Rozwiazanie schematu statycznego metod

ą

przemieszcze

ń

:

Rozwi

ą

zujac układ metoda przemieszcze

ń

zało

ż

y

ć

,

ż

e wymiary przekrojów poprzecznych wszystkich

elementów s

ą

identyczne.

2q

P

L

L

3

L

2L

Rys.1 Schemat konstrukcji

1

2

2

3

1

4

A

B

Rys.2 Układ podstawowy metody przemieszcze

ń

Konstrukcja jest dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalna. Jedynymi niewiadomymi
geometryczneymi jakie nale

ż

y wyliczy

ć

s

ą

k

ą

ty obrotu wezłów 1 i 2.

Zapisujemy momenty w

ę

złowe dla poszczególnych pr

ę

tów korzystaj

ą

c z wzorów

transformacyjnych :

Φ

A

1

2E J

⋅

L

φ

1

( )

⋅

1

8

P L

⋅

−

=

Φ

1

1

2E J

⋅

L

2

φ

1

( )

⋅

1

8

P L

⋅

+

=

Φ

1

2

2E J

⋅

2L

2

φ

1

φ

2

+

(

)

⋅

=

Φ

2

2

2E J

⋅

2L

φ

1

2

φ

2

+

(

)

⋅

=

Φ

2

3

2E J

⋅

L

2

φ

2

( )

⋅

2

12

q

⋅

L

2

⋅

−

=

Φ

B

3

2E J

⋅

L

φ

2

( )

⋅

2

12

q

⋅

L

2

⋅

+

=

Φ

2

4

3E J

⋅

3L

φ

2

( )

⋅

=

Zapisujemy równania równowagi momentów w wezlach :

.

M1

∑

0

=

Φ

1

1

Φ

1

2

+

0

=

.

M2

∑

0

=

Φ

2

2

Φ

2

3

+

Φ

2

4

+

0

=

Po podstawieniu wzorów na momenty otrzymujemy :

.

M1

∑

0

=

2E J

⋅

L

2

φ

1

( )

⋅

1

8

P L

⋅

+

2E J

⋅

2L

2

φ

1

φ

2

+

(

)

⋅

+

0

=

.

M2

∑

0

=

2E J

⋅

2L

φ

1

2

φ

2

+

(

)

⋅

2E J

⋅

L

2

φ

2

( )

⋅

2

12

q

⋅

L

2

⋅

−













+

3E J

⋅

3L

φ

2

( )

⋅

+

0

=

Po uporzadkowaniu :

.

M1

∑

0

=

E J

⋅

L

6

φ

1

φ

2

+

(

)

⋅

1

8

P L

⋅

+

0

=

.

M2

∑

0

=

E J

⋅

L

φ

1

7

φ

2

+

(

)

⋅

2

12

q

⋅

L

2

⋅

−

0

=

Macierz sztywno

ś

ci i wyrazów wolnych:

K

E J

⋅

L

6

1

1

7













⋅

=

E

D

1

8

P L

⋅

2

12

−

q

⋅

L

2

⋅





















=

P

Układ równa

ń

zapisany macierzowo :

K X

⋅

D

+

0

=

E J

⋅

L

6

1

1

7













⋅

φ

1

φ

2

















⋅

1

8

P L

⋅

2

12

−

q

⋅

L

2

⋅





















+

0

0













=

Rozwi

ą

zuj

ą

c układ równa

ń

otrzymujemy nast

ę

puj

ą

ce warto

ś

ci k

ą

tów obrotu w

ę

złów :

φ

1

1

984

−

4 q L

⋅

⋅

21 P

⋅

−

(

)

⋅

L

2

E J

⋅

⋅

=

φ

2

1

328

8 q L

⋅

⋅

P

−

(

)

⋅

L

2

E J

⋅

⋅

=

Rozwi

ą

zanie : momenty w

ę

złowe :

Φ

A

1

.

=

2E J

⋅

L

φ

1

( )

⋅

1

8

P L

⋅

−

1

−

123

q L

2

⋅

⋅

55

328

P L

⋅

⋅

−

=

Φ

1

1

.

=

2E J

⋅

L

2

φ

1

( )

⋅

1

8

P L

⋅

+

2

−

123

q L

2

⋅

⋅

13

328

P L

⋅

⋅

+

=

Φ

1

2

.

=

2E J

⋅

2L

2

φ

1

φ

2

+

(

)

⋅

1

984

L 16 q L

⋅

⋅

39 P

⋅

−

(

)

⋅

⋅

=

Φ

2

2

.

=

2E J

⋅

2L

φ

1

2

φ

2

+

(

)

⋅

1

984

L 44 q L

⋅

⋅

15 P

⋅

−

(

)

⋅

⋅

=

Φ

2

3

.

=

2E J

⋅

L

2

φ

2

( )

⋅

2

12

q

⋅

L

2

⋅

−

17

−

246

q L

2

⋅

⋅

1

82

P L

⋅

⋅

+

=

Φ

B

3

.

=

2E J

⋅

L

φ

2

( )

⋅

2

12

q

⋅

L

2

⋅

+

53

246

q L

2

⋅

⋅

1

164

P L

⋅

⋅

+

=

Φ

2

4

.

=

3E J

⋅

3L

φ

2

⋅

1

328

L 8 q L

⋅

⋅

P

+

(

)

⋅

⋅

=

Moment w przekroju 1-1 wynosi wi

ę

c :

Φ

1

2

.

=

2E J

⋅

2L

2

φ

1

φ

2

+

(

)

⋅

1

984

L 16 q L

⋅

⋅

39 P

⋅

−

(

)

⋅

⋅

=