1. Budując szereg rozdzielczy należy przyporządkować
Zbiór wartości liczbowych uporządkowanych wg wariantów badanej cechy, przy czym

poszczególnym wariantom przyporządkowuje się odpowiadające im liczebności więc nie wiem co ma
być.

a. Poszczególnym wariantom cechy ich kolejność
b. Poszczególnym klasom cechy ich liczebności
c. Poszczególnym wariantom cechy ich wartości

2. Średnia arytmetyczna jest podstawową miarą

a. Koncentracji rozkładu cechy
b. Położenia rozkładu cechy
c. Asymetrii rozkładu cechy
d. Zróżnicowania rozkładu cechy

3. Dystrybuanta rozkładu normalnego jest definiowana jako prawdopodobieństwo tego, że

zmienna losowa X ma wartość

a. Większe niż u
b. Mniejsze niż u
c. Zawarte w przedziale (-u,u)
d. Leżące poza przedziałem (-u,u)

Dystrybuanta rozkładu normlanego jest dystrybuantą graniczną ciągu dystrybuant

standaryzowanych zmiennych dwumianowych a rozkład normalny jest rozkładem granicznym
rozkładu dwumianowego.

4. Dystrybuanta empiryczna to

a. Uporządkowany szereg wartości cechy
b. Szereg liczebności skumulowanych wartości cechy
c. Uporządkowany szereg liczebności wariantów cechy

5. Dominantą nazywamy taką wartość zmiennej, która

a. Jest wartością górnej granicy przedziału środkowej klasy rozkładu
b. Dzieli zbiorowość na dwie części
c. Jest najbliższa średniej ważonej
d. Występuję najczęściej

6. Średnią obliczamy jako

a. Sumę wartości zmiennej wszystkich jednostek zbiorowości podzieloną przez

liczebność badanej zbiorowości pomniejszoną o 1 czyli (n – 1)

b. Sumę iloczynów wartości zmiennej i ich liczebności podzieloną przez liczebność

badanej zbiorowości (n)

c. Sumę wartości zmiennej wszystkich jednostek zbiorowości podzieloną przez

liczebność badanej zbiorowości (n)

7. Medianą nazywamy taką wartość zmiennej, która

a. Występuje najczęściej
b. Jest najbliższa średniej ważonej
c. Dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 25% jednostek ma wartości niższe

od mediany, a 75% wyższe od mediany

d. Dzieli zbiorowość na dwie części

8. Odchylenie standardowe to

a. Pierwiastek z różnicy mediany i dominanty
b. Wartość zmiennej różniąca się o 1 od wartości średniej
c. Wartość zmiennej różniąca się o 2 od wartości średniej
d. Pierwiastek z momentu centralnego 2 – go rzędu
e. Pierwiastek z wariancji

9. Wariancja to (brak odpowiedzi ?)

a. Pierwiastek ze średniej arytmetycznej ważonej
b. Różnica między wartością największą i najmniejszą cechy
c. Średnia arytmetyczna kwadratów poszczególnych wartości cechy całej zbiorowości
d. Średnia arytmetyczna z kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od

średniej arytmetycznej całej zbiorowości

Wariancja jest różnicą pomiędzy średnią arytmetyczna kwadratów wartość cechy i kwadratem

średniej arytmetycznej tej cechy

10. Wartość średnia standaryzowanego rozkładu normalnego wynosi

a. 2

b. 1
c. 0

11. Który z wymienionych rozkładów zmiennych losowych jest wykorzystywany do opisy

rozkładu zmiennej losowej skokowej (dyskretnej) ?

a. Normalny
b. Poisson’a
c. Dwumianowy

W teorii statystki jak i w zastosowaniach praktycznych szczególnie często występują następujące

rozkłady zmiennej losowej skokowej: zero-jedynkowy (dwupunktowy), dwumianowy, poissona

12. Odchylenie standardowe standaryzowanego rozkładu normalnego wynosi

a. 3 σ
b. 1
c. 0

13. Każdy rozkład normlany można przedstawić w postaci

a. Rozkładu chi – kwadrat
b. Rozkład t – studenta
c. Rozkładu normalnego standaryzowanego
d. Rozkładu dwumianowego “rozkład normalny jest rozkładem granicznym rozkładu

dwumianowego-tw Moivre’a-Laplace’a”

14. Równanie

95

,

0

)

)

(









U

P

oznacza, że w przedziale

a. (-μ

α

, μ

α

) mieści się 95% obserwacji

b. (-μ

α

, μ

α

) mieści się 97,5% obserwacji

c. (-μ

α

, μ

α

) mieści się 5% obserwacji

15. Wartość wariancji jest równa wartości oczekiwanej zmiennej losowej o rozkładzie

a. Normalnym
b. Poissona
c. Chi – kwadrat

d. Dwumianowym

16. Rozkład średniej arytmetycznej z n elementów próby wylosowanej z populacji o rozkładzie

normalnym ze znaną wartością średnią m i znanym odchyleniem standardowym σ jest
rozkładem

a. Normalnym
b. T – Studenta
c. Chi – kwadrat
d. F – Fishera – Snedecora

17. Do porównania wariancji dwóch prób pochodzących z populacji normalnych korzystać

będziemy z rozkładu

a. F – Fishera – Snedecora
b. Chi – kwadrat
c. Normalnego
d. T – Studenta

18. Ciąg zmiennych losowych Xo/n o rozkładzie dwumianowym jest zbieżny do rozkłady

a. F – Fishera – Snedecora
b. Chi – kwadrat
c. Normalnego
d. T – Studenta

Ciąg zmiennych lodowych Xo/n o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i p jest zbieżny do

rozkładu N(p, sqr(pq/n))

19. Parametrami rozkładu normalnego są

a. n, p
b. p, g
c. σ, m

20. Dla zmiennej o rozkładzie normalnym 50% wartości przyjmuje wartość

a. W przedziale (-σ, σ)
b. Większe od wartości średniej
c. Mniejsze od wartości średniej

21. Histogram rozkładu empirycznego, to graficzne przedstawienie szeregu rozdzielczego w

postaci

a. Krzywej liczebności
b. Wieloboku skumulowanych liczebności
c. Wieloboku liczebności
d. prostokątów

22. Przedział ufności wartości średniej określony na poziomie ufności 1-∝

a. Ma z góry określone stałe granice
b. Ma stałą długość
c. Jest położony symetrycznie w stosunku do wartości średniej

23. Przedział ufności dla wartości średniej w populacji normalnej z nieznanym odchyleniem

standardowym wyznacza się korzystając z rozkładu

a. Normlanego
b. T – studenta
c. Chi – kwadrat

d. F – Fishera – snedecora

24. Przedział ufności dla wariancji σ

2

w populacji normalnej wyznacza się na podstawie małej

próby z wykorzystaniem rozkładu:

a. Normalnego
b. T – studenta
c. Chi – kwadrat
d. F – Fishera – snedecora

25. Hipoteza, że badana populacja ma rozkład Poissona jest ?

a. Parametryczną hipotezą złożoną
b. Nieparametryczną hipotezą złożoną
c. Nieparametryczną hipotezą prostą
d. Parametryczną hipotezą prostą

26. O tym, że obszar krytyczny testu jest dwustronny, lewostronny lub prawostronny decyduje

a. Postać hipotezy zerowej
b. Postać hipotezy alternatywnej
c. Wartość krytyczna testu

27. Jeżeli wyznaczona wartość statystyki z próby znajdzie się w obszarze krytycznym testu to:

a. Nie ma podstaw do porzucenia hipotezy zerowej
b. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy alternatywnej
c. Hipotezę zerową należy odrzucić, przyjmując hipotezę alternatywną

Wyznaczoną na podstawie próby wartość statystyki porównujemy z wartością krytyczną testu.

● Jeżeli wartość ta znajdzie się w obszarze krytycznym, to hipotezę zerową należy

odrzucić jako nieprawdziwą. Stąd wniosek, że prawdziwa jest hipoteza
alternatywna.

● Jeżeli natomiast wartość ta znajdzie się poza obszarem krytycznym, oznacza to, że

brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Stąd wniosek, że hipoteza
zerowa może, ale nie musi, być prawdziwa, a postępowanie nie dało żadnych
dodatkowych informacji uprawniających do podjęcia decyzji o przyjęciu lub
odrzuceniu hipotezy zerowej.

28. Jeżeli wyznaczona wartość statysyki z próby znajdzie się poza obszarem krytycznym testu

to:

a. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
b. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy alternatywne
c. Hipotezę zerową należy odrzucić, przyjmując hipotezę alternatywną

29. Które z wymienionych określeń nie pasuje do definicji empirycznego rozkładu cechy

statystycznej skokowej

a. Cecha przyjmuje wartości ze zbioru przeliczalnego
b. Te same wartości mogą występować wielokrotnie
c. Te same wartości mogą występować jednokrotnie

Zbiór wartości liczbowych uporządkowanych wg wariantów badanej cechy, przy czym

poszczególnym wariantom przyporządkowuje się odpowiadające im liczebności. Budując szeregi dla
cechy skokowej (dyskretnej) warianty możemy podać punktowo (np. liczba awarii na rurociągu) lub
przedziałowo.

30. Który z wymienionych rozkładów zmiennych losowych jest wykorzystywany do opisy

rozkładu zmiennej losowej ciągłej ?

a. Studenta
b. Chi kwadrat
c. Poissona
d. F – Fishera – Snedecora

31. Która z wymienionych metod nie służy do wyznaczania estymatorów parametrycznych

a. Momentów Persona
b. Największej wiarygodności Fishera
c. Najmniejszych kwadratów Gaussa
d. Chi – kwadrat

32. Estymatorem parametru nazywamy

a. Wartość średnią parametru
b. Każdą wartość sumy kwadratów odchyleń
c. Statystkę z próby, która służy do oszacowania wartości tego parametru
d. Wartość krytyczną odczytaną z tablic rozkładu normlanego dla ∝= 0,05

33. Do weryfikacji parametrycznych hipotez zerowych służą testy

a. T – Studneta
b. Chi kwasrat
c. Alfa Kołmogorowa
d. Testy zgodności

34. Do weryfikacji nieparametrycznych hipotez zerowych służą testy

a. Gamma – Kołomogrowa
b. Chi – kwadrat
c. F-Fishera-Snedecora
d. T-studenta

35. Jeśli wartość pewnej zmiennej losowej mierzone są w metrach to jej wariancja mierzona

jest w

a. Jest wielkością bezwymiarową typu m/m
b. Metrach kwadratowych
c. Metrach
d. Pierwiastek z m

36. Wariancja zmiennej losowej określa

a. Jej najbardziej prawdopodbną wartość
b. Jej poziom wiarygodności względem średniej
c. Jej błąd średnio – kwadratowy
d. Jej średnio – kwadratowe odchylenie od wartości oczekiwanej

37. Jeśli istnieje gęstość prawdopodobieństwa f(x) zmiennej losowej X, to

a. P{X należy do (a,b)}=f(b)-f(a)
b. P{X należy do (a,b)}=całka od a do x f(x)dx
c. P{X należy do (a,b)}=całka od a do b f(x)dx
d. P{X należy do (a,b)}=całka od -nieskończoność do b f(x)dx
e. P{X należy do (a,b)}=całka od a do b log f(x)dx

38. Dystrybuanta zmiennej losowej nie może być funkcją

a. Niemalejącą

b. Malejąca
c. Rosnącą
d. Nieciągłą
e. Ściśle malejąca

39. Dystrybuanta zmiennej losowej jest funkcją

a. Niemalejąca
b. Malejąca
c. Rosnącą
d. Nieciągłą
e. Ściśle malejącą

40. Gęstość rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej nie może być funkcją

a. Niemalejącą
b. Ujemną
c. Rosnącą
d. nieciągłą

41. Funkcja f(x)={(1/(2*a) gdzie x należy do zbioru [-a,a] i 0 w przeciwnym razie } jest gęstością

rozkładu prawdopodobieństwa:

a. Dla dowolnego a>0
b. Dla dowolnego a różnego od zera
c. Tylko dla a będącego liczbą naturalną
d. Tylko dla a=1/2
e. Tylko dla alfa=1

42. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej o gęstości danej przez (1).

a. wartość oczekiwana nie istnieje
b. wartość oczekiwana jest równa zero
c. wartość oczekiwana równa jest a^2
d. wartość oczekiwana jest równa 1/a
e. wartość oczekiwana jest równa a/2

43. Funkcja f(x)={(1/a gdzie x należy do zbioru [0,a] i 0 w przeciwnym razie } jest gęstością

rozkładu prawdopodobieństwa:

a. dla dowolnego a>0
b. dla dowolnego a różnego od zera
c. tylko dla a będącego liczbą naturalną
d. tylko dla a=1
e. tylko dla alfa=1
f. tylko dla a=1/2

44. Czy dla pary zmiennych losowych można zawsze określić dystrybuantę ich łącznego rozkładu

prawdopodobieństwa?

a. TAK
b. NIE

45. Czy prawdziwe jest następujące zdanie. Gdy współczynnik korelacji pary zmiennych

losowych X i Y równy jest jeden to istnieją takie stałe a i b, że Y = a x X +b?

Współczynnik korelacji ma kilka charakterystycznych, sformułowanych poniżej własności. a)

|ρ| ≤ 1, b) jeżeli X i Y są niezależne, to ρ(X, Y) = 0, c) |ρ| = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją stałe
a ̸= 0 i b takie, że P(Y = aX + b) = 1 .

a. TAK?
b. NIE

46. Czy współczynnik korelacji pary zmiennych losowych może być równy zero?

a. Tak
b. Nie

47. Czy współczynnik korelacji par zmiennych losowych może być ujemny?

a. Tak
b. Nie

48. Czy mediana zmiennej losowej może być liczbą ujemną?

a. Tak
b. Nie

49. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej zero i wariancji 1. Ile

wynosi mediana tego rozkładu?

a. 1
b. 0
c. 1/2

50. Czy mediana zmiennej losowej zawsze wyznaczona jest jednoznacznie?

a. Tak
b. Nie

51. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej zero i wariancji 1. Ile

wynosi wariancja zmiennej losowej Y=5*X1

a. 1
b. 5
c. 25

52. Załóżmy, ze współczynnik korelacji pary zmiennych losowych istnieje. Czy zawsze musi być

on liczba dodatnią?

a. Tak
b. Nie

53. Czy współczynnik korelacji pary zmiennych losowych może być większy od 1?

a. Tak
b. Nie

54. Załóżmy, ze współczynniki korelacji pary zmiennych losowych X i Y istnieje. Czy prawdziwe

jest następujące zdanie? Gdy para zmiennych losowych Xi Y związana jest zależnością
Y=aX+b gdzie a, b oznaczają liczby rzeczywiste, to współczynnik korelacji między nimi
wynosi jeden lub minus jeden

a. Tak
b. Nie

55. Zmierzono wzrost 12 studentów i otrzymano następujące wartości: 165cm, 177cm, 171cm,

188cm, 169cm, 192cm, 173cm, 175cm, 182cm, 179cm, 185,5cm. Na ich podstawie
wyznaczono empirycznie górny kwartyl rozkładu wzrostów. Przedział od zera do wartości
tego kwartyla (włącznie) zawierał:

a. 4 obserwacje
b. 6 obserwacji
c. 8 obserwacji
d. 3 obserwacje

Kwartyl – jedna z miar położenia obserwacji (z dokładnością +/-1).
pierwszy kwartyl (notacja: Q

1

) = dolny kwartyl = kwantyl rzędu 1/4 = 25% obserwacji jest położonych

poniżej = 25. procent
drugi kwartyl (notacja: Q

2

) = mediana = kwantyl rzędu 1/2 = dzieli zbiór obserwacji na połowę = 50.

procent
trzeci kwartyl (notacja: Q

3

) = górny kwartyl = kwantyl rzędu 3/4 = dzieli zbiór obserwacji na dwie część

odpowiednio po 75% położonych poniżej tego kwartyla i 25% położonych powyżej = 75. procent
Moim zdaniem 8 obserwacji.
na pewno 8, bo 0,75*11 <- ale studentów jest 12, wyników 11, jakieś to dziwne

56. Oblicz wartość oczekiwaną dla zmiennej losowej o gęstości danej przez 1.

a. Wartość oczekiwana nie istnieje
b. Wartość oczekiwania równa jest zero
c. Wartość oczekiwana jest równa a^2
d. Wartość oczekiwana jest równa a/2
e. Wartość oczekiwana jest równa 1/2

57. Czy dla pary zmiennych losowych można zawsze określić dystrybuantę ich łącznego rozkładu

prawdopodobieństwa?

a. Tak
b. Nie

Wzory do wykorzystania przy rozwiązaniu zadań:
Rozkłady prawdopodobieństwa

𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝐶

𝑛

𝑘

· 𝑝

𝑘

· 𝑞

𝑛−𝑘

𝑃(𝑋 = 𝑘) =

𝜆

𝑘

𝑘!

· 𝑒

−𝜆

Zadanie 1.
Na sieci wodociągowej zbudowanej z 900 przewodów zaobserwowano w ciągu roku wystąpienie 1
awarii na 28 przewodach, 2 awarii na 15 przewodach i 5 awarii na 2 przewodach. Obliczyć jakie jest
prawdopodobieństwo wystąpienia, co najmniej jednej awarii na przewodzie w ciągu roku

Zadanie 2
Wiedząc, że długości produkowanych rur ma rozkład normalny N(200:1) obliczyć:

a) Prawdopodobieństwo tego, że długość losowo wybranej rury jest większa niż 199 cm
b) Prawdopodobieństwo tego, że średnia długość rur w paczce zawierającej 9 rur jest większa

niż 199 cm

Zadanie 3.
Wykonano 10 pomiarów długości przewodów otrzymując następujące wyniki (w cm)

210; 211; 210; 209; 211; 210; 211; 210; 211; 211
Zakładając, że cecha ta w populacji generalnej ma rozkład normalny, wyznaczyć na poziomie ufności
(1-∝)=0,90 przedział ufności dla wartości średniej badanej cechy.