plik

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

Podstawowe założenia wytrzymałości materiałów

• ośrodek ciągły ⇒ opisują funkcje ciągłe w sensie matematycznym;
• liniowość (

)

( )

a +

⇒ zasada superpozycji;

• obciążenia statyczne (wolny sposób narastania obciążenia);
• małe deformacje (|| ||

) i ma

łe odkształcenia (||

)

⇒ liniowa relacja odkształcenia–przemieszczenia (

( )

)

⇒ zasada zesztywnienia
(nie uwzgl

ędnianie deformacji w równaniach równowagi)

(odst

ępstwo – zagadnienia stateczności i cięgna);

• materiał liniowo sprężysty (odstępstwo – nośność graniczna)

⇒ liniowa relacja naprężenia–odkształcenia (

( )

= D

σ ),

jednorodno

ść (

) i izotropowo

ść (

( )

≠

D D x

( )

≠

D D n )

⇒ uogólnione prawo Hooke'a;

• lokalność wpływu przyłożenia siły skupionej na naprężenia

⇒ zasada Saint-Venanta,

Lokalnie zrównowa

żony układ sił zewnętrznych

powoduje powstanie odkszta

łceń jedynie w niewielkim

obszarze w s

ąsiedztwie miejsca przyłożenia tych sił.

• założenie płaskich przekrojów w prętach (płytach, powłokach)

⇒ hipoteza kinematyczna Bernoulliego (Kirchhoffa–Love’a),
⇒ belka Timoshenki (hipoteza Reissnera–Mindlina).

Jacek Chró

ścielewski WM2F001_005.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

Zasady (prawa) równowagi statyki

szczególny przypadek ogólnych zasad zachowania:

masy,
p

ędu,

ętu (momentu pędu);

• uniwersalność zasad zachowania

(obowi

ązują dla wszystkich Newtonowskich układów fizycznych,

niezale

żnie z jakiego są wykonane materiału i w jakim stanie skupienia

ę znajdują), w statyce przyjmują postać:

• równowagi sił

(1 równanie wektorowe

∑

⇒ 3 równania skalarne

∑

);

, ,

i x y z

• równowagi momentów

(1 równanie wektorowe

∑

⇒ 3 skalarne

∑

, ,

i x y z

);

• pojęcia:

- statycznej wyznaczalno

ści układu (nadliczbowe),

- kinematycznej niezmienniczo

ści układu (łańcuch kinematyczny)

(reakcje i stopnie swobody).

Jacek Chró

ścielewski WM2F001_005.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

Przestrzenny stan naprężenia

• wektora naprężenia w punkcie ( przekroju ciała

)

A o orientacji

lim

∆

∆
∆

→

- składowa normalna

( )

|| cos

= σ

- składowa styczna

( )

|| sin

= σ

gdzie

(np. na

ściance

elementarnego sze

ścianu

( )

(

≡

)

( X)

);

• symetryczny tensor (macierz 3 3

× ) naprężenia określa całkowicie i

jednoznacznie przestrzenny stan napr

ężenia w każdym punkcie ciała

(3 3)

[

]

sym

σ σ σ

σ τ τ

σ σ σ

τ σ τ

σ σ σ

τ τ σ

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

9 sk

ładowych - symetria wynika z warunków równowagi momentów

, (

σ σ

τ τ

= ) ⇒ daje tylko 6 niezależnych składowych;

• naprężenia główne

III

σ σ σ

< <

kierunki główne

problem w

łasny

III

ν ν ν

(

)

det(

)

=
=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

⎛

⎞

⎡

⎤

⎡

⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

⎜

⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢

⎥

⎢

⎥

⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎜

⎟

⎢

⎥

⎢

⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎜

⎟

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎣

⎦

⎝

⎠

;

•

lokalne równania równowagi w punkcie (z warunku równowagi sił)

ij i

+ =

, ,

i j x y z

, gdzie

(.)

(.),

∂

≡

∂

Jacek Chró

ścielewski WM2F006_011.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

Płaski stan naprężenia (PSN)

• określenie PSN -

wyró

żniona jest płaszczyzna (np. x y

− ) do której wektory naprężeń ( )

i obci

ążenia (

) s

ą równoległe

prostopad

łe do niej są równe zero

⇒

np. x y

−

( X)

( Y)

0, ,

0 .

i j x y

σ σ τ τ

≠

⇒

≠

= =

≠

= =

≠

• lokalne równania równowagi PSN

musz

ą być spełnione w każdym punkcie ciała, z warunków równowagi

elementu ró

żniczkowego d d

x y otrzymuje się

( )

⎫

∑

⇒

⎪

∂

∑ =

⇒

= ⎬

∂

⎪

∂

∑ =

⇒

= ⎪

∂

⎭

ij i

σ σ

⎧

⇒

⎨

+ =

⎩

i j x y

Jacek Chró

ścielewski WM2F006_011.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

•

PSN, naprężenia

σ τ

w przekroju zorientowanym

( , )

otrzymuje si

ę na podstawie znajomości

σ σ τ

z war. równowagi

elementarnego trójk

ąta, podstawiając

sin

cos

rzutuj

ąc na kierunek normalny oraz styczny otrzymuje się

cos

sin

sin cos

ϕ σ

(

)sin cos

(cos

sin

)

ϕ τ

= −

−

uwzgl

ędniając tożsamości trygonometryczne

1
2

cos

(1 cos 2 )

1
2

sin

(1 cos 2 )

−

, sin2

2sin cos

cos2

sin

cos

−

otrzymuje si

ę naprężenia normalne

(

)

(

) cos 2

sin

σ σ

ϕ τ

−

napr

ężenia styczne

(

)sin 2

cos

σ σ

ϕ τ

=−

−

;

Jacek Chró

ścielewski WM2F006_011.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

•

PSN, normalne naprężenia ekstremalne, poszukuje się przekroju

dla którego

ą ekstremalne, z warunku

(

)sin 2

cos 2

σ σ

=−

−

≡

⇒

tan 2

σ σ

−

dwie warto

ści

[0, 2 ]

∈

ró

żniące się o

spe

łniające

ą dwa ortogonalne przekroje o ekstremalnych naprężeniach

⇒

poniewa

1
2

, ekstremalne

wyst

ępuje dla

ekstremalne

⇒

ą naprężeniami głównymi

max

σ σ

min

σ σ

odpowiednie k

ąty, wykorzystując

(

) tan 2

σ σ

−

, obl. si

ę z war.

) cos 2

sin 2

) cos 2

[1 tan 2

]

σ σ

=−

−

=−

−

max

σ σ

dla

(

) cos 2

σ σ

−

⇐

σ ϕ

φ min

dla

(

) cos 2

σ σ

−

⇐

σ ϕ

uwzgl

ędniając

tan 2

)

τ σ σ

−

w to

żsamościach

po podstawieniu do zale

żności na

1/ 2

cos 2

(1 tan 2

)

(

)[(

)

]

σ σ

−

=± +

=±

−

1/ 2

sin 2

tg2

(1 tan 2

)

[(

)

]

σ σ

−

=±

−

otrzymuje si

1 2

(

)

σ σ

−

suma

σ σ σ σ

= +

jest niezmiennikiem;

Jacek Chró

ścielewski WM2F006_011.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

10)

• PSN, styczne naprężenia ekstremalne, poszukuje się przekroju

dla którego

ą ekstremalne; z warunku

(

) cos 2

sin 2

σ σ

=−

−

≡

⇒

(

)

tan 2

σ σ

−

=−

zachodzi

tan 2

−

=−

⇒

ϕ ϕ π

= +

łaszczyzny naprężeń głównych tworzą kąt

z p

łaszczyznami

ekstremalnych napr

ężeń stycznych, analogicznie do

⇒

otrzymuje si

1/ 2

[(

)

]

σ σ

−

=±

∧

σ σ

z rozwa

żań PSN jak stanu przestrzennego wynika, że ekstremalne

napr

ężenia styczne w PSN nie leżą w płaszczyźnie obciążenia, lecz

pod k

ątem

do niej i wynosz

=±

;

Jacek Chró

ścielewski WM2F006_011.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

11)

• PSN, koło Mohra – interpretacja graficzna stanu naprężenia,

konstrukcja wynika z przekszta

łcenia wzorów na

σ τ

grupuj

ąc i podnosząc obustronnie do kwadratu mamy

[

(

)]

[ (

) cos 2

sin 2

]

σ σ

ϕ τ

−

1
2

[

]

[

(

)sin 2

cos 2 ]

σ σ

ϕ τ

= −

−

po dodaniu stronami otrzymuje si

ę równanie okręgu o promieniu

1
2

[

(

)]

[

]

σ σ

−

1
2

[ (

)]

[

]

σ σ

−

;

• problemu własny dla naprężeń, naprężenia głównych można także

otrzyma

ć formalnie

)

∼

σ τ

σ ν

−

⎡

⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢

⎥

−

⎩ ⎭

⎣

⎦ ⎩ ⎭

rozwi

ązanie nietrywialnie dla

det

)

∼

det

(

)(

)

σ τ

σ σ

−

⎡

⎤

−

⎢

⎥

−

⎣

⎦

σ σ

−

⇒

(

)

(

)

(

, )

ν i

(

)

ν .

Jacek Chró

ścielewski WM2F006_011.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

12)

Płaski stan odkształcenia (PSO)

• określenie PSO -

odkszta

łcenia (

) wyst

ępują tylko w płaszczyznach równoległych do

danej sta

łej płaszczyzny (np. x y

−

⇒

, ,

i j x y

→

ε ε

≡

ε ε

≡

, pozosta

łe składowe są równe zero

;

j x y

= =

•

deformacja elementu różniczkowego d d

(

ABDC

A B D C

′ ′ ′ ′

→

), np.

′ = =

JJJJG

j , (bok)

(

d )

(

)

∂

′= +

∂

JJJJJG

j ,

JJJJG JJJG

, (przek

ątna)

d )

A D

∂

′ ′= =

∂

JJJJJJG JJG

;

wynikaj

ąca z rozwinięcia przemieszczeń

( , )

x y

u u

w szereg Taylora,

ograniczonego do wyrazów pierwszego rz

ędu (małe odkształcenia);

•

przybliżenie różnicy kwadratów przekątnej

(d )

(

)d d ]

x y

∂

−

≈

∂

;

pomija si

ę iloczyny typu

∂ ∂

jako ma

łe drugiego rzędu;

Jacek Chró

ścielewski WM2F012_014.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

13)

• PSO, jednostkowe odkształcenie podłużne:

−

stosunek wyd

łużenia (

−

) odcinka do d

ługości początkowej (

s ),

dla ma

łych odkształceń otrzymuje się

(d )

(

(d )

ε ε

−

+ =

+ ≈

1 (d )

(d )

(

)

(

)

(

)

(d )

dx dy

x ds

ds ds

∂

−

∂

≈

∂

oznaczaj

ąc

∂

(

∂

)

∂

i uwzgl

ędniając

cos

sin

, otrzymuje si

ę wzór na

jednostkowe odkszta

łcenie podłużne w kierunku

cos

sin

sin cos

ϕ ε

ϕ γ

;

Jacek Chró

ścielewski WM2F012_014.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

14)

• PSO, odkształcenia główne analogiczna do PSN

↔ ,

↔ , 2

↔

wynika z podobie

ństwa wzorów

cos

sin

sin cos

ϕ ε

cos

sin

sin cos

ϕ σ

pozwala natychmiast wypisa

ć zależności

1 2

(

)

(

ε ε

−

)

tan 2

ε ε

−

;

• interpretacja

- odkszta

łcenie jednostkowe krawędzi AB

def

A B

∂

−

′ ′ −

∂

;

•

interpretacja

- odkszta

łcenie jednostkowe krawędzi

def

A C

∂

−

∂

′ ′ −

∂

;

•

interpretacja

- k

ąt odkształcenia postaciowego

(spaczenie), zmiana k

ąta między ściankami elementu

∂

;

Jacek Chró

ścielewski WM2F012_014.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

15)

Związki fizyczne (relacje konstytutywne)

• prawa szczególne dot. własności materiału (tyle praw ile materiałów),

relacje np. typu

ędzy stanami odkształcenia i naprężenia;

↔

, , )

σ x n

materia

ł sprężysty (nie zależy od historii deformacji),

śli funkcja

materia

ł liniowo

( )

≠ σ

F F

−sprężysty (naprężeń),

materia

ł jednorodny

(po

łożenia),

materia

ł izotropowy

(kierunku),

( )

≠

F F

( )

≠ n

F F

•

jednorodny izotropowy materiał liniowo

−sprężysty funkcja

materia

łowa jest stała i całkowicie określona tylko przez dwie stałe,

najbardziej popularnymi sta

łymi materiałowymi są:

moduł sprężystości E (moduł Younga) [

]

charakteryzuje opór materia

łu jaki stawia on przy rozciąganiu,

N m

liczba Poissona

[-]

charakteryzuje stosunek odkszta

łceń poprzecznych do podłużnych,

moduł odkształcenia postaciowego (ścinania)

2(1

)

[

]

wyra

ża się przez dwie poprzednie stałe

N m

E i

(tak jak inne sta

łe);

• uogólnione prawo Hooke'a − związek fizyczny dla jednorodnego

izotropowego materia

ł liniowo

−sprężystego w postaci

równa

ń skalarnych wiążących 6 składowych przestrzennego

stanu napr

ężeń z 6-cioma składowymi odkształceń, albo

reprezentacji macierzowej w postaci:

relacja odkszta

łcenia

= D

−naprężenia, albo odwrotna

relacja napr

ężenia

−

= D

−odkształcenia.

Jacek Chró

ścielewski WM2F015_018.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

16)

Uogólnione prawo Hooke'a, stan przestrzenny, zapis macierzowy

{

}

ε ε ε γ γ γ

{

}

σ σ σ τ τ τ

2(1

)

E E

ν ν

⎡

⎤

− −

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

− −

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

1 2

ν ν

−

⎡

⎤

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

−

− ⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎣

⎦

posta

ć skalarna

i odwrotna:

(

))

σ ν σ σ

−

[(1

)

(

)]

)(1 2 )

ν ε ν ε ε

−

(

))

σ ν σ σ

−

[(1

)

(

)]

)(1 2 )

ν ε ν ε ε

−

(

))

σ ν σ σ

−

[(1

)

(

)]

)(1 2 )

ν ε ν ε ε

−

Jacek Chró

ścielewski WM2F015_018.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

17)

Uogólnione prawo Hooke'a PSN

σ τ τ

= = =

⇒

(

)

σ σ

=−

⎡

⎤

−

⎢

⎥

⎧ ⎫

⎧

⎢

⎥

⎪ ⎪

⎪

⎢

⎥

= −

⎨ ⎬

⎨

⎢

⎥

⎪ ⎪

⎪

⎩ ⎭

⎩

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎫

⎪

⎬

⎪⎭

1
2

0 0 (1

)

⎧ ⎫

⎧

⎡

⎤

⎫

⎪ ⎪

⎪

⎢

⎥

⎪

⎨ ⎬

⎨

−

⎢

⎥

⎬

⎪ ⎪

⎪

−

⎣

⎦

⎩ ⎭

⎩ ⎭⎪

posta

ć skalarna

i odwrotna:

(

)

σ νσ

−

(

)

σ νσ

−

(

)

ε νε

−

(

)

ε νε

−

2(1

)

Uogólnione prawo Hooke'a PSO

ε γ

= = =

⇒

(

)

σ ν σ σ

1
2

1 2

(1 2 )

ν ν

⎧ ⎫

−

⎡

⎤

⎪ ⎪

⎢

⎥

−

⎨ ⎬

− ⎢

⎥

⎪ ⎪

−

⎣

⎦

⎩ ⎭

ν ν

⎧ ⎫

− −

⎡

⎤

⎪ ⎪

⎢

⎥

−

⎨ ⎬

⎢

⎥

⎪ ⎪

⎣

⎦

⎩ ⎭

posta

ć skalarna

i odwrotna:

[(1

)

]

1 2

ν ε νε

−

[(1

)

]

ν σ νσ

−

[(1

)

]

1 2

ν ε νε

−

[(1

)

]

ν σ νσ

−

(

)

1 2

ε ε

−

2(1

)

Jacek Chró

ścielewski WM2F015_018.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

18)

•

Uwaga a) wykazać zależność pomiędzy

czyste ścinanie PSN:

σ σ

= =

= ≠

(

)

napr

ężenia główne:

σ τ

=−

ła Mohra),

odkszta

łcenie główne:

(

)

σ νσ

ν τ

−

(z prawa Hooke’a),

wyd

łużenie przekątnej:

2 d

∆

(z definicji),

(

d )

(

d )

d /

∆

2 (z geometrii),

porównanie stronami:

≡

⇒

≡ =

⇒

2(1

)

;

•

Uwaga b) wykazać ograniczenie na liczbę Poissona

PSN, przyrost objętości jednostkowego sześcianu w wyniku
rozci

ągania

σ σ

)(1

) 1

(

)

(

)

(

)

(1 2 )

∆

ε ε ε

σ νσ

σ σ

= +

− ≈ + +

−

≥

⇒

1 2

−

≥

⇒

1/ 2

≤

(z odkszta

łceń wydłużenie odcinka

∆

= +

Jacek Chró

ścielewski WM2F015_018.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

19)

Pojęcie pręta

Pręt najbardziej ogólne pojęcie obiektu jednowymiarowego w mech.,

ujmuje np.: wykratowanie, s

łupy, belki, łuki, ruszty, itd.

ęt może być: zakrzywiony, prosty, płaski, przestrzenny;

o przekroju sta

łym, zmiennym, pryzmatycznym, cienkościenny.

Modelem pręta jest krzywa przestrzenna wyposażona w dodatkową

struktur

ę pozwalającą na przenoszenie oddziaływań mechanicznych.

• redukcja zagadnienia trójwymiarowego do jednowymiarowego;
• oś pręta

, jej usytuowania w stosunku do przekroju poprzecznego

( )

( , )

x y (środek ciężkości, środek skręcania);

• założenie płaskich przekrojów (hipoteza kinematyczna Bernoulliego i

belka Timoshenki);

• przekrojowe siły wewnętrzne

x x

e ,

ładowe: siły poprzeczne ,

T T (tnące) i podłużna

(normalna),

momenty

zginaj

ące

M M i skręcający

≡

;

•

wyznaczenie przekrojowych si

ł wewnętrznych

( )

T z

( )

T z

( )

N z

( )

M z

jest zadaniem Mechaniki Budowli, podczas gdy

wyznaczenie rozk

ładów naprężeń ( , , )

x y z

przy danych si

łach

wewn

ętrznych jest zadaniem wytrzymałości Materiałów;

•

wykresy si

ł wewnętrznych (interpretacja, ciągłość, ekstrema, sposób

rysowania);

Jacek Chró

ścielewski WM2F019_021.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

20)

Definicja sił przekrojowych pręta

d ,

⎧ ≡

⎪

≡

⇒

≡

⎨

⎪

≡

⎪⎩

∫

∫
∫

d ,

(

d ,

(

y)d ,

y A

x A

⎧

≡

⎪

≡

⇒

≡ −

⎨

⎪

≡

−

⎪⎩

∫

r σ

tutaj ( , , )

x y z

e wektor naprężenia w punkcie

( , )

x y

przekroju pr

ęta ( )

A z

;

(def. obowi

ązuje niezależnie od rozkładu naprężeń).

Jacek Chró

ścielewski WM2F019_021.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

21)

Lokalne równania równowagi

•

lokalne równania równowagi przestrzennego pr

ęta prostego

zale

żności różniczkowe pomiędzy

łami wewnętrznymi

( )

T z

( )

T z

( )

N z

( )

M z

obci

ążeniem ciągłym

( )

m z

( )

m z

( )

m z

( )

q z

( )

q z

( )

q z

z warunku równowagi elementu ró

żniczkowego o długości d :

−

+ +

= ,

−

•

stany wyt

ężenia pręta:

proste (jedna sk

ładowa

≠

łożone

(kombinacja kilku sk

ładowych

≠

Jacek Chró

ścielewski WM2F019_021.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

22)

Jednoosiowy stan naprężenia

jest to prosty stan wyt

ężenia, tylko siła normalna

≠ :

rozciąganie

b) ściskanie

< .

• założenia

σ σ

≡ ≠

( , , )

( )

x y z

const

σ σ

w przekroju

( )

A z ;

•

ła normalna, naprężenia normalne

⇒

( )

( , , )d

( ) ( )

def

A z

N z

x y z A

z A z

≡

∫

( )

N z

A z

;

• odkształcenie podłużne, odkształcenie poprzeczne

≠

z prawa

Hooke a

⎯⎯⎯⎯

→

= −

νε

= −

;

• wydłużenie pręta (z relacji odkształcenia-przemieszczenia)

( ,

, )

z z

⇒ d

⇒

( )

( ) ( )

a b

N z

E z A z

−

∫

dla

const

⇒

a b

−

;

• obciążenie termiczne : odkształcenie

ε α

wyd

łużenie swobodne

∆ ε

;

ważność rozwiązania (ograniczenia wynikają z założenia

const

, A ):

a) w pewnej odległości od działających sił (zasada de Saint-Venanta),
b) dla prętów o stałym przekroju lub o ,,łagodnych” zmianach (inaczej

koncentracja napr

ężeń przy silnych lub skokowych zmianach), np.:

taśma - szerokość b, otwór - średnica d

d/b

0 0.2 0.4 0.8

współczynnik koncentracji naprężeń

3 2.48 2.22 2.08

Jacek Chró

ścielewski WM2F022_025.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

23)

Jednoosiowy stan naprężenia

wymiarowanie wytrzymałościowe

•

metoda napr

ężeń dopuszczalnych:

obl

dop

≤

dop

R n

≡

napr

ężenia dopuszczalne,

granice wytrzyma

łości,

wspó

łczynnik bezpieczeństwa

(

zale

żnie od materiału i zagadnienia);

mat. plastyczny,

mat. kruchy (ściskanie),

mat. kruchy (rozciąganie),

⎧

⎪

=⎨

⎪

⎩

1.5 10

≈

•

metoda napr

ężeń granicznych:

...

R k k

∑

≤

≥

wspó

łczynnik przeciążenia (dot. rodzaju obciążenia ),

wsp. jednorodno

ści materiału (dot. mat., produkcji itp.),

wsp. warunków pracy (dot. war. realizacji konstrukcji);

≤

−

•

metoda stanów granicznych

...

N k k

= ∑

≤

N oznacza

śność przekroju lub całej konstrukcji;

kształtowanie sztywnościowe (warunki geometryczne)

max

( )

dop

u A

≤

⇒

A ;

warunek stateczności konstrukcji

;

obl

≤

Jacek Chró

ścielewski WM2F022_025.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

24)

Zwykła statyczna próba rozciągania (i ściskania)

fakty eksperymentalne, podstawa wzór np.:

A l

∆

;

•

krzywa rozciągania stali miękkiej, żeliwa, betonu, drewna, gumy

(

⇒

∆

−

σ ε

−

gdzie

P A

l l

ε ∆

- zakresy spr

ężysty liniowy i nieliniowy,

łynięcie plastyczne (odkształcenia trwałe – plast., spr.),

- wzmocnienie materia

łu,

- utrata stateczno

ści materiału (szyjka),

- zniszczenie (z

łomy);

•

obci

ążenie, odciążenie w zakresie sprężystym i plastycznym,

napr

ężenia umowne (nominalne) i rzeczywiste (szyjka);

•

materia

ł o jednakowej (np. stal) i niejednakowej (np. beton)

wytrzyma

łości na rozciąganie i ściskanie (rys.);

•

interpretacja modu

łu sprężystości (wykres

σ ε

−

⇒

tan

dla

≤

) (próba

ścisła);

•

granice: proporcjonalno

ści

(prawa Hooke'a),

spr

ężystości

spr

plastyczno

ści (wyraźna)

plast

wytrzyma

łości na rozciąganie

max

wytrzyma

łości na ściskanie

min

= −

;

•

granice umowne (próba

ścisła).

Jacek Chró

ścielewski WM2F022_025.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (

25)

Własności ważniejszych materiałów konstrukcyjnych

plast

max

, [

MPa

]

Materiał

[

GPa

]

[ ]

−

[

MPa

] rozciąganie ściskanie

Stal zwykła 210

0.33

220-240

320-380

Stal o wysokiej
wytrzymałości

210 0.33 320-360

520-640

Stop aluminium

0.34

90-300

90-430

Sosna (wzdłuż włókien) 10

−

∼ 55

∼ 35

Sosna (w poprzek włókien) 0.3

−

∼ 4

∼ 5

Beton konstrukcyjny

15-40

∼ 0.16

−

0.5-3 5-50

Cegła 2-4

−

0.5-3 5-15

______________________________________________________________________________________________________

Jednoosiowy stan naprężenia

•

układy statycznie niewyznaczalne:

- koncepcja rozwi

ązania (metoda sił),

- warunek geometryczny (zgodno

ści przemieszczeń),

- plan przemieszcze

ń przy założeniu małych deformacji;

•

wykresy rozwiązań:

ł normalnych

przemieszcze

( )

N z

( )

u z

w z

≡

Jacek Chró

ścielewski WM2F022_025.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (26)

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

• pole przekroju

∫

];

• momenty statyczne w/z osi [m

] i środek ciężkości

y A

≡

∫

x A

≡ x

∫

• osie centralne

x y

- przechodz

ą przez środek ciężkości,

śli figura ma oś symetrii to jej środek ciężkości leży na tej osi,

śli ma dwie osie symetrii to środek ciężkości leży na ich przecięciu;

• figura złożona z

ęści o polach

1,...,

A i środkach (

)

= ∑

środek ciężkości figury złożonej z dwóch części - sposób wykreślny;

• momenty bezwładności [m

]

w/z osi

∫

biegunowy

r A

∫

( + )d

A J

∫

, z def.:

J J J

dewiacyjny

∫

;

• promienie bezwładności

, ,

x y xy o

;

• centralne (środkowe) momenty bezwładności

x y

to momenty w/z osi centralnych

x y ;

Jacek Chró

ścielewski WM2F026_028.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (27)

Momenty bezwładności figur płaskich

• wzór Steinera dla osi

x ,

0 0

x y

Ax y

figura z

łożona

(

)

A y

∑

(

)

A x

∑

(

)

x y

A x y

∑

;

• obrót układu współrzędnych o

( , )

zgodny z ruchem zegara,

transformacja wspó

łrzędnych

cos

sin

cos

−

, daje z def.:

cos

sin

2sin cos

sin

cos

2sin cos

(

)sin cos

(cos

sin

)

ηξ

≡

−

≡

= −

−

∫
∫
∫

• główne momenty i główne osie bezwładności,

analogia do PSN

↔ ,

↔

, st

ąd np.

1,2

−

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

−

- warunek maksimum

(

) cos 2

−

;

- osie g

łówne (

) s

ą ortogonalne

/ 2

;

- w uk

ładzie osi głównych

;

- niezmienniczo

ść wz obrotu

const

+ = + = + =

;

Jacek Chró

ścielewski WM2F026_028.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (28)

Momenty bezwładności figur płaskich

•

główne centralne momenty bezwładności i osie bezwładności

, s

ą obliczone dla układu centralnego

J J

x x

= =

y y

= =

o pocz

ątku w środku ciężkości

- je

śli figura ma oś symetrii to jest to oś główna,

- je

śli ma dwie osie sym. to są to główne centralne osie bezwładności,

- je

śli ma trzy i więcej, to każda prosta przez środek ciężkości

jest g

łówną centralną osią bezwładności;

•

znajomo

ść momentów bezwładności figur:

prostok

ąt

| dolna

trójk

ąt

| dolna

∆

ło

;

• koło Mohra - graficzne wyznaczanie

J J

orientacja

osi

J J J

, k

ąt

( , )

+ =)

odmierzany zgodnie

z ruchem wskazówek zegara,

ś momentów dewiacyjnych

J skierowana w dół;

• przekroje cienkościenne (grubość ścianki

<< , , ,...

a b h

)

uproszczenie przy obliczaniu charakterystyk geometrycznych polega
na pomijaniu sk

ładników z

i w wy

ższej potędze jako małych.

Jacek Chró

ścielewski WM2F026_028.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (29)

Zginanie czyste (ukośne)

W przekroju wyst

ępuje tylko wektor momentu

≠

ąd tylko

σ σ

≡

≠

(tzw. zginanie uko

śne);

• hipoteza kinematyczna Bernoulliego (o płaskich przekrojach):

przekroje pocz

ątkowo płaskie i prostopadłe do osi pręta pozostają

łaskie i prostopadłe do osi pręta w trakcie procesu deformacji,

konsekwencja

( , )

x y

≡ =

+ (płaszczyzna);

• ogólnie, dla założenia o płaskich przekrojach i prawa Hooke'a

( , )

(

)

x y

E ax

≡

E ax

po podstawieniu do definicji si

ł przekrojowych otrzymuje się układ

(

) d

(

) d

y A

E ax

c y A

x A

E ax

c x A

⎧

⎪

⎨

⎪

= −

⎪⎩

∫

⇒

A S S

S J J

S J

⎡

⎤

⎧

⎫

⎪

⎪ ⎪

⎪

⎢

⎥

⎨

⎬ ⎨

⎬

⎢

⎥

⎪

⎪ ⎪

⎪

⎢

⎥

−

⎩

⎭

⎣

⎦

⎩

⎭

;

•

zginanie ukośne w układzie osi centralnych (

)

po wyznaczeniu sta

łych

Ea Eb Ec otrzymuje się:

napr

ężenia

( , )

M J

x y

J J

= −

−

ś obojętna

( , )

def

x y

⇒

M J

, lub

ś zerowa - przechodzi ukośnie przez początek układu,

napr

ężenia ekstremalne występują w punktach

najbardziej oddalonych od niej;

Jacek Chró

ścielewski WM2F029_031.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (30)

Zginanie czyste: ukośne i proste

•

zginanie ukośne w głównych centralnych osiach bezwładności

napr

ężenia

= = =

⇒

( , )

x y

= −

ś obojętna

( , )

x y

⇒

M J

;

naprężenia w przekroju o dwóch osiach symetrii

ą to główne centralne osie bezwładności

oraz zachodzi

⇒

max

min

max

min

eks

= ±

, gdzie

max

wska

źnikami wytrzymałości w/z odpowiednich osi;

•

zginanie proste (płaskie) - w gł. centralnych osiach bezwładności,

jedna

ładowych wektora momentów równa zero

napr

ężenia

( )

ś zerowa

ł. centralna oś bezwładności,

napr

ężenia

= −

gdzie

tzw.

wska

źniki wytrzymałości górny i dolny;

Jacek Chró

ścielewski WM2F029_031.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (31)

Zginanie proste (czyste), lokalna deformacja osi belki

uwaga

prosta

łówna centralna oś bezwładności,

- o

ś naprężeń zerowych,

napr

ężenia

(

E ax

≡

by c

)

E by

≡

;

obliczamy: wyd

łużenia pasma długości

oddalonego o od osi belki

w wyniku zakrzywienia

= osi belki

łuku kołowego o promieniu

( )

⇒

war. zgodno

ści geometrycznej

d ( )

( )d

s y

y z

⇒

( )

= =

prawo Hooke'a

( )

definicja momentu

y A

∫

ąd równanie na krzywiznę osi belki

EJ - sztywnością przekroju na zginanie;

rozwi

ązanie opisuje deformację belki w łuk kołowy i jest

rozwi

ązaniem ścisłym w ramach przyjętych założeń.

Jacek Chró

ścielewski WM2F029_031.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (32)

Mimośrodowe rozciąganie/ściskanie

Stan z

łożony, występują moment

≠

ła normalna

≠

⇒

σ σ

≡

≠ ;

Superpozycja stanu: osiowego rozci

ągania i zginania ukośnego:

• w osiach centralnych

, (

= = ) obowiązuje:

(

)

( , )

x y

const

(

)

( , )

M J

x y

J J

=−

−

;

uwzgl

ędnienie

= ×

M r W

⇒

=−

daje

napr

ężenia

(

)

(

)

J J

σ σ

⎡

⎤

−

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎣

⎦

ś zerową

def

⇒

1 0

J J

−

+ =

−

;

•

w g

łównych centralnych osiach bezwładności (

= =

)

napr

ężenia

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

, gdzie

ś zerową

1 0

+ = dla

⇒

= −

⇒

= −

tzn. o

ś zerowa nigdy nie przecina ćwiartki w której działa siła

;

trzy charakterystyczne po

łożenia osi zerowej względem przekroju,

ś: nie przecina, jest styczna i przecina przekrój.

( , )

u v

Jacek Chró

ścielewski WM2F032_035.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (33)

Uwaga 1 przejście z układu osi centralnych x , ,

łównych osi centralnych

J J

≠

≡ ,

≡

przez transformacj

ę ortogonalną

x y oraz

, tutaj

u v

( , )

)

cos

sin

cos

= −

Uwaga 2 jeżeli siła przesuwa się po prostej u av b

+ to oś

⇒

1 0

av b

+ =

⇒

(

)

+ ≡

, niezale

żnie od

zawsze przechodzi przez punkt

= −

i a

tzn.

ś zerowa obraca się wokół punktu

( ,

)

x y stanowiąc

ęk prostych przechodzących przez ten punkt.

Kontur przekroju K jest to najmniejsza figura wypukła, w którą da się

wpisa

ć przekrój

⊆

Rdzeń (jądro) przekroju

jest to miejsce geometryczne punktów

przy

łożenia siły, dla których w całym przekroju panują

napr

ężenia jednakowego znaku.

•

Punktom granicy rdzenia odpowiadaj

ą osie styczne do konturu.

•

Rdze

ń R jest zawsze figurą wypukłą leżącą wewnątrz konturu

⊆

•

Rdze

ń ma te same oś symetrii co przekrój.

•

Środek ciężkości przekroju zawsze leży w obszarze rdzenia.

•

śli kontur jest wielobokiem to rdzeń jest także wielobokiem

tej

samej

liczbie

boków.

Praktyczne znaczenie rdzenia np.:

•

materia

ły kruche,

•

materia

ły nie przenoszące ciągnień,

•

fundamenty.

Jacek Chró

ścielewski WM2F032_035.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (34)

Wyznaczenie rdzenia polega na określeniu jego granic, z definicji przez
podstawienie do równania osi oboj

ętnej

( , )

a u v x

b u v

albo

(I) równań granicy rdzenia (

−

temu wierzcho

łkowi konturu

( ,

)

x y

odpowiada

−

te równanie boku rdzenia

) albo

(II) równań boków konturu (

−

temu bokowi konturu

a x

odpowiada

−

ty wierzcho

łek rdzenia

), st

ąd:

( , )

u v

a x

≠

= ≠

(

)

∈ −∞ +∞

⇒

= ≠

(

∈ −∞ +∞)

(

)

a b

y a

b a

≡ ⇒

=∞

⇒ =

−

≡

i y

a J

a i

b A

−

b A

−

= −

c A

−

= −

i xy

a J

a i

b A

−

b A

−

= −

c A

−

= −

•

Metoda wykre

ślna znajdowania osi zerowej ( ,

x y ) w układzie głównych

centralnych osiach bezw

ładności z war.

= −

i granic rdzenia

y A

x A

• Granice rdzenia typowych figur:

prostok

ąt

( b h

× )

/ 6

;

trójk

ąt równoboczny (b h

× )

/ 6

/ 8

;

ło

(

/12

R )

/ 4

;

rura

grubo

ścienna

( ,

R r )

(

) / 4

;

rura

cienko

ścienna

( , )

/ 2

Jacek Chró

ścielewski WM2F032_035.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (35)

Mimośrodowe ściskanie przy wyłączeniu strefy rozciąganej

(fundamenty – nie przenosz

ą ciągnień)

Fundament prostok

ątny (stopa) A h b

= × ,

wierzcho

łki rdzenia

obci

ążenie w płaszczyźnie symetrii (

/ 6,

/ 6

− ⊥ ) siłą w odległości

od kraw

ędzi stopy,

trzy przypadki ustawienia si

ły:

−

≥ rozkład

trapezowy, si

ła wewnątrz rdzenia

max

min

= − ±

⇒

max

)

−

min

( 2

)

− +

;

−

= rozkład

trójk

ątny na całej długości , siła na skraju rdzenia

max

= ,

min

= −

;

−

< rozkład

trójk

ątny tylko na części , siła poza rdzeniem

max

= ,

min

= −

W praktyce nie dopuszcza si

ę przypadków odporu fundamentu na

obszarze mniejszym od po

łowy powierzchni całkowitej

⇒ 3

> ⇒

> .

Jacek Chró

ścielewski WM2F032_035.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (36)

Skręcanie swobodne de Saint

−

Venanta

Skr

ęcanie czyste, tylko

≡

≠

tylko

≠ + swoboda deplanacji.

Skr

ęcanie nieswobodne, skrępowane = brak swobody deplanacji (przez

np.: podparcie, zmienne obci

ążenie, zmienny przekrój),

powstaj

ą także samorównoważące się

≠ ( ,

N M M

= ).

Pręt o przekroju kołowym - skręcanie swobodne (i skrępowane)

(pe

łny, rura grubościenna, rura cienkościenna - rozwiązania ścisłe)

łożenia

• sztywne obroty ( )

przekrojów (brak deplanacji !!!),

• tworzące mają postać krzywej śrubowej, przybliżaną

dla ma

łych kątów prostą

⇒

ρ ϕ γ

⇒

skręcenie

γ ρ

⎛

⎞

= ⎜

⎟

⎝

⎠

•

czyste

ścinanie (p. Hooke’a)

⇒

•

napr

ężenia styczne ( )

ρ prostopadłe ρ stąd

skr

ęcenie z def.

A G

τρ

≡

∫

⇒

obrót odcinka

( )

a b

M z

GJ z

−

∫

dla

const

s a b

a b

M l

−

napr

ężenia

( )

τ ρ

⇒

max

⇒

max

sztywno

ść na skręcanie (

∫

wska

źnik wytrzymałości na skręcanie.

Jacek Chró

ścielewski WM2F036_040.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (37)

Pręt pryzmatyczny o przekroju prostokątnym

skręcanie swobodne

Brak rozwi

ązań elementarnych (takich jak dla prętów kołowych).

Fakty wynikaj

ące ze ścisłych rozwiązań teorii sprężystości

dla pr

ęta o założeniach

• długość l ,

• przekrój prostokątny b h

× , stały na długości,

• stały moment skręcający

const

, to:

−

w wyniku swobodnego skr

ęcenia występuje deplanacja przekroju,

−

wektory napr

ężeń stycznych na brzegu przekroju są równoległe

do konturu a w naro

żach równe zero,

−

napr

ężenie maksymalne

max

wyst

ępuje w środku dłuższego boku,

−

wzory przybli

żone (analogia do wzorów dla prętów kołowych):

napr

ężenia styczne max.

max

ąt skręcenia pręta

M l

- wska

źnik wytrzymałości

- moment bezw

ładności na skręcanie,

- sztywno

ść przekroju na skręcanie.

Wspó

łczynniki

z tablic w zale

żności od proporcji

h b

1 1.5 2 3 4 6 8 10

→ ∞

0.140 0.196 0.229 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313

→

1/3

0.208 0.231 0.246 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313

→

1/3

Jacek Chró

ścielewski WM2F036_040.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (38)

Pręt cienkościenny o przekroju otwartym (wieogałęziowy)

skręcanie swobodne

łożenia: (występuje silna deplanacja przekroju)

• zbudowany z wąskich prostokątów

× ( /

≥

1, 2,...,

• przekroje w płaszczyźnie doznają jedynie sztywnego obrotu
(jako

łość

const

ϕ ϕ

≡ =

• przyjmuje się wzór dla prostokąta (b

≡ ), zatem

≈ ∞ ⇒

α β

= = ,

− momentem bezwładności na skręcanie

∑

− wskaźnik wytrzymałości na skręcanie

max

ηδ

∑

− współczynnik kształtu

dla profili walcowanych (wyoblenia)

ątownik ceownik, teownik dwuteownik profili idealnych

1.12

1.30

napr

ężenia styczne:

max

(

)

max

tej

−

ściance w środku dłuższego boku,

ąt skręcenia pręta:

M l

Uzasadnienie wzorów: (z warunku sztywnego obrotu)

...

M l

ϕ ϕ

≡ =

= =

≡

⇒

, gdzie

ąd

...

+ +

= M ⇒

max

(

)

Jacek Chró

ścielewski WM2F036_040.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (39)

Jednokomorowe pręt cienkościenne o przekroju zamkniętym

(skręcanie swobodne)

Rozwi

ązanie ścisłe: stały momentu, stały przekroju, swoboda deplanacji.

łożenia:

• przekroje doznają jedynie sztywnego obrotu ( )

w p

łaszczyźnie

ale nie pozostaj

ą płaskie (deplanacja),

( )

• naprężenia ( , )

z s

ą styczne linii środkowej ścianki ( )

roz

łożone równomiernie na jej grubości ( )

Warunek:

max

min

( )

( ) ( )

t s

const

τ δ

wynika z równowagi

∑ = fragmentu obwodu d ,

I. wzór Bredta dla napr

ężeń

( )

(

)

wynika z def.

tr s

t r s

r s

τρ

τδ

∫

τδ

1
2

∫v

pole ograniczone lini

ą środkową ( )

s ,

−

∫v

łka po obwodzie zamkniętym ( )

s ,

napr

ężenia styczne max.

max

min

wynikaj

ą z warunku

max

min

const

τδ τ δ

min

wska

źnik wytrzymałości na skręcanie.

Jacek Chró

ścielewski WM2F036_040.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (40)

Jednokomorowe pręt cienkościenne o przekroju zamkniętym (cd.)

II. wzór Bredta dla skr

ęcenia

obrót odcinka

a b

−

∫

)

∫v

moment bezw

ładności na skręcanie,

sztywno

ść na skręcanie.

II. wzór Bredta wyprowadza si

ę na podstawie twierdzenia Clapeyrona

(które b

ędzie podane później). Przyrównując

praca

zewn

ętrznego

momentu skr

ęcającego

na k

ącie obrotu

≡

energia potencjalna

odkszta

łcenia sprężystego

dla pr

ęta o długości

τγ

≡

∫

Uwzgl

ędniając:

p. Hooke’a

, I. wzór Bredta

( )

(

)

oraz

otrzymuje si

M l

l s

τγ

∫

ąd ostatecznie

ϕ ϕ

≡ =

∫v

Jacek Chró

ścielewski WM2F036_040.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (41)

Łączenie elementów konstrukcji

(stalowych i drewnianych, uproszczona teoria techniczna)

łówne założenie:

• równomierne rozkładu naprężeń w łączonych elementach,

mimo wyst

ępowania w rzeczywistości koncentracji naprężeń;

• sprawdza się tylko warunki wytrzymałościowe (typu

obl

≤

przyjmuj

ąc, że warunki odkształceniowe są spełnione;

•

łączenie nie powinno zmieniać charakteru pracy łączonych części,

np. osiowo

ść przenoszenia sił (wypadkowe: łączników obciążenia);

≡

•

szczegó

ły projektowania połączeń regulują normy

(maksymalne i minimalne wielko

ści technologiczne,

tj. rozmieszczenie, rozstawy i odst

ępy, grubości itp.).

Połączenia spawane

Czo

łowe proste

≤

uko

śne, kąt

cos

sin2

≤

gdzie:

szeroko

ść blachy,

−

grubo

ść blachy,

napr

ężenia dopuszczalne spoiny na rozciąganie

typowo

−

blach

≤

0.8

blach

przy rozci

ąganiu,

blach

przy

ściskaniu,

napr

ężenia dopuszczalne spoiny na ścinanie

−

blach

Pachwinowe

≤

, (pod

łużne i poprzeczne),

gdzie:

sumaryczna d

ługość spoin (po jednej stronie łącznika),

−

obliczeniowa grubo

ść spoiny, typowo

−

0.7

;

Jacek Chró

ścielewski WM2F041_042.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (42)

Połączenia nitowane

Sposoby zniszczenie po

łączenia nitowanego przez:

•

ścięcie nitów,

•

docisk nitów,

•

rozerwanie blach;

śność nita

ętego

−

min

min(

)

ścinanie

docisk

min

R d t

liczba nitów

min

≥

napr

ężeń w osłabionej blasze

min

(

)

d t

≤

−

gdzie

−

ła normalna przenoszona przez połączenie,

średnica nita,

szeroko

ść blachy,

z sumy grubo

ści blach po jednej stronie połączenia),

−

min

min(

−

napr

ężenia dopuszczalne nita na ścinanie,

−

napr

ężenia dopuszczalne nita na docisk, (typowo

suma

średnic nitów w osłabieniu przekroju.

Połączenia ciesielskie

Anizotropowo

ść materiału - wytrzymałość zależy od kierunku obciążenia

w stosunku do w

łókien drewna.

Sposoby zniszczenie po

łączenia ciesielskie przez:

•

ścięcie zaciosu,

•

docisk zaciosu,

•

rozerwanie os

łabionego przekroju.

Jacek Chró

ścielewski WM2F041_042.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (43)

Zginanie ze ścinaniem belek grubościennych

łożenia:

• w przekroju działają moment i siła tnąca (stan złożony) np.

;

M T

≠

• zginanie proste w gł. centralnych osiach bezwładności

;

S S J

• siła tnąca nie wpływa na rozkład naprężeń normalnych

( , )

x y

(rozs

ądne przy

1 5

h L

≤

, wówczas b

łąd nie przekracza

);

•

na prostych

równoleg

łych do

(

y y ustalone

)

ś naprężeń zerowych)

napr

ężenia od ścinania są stałe

( ,

)

x y

con

(po szeroko

ści).

Napr

ężenia styczne

( , )

( )

x y

•

z war.

dla wycinka

i cz

ęści przekroju

(

)

Ω

⊂

odci

ętej

łaszczyzną

(

y y ustalone

)

na szeroko

ści

(

)

b y

otrzymuje si

(

d )d

(

) (

0 /:d

y b y

Ω

σ σ

−

∫

⇒

(

) (

)

y b y

Ω

−

∫

•

uwzgl

ędniając zróżniczkowane

z J

mamy

y A

γ γ

Ω

−

∫

⇒

T S

J b

gdzie

(

)

(

)

S y

Ω

∫

momentem statycznym wz. osi x

odci

ętej części przekroju ( )

Ω

;

Maksymalne napr

ężenia styczne dla środka ciężkości (

prostok

ąt

max

x y

max

ło

max

Jacek Chró

ścielewski WM2F043_045.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (44)

Zginanie ze ścinaniem belek cienkościennych

łożenia:

•

w przekroju dzia

łają 2 momenty

2 si

ły tnące (stan złożony);

•

zginanie uko

śne w gł. centralnych osiach bezwładności

;

S S J

•

ły tnące

nie wp

ływa na rozkład naprężeń normalnych

( , )

x y

;

•

napr

ężenia styczne

( )

sta

łe na gr. ścianki

( )

, (

−

wsp. bie

żąca).

Napr

ężenia styczne

( , )

( ,

)

x y

T T

•

równanie równowagi

elementarnej obj

ętości

d )

∂

⎛

⎞

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

⎝

⎠

⎝

⎠

⇒

( )

∂

•

łka po

w przekroju

daje

γ γ

τ δ

∂

= −

∂

∫

, (

•

ró

żniczkując

=−

po , uwzgl

ędniając

=−

mamy

y s

x s

γ γ

τ δ

= −

−

∫

ąd

•

napr

ężenia

T S

= −

−

, gdzie

y A

Ω

∫

x A

Ω

∫

momenty statyczne cz

ęści

( )

Ω Ω

•

uwaga dla

wektor

τ jest zgodny z kierunkiem

Jacek Chró

ścielewski WM2F043_045.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (45)

Środek zginania (skręcania)

− punkt w płaszczyźnie przekroju,

w którym winna dzia

łać siła tnąca aby pręt był tylko zginany,

w przeciwnym razie obok zginania wyst

ąpi również skręcanie:

•

dla przekroju o osi symetrii

− leży na tej osi,

•

dla dwóch osi symetrii

− pokrywa się ze środkiem ciężkości,

•

dla przekrojów gwia

ździstych

− pokrywa się ze środkiem gwiazdy,

(krzy

żują się strumienie naprężeń stycznych z ramion

np.: k

ątownik, teownik, krzyżak),

•

dla ceownika cienko

ściennego (

≠

pó

łka

⇒

T hx

γ γ

τ δ

= −

rozk

ład liniowy

brzeg

, naro

że

(0)

= 0

(1)

T hb

= −

wypadkowa z napr

ężeń (pozioma)

(1)

T hb

τ δ

środnik

/ 2

półki

(

y y

)

−

∫

(parabola),

naro

że

(1)

, max

(1)

max

T h

−

wypadkowa z napr

ężeń środnika (pionowych)

łożenie środka ścinania

, war. zerowania momentów od ( )

t h

−

⇒

t h

h b

mierzone od linii

środkowej środnika.

Jacek Chró

ścielewski WM2F043_045.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (46)

Belki wielokrotne i złożone

(pr

ęt składa się z kilku części połączonych lub niepołączonych ze sobą,)

Belka wielokrotna, części tworzące belkę nie są połączone, pracujące

niezale

żnie.

Np. identycznych cz

ęści o długości l :

max

(

)

(

)

(

)

Belka złożona, części tworzące belkę połączone w monolit, traktuje się

jako ca

łości.

Np. cz

ęści o przekroju (

)

b h

× i wysokości

(

)

max

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) / 6

b nh

n W

łożenie. Połączenie (klej, nity, śruby, spawki,

zgrzewki punktowe, klocki, gwo

ździe, pierścienie itp.)

jest niepodatne i przenosi napr

ężenia styczne

miejscu

łączenia y y

= ;

Jacek Chró

ścielewski WM2F046_048.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (47)

Siła rozwarstwiająca w belkach złożonych

Wypadkowa z napr

ężeń (mierzona na jednostkę długości ) zebraną z

łej szerokości belki w miejscu łączenia

T S

γ γ

Na si

łę rozwarstwiającą projektuje się łączniki o charakterze ciągłym (np.

kleje, spawki ci

ągłe).

Łączniki punktowe (nity, śruby, klocki itp.) rozmieszczonych w rozstawie

formalnie musz

ą przenieść wypadkową z odcinka

( )

z e

R z

T z

∫

• W praktyce, mimo osłabień przekroju otworami (ich mały wpływ)

i zmienno

ści siły tnącej (gęsty rozstaw łączników), stosuje się wzór

brutto

max

( )

brutto

Sprawdzanie naprężeń normalnych w belkach złożonych

wykonuje si

ę dla przekroju osłabionego łącznikami (

)

netto

max

netto

(

)

(

)

dop

≤

• W belkach drewnianych (wykonanie całkowicie niepodatnych łączników

jest niemo

żliwe) do obliczenia

stosuje si

ę odpowiednie (zgodne

z normami) wspó

łczynniki korygujące.

netto

Jacek Chró

ścielewski WM2F046_048.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (48)

Naprężenia prostopadłe do osi belki w zginaniu prostym

łożenia:

• stan złożony moment

i tn

ąca

≠

, zginanie proste

S S J

•

obci

ążenie stałe rozłożone na górnej powierzchni belki ,

•

szeroko

ść przekroju

, wysoko

ść

( )

b y

= +

Napr

ężenia

(dot

ąd pomijanych

− uzasadnienie),

⇒

(

d ) d

y b z

b z

∂

−

∂

(

d ) d

z b y

b y

∂

−

∂

podstawiaj

ąc

T S

J b

( )

p z

= −

( )

...

p z S

z J b

J b

∂

= −

= = −

∂

łka po daje

( )

p z

−

∫

Wynik

łkowania zależy od kształtu przekroju.

Przekrój (

) ,

b h

/ 2

( )

(

) d

/12

2 4

p z

b h

p z

b bh

−

∫

−

Np. dla belki swobodnie podpartej

(

)

b h

/ 2

const

=−

mamy:

max

/ 2

(

)

| |

=−

= −

max

(

)

/ 8

(

)

( )

/ 6

p l

b h

ąd

max

(

)

( )

(

)

⇒

max

(

)

0.0133

(

)

(ma

łe).

Jacek Chró

ścielewski WM2F046_048.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (49)

Pręty zespolone

ęt zespolony z materiałów o różnych modułach sprężystości

(

np.: beton stal, beton

−

−cegła, drewno −stal itp.) połączonych

w ca

łość, siła rozwarstwiająca jest przenoszona przez łączniki.

łożenia:

• stan złożony moment

i si

ła normalna

≠

≠ ,

• przekroju o pionowej ( ) osi symetrii (

)

= ,

• przekroju złożony z dwóch materiałów

A ,

A i

• obowiązuje hipoteza o płaskich przekrojach

+ ,

• z p. Hooke’a

( )

(

)

( )

( ) ( )

( )

(

)

(

)

E by c na A

E y

E by c

nE by c na A

⎧

⇒ ⎨

+ =

⎩

Napr

ężeń (w obu materiałach)

(

)

(

)

(

def

x b

x s

def

x b

x s

A E bS

nE bS

y A

y A E bJ

nE bJ

∫

x s

∫

x b

gdzie

x b

y A

∫

x s

y A

∫

ąd

x c

x b

x s

x b

x s

x b

x s

nA S

⎧

⎫

⎡

⎤

⎪

⎢

⎥

⎧ ⎫ ⎪

⎢

⎥

⎨ ⎬ ⎨

⎬

⎢

⎥ ⎩ ⎭ ⎪

⎪

⎢

⎥

⎪

⎣

⎦

⎩

⎭

⎪

dla

x c

x b

x s

≡

⇒

E J

E A

⎧ =

⎪⎪

⎨

⎪ =

⎪⎩

( )

(

)

( )

(

)

E by

na A

nE by

y na A

⎧

+ =

⎪⎪

⇒ ⎨

⎪

+ =

⎪⎩

Jacek Chró

ścielewski WM2F049_051.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (55)

Równanie linii ugięcia belki

wyznaczanie przemieszcze

ń przy zginaniu

łożenia:

• zginanie płaskie w gł. centralnych osiach bezwładności

;

S S J

• małe: przemieszczenia

<< , obroty

′=

<< , odkształcenia

<< ;

• rozważamy tylko pionowe przemieszczenia belki tzw. ugięcia;
• siła tnąca nie wpływa na ugięcia belki.

Lina ugięcia krzywa reprezentująca zdeformowana oś belki

okre

śla całkowicie deformację

odkszta

łcenia belki.

−

( )

v z

−

⇒

Równanie Eulera porównanie wzorów

krzywizna osi belki

w czystym zginaniu

krzywizna krzywej p

łaskiej

z geometrii ró

żniczkowej

równanie

Eulera

≡

(

)

3 / 2

małe

1 ( )

′

′′

−

′

⇒

= −

równanie Eulera

− zwyczajne równanie różniczkowe II-rzędu o stałym

wsp., rozwi

ązanie wymaga znajomości

( )

Równanie IV-rzędu, niech

const

, uwzgl

ędniając

= −

dwukrotne

ró

żniczkowanie równania Eulera

EJ v

′′ = −

daje:

EJ v

′′′

′

= −

= − ,

EJ v

′′

′

= −

= − =

posta

ć do obliczania ugięć w układach statycznie niewyznaczalnych

− rozwiązanie nie wymaga znajomości sił wewnętrznych.

Jacek Chró

ścielewski WM2F055_057.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (56)

Metoda Eulera - metoda całkowania bezpośredniego

polega na obustronnym ca

łkowaniu równań

[

d ] d

C z

′′ =

= −

′ =

∫

∫ ∫

= f(z)

f(z)

• jeśli f( ma odcinkowo różne postaci analitycznych całkujemy

przedzia

łami;

• stałe C

, C

wyznaczamy z warunków brzegowych i/lub warunków:

− ciągłości linii ugięcia na końcach przedziałów

− ciągłości stycznych (kątów)

′

′= = −

≅ − interpretuje się jako kąt obrotu stycznej.

Uwaga przy zmianie w przedziałach zwrotu osi (

)

= − ,

przyrównuj

ąc na brzegach przedziału funkcje nieparzyste

(

)

′ ≅ −

zmieniamy znak na przeciwny.

v′′′

↔ T

Równanie

łkuje się analogicznie, czterokrotnie

(uk

łady statycznie niewyznaczalnych).

• stałe C

, C

wyznaczamy z warunków brzegowych i/lub warunków:

− ciągłości (znajomości) momentów

′′

, (

′′ = ⇔

− ciągłości (znajomości) sił tnących

′′′

, (

′′′ = ⇔

Jacek Chró

ścielewski WM2F055_057.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (57)

Metoda Mohra - metoda obciążeń wtórnych

równanie równowagi

−

równanie linii ugi

ęci

d( )

′

= −

analogia wielko

ści:

↔ ,

v′

↔ ,

M EJ

↔

obciążenie wtórne

≡

statyki daje:

⇒

• wtórne siły tnące

(

)

′

≡

≅ −

⇒

pierwotne obroty,

• wtórne momenty

≡

pierwotne ugi

ęcia,

⇒

układ rzeczywisty - nie spełnia analogii w warunkach brzegowych
układ zastępczy - warunki brzegowe, zapewniające analogie,

okre

śla się według reguły:

belka rzeczywista (

pierwotna) ⇒ belka wtórna (zastępcza)

podpora przegub.

= ,

≠

⇒

= ,

≠ podpora przegub.

utwierdzenie

= ,

⇒

= ,

= brzeg swobodny

brzeg swobodny

≠ ,

≠

⇒

≠ ,

≠ utwierdzenie

przegub

= ,

ϕ ϕ

≠ ≠

⇒

≠ ≠

podpora ci

ągła

podpora ci

ągła

= ,

ϕ ϕ

= ≠

⇒

= ,

= ≠

przegub

metoda efektywna w obliczeniach ugi

ęć w ustalonych

punktach

ładów statycznie wyznaczalnych.

(

)

≡

x i

Jacek Chró

ścielewski WM2F055_057.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (58)

Energia potencjalna odkształcenia sprężystego

cia

ła sprężyste, zagadnienie statyki

⇒

energia kinetyczna

Praca sił zewnętrznych niezależnych od deformacji

= ∑

obci

ążenie zewnętrzne

−

niezale

żne od przemieszczeń,

−

przemieszczenia pkt. dzia

łania sił zgodnie ze wektorem siły .

Praca sił wewnętrznych

, praca napr

ężeń (sił przekrojowych) na

odpowiednich odkszta

łceniach (przemieszczeniach-deformacjach).

Energia potencjalna odkształcenia sprężystego

, na jej istnienie

wskazuje w

łasność powracania ciała sprężystego do pierwotnej

postaci po odci

ążeniu.

Twierdzenie Clapeyrona:

(z zasady zachowania energii).

Praca si

ł zewnętrznych (

) równa jest pracy si

wewn

ętrznych (

), która ca

łkowicie zamienia się na

energia potencjalna odkszta

łcenia sprężystego (

);

Przykład: jednorodny pręt (

const

) rozci

ągany osiowo ( )

wyd

łużenie całkowite

∆

⇒ liniowa funkcja siły ( )

P u

praca

ły zewnętrznej

dla

( ) d

P u

∆

≤ ≤

( ) d

(

)

P l

P u

u u

P l

∆

∫

Jacek Chró

ścielewski WM2F058_061.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (59)

Energia właściwa odkształcenia sprężystego

to energia potencjalna odkszta

łcenia sprężystego

E mierzona na

jednostk

ę objętości

/ d

⇒

∫

Przykłady

• Jednoosiowy stan naprężenia ( ) E

σ ε

1 1 1 1

= × × = :

( ) d

σ ε ε

ε ε

∫

• Czyste ścinanie ( ) G

τ γ

1 1 1 1

= × × = :

( ) d

τ γ γ

γ γ

∫

• Ogólny przestrzenny stan naprężeń – superpozycja:

– stanów jednoosiowych napr

ężenia np.

σε

σ ε

≡

– stanów czystego

ścinania (

, i

≠ ) np.

(

)

τγ

τ γ

σ ε

≡

– sumuj

ąc

, ,

i j

x y z

otrzymuje si

[

]

σ ε

σ ε σ ε σ ε τ γ

τ γ

Jacek Chró

ścielewski WM2F058_061.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (60)

Energia właściwa odkształcenia sprężystego

przestrzenny stan wytężenia

1
2

σ ε

, ,

i j

x y z

Uwzgl

ędniając uogólnione prawo Hooke’a (

/ 2(1

)

G E

, i

≠

)

posta

ć skalarna

i odwrotna:

(

))

σ ν σ σ

−

[(1

)

(

)]

)(1 2 )

ν ε ν ε ε

−

(

))

σ ν σ σ

−

[(1

)

(

)]

)(1 2 )

ν ε ν ε ε

−

(

))

σ ν σ σ

−

[(1

)

(

)]

)(1 2 )

ν ε ν ε ε

−

otrzymuje si

ę energię właściwą wyrażoną w różnych postaciach

[

]

1 1

(

)

)(

(

)

(

)

1 2

σ ε

σ ε σ ε σ ε τ γ

τ γ

σ σ σ

ν τ

τ τ

σ σ σ σ σ σ

ε ε ε

⎡

⎤

+ +

−

⎢

⎥

⎣

⎦

⎡

⎤

+ + +

+ +

⎢

⎥

−

⎣

⎦

)

Energi

ę właściwą

rozk

łada się na części związane ze zmianą:

obj

ętości

, postaci

⇒

Φ Φ Φ

Jacek Chró

ścielewski WM2F058_061.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (61)

Zmiana objętości zależy tylko od wydłużeń (zmian długości), np.

)(1

) 1

1 2

(

)

ε ε ε

σ σ σ

= +

− ≅ + +

−

+ +

średnie odkształcenie podłużne

1
3

(

)

ε ε ε

+ +

średnie naprężenie normalne

1
3

(

)

σ σ σ

+ +

;

Deformacja ściśle objętościowe (bezpostaciowa) – tylko jednakowe
odkszta

łcenia podłużne (krawędzi sześcianu)

⇒

≡

≡ ;

Deformacja postaciowa pozostaje po odjęciu def. ściśle objętościowej

ε ε

= − ,

ε ε

= − ,

ε ε

= −

;

Jest to dekompozycja macierzy

& &

& ,

$ $

$ (tensorów) na:

aksjator

≡

(tzw. cz

ęść kulista),

dewiator

= −

& 1

= −

$ 1

Z prawa Hooke’a:

1 2

−

Dekompozycja energii właściwej

Φ Φ Φ

, cz

ęści:

objętościowa

3 (1 2 )

(

) 3

2 (1

2 )

σ ε

−

× =

−

postaciowa

1
2

[

]

[

)]

[(

)

(

)

(

)

[

(

)].

]

σ ε

σ ε τ γ

τ γ

τ τ

σ σ

τ τ

+ +

−

+ +

Jacek Chró

ścielewski WM2F058_061.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (62)

Energia potencjalna odkształcenia sprężystego

różne stany wytężenia pręta

• Rozciąganie/ściskanie osiowe,

, pr

ęt o długości l ,

energia

łaściwa

⇒

σε

⇒

∫

⇒

∫

⇒

∫

• Skręcanie swobodne,

, p. ko

łowy

∫

, , d

d d

energia

łaściwa

⇒

τγ

⇒

∫

• Zginanie czyste,

∫

, pr

ęt o długości ,

d d

energia

łaściwa

⇒

σε

⇒

y A

∫

⇒

∫

• Ścinanie przy zginaniu,

(

)

Ω

∫

, l , d

d d

z A

T S

J b

energia

łaściwa

⇒

(

)

τγ

⇒

(

)

A k

∫

⇒

(

)

d ,

∫

charakteryzuje rozk

ład

−

, zale

żny od A (

1.2

2 2.5

= ÷

Jacek Chró

ścielewski WM2F062_066.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (63)

Twierdzenia Castigliano

Niech

,...,

δ δ

ędzie liniowo

−sprężystym stanem przemieszczeń

zgodnym co do miejsca kierunku i zwrotu z obci

ążeniem zewnętrzny

takim,

że

,...,

P P

(

)

1, 2,...,

i j

Praca si

ł zewnętrznych

funkcja obciążenia

funkcja przemieszczeń

( ,

,...,

)

( ,

,...,

)

L P P

δ δ

= ∑

I tw. Castigliano przem.

−

w miejscu i kierunku dzia

łania siły

równa jest pochodnej cz

ąstkowej pracy sił

zewn

ętrznych względem siły

∂

II tw. Castigliano siła

dzia

łająca w miejscu i kierunku przem.

−

równa jest pochodnej cz

ąstkowej pracy sił

zewn

ętrznych względem przem.

∂

Dowód do tw. I. Niech

( ,

,...,

)

L P P

, obci

ążenie w dwóch etapach:

(1) uk

ładu sił

(2) ma

ły przyrost

,...,

P P

⇒

(1)

∂

(1) ma

ły przyrost

(2) uk

ładu sił

,...,

P P

⇒

(2)

praca nie mo

że zależeć od kolejności

(1)

(2)

≡

⇒

∂

, cnd.

Dowód do tw. II. Niech

( ,

,...,

)

δ δ

zaburzenie ma

łym

analogicznie

(1)

(2)

∂

⇒

(1)

(2)

≡

⇒

∂

, cnd.

Jacek Chró

ścielewski WM2F062_066.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (64)

Przyk

ład wykorzystania I tw. Castigliano

•

Cienko

ścienny pręt o przekroju zamkniętym

F l

d d

z s

energia

łaściwa

⇒

τγ

⇒

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

⇒

M l

∫

M F

const

z tw. Castigliano i tw. Clapeyrona (otrzymuje si

ę II wzór Bredta)

M l

∂

≡

∂

∫

)

∫

Zastosowanie I tw. Castigliano do obliczania dowolnych

przemieszczeń(II)

•

Tw.

∂

∂ =

mówi,

że

jest zgodne z wektorem si

ły .

•

Wielko

ści

( , )

( ,

)

( ,

)

ε σ

, itp. to pary energetycznie sprz

ężone.

•

śli z

∂

∂ =

ma by

ć obliczone pewne dowolne

to potrzebne

jest energetycznie sprz

ężone obciążenie. W tym celu wprowadza się

obci

ążenie fikcyjne tworzące parę energetycznie sprzężoną ( , P

•

śli P jest obciążeniem fikcyjnym (

) sprz

ężonym z

I tw. Castigliano, na podstawie tw. Clapeyrona

≡

, ma posta

∂

≡

∂

•

Niech P oznacza obciążenie fikcyjne a rzeczywiste.

Jacek Chró

ścielewski WM2F062_066.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (65)

Zastosowanie I tw. Castigliano do obliczania przemieszczeń (II)

Na podstawie zasady superpozycji w uk

ładach liniowych można zapisać:

( , )

( )

P P

P M

( , )

( )

N P P

N P

P N

i , ( , )

( )

T P P

T P

P T

+ i

gdzie

M T N siły wewnętrzne od obciążenia jednostkowego ( )

energetycznie

sprz

ężonego z

, ( , )

1 .

Dla ram wzoru

∂

, gdzie

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

, wobec

( , )]

d[(

) ]

]

P P

M P

M M P M P

M M

przyjmuje posta

T T

M M

⎛

⎞

∂

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

⎝

⎠

∫

gdzie

M T N siły od obciążenie rzeczywistego ( , , ,

, ,...

p P m M t

M T N siły od obc. jednostkowego ( )

1 energetycznie

sprz

ężonego z poszukiwanym

, ( , )

1 ,

Dla kratownic

N N

∂

∑

gdzie

ła w

tym pr

ęcie od obciążenia rzeczywistego (

−

, ,...

P t

N siła od fikcyjnego obc. jednostkowego ( )

1 energetycznie

sprz

ężonego z poszukiwanym

, ( , )

1 ;

Jacek Chró

ścielewski WM2F062_066.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (66)

Obliczanie (graficzne) całek z iloczynu dwóch funkcji

We wzorach (energetycznych) do obliczania przemieszcze

ń występują

łki z iloczynu dwóch funkcji typu

f f z

∫

(np.

M M

∫

• wykresy funkcji

ą znane,

• niech jedna z funkcji będzie liniowa np.

( )

f z

+ , wówczas

( )

(z) d

( ) (

) d

( ) d

z d

(

)

(

)

f z

f z z z

f z

aA z

A az

A f z

∫

(

)

f f z

A f z

∫

gdzie

( ) d

f z

∫

pole ograniczone funkcj

(

)

f z

warto

ść f. liniowej

pod

środkiem ciężkości

pola

•

dla funkcji skomplikowanych, daj

ących się przedstawić w postaci sumy

funkcji prostych np.

obowi

ązuje

(

) d

(

)

(

)

f f z

f z

∫

Jacek Chró

ścielewski WM2F062_066.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (67)

Stateczności prętów sprężystych ściskanych osiowo

Analogia do poj

ęć równowagi położenia (

) kulki Q na powierzchniach.

Energia potencjalna

( )

Qz x

+ siły ciężkości , gdzie

∆

• powierzchnia wklęsła:

(

)

(

z x

)

∆

wychylenie u

∆

generuje si

łę

powrotu do

x (warunek stateczności lokalnej: ekstremum i min.)

równowaga stateczna

⇒

(

)

min

∂

= ∧

∂

•

powierzchnia wypuk

ła:

(

)

(

z x

)

∆

wychylenie

∆

generuje si

łę

oddalaj

ącą od

równowaga niestateczna

⇒

(

)

max

∂

= ∧

∂

•

łaszczyzna pozioma:

(

)

(

z x

)

∆

wychylenie

∆

nie generuje si

równowaga obojętna

⇒

( )

(

)

E x

∆

∂

= ∧

∂

Podobne metody badania stateczno

ści równowagi stosuje się do

ładów sprężystych;

ład sprężysty jest stateczny, jeżeli po wychyleniu z

łożenia równowagi powraca lub drga wokół tego

łożenia, inaczej jest niestateczny.

Badanie stateczno

ści wymaga uwzględnienia deformacji w równaniach

równowagi (rezygnacja z zasady zesztywnienia); mówi si

ę:

−

teoria I-rz

ędu, kiedy obowiązuje zasada zesztywnienia,

−

teoria II-rz

ędu, kiedy uwzględniamy wpływ małych przemieszczeń

(ma

łych obrotów)

v L

−

dalsze udok

ładnienia teorii polegają na podnoszeniu rzędu

rozwa

żanych przemieszczeń (odkształceń).

Jacek Chró

ścielewski WM2F067_073.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (68)

Swobodnie podparty pręt sprężysty ściskany osiowo

łożenia: długość pręta L , płaszczyzna y z

−

const

osiowa si

ła ściskająca

≡

, ugi

ęcie

( )

v z

( )

v z

<< .

Moment zginaj

ący

( )

M z

P v z

Równanie Eulera

EJv

P v

′′ = − = −

⇒

′′ +

= ,

′′ +

= − jednorodne zwyczajne równanie

ró

żniczkowe II

−rzędu o stałym wsp.

Rozwi

ązanie ogólne

( )

sin

cos

v z

Z warunków brzegowych oblicza si

ę stałe:

⇒

z L

sin

= ⇒

( trywialne, oś prosta),

sin

1, 2,3,... ,

−

⎧⎪

⎨

= ⇒

⎪⎩

ą to wartości własne r.

′′ +

= .

Dla tej samej si

ły są możliwe dwa stany równowagi pręta o postaci:

(a) prostej

(b)

wygi

ętej

⇒

≠

( )

sin(

)

v z

posta

wyboczenia,

gdzie

- nieokre

ślone,

wyst

ępuje rozdwojenie rozwiązania – tzw. bifurkacja rozwiązania.

Jacek Chró

ścielewski WM2F067_073.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (69)

Krytyczna siła Eulerowska

swobodnie podparty pręt sprężysty ściskany osiowo

≡

pierwsza, najmniejsza warto

ść siły krytycznej.

−

•

dla

ęt zachowuje postać prostoliniową,

ład pozostaje stateczny,

•

dla

ęt może ulec wyboczeniu (lub nie),

–

posta

ć prostoliniowa jest niestateczna,

≥

– istniej krzywoliniowa posta

ć równowagi, która wymaga

rozwi

ązania równania nieliniowego

2 3 / 2

(1 ( ) )

′′

= −

′

jest to tzw. rozwi

ązanie pokrytyczne, powyboczeniowe,

pobifurkacyjne.

•

wyboczenie – wygięcie w wyniku utraty stateczności

•

siły krytyczne wyższego rzędu dla

– postaci wyboczenia,

– znaczenie przy dodatkowych podporach pr

ęta.

Jacek Chró

ścielewski WM2F067_073.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (70)

Prosty wspornik sprężysty ściskany siłą osiową

łożenia: długość wspornika

, p

łaszczyzna

−

const

osiowa si

ła ściskająca

≡

, ugi

ęcie

( )

v z

( )

v z

ugi

ęcie na końcu wspornika ma wartość

( )

v L

Moment zginaj

ący

( )

(

( ) )

M z

P f

v z

= −

−

Równanie Eulera

( )

(

( ) )

EJv

M z

P f

v z

′′ = −

−

, przy

′′ +

niejednorodne zwyczajne równanie

ró

żniczkowe II

−rzędu o stałym wsp.

Rozwi

ązanie składa się z całki ogólnej (jw.) i całki szczególnej

( )

sin

cos

v z

Z warunków brzegowych oblicza si

ę stałe:

⇒

(

= −

′ =

( )

(

cos

sin

)

v z

′

−

Ponadto

⇒

z L

(1 cos

)

−

⇒

cos

dla

⇒ cos

⇒

najmniejsze

ąd

siła krytyczna

(2 )

posta

ć wyboczenia

( )

[1 cos

]

v z

−

, ( f nieokreślone).

Jacek Chró

ścielewski WM2F067_073.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (71)

Z jednej strony utwierdzony, z drugiej swobodnie podparty

pręt sprężysty ściskany siłą osiową

łożenia: długość pręta L , płaszczyzna y z

− ,

const

osiowa si

ła ściskająca

≡ , ugięcie

( )

v z

( )

v z

<< ,

w wyniku wygi

ęcia powstaje moment utwierdzenia

M .

Moment zginaj

ący

( )

M z

P v z

Równanie Eulera

( )

(

( )

)

EJv

M z

P v z

′′ = −

= −

EJL

′′+

=−

niejednorodne zwyczajne równanie

ró

żniczkowe II

−rzędu o stałym wsp.

Rozwi

ązanie składa się z całki ogólnej (jw.) i całki szczególnej

( )

sin

cos

v z

−

( )

cos

sin

v z

β α

′

−

Z warunków brzegowych oblicza si

ę stałe:

⇒

= ,

z L

⇒

sin

β α

−

= ,

⇒

z L

′

cos

β α

−

= .

Dziel

ąc dwa ostatnie stronami otrzymuje się

tg L

, przybli

żone rozwiązanie daje

min

(

)

4.49

, st

ąd

siła krytyczna

(4.49)

(0.7 )

≅

Jacek Chró

ścielewski WM2F067_073.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (72)

Stateczności prętów sprężystych ściskanych osiowo

• Długość wyboczeniowa (wolna na wyboczenie), wynik ujednolicenie

wzoru

dla ró

żnych warunków podparcia pręta o długości

≡

L .

≡

– swobodnie podparty obustronnie,

– wspornik;

= L

1
2

= L

– utwierdzony obustronnie,

– swobodnie podparty i utwierdzony jednostronnie.

0.7

• Smukłość pręta – współczynnik bezwymiarowy

> ,

, gdzie

= ⇒

≡

• Minimalna siła krytyczna, płaszczyzna wyboczenia w konstrukcjach

rzeczywistych wyboczenie mo

że wystąpić w różnych płaszczyznach.

max

min

≡

⇐

max

max(

)

λ λ

łaszczyzną wyboczenia jest płaszczyzna największej smukłość pręta.

W obliczeniach

max

nale

ży uwzględnić:

– ró

żne

J ,

(rzutuj

ące na promień bezwładności

– ró

żne warunki podparcia w płaszczyznach (

− ) lub (

)

(rzutuj

ące na długość wyboczeniową ).

−

Jacek Chró

ścielewski WM2F067_073.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (73)

Stateczności prętów sprężystych ściskanych osiowo

• Naprężenia krytyczne, smukłość graniczna zakresu sprężystego

( )

– funkcji smuk

łości tzw. hiperbola Eulera.

♦ Formalnie możliwy jest wzrost

→ ∞ przy

→ .

♦

( )

prawdziwe tylko w zakresie liniowo spr

ężystym (do granicy

proporcjonalno

ści – stosowalności p.Hooke'a

R ).

prop

≤

≡

⇒

prop

♦

jest kolejn

ą charakterystyką materiałową (a nie geometryczną),

♦

ogranicza od do

łu zakres sprężysty (

prop

≡

≤ ),

dla stali wynosi

102

stal

prop

≈

• Wyboczenie w zakresie niesprężystym

prop

λ λ

♦ projektowanie dopuszcza

do warto

ści granicy plast.

plast

≡

♦ ważność hiperboli Eulera

prop

≤

do granicy prop.,

♦ przy wyboczeniu poza granicą proporcjonalności (pręty krępe

λ λ

) uplastycznienie nie od razu obejmuje ca

ły przekrój,

fakt ten jest baz

ą różnych propozycji

krzywych

( )

przechodz

ących

≡

plast

≡

w przedziale smuk

łości

λ λ

< <

Jacek Chró

ścielewski WM2F067_073.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (74)

Krzywa

Engessera–Karmana

(1/2)

wyboczenie poza granicą proporcjonalności

prop

λ λ

Założenie: na pręt działa ustalona osiowa siła P const

, (

= − ),

− położenie osi obojętnej w zginaniu.

Badania: nadajemy zaburzenie poprzeczne powodujące wygięcie v jeśli

• po usunięciu przyczyny znika – równowaga stateczna,

• po usunięciu przyczyny trwałe –

wyboczenie.

≥

Analiza:

•

po stronie wkl

ęsłej (pole

− ≤ ≤

)

przyrost napr

ężeń ujemnych (dociążenie po stycznej)

wg modu

łu stycznego

•

po stronie wypuk

łej (pole

≤ ≤

)

spadek napr

ężeń ujemnych (odciążenie sprężyste) tg

Wniosek: przypadek materiału o różnych własnościach w przekroju

ściskanie (

) i rozci

ąganie ( E ).

Stan naprężeń w wyniku wygięcia:
Zgodnie z za

łożeniem o płaskich przekrojach w zginaniu:

•

przyrost odkszta

łceń

(

)

(

)

y y

∆ε

−

= −

⇒

przyrost napr

ężeń:

•

po stronie wkl

ęsłej ( )

(

)

∆σ

∆ε

−

(

A ,

− ≤ ≤

•

po stronie wypuk

łej ( )

(

)

∆σ

∆ε

−

(

A ,

≤ ≤

Jacek Chró

ścielewski WM2F074_080.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (75)

Krzywa Engessera–Karmana

(2/2)

Warunek równowagi od zginania:

•

poniewa

ż N

const

= =

⇒

∆σ

∫

⇒

(

−

∫

⇒

E S

• stąd oblicza się położenie osi obojętnej y ,

ą momentami statycznymi pól

A i

A względem y .

Równanie linii wygięcia:
Z definicji moment zginaj

ącego otrzymuje się (

(

)

y y

− + y )

(

) d

y A

y y

∆σ

−

∫

(

) d

y y

∆σ

−

≡

∫

(

)

E J

≡

gdzie

ą momentami bezwładności pól

Uwzgl

ędniając

2 3 / 2

(1 ( ) )

′′

= −

≈ −

′

, otrzymuje si

(

)

E J

E J v

′′

= −

⇒

EJ v

′′ +

⇒

′′ +

gdzie

E J

– sprowadzony modu

ł wyboczenia.

Analogia: wzorów do wyboczenia sprężystego, zamieniając modułu

spr

ężystości

na modu

ł E . Obowiązuje:

krzywa

⇒

(

)

(

)

λ σ

zast

ępującą w zakresie

prop

λ λ

hiperbol

ę Eulera.

Jacek Chró

ścielewski WM2F074_080.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (76)

Krzywa Engessera–Shanleya

wyboczenie poza granicą proporcjonalności

prop

λ λ

Założenie: wyboczeniu towarzyszy wzrost siły i wzrost naprężeń

⇒

w ca

łym przekroju obowiązuje ten sam moduł styczny

E .

Analogia: stosuje się wzory z zakresu sprężystego zamieniając

modu

łu sprężystości E na moduł styczny

E .

Obowi

ązuje:

E J v

′′+

= ⇒

′′+

, gdzie

E J

⇒

⇒ krzywa

(

)

(

)

λ σ

zast

ępującą w zakresie

prop

λ λ

hiperbol

ę Eulera.

• Ponieważ zachodzi

< < to naprężenia krytyczne

wg teorii Engessera–Shanleya

( )

ą trochę mniejsze od obl.

wg teorii Engessera–Karmana

( )

• Doświadczenia pokazały, że lepsza jest teoria Engessera–Shanleya.

Jacek Chró

ścielewski WM2F074_080.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (77)

Wpływ siły tnącej na wielkość siły krytycznej

Równanie linii ugi

ęcia uwzględniające wpływ siły tnącej

(

)

(

)

v T

′′

′

= −

gdzie

′′ = −

równanie Eulera,

(

)

v T

′′

′

ugi

ęcie od siły tnącej.

(

)

v T

oblicza si

ę na podstawie kąta odkształcenia postaciowego

/ d

′

wywo

łanego siłą tnącą i tw. Clapeyrona

≡

mamy

T v

≡

⇒

k T

′

≡

⇒

k T

k p

′

′′ =

= −

Przykład: wyboczenie swobodnie podpartego pręta sprężystego

(

const

)

ściskanego siłą osiową

( )

M z

P v z

⇒

P v

′

⇒

P v

′

′′

ąd

′′

= −

⇒

)

′′

−

⇒

′′+

gdzie

kP G

−

. Z warunku wyboczenia

sin

⇒

otrzymuje si

−

⎛

⎞

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

(

)

βλ

, tutaj

Posta

wskazuje,

że dla przekrojów jednolitych (pryzmatycznych)

ływ siły tnącej jest bardzo mały i może być pominięty.

Jacek Chró

ścielewski WM2F074_080.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (78)

Wpływ siły tnącej na wielkość siły krytycznej

Przykład: wyboczenie pręta złożonego (wielogałęziowego) swobodnie

podpartego

ściskanego siłą osiową . Pręt o długości

łożony z pasów

A (dwóch teowników) rozstawionych

na szeroko

ść i utrzymywanych prostym wykratowaniem w

postaci s

łupków

A w rozstawie i pojedynczych krzyżulców

A o długości równej

2 1/

(

)

Moment bezw

ładności przekroju

2 [

( /2) ]

A h

= ×

Koncepcja: deformacj

∆

oczka ( a h

× ) wykratowania sprowadza

ę do deformacji odcinka d belki jednolitej

k T

≡

ły w prętach wykratowania:

oczko ( a

) musi przenie

ść siłę tnącą

powsta

łą w wyniku

globalnego wygi

ęcia pręta v , otrzymuje się:

• siła rozciągającą w słupku

= ,

• siłę ściskającą w krzyżulcu

T d h

= −

• siłę rozciągającą w pasie

T a h

(pomijana

stosunku

(

∞

)

EA ,

EA )

Jacek Chró

ścielewski WM2F074_080.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (79)

Przykład: wyboczenie pręta złożonego cd.

ąt spaczenia oczka wykratowania

∆

przyrost ugi

ęcia

∆

od si

ły tnącej

w ramach oczka wykratowania

oblicza si

ę wykorzystując:

a h

tw. Clapeyrona

≡

energia potencjalna uk

ładu kratowego oczka

(

)

∑

(

)

(

/ )

T d h d

−

(

/ )

(

T a h a

∞

)

I tw. Castigliano

∆

∂

⇒

∆

∂

(

)

T h

T d

a EA

h EA

∂

(

)

Eah

Porównuj

ąc kąty odkształcenia postaciowego dla belki jednolitej

i z

łożonej otrzymuje się sprowadzoną sztywność przekroju na ścinanie

(

)

Eah

≡

która pozwala okre

ślić współczynnik

(

)

Eah

Posta

wskazuje,

że dla przekrojów złożonych wpływ siły tnącej na

warto

ść siły krytycznej

)

βλ

jest znacz

ąca.

Jacek Chró

ścielewski WM2F074_080.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (80)

Wymiarowanie prętów ściskanych

Rzeczywiste konstrukcje (nie spe

łniają wielu poczynionych tu założeń):

•

nie s

ą liniowo sprężyste (np.: uplastycznienia),

•

nie spe

łniają warunków idealnych: mimośrodowość obciążeń,

wst

ępne wygięcia (imperfekcje), niejednorodność materiału,

•

wyst

ępują obciążenia poprzeczne, itp.

Pojawia si

ę jakościowo inne zjawisko:

•

nie wyst

ępuje tu problem bifurkacji - siły wybaczającej

lecz

•

ś pręta wygina się od początku - pojawia się siła graniczna

Tradycyjna nazywa

•

ły Eulerowskiej

P′

≡

- si

ła krytyczna I-rodzaju,

•

ły granicznej (maksymalnej)

P′′

≡

- si

ła krytyczna II-rodzaju.

Zmniejszający współczynnik wyboczenia

ma uj

ąć rzeczywiste

zachowanie si

ę konstrukcji (redukując naprężenia krytyczne

( )

, hiperbola Eulera + krzywa przej

ściowa).

Wspó

łczynnik

( )

β β λ

w postaci tablic w normach.

Metoda napr

ężeń dopuszczalnych, warunki:

( )

dop

brutto

β λ

≤

dop

netto

≤

Metoda stanów granicznych, warunki:

(

)

...

brutto

k k

∑

≤

(

)

...

netto k k

∑

≤

gdzie

(

)

brutto

(

)

netto

≥

, wsp. przeci

ążenia

(rodzaj obci

ążenia),

, np.: wsp. materia

łowe, warunków pracy, itp.

≤

Jacek Chró

ścielewski WM2F074_080.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (81)

Hipotezy

wytrzymałościowe

Standardowe badania materiałów jednoosiowe (podsumowanie)

• cechy – prostota wykonania, łatwości interpretacji,

• podstawowe charakterystyki stanu niebezpiecznego materiału:

– granica plastyczno

ści

plast

– wytrzyma

łości na rozciąganie

max

– wytrzyma

łości na ściskanie

min

= −

⇒

graniczne odkszta

łcenie,

Napr

ężenie

graniczne:

{

}

R R

⇒

graniczne napr

ężenie

styczne,

(

σ σ

= )

⇒

graniczna energia spr

ężysta

odkszta

łcenia postaciowego.

Krucho

ść i plastyczność (zniszczenie konstrukcji) zależą

nie tylko od materia

łu ale także od złożoności stanu wytężenia.

Hipotezy wytrzymałościowe

• uogólniają stan jednoosiowy

na przestrzenny stan napr

ężenia,

• określają w przestrzeni naprężeń obszar bezpieczny

wewn

ątrz hiperpowierzchni odpowiadającej wartości

• jest wiele różnych hipotez wytrzymałościowych

o ich przydatno

ści decyduje zgodność z doświadczeniem.

Jacek Chró

ścielewski WM2F081_084.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (82)

Hipoteza największego naprężenia normalnego Galileusza

• stan niebezpieczny

(

)

III

max |

|,|

σ σ σ

• stan bezpieczny

III

|,|

σ σ σ

• w PSN dwa warunki

σ σ

w 2-wym. przestrzeni napr

ężeń głównych tworzą

kwadrat o bokach

ograniczaj

ący obszar bezpieczny,

• hipoteza nie znalazła potwierdzenia w badaniach doświadczalnych.

Hipoteza największego odkształcenia podłużnego

de Saint–Venanta

• stan niebezpieczny

(

)

III

max | |,|

|,|

ε ε ε

= ,

• stan bezpieczny

III

| |,|

|,|

ε ε ε

< ,

• w PSN z prawa Hooke’a dwa warunki

σ νσ

−

νσ

−

w 2-wym. przestrzeni napr

ężeń głównych tworzą

romb o bokach

nachylonych pod k

ątem

( tg

α ν

= )

ograniczaj

ący obszar bezpieczny,

• hipoteza nie znalazła potwierdzenia w badaniach doświadczalnych.

Obie hipotezy maj

ą znaczenie historyczne.

Jacek Chró

ścielewski WM2F081_084.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (83)

Hipoteza Treski, największego naprężenia stycznego

• stan niebezpieczny

(

)

III

max

|, |

−

= ,

• stan bezpieczny

III

|, |

−

< ,

• w PSN wobec

trzy warunki

−

σ σ

w 2-wym. przestrzeni napr

ężeń głównych tworzą

sze

ściobok wpisany w kwadrat o bokach

ograniczaj

ący obszar bezpieczny,

• hipoteza wykazuje lepszą zgodność z doświadczeniem,
• wada – nie można uwzględnić różnych gr. na rozciąganie i ściskanie.

Hipoteza energii sprężystej odkształcenia postaciowego

Hubera–Misesa–Hencky’ego (HMH)

• obszar bezpieczny

≤

[(

)

(

)

(

)

]

σ σ

−

+ +

w stanie jednoosiowym, tj. dla

σ σ

= , stąd

(

)

(

)

(

)

σ σ

τ τ

−

+ +

≤

• w przestrzeni naprężeń głównych

III

(

)

(

)

(

)

σ σ

−

≤

tworzy niesko

ńczenie długi walec o podstawie kołowej

i osi jednakowo nachylonej do osi napr

ężeń głównych,

• w PSN

σ σ σ

−

≤

σ σ

−

≤

warunek HMH

ma posta

ć elipsy ograniczając obszar bezpieczny,

• hipoteza HMH dla mat. plast. o jednakowej wytrzymałości na

rozci

ąganie i ściskanie daje b. dobrą zgodność z doświadczeniem.

Jacek Chró

ścielewski WM2F081_084.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (84)

Naprężeń zastępczych wg danej hipotezy

Zapis obszaru bezpieczne

III

(

)

zast

σ σ σ

≤

Dla hipotezy Treski w PSN, wobec

1 2

(

) [ (

)

]

σ σ

−

zast

≡

[(

)

]

Treska

σ σ

= −

−

/ 2

dla

σ σ

lub

zast

Treska

≡

zast

Treska

≡

dla

σ σ

Dla hipotezy Hubera–Misesa–Hencky’ego

zast

≡

HMH

σ σ σ

−

σ σ

−

w PSN,

zast

≡

1
2

[(

)

(

)

(

)

HMH

σ σ

−

+ +

]

w 3D.

Przykład. Określić, który z 3 stanów naprężeń jest najbardziej

niebezpieczny wg hipotezy Hubera–Misesa–Hencky’ego:

10 0 0

0 80 0

0 0 30

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

, b)

10 0 20

0 60 0

20 0 0

−

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

, c)

0 20 0

20 75 0

0 0 10

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

gdzie sk

ładowe naprężeń zapisane są w kartezjańskim

ładzie współrzędnych ( , , ) ( , , )

≡

i j k

e e e , jednostki MPa .

Rozwi

ązanie:

zast

≡

1
2

[(10 80)

(80 30)

(30 10) ] 62,5

HMH

MPa

−

zast

≡

1
2

[( 10 60)

6 20 ]

HMH

− −

+ i

74,16 MPa ,

zast

≡

1
2

[75

(75 10)

6 20 ] 78.58

HMH

MPa

−

Odp.: stan c).

Jacek Chró

ścielewski WM2F081_084.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (85)

Elementy teorii plastyczności

Istota zachowania plastycznego:

• niezależność od czasu

( )

f t

≠

( )

f t

≠

• nieodwracalność deformacji plastycznej

• niejednoznaczność opisu – inny opis obciążenia i odciążenia.

Nośność graniczna przekroju (wielkość lokalna)
maksymalna

ła jaką jest w stanie przenieść przekrój

(osi

ągnięcie jej wyczerpuje nośności przekroju).

Nośność graniczna konstrukcji (wielkość globalna)
obci

ążenie zewnętrzne powodujące zniszczenie (katastrofę)

łej konstrukcji lub jej części konstrukcji.

Zniszczenie,

konstrukcje statycznie wyznaczalnych

⇒

śność graniczna przekroju = nośność graniczna konstrukcji.

Zniszczenie,

konstrukcje statycznie niewyznaczalnych

⇒

ład zamienia się w łańcuch kinematyczny w następstwie

przekroczenia no

śności granicznej w kilku przekrojach.

Krzywa rozciągania: podstawa modeli teoretycznych (

σ ε

− ).

zakresy:

liniowy spr

ężysty ( E ,

pro

) i nieliniowo spr

ężysty,

plastyczny – p

łynięcie (

σ σ

= ≡

), wzmocnienie (

utrata

stateczno

ści materiału (

max

), z

łom,

odkszta

łcenia: trwałe – plastyczne

, odkszta

łcenia sprężyste

poj

ęcia: obciążenia i odciążenia w zakresie spręż. i plasty.

Jacek Chró

ścielewski WM2F085_088.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (86)

Modele ciał plastycznych

Model liniowo–sprężysty (L–S)

, schemat – spr

ężyna

P ku

Model sztywno–plastyczny (Sz–P), dwie fazy:

dla

σ σ σ

≡

(brak

odkszta

łceń, materiał sztywny),

dla

σ σ σ

≡

łynięcie, nieograniczone deformacje),

schemat – cia

ło sztywne

na p

łaszczyźnie, tarcie Culomba

spoczynek,

ruch nieograniczony.

Model idealnie sprężysto–plastyczny (IS–P), dwie fazy:

dla

σ σ σ

≡

⇒

/ E

ε σ

(liniowo spr

ężyste),

ε ε ε

= +

dla

σ σ σ

≡

łynięcie, nieograniczone deformacje),

schemat – spr

ężyna (

P ku

) po

łączona szeregowo ze ciałem

sztywnym na p

łaszczyźnie (

ruch nieograniczony).

Model idealnie sprężysto–plastyczny ze wzmocnieniem (IS–PW):

dla

σ σ

⇒

/ E

ε σ

(liniowo spr

ężyste),

obci

ążenie

ε ε ε

= +

(

)

σ σ

= +

−

σ σ

ograniczone

łynięcie ze wzmocnieniem

odci

ążenie liniowo sprężyste po położeniu na

σ σ

≡

schemat – spr

ężyna (

P k u

) po

łączona szeregowo z

ładem równoległym = sprężyna

+ cia

ło sztywne

(

= +

P k u

= +

spr

ężyna

aktywna przy

obci

ążeniu

, dla odci

ążenia kładzie się

≡

Istnieje wiele innych modeli opisuj

ących zjawisko uplastycznienia.

Jacek Chró

ścielewski WM2F085_088.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (87)

Nośność graniczna przekroju

Założenie: ogranicza się do stanów wytężenia tylko z

≠

(normalne).

rozci

ąganie/ścisk. osiowe i mimośrodowe, zginanie proste.

Nośność graniczna przekroju (wielkość lokalna)
maksymalna

ła przekrojowej wyznaczana w ramch

modelu

materia

łu idealnie sprężysto–plastycznego (IS–P).

Rozciąganie/ściskanie nośność graniczna przekroju:

•

ęt jednorodny o przekroju

const

max

•

ęt zespolony z dwóch materiałów

np. stal (

( )

), beton (

( )

A ,

dla spr

ężystego było

≡

≡ ,

E A

(

)

Zginanie czyste (

) no

śność graniczna przekroju (całe

≠

↔

stan równowagi granicznej

w strefie

ściskanej

−

w strefie rozci

ąganej

z definicji

≡

∫

⇒

−

= ⇒

= = ,

y A

≡

∫

⇒

(

)

plastyczny

wska

źnik wytrzymałości,

gdzie

s s

A c

r r

A c

statyczne momenty pól

A i

wz osi oboj

ętnej w stanie równowagi granicznej.

Jacek Chró

ścielewski WM2F085_088.doc

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WILiŚ, Bud. Sem. III, (88)

Zginanie czyste

porównanie wskaźników wytrzymałości W i

równowa

żne porównaniu

max

spr

⇒

max

spr

• prostokąt

(b h

× )

(

)

c c

= ,

2 4

bh h

= ×

1.5

•

ło

;

( )

(

)

= ×

1.7

•

dwuteownik idealny (pasy)

•

dwuteownik

1.1 1

pl x

1.6 1

pl y

÷ .7

•

ceownik

1.1 1

pl x

pl y

≅ .8

•

rura cienko

ścienna

( , )

1.2

Jacek Chró

ścielewski WM2F085_088.doc