Akustyka Analityczna egzamin, I termin 19.06.2017

1. Równanie Helmholtza (10 pkt.)

a)Napisz równania Helmholtza dla ci±nienia akustycznego i omów jego podstawowe

wªasno±ci (2 pkt.),

b) z jakiego podstawowego równania akustyki je otrzymujemy i jak¡ metod¡ (2 pkt)
c) co wynika z faktu, »e równanie Helmholtza jest równaniem wªasnym? Podaj

zastosowania (2 pkt),

d) podaj posta¢ rozwi¡zania we wspóªrz¦dnych kulistych (r, θ, φ) w przypadku symetrii

zagadnienia wzgl¦dem k¡ta azymutalnego φ (2 pkt),

e) czy rozwi¡zanie z punktu d) mo»e opisywa¢ drgania membrany? Uzasadnij odpowied¹

(2 pkt),
2. Nat¦»enie i moc (10 pkt)

a) zdeniuj nat¦»enie chwilowe pola akustycznego podaj¡c wzór i stosowne wy-

ja±nienia u»ytego zapisu (rzeczywisty czy zespolony) (2 pkt),

b) podaj sposób obliczania nat¦»enia ±redniego w czasie dla procesów harmonicznych

(2 pkt),

c) podaj zwi¡zek nat¦»enia z moc¡ - wzór pozwalaj¡cy obliczy¢ moc (2 pkt),
d) oblicz w polu dalekiem moc promieniowan¡ przez ¹ródªo , dla którego wyznaczono

funkcj¦ kierunkow¡ ci±nienia zdeniowan¡ jako

d(θ, φ) =

|p(r, θ, φ)|

|p(r, θ

0

, φ

0

)

|

oraz ci±nienie odniesienia p(r, θ

0

, φ

0

)

(4 pkt).

3.Falowody (10 pkt.)

W teorii falowodów akustycznych o przekroju prostok¡tnym czy koªowym pojawia si¦

wielko±¢ zwana cz¦sto±ci¡ odci¦cia danego modu (postaci fali) falowodowego. W podobny
sposób rozwa»aj¡c wn¦ki (prostopadªo±cienne, cylindryczne) pojawia si¦ poj¦cie cz¦sto±ci
wªasnych.

a) podaj ró»nic¦ miedzy cz¦sto±ci¡ odci¦cia i cz¦sto±ci¡ wªasn¡ (2 pkt),
b) podaj rozwi¡zanie równania Helmholtza w D3 we wspóªrz¦dnych kartezja«skich

bez warunków brzegowych (w przestrzeni otwartej) (2 pkt),

c)podaj rozwi¡zanie równania Helmholtza we wspóªrz¦dnych kartezja«skich dla falowodu

pªaszczyznowego o idealnie sztywnych ±cianach o poªo»eniu x = 0 i x = d i osi z (3 pkt),

d) jak zmieni si¦ posta¢ rozwi¡zania dla falowodu tego samego rodzaju o przekroju

kwadratu o boku d i osi falowodu z (3 pkt),

1

4. Caªka Rayleigha i przybli»enia Fraunhofera (10 pkt)

Korzystaj¡c ze wzoru caªkowego Rayleigha i przybli»enia Fraunhofera wyznaczono

ci±nienie akustyczne w funkcji wspóªrz¦dnych (r, θ, φ) tªoka o promieniu a drgaj¡cego z
pr¦dko±ci¡ v

0

w niesko«czonej sztywnej odgrodzie umieszczonej w pªaszczy¹nie z = 0

p(r, θ) =

iρca

2

v

0

exp(

−ikr)

r

J

1

(ka sin θ)

ka sin θ

,

gdzie J

1

(x)

jest funkcj¡ Bessela.

a) podaj wzór caªkowy Rayleigha i wyja±nij, jakie zaªo»enia prowadz¡ do przybli»enia

Fraunhofera (2 pkt),

b) korzystaj¡c z podanego wzoru na ci±nienie akustyczne wyznacz wspóªczynnik

kierunkowy tªoka i wyja±nij, jak zmienia si¦ liczba listków ze zmiana parametru ka (2
pkt),

c) wiedz¡c »e lim

x

→0

J

1

(x)

x

= 1/2

narysuj charakterystyk¦ kierunkow¡ tªoka we wspóªrzed-

nych biegunowych (d, θ) dla ka = 0.01 oraz ka = 8, wiedz¡c, »e miejsca zerowe funkcji
Bessela J

1

(x)

s¡ nast¦puj¡ce : 0, 3.83, 7.02, 10.17, 13.32, ... (2 + 2 = 4 pkt),

d) w jaki sposób wyniki z punktu c) maj¡ zastosowanie przy budowie gªo±ników i

dlaczego (2 pkt).

2