Algebra

IR

Zadania

domo

w

e

i

p

o

wtórzenio w

e

Grup

y

-

z±¢

I

Pilne

G = Z2 × Z2

(a, x) ⊕ (a′, x′) = (a +

1.

Nie

h

z

dziaªaniem

p

o

wsp

óªrzdn

y

h

zyli

a′

2, x + x′

2)

mo

d

mo

d

.

Napisa¢

tab

elk

dziaªania dla

tej

grup

y

.

Czy

ta

grupa

jest

Z4

izomor zna

z

?

2.

P

o

da¢

przykªady pªaski

h

gur

geometry zn

y

h,

który

h

grup

y

symetrii

s¡

izomor zne

Z

S

V

2

Z3

3

4

z

a)

,

b)

,

)

,

d)

K

ostrykin-I-5.2.21

y = ax+b

a, b, c, d ∈ R ad − bc 6=

3.

W

yk

aza¢,

»e

zbiór

homograi tzn.

funk

ji

p

osta i

cx+d , gdzie

,

0, jest grup¡ wzgldem opera ji skªadania funk ji.

K

ostrykin-I-5.2.8

4.

Udo

w

o

dni¢,

»e

prze i ie

do

w

olnej

ro

dzin

y

p

o

dgrup

jest

p

o

dgrup¡.

(12)(123)(1234)(12345) 5.

Rozªó»

p

erm

uta j

na

ykle

rozª¡ zne.

Mniej

pilne

S3

1.

W

yk

aza¢,

»e

grupa

rzdu

6

jest

alb

o

przemienna alb

o

izomor zna

z

.

K

ostrykin-I-5.2.18

σ

2.

Rzdem

elemen

tu

grup

y

(nie

m

yli¢

z

rzdem

grup

y),

nazw

am

y

na

jmniejsz¡

li zb

nat-

n

σn = e

σ ∈ S13

uraln¡

tak

¡,

»e

.

Dana

jest

p

erm

uta ja

,

która

rozkªada

si

na

ztery

ykle

rozª¡ zne

o

dªugo± ia

h

1,

2,

4

i

7.

Jaki

jest

rz¡d

tego

elemen

tu.

σ(x) := 3x + 7 − 16 x+1

x+1

3.

Spra

wdzi¢,

»e

wzór

5

(gdzie

5

ozna za

z±¢

aªk

o

wit¡

li zb

y

x+1

σ : {1, 2, . . . , 16} → {1, 2, . . . , 16}

σ

5

)

okre±la

p

erm

uta j

.

Znale¹¢

tab

elk

w

arto± i

ρ : {1, 2, . . . , 16} →

oraz

jej

rozkªad

na

ykle

rozª¡ zne.

Znale¹¢

przykªad

p

erm

uta ji

{1, 2, . . . , 16}

ρ ◦ ρ = σ

,

sp

eªnia

j¡ ej

w

arunek

;

ile

jest

taki

h

p

erm

uta ji?

Cie iura-219

4.

Obli zy¢

li zb

in

w

ersji

i

znak

p

erm

uta ji:

Cie iura-242

1

2

3

. . . 2m 2m + 1 2m + 2 . . . 3m

σ =

.

m + 1 m + 2 m + 3 . . . 3m 1

2

. . .

m

S

A

5

5

5.

Ile

elemen

tó

w

rzdu

6

za

wiera

grupa

a)

,

b)

tzn.

grupa

p

erm

uta ji

parzyst

y

h

(altern

uj¡ y

h)

zbioru

pi io

elemen

to

w

ego.

K

ostrykin-I-5.3.5

6.

W

yk

aza¢,

»e

grup

y

symetrii

wªa± iwy

h

(obrotó

w)

zw

oro± ian

u

foremnego, sze± ian

u

i

A

S

S

4

4

4

o±mio± ian

u

foremnego s¡

izomor zne

o

dp

o

wiednio

,

i

.

K

ostrykin-I-5.2.23

1