Algebra

IR

Zadania

domo

w

e

i

p

o

wtórzenio

w

e

Grup

y

-

z±¢

I

Pilne

1.

Nie

h

G

= Z

2

× Z

2

z

dziaªaniem

p

o

wsp

óªrzdn

y

h

zyli

(a, x) ⊕ (a

′

, x

′

) = (a +

a

′

mo

d

2, x + x

′

mo

d

2)

.

Napisa¢

tab

elk

dziaªania

dla

tej

grup

y

.

Czy

ta

grupa

jest

izomorzna

z

Z

4

?

2.

P

o

da¢

przykªady

pªaski

h

gur

geometryzn

y

h,

który

h

grup

y

symetrii

s¡

izomorzne

z

a)

Z

2

,

b)

Z

3

,

)

S

3

,

d)

V

4

K

ostrykin-I-5.2.21

3.

W

yk

aza¢,

»e

zbiór

homograi

tzn.

funk

ji

p

ostai

y

=

ax+b
cx+d

,

gdzie

a, b, c, d

∈ R

,

ad

− bc 6=

0

,

jest

grup¡

wzgldem

op

eraji

skªadania

funk

ji.

K

ostrykin-I-5.2.8

4.

Udo

w

o

dni¢,

»e

przeiie

do

w

olnej

ro

dzin

y

p

o

dgrup

jest

p

o

dgrup¡.

5.

Rozªó»

p

erm

utaj

(12)(123)(1234)(12345)

na

ykle

rozª¡zne.

Mniej

pilne

1.

W

yk

aza¢,

»e

grupa

rzdu

6

jest

alb

o

przemienna

alb

o

izomorzna

z

S

3

.

K

ostrykin-I-

5.2.18

2.

Rzdem

elemen

tu

grup

y

σ

(nie

m

yli¢

z

rzdem

grup

y),

nazw

am

y

na

jmniejsz¡

lizb

nat-

uraln¡

n

tak

¡,

»e

σ

n

= e

.

Dana

jest

p

erm

utaja

σ

∈ S

13

,

która

rozkªada

si

na

ztery

ykle

rozª¡zne

o

dªugo±ia

h

1,

2,

4

i

7.

Jaki

jest

rz¡d

tego

elemen

tu.

3.

Spra

wdzi¢,

»e

wzór

σ

(x) := 3x + 7 − 16

x+1

5

(gdzie

x+1

5

oznaza

z±¢

aªk

o

wit¡

lizb

y

x+1

5

)

okre±la

p

erm

utaj

σ

: {1, 2, . . . , 16} → {1, 2, . . . , 16}

.

Znale¹¢

tab

elk

w

arto±i

σ

oraz

jej

rozkªad

na

ykle

rozª¡zne.

Znale¹¢

przykªad

p

erm

utaji

ρ

: {1, 2, . . . , 16} →

{1, 2, . . . , 16}

,

sp

eªnia

j¡ej

w

arunek

ρ

◦ ρ = σ

;

ile

jest

taki

h

p

erm

utaji?

Cieiura-219

4.

Oblizy¢

lizb

in

w

ersji

i

znak

p

erm

utaji:

Cieiura-242

σ

=

1

2

3

. . .

2m 2m + 1 2m + 2 . . . 3m

m

+ 1 m + 2 m + 3 . . . 3m

1

2

. . .

m

.

5.

Ile

elemen

tó

w

rzdu

6

za

wiera

grupa

a)

S

5

,

b)

A

5

tzn.

grupa

p

erm

utaji

parzyst

y

h

(altern

uj¡y

h)

zbioru

piio

elemen

to

w

ego.

K

ostrykin-I-5.3.5

6.

W

yk

aza¢,

»e

grup

y

symetrii

wªa±iwy

h

(obrotó

w)

zw

oro±ian

u

foremnego,

sze±ian

u

i

o±mio±ian

u

foremnego

s¡

izomorzne

o

dp

o

wiednio

A

4

,

S

4

i

S

4

.

K

ostrykin-I-5.2.23

1