Mechanika i wytrzymałość materiałów

Mechanika - badanie ruchu ciał i oddziaływanie na siebie

Mechanika:

• Ciał stałych

• Cieczy (hydromechanika)

• Gazów (aeromechanika)

Ruch - zjawisko polegające na zmianie położenie jednego ciała względem drugiego

Mechanika ciał stałych:

• Statyka - zajmuje się ciałami w spoczynku

• Kinematyka - nadanie ilościowe ruchu ciał, niezależnie od sił na nie działających

• Dynamika - pełny opis ruchu z uwzględnieniem przyczyn i masy ciała

Modele opisu ruchu ciała:

• model punktu materialnego (pomijamy rozmiar, uwzględniamy masę)

• model bryły doskonale sztywnej ( ciało nie doznaje żadnych odkształceń bez względu na obciążenie)

Spełczenie - rozszerzenie materiału

Ciało odkształca się na skutek siły sprężystości

Sprężystość - ciało odkształca się pod wpływem obciążenia, a później wraca do swoich pierwotnych wymiarów

• model ciała odkształcanego sprężyście

Granica sprężystości - największe obciążenie ciała, które pozwala na odkształcenie

• ciało odkształcane sprężysto - plastycznie:

• teoria sprężystości

• teoria plastyczności

• wytrzymałość materiałów

1. Wektory i skalary:

- wielkości skalarne - wystarczy podać wartość i jednostkę (graficznie w postaci punktu)

- wielkości wektorowe (kierunkowe) - trzeba podać wartość, kierunek i zwrot

Wektory przeciwne

2. Definicja i własności siły. Jednostki i podział sił

Siła - oddziaływanie jednego ciała na drugie:

• bezpośrednio - kiedy się stykają

• pośrednio - nie stykają się

Siły:

• zewnętrzne - pochodzące od obcego ciała (czynne i bierne)

więzy - obce ciała uniemożliwiające ruch ciała

ciała są w spoczynku kiedy wszystkie siły się równoważą

• wewnętrzne

F = m*a

Sposoby przyłożenia siły do ciała:

- skupiony - siła przyłożenia w jednym punkcie

- ciągły - siła przyłożona na pewnej długości

Moment siły względem punktu (bieguna)

Momentem siły F względem punktu O nazywamy wektor, którego wartość bezwzględna jest równa iloczynowi wartości siły F i ramienia tej siły względem punktu O

Mo = F * r [Nm]

Kierunek tego wektor jest prostopadły do płaszczyzny, na której leży linia działania siły F oraz biegun O, natomiast zwrot wektora momentu określa reguła korkociągu.

Moment wprawia ciało w ruch obrotowy

Jeśli linia działania siły przechodzi przez biegun to nie ma ramienia, stąd też nie ma momentu

Momentem głównym (wypadkowym) dowolnego układu sił leżących w jednej płaszczyźnie względem przyjętego bieguna O nazywamy sumę algebraiczną momentów wszystkich sił tego układu względem tego samego bieguna O

Przykład:

W płaszczyźnie poziomej działają cztery siły F1,F1,…., F4 jak na rysunku. Wyznacz moment wypadkowy układu sił względem biegun O

Para sił i jej własności

Parą sił nazywamy układ dwóch sił o równej wartości i jednakowych wartościach i kierunkach lecz o przeciwnych zwrotach. Linie działania sił nie pokrywają się lecz leżą na prostych równoległych. Odległość linii działania obu sił oznaczamy przez r i nazywamy ramieniem pary sił

Siły tworzące parę nie równoważą się bo nie leżą na tej samej protej. Para sił działając na ciało wywołuje obrót.

Moment pary sił określający obrotowe działanie pary jest wektorem, którego wartość bezwzględna = iloczynowi wartości liczbowej jednej z sił tworzących parę i ramienia tej pary. Kierunek wektora jest prostopadły do płaszczyzny działania pary ( do płaszczyzny w której leżą dwie siły), zaś zwrot wynika z reguły śrub o gwincie prawostronnym.

Własności pry sił :

• skutek działania pary sił nie zmienia się jeżeli daną parę przeniesiemy w dowolne inne położenie w jej płaszczyźnie działania

• w skutek działania pary sił na ciało sztywne nie zmienia się jeżeli daną parę przeniesiemy w dowolne położenie na płaszczyźnie równoległej

• działanie pary sił nie zmienia się jeżeli proporcjonalnie powiększymy siły pary i pomniejszymy jej ramień ( bądź odwrotnie)

• parę sił można zrównoważyć tylko drugą parą sił o równym momencie lecz przeciwnym znaku

Jeżeli na ciało sztywne działa w jednej płaszczyźnie szereg par sił wówczas możemy zastąpić je jedną parą sił tzw. wypadkową.

Moment wypadkowej = sumie algebraicznej momentów wszystkich par składowych tego układu.

Aby pary sił działających w jednej płaszczyźnie bądź w płaszczyznach równoległych znajdowały się w równowadze, suma algebraiczna momentu tych par musi = 0

Przykład:

Do ciała przyłożono 4 pary się w jednej płaszczyźnie jak na rysunku. Wyznacz:

• moment wypadkowy układu pa

• moment pary, którą należy dołożyć aby zachodziła równowaga momentów par

Rzutowanie sił na osie układu współrzędnych

• Jeżeli kierunek siły jest prostopadły do jakiejś siły to rzut siły na tę oś jest równy 0

• Jeżeli siła ma ten sam kierunek co oś to wartość bezwzględna rzutu siły na tę oś jest równa wartości siły i ma znak „+” jeżeli siły i osie są zgodne lub znak „-`' jeśli zwroty są przeciwne

Twierdzenie Varignona

Moment względem dowolnego punktu 0 wypadkowej dwóch sił jest równy sumie momentów sił składowych względem tego bieguna 0.

Fx = Fcosα

Fy = Fsinα

Siła powierzchniowa - siła przypadająca na jednostkę powierzchni (ciśnienie)

Siła objętościowa - siła przypadająca na objętość ciał

Układy sił i ich podział:

Układ sił - dowolna liczba sił działających na rozpatrywane ciało. W zależności od położenia linii działania sił układy sił dzielą się na :

• układy sił działających wzdłuż jednej prostej

• układy płaskie - linie działania sił leża w jednej płaszczyźnie

• układy przestrzenne - linie działania sił nie leżą w jednej płaszczyźnie

Układy płaski jak i przestrzenne mogą być:

• równoległe - linie nie przecinają się

• zbieżne - przecinają się w jednym punkcie

• dowolne - w więcej niż jednym punkcie

Zasady statyki:

• zasada równoległoboku - dwie dowolne siły F1 i F2 przyłożone do jednego punktu możemy zastąpić siła wypadkową W przyłożoną do tego punktu i przestawioną jako wektor będącym przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach sił F1 i F2.

Wyznaczyć wartość i kierunek siły wypadkowej jeżeli F₁ = 300 N, F₂ = 500 N, φ = 75^o

Rozkładanie sił na dwie składowe

• zasada równoważenia dwóch sił - dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się tylko wtedy gdy działają wzdłuż jednej prostej, są przeciwnie skierowane i mają te same wartości liczbowe

• działanie układu sił przyłożonych do ciała sztywnego nie ulegnie zmianie gdy do układu tego dodamy dowolny układ równoważących się sił (układ 0)

Każdą siłę działającą na ciało sztywne można przesuwać w dowolne inne położenie wzdłuż linii działania nie zmieniając zachowania ciała.

• Zasada zesztywnienia - równowaga sił działających na ciało odkształcone nie zostanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała

• Zasada działania i przeciwdziałania - każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości i przeciwnie skierowane wzdłuż tej samej prostej przeciwdziałanie

• Zasada oswobodzenia ciała od więzów - każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić od więzów zastępując przy tym ich działanie odpowiednimi reakcjami. Dalej można rozpatrywać to ciało tak jak ciało swobodnie podlegające działaniu sił czynnych i sił reakcji więzów.

Ciało swobodne - ciało mogące wykonywać dowolny ruch w przestrzeni (6 stopni swobody)

Więzy i reakcje więzów

Siły:

• Zewnętrzne (czynne i bierne)

• Wewnętrzne

Siły którymi więzy oddziaływają na ciało nieswobodne nazywamy siłami zewnętrznymi niernymi lub więzów.

Więzy to obce ciała, które rozpatrywanemu ciału blokują ruch.

Punktem przyłożenia siły reakcji jest punkt styku ciała z więzadłem. Kierunek siły reakcji zależny jest od tego w jakim kierunku więzy blokują ruch ciała, natomiast wartość i zwrot siły reakcji wynika z warunków równowagi (ciało znajduje się w spoczynku jeśli wszystkie siły się równoważą)

Pod względem konstrukcyjnym więzy dzielimy a 3 grupy:

1. blokujące ciała tylko w jednym kierunku - są to np. tzw więzy wiotkie ( sznury, łańcuchy)

ciało sztywne podparte na prętach przegubowych

ciało nieswobodne ciało swobodne

• Podpora przegubowa przesuwna (ruchoma) - ruch zostaje zablokowany w kierunku prostopadłym do podpory

2. więzy blokujące przesuniecie ciała w dwóch kierunkach

• podpora przegubowa stała (nieprzesuwna)

• podpora w kształcie uskoku

V, H - siły reakcji progu na tyczkę

• przegub walcowy lub kulisty

3. utwierdzenie (zamurowanie)

Płaski zbieżny układ sił

1. siła wypadkowa układu płaskiego zbieżnego

• metoda równoległoboku

• metoda wieloboku sił

Płaski układ n sił zbieżnych przyłożony do pewnego punktu O możemy zastąpić siłą wypadkową W przyłożoną do tego punktu i równą sumie geometrycznej wszystkich sił składowych tego układu. Siłę W wyznaczamy metodą równoległoboku bądź wieloboku.

W metodzie wieloboku budujemy wielobok złożony ze wszystkich sił układów tak, żee do końca siły poprzedniej przykładamy początek siły kolejnej. Wypadkową jest wektor łączący punkt O z końcem siły Fn

2. wyznaczanie siły wypadkowej układu płaskiego zbieżnego w sposób analityczny

Suma rzutów dowolnej liczby sił zbieżnych na oś jest równa rzutowi siły wypadkowej tego układu na tę samą oś

F1x + F2x + …+ Fnx = Wx

Aby siły zbieżne F1, F2, …., Fn działające w jednej płaszczyźnie znajdowały się w równowadze, suma geometryczna wszystkich sił układu musi buć równa zeru. Oznacza to, że wielobok zbudowany ze wszystkich sił takiego układu musi być wielobokiem zamkniętym (koniec ostatniego wektora pokrywa się z początkiem wektora pierwszego)

Aby siły zbieżne leżące w jednej płaszczyźnie były w równowadze, sumy rzutów wszystkich tych sił na obie osie układu współrzędnych muszą być równe zeru.

Twierdzenie o trzech nierównoległych siłach - aby trzy działające siły na ciało sztywne były w równowadze, linie działania tych sił muszą przecinać się w jednym punkcie, a same siły muszą tworzyć trójką zamknięty. Siły takie muszą stanowić układ zbieżny.

Przykład:

Rama ABCD podparta jest w A na podporze przegubowej stałej a w B na na przegubowej przesuwnej. W wierzchołku B ramy przyłożono poziomą siłę F. Pomijając ciężar ramy wyznacz reakcje podpór.

Płaski dowolny układ sił

1. Redukcja sił względem bieguna (punktu)

Siłę F przyłożoną do dowolnego punktu A ciała sztywnego możemy zastąpić równą jej siła F przyłożoną do dowolnego punktu O tego ciała, dodając jednocześnie parę sił o momencie F*r

Powyższą zasadę można uogólnić dla dowolnej liczby n-sił działającej w jednej płaszczyźnie

2. Redukcja płaskiego dowolnego układu sił

Dowolny układ sił przyłożonych do ciała sztywnego o liniach działania leżących w jednej płaszczyźnie możemy zastąpić siłą W przyłożoną do dowolnego punktu 0 i równą sumie geometrycznej wszystkich sil tego układu oraz momentem wypadkowym Mwo równym sumie algebraicznej momentom wszystkich sił tego układu liczonych względem bieguna 0.

Siłę W nazywamy wektorem głównym tego układu sił, natomiast Mwo nazywamy momentem głównym układu względem bieguna 0. Wektor główny W jest niezależny od wyboru bieguna redukcji, natomiast Mwo zależy od położenia bieguna redukcji.

Płaski dowolny układ sił znajduje się w równowadze jeśli zeruje się wektor główny tego układu oraz moment główny względem dowolnie wybranego bieguna.

Istnieją trzy algebraiczne warunki równowagi płaskiego dowolnego układu sił:

• Sumy rzutów wszystkich sił tego układu na dwie wzajemnie prostopadłe osie muszą być równe 0 (warunki 1a i 1b) oraz algebraiczna suma momentów wszystkich sił układu względem dowolnie obranego bieguna musi być równa 0

Płaski układ sił równoległych

Linię działania siły wypadkowej wyznacza się na podstawie twierdzenia, że moment siły wypadkowej musi być równy sumie algebraicznej momentów wszystkich sił składowych tego układu.

Są dwa konieczne do spełnienia warunki aby płaski układ sił równoległych znajdował się w równowadze:

• Siła wypadkowa układu musi = 0

• Moment główny układu, czyli suma algebraiczna momentów wszystkich sił tego układu względem dowolnego bieguna musi = 0

Środek ciężkości ciała - punkt, w którym zaczepiona jest siła ciężkości całego ciała

Położenie środka ciężkości ciała wyznacza się w sposób analogiczny jak w wyznaczaniu położenia linii działania siły wypadkowej w układzie płaskim równoległym.

Gi - siły ciężkości poszczególnych części ciała

xi,yi,zi - współrzędne środków ciężkości poszczególnych części ciała

Ai - pole powierzchni figur składowych

W zależności od położenia środka ciężkości ciała nieswobodnego mogą występować trzy różne stany równowagi takiego ciała.

1. ciało podparte powyżej środka ciężkości - stan równowagi stałej

Po wychyleniu ciała ze stanu pierwotnego pojawia się para sił, która dąży do przywrócenia ciału jego pierwotnego przyłożenia

2. ciało podparte poniżej środka ciężkości - stan równowagi chwiejnej

Przy naruszeniu stanu równowagi pojawia się para sił, która oddala ciało od pierwotnego położenia. Ciało dąży do przejęcia stanu równowagi stałej.

3. ciało podparte w środku ciężkości - stan równowagi obojętnej, jest w równowadze w każdym położeniu

Przy zmianie położenia ciała nie pojawia się para sił, stąd ciało nie wykazuje tendencji do zmiany położenia.

---