) ] 62,5

HMH

MPa

σ

=

−

+

−

+

−

=

,

b)

zast

σ

≡

2

2

2

2

1
2

[( 10 60)

60

10

6 20 ]

HMH

σ

=

− −

+

+

+ i

=

74,16 MPa ,

c)

zast

σ

≡

2

2

2

2

1
2

[75

(75 10)

10

6 20 ] 78.58

HMH

MPa

σ

=

+

−

+

+

=

i

.

Odp.: stan c).

Jacek Chró

ścielewski WM2F081_084.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (85)

Elementy teorii plastyczności

Istota zachowania plastycznego:

• niezależność od czasu

( )

f t

σ

≠

,

( )

f t

ε

≠

,

• nieodwracalność deformacji plastycznej

pl

ε

,

• niejednoznaczność opisu – inny opis obciążenia i odciążenia.

Nośność graniczna przekroju (wielkość lokalna)
maksymalna

si

ła jaką jest w stanie przenieść przekrój

(osi

ągnięcie jej wyczerpuje nośności przekroju).

Nośność graniczna konstrukcji (wielkość globalna)
obci

ążenie zewnętrzne powodujące zniszczenie (katastrofę)

ca

łej konstrukcji lub jej części konstrukcji.

Zniszczenie,

konstrukcje statycznie wyznaczalnych

⇒

no

śność graniczna przekroju = nośność graniczna konstrukcji.

Zniszczenie,

konstrukcje statycznie niewyznaczalnych

⇒

uk

ład zamienia się w łańcuch kinematyczny w następstwie

przekroczenia no

śności granicznej w kilku przekrojach.

Krzywa rozciągania: podstawa modeli teoretycznych (

σ ε

− ).

zakresy:

liniowy spr

ężysty ( E ,

H

pro

R

p

σ

=

) i nieliniowo spr

ężysty,

plastyczny – p

łynięcie (

0

pl

pl

R

σ σ

= ≡

), wzmocnienie (

W

E

),

utrata

stateczno

ści materiału (

max

r

R

σ

=

), z

łom,

odkszta

łcenia: trwałe – plastyczne

pl

ε

, odkszta

łcenia sprężyste

s

ε

,

poj

ęcia: obciążenia i odciążenia w zakresie spręż. i plasty.

Jacek Chró

ścielewski WM2F085_088.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (86)

Modele ciał plastycznych

Model liniowo–sprężysty (L–S)

E

σ

ε

=

, schemat – spr

ężyna

.

P ku

=

Model sztywno–plastyczny (Sz–P), dwie fazy:

0

ε

=

dla

0

pl

σ σ σ

<

≡

(brak

odkszta

łceń, materiał sztywny),

0

pl

ε

>

dla

0

pl

σ σ σ

=

≡

(p

łynięcie, nieograniczone deformacje),

schemat – cia

ło sztywne

Q

na p

łaszczyźnie, tarcie Culomba

T

Q

µ

=

,

P

T

<

spoczynek,

P

T

=

ruch nieograniczony.

Model idealnie sprężysto–plastyczny (IS–P), dwie fazy:

E

σ

ε

=

dla

0

pl

σ σ σ

<

≡

⇒

0

0

/ E

ε σ

=

(liniowo spr

ężyste),

0

pl

ε ε ε

= +

dla

0

pl

σ σ σ

=

≡

(p

łynięcie, nieograniczone deformacje),

schemat – spr

ężyna (

,

P ku

=

P

T

<

) po

łączona szeregowo ze ciałem

sztywnym na p

łaszczyźnie (

P

T

=

ruch nieograniczony).

Model idealnie sprężysto–plastyczny ze wzmocnieniem (IS–PW):

E

σ

ε

=

dla

0

σ σ

<

⇒

0

0

/ E

ε σ

=

(liniowo spr

ężyste),

obci

ążenie

0

pl

ε ε ε

= +

i

0

0

(

)

W

E

σ σ

ε

= +

−

0

ε

σ σ

>

ograniczone

p

łynięcie ze wzmocnieniem

W

E

),

odci

ążenie liniowo sprężyste po położeniu na

0

σ σ

≡

,

schemat – spr

ężyna (

s

s

P k u

=

,

P

T

<

) po

łączona szeregowo z

uk

ładem równoległym = sprężyna

+ cia

ło sztywne

T

W

k

(

s

W

u

u

u

= +

,

z

P k u

=

,

z

s

W

P

P

P

k

k

k

= +

spr

ężyna

aktywna przy

obci

ążeniu

, dla odci

ążenia kładzie się

T

).

W

k

P

T

>

P

≡

Istnieje wiele innych modeli opisuj

ących zjawisko uplastycznienia.

Jacek Chró

ścielewski WM2F085_088.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (87)

Nośność graniczna przekroju

Założenie: ogranicza się do stanów wytężenia tylko z

0

σ

≠

(normalne).

rozci

ąganie/ścisk. osiowe i mimośrodowe, zginanie proste.

Nośność graniczna przekroju (wielkość lokalna)
maksymalna

si

ła przekrojowej wyznaczana w ramch

modelu

materia

łu idealnie sprężysto–plastycznego (IS–P).

Rozciąganie/ściskanie nośność graniczna przekroju:

•

pr

ęt jednorodny o przekroju

A

,

const

σ

=

na

A

:

max

gr

p

N

N

l

A

σ

=

=

,

•

pr

ęt zespolony z dwóch materiałów

np. stal (

( )

,

s

s

pl

A

σ

), beton (

( )

,

b

b

pl

A

σ

):

( )

( )

s

b

gr

pl

s

pl

N

A

σ

σ

=

+

i

i

b

A ,

dla spr

ężystego było

b

s

b

s

b

s

E

E

σ

σ

ε

ε

ε

=

≡

=

≡ ,

s

b

E

n

E

=

,

c

b

s

A

A

nA

=

+

,

b

b

s

s

b

b

s

s

N

A

A

E A

E A

σ

σ

ε

ε

(

)

b

b

s

b

=

+

=

+

c

E

A

nA

A

ε

σ

=

+

=

.

Zginanie czyste (

) no

śność graniczna przekroju (całe

0

x

M

≠

A

↔

pl

σ

):

stan równowagi granicznej

w strefie

ściskanej

,

s

pl

A

σ

−

,

w strefie rozci

ąganej

,

r

p

A

l

σ

+

,

z definicji

d

0

A

N

A

σ

≡

=

∫

⇒

0

pl

s

pl

r

A

A

σ

σ

−

+

= ⇒

2

s

r

A

A

A

= = ,

d

gr

A

M

y A

σ

≡

∫

⇒

(

)

2

gr

s

r

pl

s

r

x

x

pl

M

A

W

c

c

σ

S

S

=

=

+

=

+

plastyczny

wska

źnik wytrzymałości,

gdzie

s

x

s s

S

A c

=

i

r

x

r r

S

A c

=

statyczne momenty pól

s

A i

r

A

wz osi oboj

ętnej w stanie równowagi granicznej.

Jacek Chró

ścielewski WM2F085_088.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (88)

Zginanie czyste

porównanie wskaźników wytrzymałości W i

pl

W

równowa

żne porównaniu

max

spr

pl

M

W

σ

=

i

gr

pl

pl

⇒

max

gr

p

spr

l

M

W

M

W

=

M

W

σ

=

• prostokąt

:

(b h

× )

2

6

bh

W

=

,

1

2

(

)

2

pl

A

W

c c

=

+

1

2

4

h

c

c

=

= ,

2

2

2 4

4

pl

bh h

bh

W

= ×

=

i

,

1.5

pl

W

W

=

,

•

ko

ło

;

( )

r

3

4

r

W

π

=

,

1

2

(

)

2

pl

A

W

c

=

+c

,

1

2

4

3

r

c

c

π

=

=

,

2

3

4

4

2

2

3

3

pl

r

r

W

r

π

π

= ×

=

i

,

16

1.7

3

pl

W

W

π

=

=

,

•

dwuteownik idealny (pasy)

/

1

pl

W

W

=

,

•

dwuteownik

|

/

1.1 1

pl x

x

W

W

.2

=

÷

,

,

|

/

1.6 1

pl y

y

W

W

=

÷ .7

.2

•

ceownik

|

/

1.1 1

pl x

x

W

W

=

÷

,

,

|

/

1

pl y

y

W

W

≅ .8

•

rura cienko

ścienna

( , )

r

δ

/

1.2

pl

W

W

7

=

.

Jacek Chró

ścielewski WM2F085_088.doc