METODA PRZEMIESZCZEŃ – rama ortogonalna 2
10.02.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
1
ROZWI
Ą
ZANIE RAMY METOD
Ą
PRZEMIESZCZE
Ń
1.
DANE WYJŚCIOWE
Ramę pokazaną na rysunku rozwiązać
metodą przemieszczeń.
Dokonać kontroli rozwiązania.
2.
WYZNACZENIE STOPNIA GEOMETRYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI
2.1
WYZNACZENIE LICZBY STOPNI SWOBODY OBROTU WĘZŁÓW
W celu wyznaczenia
ϕ
n
dokonujemy
podziału układu na elementy, dla
których dane są wzory transformacyjne,
co pokazano na rysunku obok.
Elementu 1-5 nie można tu przyjąć jako
„sztywno-łyżwowego” gdyż koniec
łyżwowy jest podparty więzią sprężystą.
Z przyjętego podziału na elementy
wynika, że stosować będziemy wzory
transformacyjne w postaci:
dla pręta 1-2 (sztywno-sztywny)
(
)
o
M
L
EI
M
12
12
21
12
12
12
12
6
2
4
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
,
(
)
o
M
L
EI
M
21
12
12
21
12
12
21
6
2
4
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
,
dla pręta 2-3 (sztywno-sztywny)
(
)
o
M
L
EI
M
23
23
32
23
23
23
23
6
2
4
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
,
(
)
o
M
L
EI
M
32
23
23
32
23
23
32
6
2
4
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
,
dla pręta 1-4 (sztywno-przegubowy)
(
)
(
)
o
o
M
L
EI
M
L
EI
M
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
3
3
0
3
+
−
⋅
⋅
=
+
⋅
−
+
⋅
⋅
=
ψ
ϕ
ψ
ϕ
,
0
41
=
M
,
dla pręta 1-5 (sztywno-sztywny)
(
)
o
M
L
EI
M
15
15
51
15
15
15
15
6
2
4
+
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
,
(
)
o
M
L
EI
M
51
15
15
51
15
15
51
6
2
4
+
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
.
Uwzględniając warunki podparcia i połączenia elementów (
,
0
32
51
=
=
ϕ
ϕ
,
1
15
14
12
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
2
23
21
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
) widzimy, że wszystkie kąty obrotu końców przyjętych elementów określone są przez
kąty obrotu dwóch węzłów
2
1
ϕ
ϕ
i
. Liczba stopni swobody obrotu węzłów wynosi więc n
ϕ
=
2 .
1
EI
E
I
EI
ϕϕϕϕ
1111
3
2
ϕϕϕϕ
3333
= 0
=
0
2
E
I
4
ϕϕϕϕ
2222
ϕϕϕϕ
5555
5
q = 0. 25 F/ m
EI
E
I
1. 5 m
1. 5 m
EI
F
M = 2 Fm
4 m
αααα
sin
α
= 0.6
cos
α
= 0.8
3
2
m
EI
k
=
δ
2
E
I
F
1
1
k
=
δ
3
m
EI
2
2 m
m
EI
k
2
=
ϕ
METODA PRZEMIESZCZEŃ – rama ortogonalna 2
10.02.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
2
2.2
WYZNACZENIE LICZBY STOPNI SWOBODY PRZESUWU WĘZŁÓW
W celu wyznaczenia
n
δ
tworzymy przegubowy
model układu (rysunek obok) w ten sposób, że
usuwamy więzi sprężyste, wszystkie węzły zamieniamy
na przegubowe i eliminujemy przesuwy dla elementów,
w których wzorach transformacyjnych nie występują
kąty obrotu cięciw (
ij
ψ
). Tu nie ma takich elementów.
Liczba stopni swobody przesuwu układu
przegubowego spełnia warunek
r
p
w
n
−
−
⋅
≥
2
δ
=2*7 -6 - 6 = 2,
gdzie w - liczba węzłów, p - liczba prętów,
r - liczba więzi podporowych.
Wynika stąd, że aby układ był geometrycznie
niezmienny należy dodać, co najmniej 2 więzi. Należy
dokonać analizy możliwych przesuwów węzłów
modelu przegubowego. Na rysunku powyżej
zaznaczono czerwonymi strzałkami te możliwe
przesuwy. Dodanie 2 więzi (nr I i nr II) przekształciło
przyjęty model w układ geometrycznie niezmienny co
pokazano na rysunku obok.
Oznacza to, że liczba stopni swobody
przesuwu wynosi
2
=
δ
n
.
Stopień geometrycznej niewyznaczalności wynosi więc
=
+
=
δ
ϕ
n
n
n
g
2 + 2.
3.
UKŁAD PODSTAWOWY
Układ podstawowy tworzymy z układu
danego przez dodanie n
ϕ
więzi rotacyjnych
i
n
δ
więzi translacyjnych (w naszym
przykładzie 2 więzi rotacyjnych i 2
translacyjnych), co przekształca dany układ w
układ geometrycznie wyznaczalny pokazany
na rysunku obok.
4.
ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO
4.1
ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA DANEGO
przy założeniu (
0
2
1
=
=
=
=
II
I
δ
δ
ϕ
ϕ
)
Należy pamiętać, że poszczególne stany obciążeń rozpatrujemy rozłącznie. Stan obciążeń danych
rozpatrujemy, więc, przy założeniu
0
2
1
=
=
=
=
II
I
δ
δ
ϕ
ϕ
, co oznacza, że do wzorów
transformacyjnych podstawiamy w tym stanie wszystkie
0
=
=
ij
ij
ψ
ϕ
.
Dla elementów przyjętych w punkcie 1 momenty brzegowe odczytujemy z tablic lub otrzymujemy w
wyniku rozwiązania metodą sił. Obciążenia działające na poszczególne elementy i wykresy momentów
zginających pokazano na rysunku poniżej. Pokazano także siły równoważne działającym obciążeniom
sprowadzone do punktów, których przemieszczenia będą wyznaczane od jednostkowych przesunięć.
Punktami takimi są końce prętów.
1
4
3
2
5
1
4
3
I
5
II
2
q = 0. 25 F/ m
EI
E
I
1.5 m
1. 5 m
EI
F
M = 2 Fm
4 m
2 m
αααα
sin
α
= 0.6
cos
α
= 0.8
m
EI
k
2
2
=
ϕ
3
2
m
EI
k
=
δ
2
E
I
2
1
4
I
3
F
1
5
II
1
k
=
δ
3
m
EI
2
METODA PRZEMIESZCZEŃ – rama ortogonalna 2
10.02.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
3
Obciążenia węzłów: węzła nr 1
Fm
M
M
o
2
1
=
=
,
węzeł nr 2
0
2
=
o
M
.
Momenty brzegowe dla prętów obliczamy z odpowiednich wzorów:
=
⋅
−
=
12
)
2
(
2
51
m
q
M
o
−
0.08333 F m,
=
⋅
=
12
)
2
(
2
15
m
q
M
o
0.08333 F m,
=
+
o
o
M
M
15
51
0,
=
⋅
=
−
=
8
/
3
23
32
m
F
M
M
o
o
0.375 Fm,
0
32
23
=
+
o
o
M
M
,
0
21
12
=
=
o
o
M
M
,
M
M
o
o
12
21
0
+
=
,
=
⋅
⋅
=
16
3
3
14
m
F
M
o
0.5625Fm,
0
41
=
o
M
,
=
+
o
o
M
M
14
14
0.5625 Fm.
Siły równoważne mają wartości
F
m
m
F
P
P
25
.
0
2
/
2
/
25
.
0
2
1
=
⋅
=
=
,
F
F
P
P
P
P
5
.
0
2
/
6
5
4
3
=
=
=
=
=
.
4.2
ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD
ϕ
1
1
=
przy założeniu (
0
2
=
=
=
II
I
δ
δ
ϕ
,
0
=
F
)
W tym stanie obciążenia do wzorów transformacyjnych podstawiamy:
,
1
1
1
15
1
14
1
12
1
1
=
=
=
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
j
pozostałe
,
0
1
=
ij
ϕ
,
0
=
ij
ψ
0
=
o
ij
M
,
co oznacza, że korzystamy ze wzorów:
(
)
1
1
1
ji
ij
ij
ij
ij
ij
ij
b
a
L
EI
M
ϕ
ϕ
⋅
+
⋅
=
,
(
)
1
1
1
ij
ji
ji
ji
ij
ij
ji
b
a
L
EI
M
ϕ
ϕ
⋅
+
⋅
=
Momenty brzegowe wynoszą:
(
)
(
)
m
EI
m
EI
L
EI
M
⋅
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
1
0
2
1
4
4
2
4
21
12
12
12
1
12
ϕ
ϕ
,
(
)
(
)
m
EI
m
EI
L
EI
M
⋅
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
5
.
0
1
2
0
4
4
2
4
12
21
21
21
1
21
ϕ
ϕ
,
m
EI
M
M
⋅
=
+
5
.
1
2
21
2
12
,
( )
( )
m
EI
m
EI
L
EI
M
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
2
1
3
2
3
3
14
14
14
1
14
ϕ
,
0
1
41
=
M
,
m
EI
M
M
⋅
=
+
2
1
41
1
14
,
(
)
(
)
m
EI
m
EI
L
EI
M
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
=
2
0
2
1
4
2
2
4
51
15
15
15
1
15
ϕ
ϕ
,
(
)
(
)
m
EI
m
EI
L
EI
M
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
=
1
1
2
0
4
2
2
4
15
51
15
15
1
51
ϕ
ϕ
,
m
EI
M
M
⋅
=
+
3
1
51
1
15
,
(
)
(
)
0
0
2
0
4
3
2
4
32
23
23
23
1
23
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
m
EI
L
EI
M
ϕ
ϕ
,
(
)
(
)
0
0
2
0
4
3
2
4
23
32
23
23
1
32
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
m
EI
L
EI
M
ϕ
ϕ
,
0
1
23
1
32
=
+
M
M
.
METODA PRZEMIESZCZEŃ – rama ortogonalna 2
10.02.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
4
4.3
ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA
1
2
=
ϕ
przy założeniu (
0
1
=
=
=
II
I
δ
δ
ϕ
,
0
=
F
)
W tym stanie obciążenia do wzorów transformacyjnych podstawiamy:
,
1
2
2
2
23
2
21
=
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
pozostałe
,
0
2
=
ij
ϕ
,
0
=
ij
ψ
0
=
o
ij
M
,
co oznacza, że korzystamy ze wzorów:
(
)
2
2
2
ji
ij
ij
ij
ij
ij
ij
b
a
L
EI
M
ϕ
ϕ
⋅
+
⋅
=
,
(
)
2
2
2
ij
ji
ji
ji
ij
ij
ji
b
a
L
EI
M
ϕ
ϕ
⋅
+
⋅
=
Momenty brzegowe wynoszą:
(
)
(
)
m
EI
m
EI
L
EI
M
⋅
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
5
.
0
1
2
0
4
4
2
4
21
12
12
12
2
12
ϕ
ϕ
,
(
)
(
)
m
EI
m
EI
L
EI
M
⋅
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
1
0
2
1
4
4
2
4
12
21
21
21
2
21
ϕ
ϕ
,
m
EI
M
M
⋅
=
+
5
.
1
2
21
2
12
,
(
)
(
)
m
EI
m
EI
L
EI
M
⋅
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
3333
.
1
0
2
1
4
3
2
4
32
23
23
23
2
23
ϕ
ϕ
,
(
)
(
)
m
EI
m
EI
L
EI
M
6667
.
0
1
2
0
4
3
2
4
23
32
23
23
2
32
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
ϕ
ϕ
,
m
EI
M
M
⋅
=
+
2
2
32
2
23
,
( )
( )
0
0
3
2
3
3
14
14
14
2
14
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
m
EI
L
EI
M
ϕ
,
0
1
41
=
M
,
0
2
41
2
14
=
+
M
M
,
(
)
(
)
0
0
2
0
4
2
2
4
51
15
15
15
2
15
=
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
=
m
EI
L
EI
M
ϕ
ϕ
,
(
)
(
)
0
0
2
0
4
2
2
4
15
51
15
15
2
51
=
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
=
m
EI
L
EI
M
ϕ
ϕ
,
0
2
51
2
15
=
+
M
M
.
4.4
ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO OD
OBCIĄŻENIA
1
=
I
δ
przy założeniu (
0
2
1
=
=
=
=
F
II
δ
ϕ
ϕ
)
W tym stanie obciążenia do wzorów
transformacyjnych podstawiamy:
,
0
=
ij
ϕ
0
=
o
ij
M
oraz kąty obrotu cięciw prętów
( )
ψ
ij
I
określone od przemieszczenia
δ
I
=
1,
co oznacza, że korzystamy ze wzorów o postaci
I
ij
ij
ij
ij
I
ij
L
EI
c
M
ψ
⋅
⋅
−
=
W celu wyznaczenia szukanych kątów obrotu
cięciw prętów oraz przemieszczeń w miejscach
przyłożenia sił równoważnych rozpatrujemy
przegubowy model układu podstawowego
(rysunek obok) i wymuszamy przesunięcie o wartości 1 w miejscu i kierunku dodanej więzi
I. Jak
widać na rysunku wartości wzajemnych przesunięć końców prętów wynoszą:
1
15
=
∆
I
,
0
14
=
∆
I
,
0
23
=
∆
I
,
1
12
−
=
∆
I
(znak „
−
” gdyż obrót pręta 1-2 nastąpił w lewo).
Wartości kątów obrotów cięciw wynoszą:
m
L
I
I
2
1
15
15
15
=
∆
=
ψ
,
0
14
14
14
=
∆
=
L
I
I
ψ
,
0
23
23
23
=
∆
=
L
I
I
ψ
,
m
L
I
I
4
1
12
12
12
−
=
∆
=
ψ
.
Momenty brzegowe wynoszą:
I
I
M
m
EI
m
m
EI
L
EI
M
21
2
12
12
12
12
375
.
0
4
1
4
6
6
=
⋅
=
−
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
ψ
,
2
21
12
75
.
0
m
EI
M
M
I
I
⋅
=
+
,
4
3
2
P
6
P
5
0
5
4
3
1
=
=
=
=
I
I
I
I
δ
δ
δ
δ
I
1
δδδδ
=
αααα
P
1
P
4
P
2
5
1
1
=
2
I
δ
6
=
I
δ
P
3
METODA PRZEMIESZCZEŃ – rama ortogonalna 2
10.02.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
5
I
I
M
m
EI
L
EI
M
32
23
23
23
23
0
0
3
6
6
=
=
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
ψ
,
0
32
23
=
+
I
I
M
M
,
0
0
3
2
3
3
14
14
14
14
=
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
m
EI
L
EI
M
I
ψ
,
0
41
=
I
M
,
0
41
14
=
+
I
I
M
M
I
I
M
m
EI
m
m
EI
L
EI
M
15
2
15
15
15
51
2
3
2
1
2
6
6
=
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
ψ
,
2
51
15
3
m
EI
M
M
I
I
⋅
−
=
+
.
Wartości przemieszczeń w miejscach przyłożenia sił równoważnych wynoszą:
0
1
=
I
δ
,
1
2
=
I
δ
,
0
6
5
4
3
=
=
=
=
I
I
I
I
δ
δ
δ
δ
.
Zmiany długości translacyjnych więzi sprężystych (tu skrócenie) równe są odpowiednio
0
1
=
I
s
δ
i
8
.
0
8
.
0
1
cos
1
2
−
=
⋅
−
=
⋅
−
=
α
δ
I
s
(rzut przesunięcia węzła 4 na kierunek tej więzi,
„
−
„ oznacz skrócenie).
4.5
ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO OD
OBCIĄŻENIA
1
=
II
δ
przy założeniu (
0
2
1
=
=
=
=
F
I
δ
ϕ
ϕ
)
W tym stanie obciążenia do wzorów
transformacyjnych podstawiamy:
,
0
=
ij
ϕ
0
=
o
ij
M
oraz kąty obrotu cięciw
prętów
( )
II
ij
ψ
określone od
przemieszczenia
1
=
II
δ
,
co oznacza, że korzystamy ze
wzorów o postaci
II
ij
ij
ij
ij
II
ij
L
EI
c
M
ψ
⋅
⋅
−
=
W celu wyznaczenia szukanych
kątów obrotu cięciw prętów oraz przemieszczeń w miejscach przyłożenia sił równoważnych i
wymuszamy przesunięcie o wartości 1 w miejscu i kierunku dodanej więzi
II. Jak widać na rysunku
wartości wzajemnych przesunięć końców prętów wynoszą:
1
15
−
=
∆
II
,
0
14
=
∆
II
,
0
23
=
∆
II
,
0
12
=
∆
II
.
Wartości kątów obrotów cięciw wynoszą:
m
L
II
II
2
1
15
15
15
−
=
∆
=
ψ
,
0
14
14
14
=
∆
=
L
II
II
ψ
,
0
23
23
23
=
∆
=
L
II
II
ψ
,
0
12
12
12
=
∆
=
L
II
II
ψ
.
Momenty brzegowe wynoszą:
( )
II
II
M
m
EI
L
EI
M
21
12
12
12
12
0
0
4
6
6
=
=
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
ψ
,
0
21
12
=
+
II
II
M
M
,
II
II
M
m
EI
L
EI
M
32
23
23
23
23
0
0
3
6
6
=
=
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
ψ
,
0
32
23
=
+
II
II
M
M
,
0
0
3
2
3
3
14
14
14
14
=
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
m
EI
L
EI
M
II
ψ
,
0
41
=
II
M
,
0
41
14
=
+
II
II
M
M
II
II
M
m
EI
m
m
EI
L
EI
M
15
2
15
15
15
51
2
3
2
1
2
6
6
=
⋅
=
−
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
ψ
,
2
51
15
3
m
EI
M
M
II
II
⋅
=
+
.
Wartości przemieszczeń w miejscach przyłożenia sił równoważnych wynoszą:
1
1
=
II
δ
,
0
6
5
4
3
2
=
=
=
=
=
II
II
II
II
II
δ
δ
δ
δ
δ
.
Zmiany długości translacyjnych więzi sprężystych równe są odpowiednio
1
1
−
=
II
s
δ
i
0
2
=
II
s
δ
.
4
3
2
P
6
P
5
0
5
4
3
2
=
=
=
=
II
II
II
II
δ
δ
δ
δ
P
1
P
4
P
2
5
1
1
=
1
II
δ
6
=
II
δ
II
1
δδδδ
=
P
3
METODA PRZEMIESZCZEŃ – rama ortogonalna 2
10.02.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
6
5.
UKŁAD RÓWNAŃ KANONICZNYCH
5.1
POSTAĆ OGÓLNA UKŁADU RÓWNAŃ
.
0
,
0
,
0
,
0
,
,
2
2
1
1
,
,
2
2
1
1
2
2
2
2
22
1
21
1
1
1
2
12
1
11
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
IIo
II
II
II
I
I
II
II
II
Io
II
II
I
I
I
I
I
I
o
II
II
I
I
o
II
II
I
I
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
5.2
OBLICZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW UKŁADU RÓWNAŃ
=
+
+
+
=
+
=
∑
0
1
15
1
14
1
12
1
1
1
11
M
M
M
k
M
k
j
j
ϕ
m
EI
m
EI
⋅
=
⋅
+
+
5
)
2
2
1
(
,
k
M
12
12
2
=
=
m
EI
⋅
5
.
0
,
=
+
+
=
=
∑
I
I
I
j
I
j
I
M
M
M
M
k
15
14
12
1
1
2
2
125
.
1
)
5
.
1
0
375
.
0
(
m
EI
m
EI
⋅
−
=
⋅
−
+
,
=
+
+
=
=
∑
II
II
II
j
II
j
II
M
M
M
M
k
15
14
12
1
1
2
2
5
.
1
)
5
.
1
0
0
(
m
EI
m
EI
⋅
=
⋅
+
+
,
=
−
+
+
=
−
=
∑
o
o
o
o
o
j
o
j
o
M
M
M
M
M
M
k
1
15
14
12
1
1
1
Fm
Fm
⋅
−
=
⋅
−
+
+
3542
.
1
)
2
0833
.
0
5625
.
0
0
(
,
k
M
21
21
1
=
=
=
⋅
m
EI
5
.
0
12
k
,
=
+
+
+
=
+
=
∑
ϕ
ϕ
2
2
23
2
21
2
2
2
22
0
k
M
M
k
M
k
j
j
m
EI
m
EI
⋅
=
⋅
+
+
3333
.
4
)
2
3333
.
1
1
(
,
=
+
=
=
∑
I
I
j
I
j
I
M
M
M
k
23
21
2
2
(
)
2
2
375
.
0
0
375
.
0
m
EI
m
EI
⋅
=
⋅
+
,
=
+
=
=
∑
II
II
j
II
j
II
M
M
M
k
23
21
2
2
(
)
0
0
0
2
=
⋅
+
m
EI
,
=
+
+
=
−
=
∑
0
23
21
2
2
2
o
o
o
j
o
j
o
M
M
M
M
k
(
)
Fm
Fm
⋅
−
=
⋅
−
375
.
0
375
.
0
0
,
(
)
=
⋅
+
−
=
∑
I
ij
ij
ji
ij
I
M
M
k
ψ
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
I
I
I
I
M
M
M
M
M
M
M
M
23
1
32
1
23
15
1
51
1
15
14
1
41
1
14
12
1
21
1
12
ψ
ψ
ψ
ψ
(
)
2
2
125
.
1
5
.
1
375
.
0
0
5
.
0
3
0
25
.
0
5
.
1
m
EI
m
EI
m
m
EI
m
m
EI
⋅
−
=
⋅
−
=
+
⋅
⋅
−
+
−
⋅
⋅
−
=
= k
I
1
,
(
)
=
⋅
+
−
=
∑
I
ij
ij
ji
ij
I
M
M
k
ψ
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
I
I
I
I
M
M
M
M
M
M
M
M
23
2
32
2
23
15
2
51
2
15
14
2
41
2
14
12
2
21
2
12
ψ
ψ
ψ
ψ
2
375
.
0
0
0
0
25
.
0
5
.
1
m
EI
m
m
EI
⋅
=
+
+
+
−
⋅
⋅
−
=
=
I
k
2
,
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
=
∑
∑
I
s
S
I
s
s
I
ij
ij
I
ji
I
ij
I
I
k
M
M
k
δ
δ
ψ
δ
,
(
)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
I
s
I
s
I
s
I
s
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
k
k
M
M
M
M
M
M
M
M
2
2
2
1
1
1
23
32
23
15
51
15
14
41
14
12
21
12
δ
δ
δ
δ
ψ
ψ
ψ
ψ
δ
δ
3
3
2
2
9675
.
2
0
8
.
0
8
.
0
2
0
5
.
0
3
0
25
.
0
75
.
0
m
EI
m
EI
m
m
EI
m
m
EI
⋅
=
+
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
−
−
+
−
⋅
⋅
−
=
,
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
=
∑
∑
II
s
S
I
s
s
I
ij
ij
II
ji
II
ij
II
I
k
M
M
k
δ
δ
ψ
δ
,
(
)
(
)
(
)
(
)
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
I
II
II
I
II
II
I
II
II
I
II
II
M
M
M
M
M
M
M
M
23
32
23
15
51
15
14
41
14
12
21
12
ψ
ψ
ψ
ψ
II
s
I
s
II
s
I
s
k
k
2
2
2
1
1
1
δ
δ
δ
δ
δ
δ
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
3
2
5
.
1
0
0
0
5
.
0
3
0
0
m
EI
m
m
EI
⋅
−
=
+
+
+
⋅
⋅
−
+
=
,
METODA PRZEMIESZCZEŃ – rama ortogonalna 2
10.02.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
7
(
)
=
⋅
⋅
−
⋅
+
−
=
∑
∑
p
I
p
p
I
ij
ij
o
ji
o
ij
Io
P
M
M
k
δ
ψ
(
)
(
)
(
)
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
I
o
o
I
o
o
I
o
o
I
o
o
M
M
M
M
M
M
M
M
23
32
23
15
51
15
14
41
14
12
21
12
)
(
ψ
ψ
ψ
ψ
+
−
−
−
−
=
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
0
0
0
0
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
I
I
I
I
I
I
P
P
P
P
P
P
δ
δ
δ
δ
δ
δ
F
F
F
F
F
F
F
25
.
0
0
5
.
0
0
5
.
0
0
5
.
0
0
5
.
0
1
25
.
0
0
25
.
0
−
=
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
,
(
)
=
⋅
+
−
=
∑
II
ij
ij
ji
ij
II
M
M
k
ψ
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
II
II
II
II
M
M
M
M
M
M
M
M
23
1
32
1
23
15
1
51
1
15
14
1
41
1
14
12
1
21
1
12
ψ
ψ
ψ
ψ
2
5
.
1
0
5
.
0
3
0
0
m
EI
m
m
EI
⋅
=
+
−
⋅
⋅
−
+
=
=
II
k
1
,
(
)
=
⋅
+
−
=
∑
II
ij
ij
ji
ij
II
M
M
k
ψ
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
II
II
II
II
M
M
M
M
M
M
M
M
23
2
32
2
23
15
2
51
2
15
14
2
41
2
14
12
2
21
2
12
ψ
ψ
ψ
ψ
0
0
0
0
0
=
+
+
+
=
=
II
k
2
,
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
=
∑
∑
II
s
S
I
s
s
II
ij
ij
I
ji
I
ij
I
II
k
M
M
k
δ
δ
ψ
δ
,
(
)
(
)
(
)
(
)
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
II
I
I
II
I
I
II
I
I
II
I
I
M
M
M
M
M
M
M
M
23
32
23
15
51
15
14
41
14
12
21
12
ψ
ψ
ψ
ψ
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
II
s
I
s
II
s
I
s
k
k
2
2
2
1
1
1
δ
δ
δ
δ
δ
δ
3
5
.
1
0
0
0
0
0
0
m
EI
⋅
−
=
+
+
+
+
+
II
I
k
,
=
,
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
=
∑
∑
II
s
S
II
s
s
II
ij
ij
II
ji
II
ij
II
II
k
M
M
k
δ
δ
ψ
δ
,
(
)
(
)
(
)
(
)
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
M
M
M
M
M
M
M
M
23
32
23
15
51
15
14
41
14
12
21
12
ψ
ψ
ψ
ψ
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
II
s
II
s
II
s
II
s
k
k
2
2
2
1
1
1
δ
δ
δ
δ
δ
δ
3
3
2
5
.
2
)
1
(
)
1
(
1
0
0
5
.
0
3
0
0
0
m
EI
m
EI
m
m
EI
⋅
=
−
⋅
−
⋅
⋅
+
+
+
−
⋅
−
+
+
,
(
)
=
⋅
⋅
−
⋅
+
−
=
∑
∑
p
II
p
p
I
ij
ij
o
ji
o
ij
IIo
P
M
M
k
δ
ψ
(
)
(
)
(
)
+
−
−
−
=
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
0
0
0
0
)
(
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
23
32
23
15
51
15
14
41
14
12
21
12
II
II
II
II
II
II
II
o
o
II
o
o
II
o
o
II
o
o
P
P
P
P
P
P
M
M
M
M
M
M
M
M
δ
δ
δ
δ
δ
δ
ψ
ψ
ψ
ψ
F
F
F
F
F
F
F
25
.
0
0
5
.
0
0
5
.
0
0
5
.
0
0
5
.
0
0
25
.
0
1
25
.
0
−
=
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
.
5.3
POSTAĆ SZCZEGÓŁOWA UKŁADU RÓWNAŃ I JEGO ROZWIĄZANIE
.
0
25
.
0
5
.
2
5
.
1
0
5
.
1
,
0
25
.
0
5
.
1
9675
.
2
375
.
0
125
.
1
,
0
375
.
0
0
375
.
0
3333
.
4
5
.
0
,
0
3542
.
1
5
.
1
125
.
1
5
.
0
5
2
3
2
1
2
2
3
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
=
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
=
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
F
m
EI
m
EI
m
EI
F
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
Fm
m
EI
m
EI
m
EI
Fm
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
II
I
II
I
II
I
II
I
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
ϕ
1
=
0.30182
EI
Fm
2
⋅
,
ϕ
2
=
0.03264
EI
Fm
2
⋅
,
δ
I
=
0.2204
EI
Fm
3
⋅
,
=
II
δ
0.051145
EI
Fm
3
⋅
.
6.
RZECZYWISTE SIŁY PRZEKROJOWE
6.1
MOMENTY BRZEGOWE I SIŁY W WIĘZIACH SPRĘŻYSTYCH
Momenty brzegowe
(znakowane wg umowy statycznej) określono w tabeli poniżej na
podstawie wzoru:
o
ij
II
II
ij
I
I
ij
ij
ij
ij
M
M
M
M
M
M
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
δ
δ
ϕ
ϕ
2
2
1
1
METODA PRZEMIESZCZEŃ – rama ortogonalna 2
10.02.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
8
Siły w więziach sprężystych:
Fm
EI
Fm
m
EI
k
S
0653
.
0
03264
.
0
2
2
2
2
=
⋅
=
⋅
=
ϕ
ϕ
ϕ
F
EI
Fm
m
EI
L
L
k
S
II
II
s
I
I
s
3526
.
0
)
0
2204
.
0
)
8
.
0
((
2
)
(
3
3
1
1
1
1
−
=
+
⋅
−
⋅
=
⋅
∆
+
⋅
∆
⋅
=
δ
δ
δ
δ
F
EI
Fm
m
EI
L
L
k
S
II
II
s
I
I
s
05115
.
0
))
05115
.
0
1
(
0
(
1
)
(
3
3
2
2
2
2
−
=
⋅
−
+
⋅
=
⋅
∆
+
⋅
∆
⋅
=
δ
δ
δ
δ
Momenty brzegowe można też wyznaczyć na podstawie wzorów transformacyjnych, po
uprzednim określeniu rzeczywistych wartości kątów obrotów cięciw prętów na podstawie związku:
α
α
α
δ
ψ
ψ
⋅
=
∑
ij
ij
i rzeczywistych wartości obrotów końców prętów na podstawie związku
i
ij
ϕ
ϕ
=
.
6.2
BRZEGOWE SIŁY TNĄCE I OSIOWE ORAZ REAKCJE I KONTROLA STATYCZNEJ
DOPUSZCZALNOŚCI ROZWIĄZANIA
Siły tnące i osiowe wyznaczamy z równań równowagi prętów i węzłów.
W tym celu układ dzielimy na pręty i węzły oraz obciążamy wydzielone elementy obciążeniem danym
i na brzegach siłami brzegowymi (określonymi już momentami i szukanymi siłami osiowymi i
tnącymi). Przedstawiono to na rysunku poniżej.
1
S
δ
2
S
δ
2
S
ϕ
Τ
1
= 0.30182
Τ
Τ
Τ
=
0.03264
Τ
Τ
Τ
= 0.2204
Τ
Τ
= 0.05115
Mnożnik
Fm
2
/EI
Fm
2
/EI
Fm
3
/EI
Fm
3
/EI
M
1
M1*j
1
M
2
M2*j
2
M
I
MI*d
I
M
II
MII*d
II
M
O
M
Mnożnik EI/m
Fm
EI/m
Fm
EI/m
2
Fm
EI/m
2
Fm
Fm
Fm
M
51
= 1.00 0.30182
0
0.0000
-1.5
-0.3306
1.5
0.0767
-0.0833
-0.0354
M
15
= 2.00 0.60364
0
0.0000
-1.5
-0.3306
1.5
0.0767
0.0833
0.4331
M
12
= 1.00 0.30182
0.50
0.0163
0.375
0.0827
0
0.0000
0
0.4008
M
21
= 0.50 0.15091
1.00
0.0326
0.375
0.0827
0
0.0000
0
0.2662
M
14
= 2.00 0.60364
0
0.0000
0
0.0000
0
0.0000
0.5625
1.1661
M
23
=
0
0.00000 1.3333
0.0435
0
0.0000
0
0.0000
-0.3750
-0.3315
M
32
=
0
0.00000 0.6667
0.0218
0
0.0000
0
0.0000
0.3750
0.3968
METODA PRZEMIESZCZEŃ – rama ortogonalna 2
10.02.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
9
Na rysunku zaznaczono liniami przerywanymi włókna wyróżnione do znakowania momentów
zginających.
Dla sił działających na każdy element wypisujemy 3 równania równowagi. Z sum momentów
względem końców prętów wyznaczamy siły tnące a z pozostałych równań wyznaczamy siły osiowe i
część z nich stanowi kontrolę statycznej dopuszczalności. W obliczeniach wykorzystujemy obliczone
już wartości momentów oraz wynikające z warunków podparcia wartości sił osiowych i tnących.
PRĘT 5-1
( )
0
2
2
2
2
15
15
51
5
=
⋅
+
⋅
+
+
=
∑
m
q
m
V
M
M
M
⇒
F
m
m
F
m
Fm
m
m
m
q
m
M
M
V
⋅
−
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
−
=
⋅
⋅
−
+
−
=
4488
.
0
4
4
25
.
0
2
0354
.
0
4331
.
0
2
2
4
2
2
2
51
15
15
,
( )
0
2
2
2
2
51
15
51
1
=
⋅
−
⋅
+
+
=
∑
m
q
m
V
M
M
M
⇒
F
m
m
F
m
Fm
m
m
m
q
m
M
M
V
⋅
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
−
=
⋅
⋅
+
+
−
=
0512
.
0
4
4
25
.
0
2
0354
.
0
4331
.
0
2
2
4
2
2
2
51
15
51
,
0
15
51
=
+
−
=
∑
N
N
X
⇒
15
51
N
N
=
(związek wykorzystamy dalej).
PRĘT 1-2
0
4
21
21
12
1
=
⋅
+
+
=
∑
m
V
M
M
M
⇒
F
Fm
m
m
M
M
V
⋅
−
=
⋅
+
−
=
+
−
=
1667
.
0
4
2662
.
0
4008
.
0
4
21
12
21
,
0
4
12
21
12
2
=
⋅
+
+
=
∑
m
V
M
M
M
⇒
F
Fm
m
m
M
M
V
⋅
−
=
⋅
+
−
=
+
−
=
1667
.
0
4
2662
.
0
4008
.
0
4
21
12
12
,
0
21
12
=
+
−
=
∑
N
N
X
⇒
21
12
N
N
=
(związek wykorzystamy dalej).
PRĘT 4-1
0
5
.
1
3
14
41
14
4
=
⋅
+
⋅
+
+
=
∑
m
F
m
V
M
M
M
⇒
F
F
Fm
m
Fm
m
m
M
M
V
⋅
−
=
⋅
−
⋅
+
−
=
⋅
−
+
−
=
8887
.
0
5
.
0
3
0
1661
.
1
3
5
.
1
3
41
14
14
,
0
5
.
1
3
41
41
14
1
=
⋅
−
⋅
+
+
=
∑
m
F
m
V
M
M
M
⇒
F
F
Fm
m
Fm
m
m
M
M
V
⋅
=
⋅
+
⋅
+
−
=
⋅
+
+
−
=
1113
.
0
5
.
0
3
0
1661
.
1
3
5
.
1
3
41
14
41
,
0
14
41
=
+
−
=
∑
N
N
X
⇒
41
14
N
N
=
(związek wykorzystamy dalej).
PRĘT 2-3
0
5
.
1
3
32
32
23
2
=
⋅
+
⋅
+
+
=
∑
m
F
m
V
M
M
M
⇒
F
F
Fm
m
Fm
m
m
M
M
V
⋅
−
=
⋅
−
⋅
+
−
−
=
⋅
−
+
−
=
5218
.
0
5
.
0
3
3968
.
0
3315
.
0
3
5
.
1
3
32
23
32
,
0
5
.
1
3
23
32
23
3
=
⋅
−
⋅
+
+
=
∑
m
F
m
V
M
M
M
⇒
F
F
Fm
m
Fm
m
m
M
M
V
⋅
=
⋅
+
⋅
+
−
−
=
⋅
+
+
−
=
4782
.
0
5
.
0
3
3968
.
0
3315
.
0
3
5
.
1
3
32
23
23
,
0
32
23
=
+
−
=
∑
N
N
X
⇒
23
32
N
N
=
(związek wykorzystamy dalej).
WĘZEŁ 2
0
)
0653
.
0
)
3315
.
0
(
2662
.
0
(
2
23
21
2
=
⋅
−
−
−
−
=
−
−
−
=
∑
Fm
S
M
M
M
ϕ
(spełnione tożsamościowo)
0
)
1667
.
0
(
23
23
21
=
+
⋅
−
−
=
+
−
=
∑
N
F
N
V
Y
⇒
F
N
⋅
−
=
1667
.
0
23
,
0
4782
.
0
21
23
21
=
⋅
−
−
=
−
−
=
∑
F
N
V
N
X
⇒
F
N
⋅
−
=
4782
.
0
21
,
Z trzeciego równania dla pręta 1-2 wyznaczamy
F
N
N
⋅
−
=
=
4782
.
0
21
12
,
Z trzeciego równania dla pręta 2-3 wyznaczamy
F
N
N
⋅
−
=
=
1667
.
0
23
32
,
METODA PRZEMIESZCZEŃ – rama ortogonalna 2
10.02.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
10
WĘZEŁ 1
0
)
2
4331
.
0
1661
.
1
4008
.
0
(
15
14
12
1
=
⋅
+
−
−
−
=
+
−
−
−
=
∑
Fm
M
M
M
M
M
(spełnione tożsamościowo)
0
F
(-0.1667))
-
4488
.
0
(
14
12
14
15
=
⋅
−
−
=
−
−
=
∑
N
V
N
V
Y
⇒
F
N
⋅
−
=
2821
.
0
14
0
)
8887
.
0
(
4782
.
0
15
14
12
15
=
⋅
−
−
⋅
−
−
=
−
+
−
=
∑
F
F
N
V
N
N
X
⇒
F
N
⋅
=
4105
.
0
15
,
Z trzeciego równania dla pręta 5-1 wyznaczamy
F
N
N
⋅
=
=
4105
.
0
15
51
.
Z trzeciego równania dla pręta 1-2 wyznaczamy
F
N
N
⋅
−
=
=
2821
.
0
14
41
.
WĘZEŁ PODPOROWY 3
0
3968
.
0
3
32
3
3
=
⋅
−
=
−
=
∑
Fm
M
M
M
M
⇒
Fm
M
⋅
=
3968
.
0
3
0
F
)
1667
.
0
(
3
32
3
=
⋅
−
−
−
=
−
−
=
∑
V
N
V
Y
⇒
F
1667
.
0
3
⋅
=
V
,
0
)
5218
.
0
(
3
32
3
=
⋅
−
−
=
+
=
∑
F
H
V
H
X
⇒
F
H
⋅
=
5218
.
0
3
,
WĘZEŁ PODPOROWY 4
0
F
)
2821
.
0
(
8
.
0
3526
.
0
cos
41
1
=
⋅
−
−
⋅
−
=
−
⋅
=
∑
N
S
Y
α
δ
(spełnione tożsamościowo),
0
)
6
.
0
3526
.
0
1113
.
0
(
sin
4
1
41
4
=
⋅
⋅
−
+
=
⋅
−
+
=
∑
F
H
S
V
H
X
α
δ
⇒
F
H
⋅
=
1003
.
0
4
,
WĘZEŁ PODPOROWY 5
0
0354
.
0
5
51
5
5
=
⋅
−
=
−
=
∑
Fm
M
M
M
M
⇒
Fm
M
⋅
=
0354
.
0
5
,
0
4105
.
0
5
51
5
=
⋅
+
=
+
=
∑
F
H
N
H
X
⇒
F
H
⋅
−
=
4105
.
0
5
,
0
0512
.
0
5
2
5
=
⋅
+
=
+
=
∑
F
V
S
V
Y
δ
⇒
F
V
⋅
−
=
0512
.
0
5
.
Brzegowe siły tnące można też wyznaczyć na podstawie wzorów transformacyjnych analogicznie
jak momenty brzegowe jednak po uprzednim wyznaczeniu wartości brzegowych sił tnących w układzie
podstawowym od obciążenia danego
o
ij
V
(analogicznie jak
o
ij
M
.
6.3
MOMENTY ZGINAJĄCE
Otrzymane z obliczeń wartości momentów brzegowych są momentami statycznymi
znakowanymi zgodnie z zasadą: prawoskrętny „+”, lewoskrętny „-”. Nie są, więc bezpośrednio
momentami zginającymi, gdyż momenty zginające znakujemy zgodnie z zasadą: „+”, gdy rozciąga
włókna wyróżnione a „-” gdy rozciąga włókna przeciwne niż wyróżnione, czyli gdy ściska włókna
wyróżnione. Odpowiedniość brzegowych momentów statycznych i momentów zginających na
końcach prętów zilustrowano na szkicach poniżej.
Momenty statyczne
dodatnie
Moment rozci
ą
ga włókna
przeciwne, wi
ę
c
wytrzymało
ś
ciowo jest
ujemny
Moment rozci
ą
ga włókna
wyró
ż
nione, wi
ę
c
wytrzymało
ś
ciowo jest
dodatni
ij
M
ji
M
i
j
ij
zgin
ij
ij
i
M
M
M
=
=
,
,
ji
zgin
ji
ij
j
M
M
M
−
=
=
,
,
ij
M
ji
M
i
j
Momenty statyczne
dodatnie
Moment rozci
ą
ga włókna
wyró
ż
nione, wi
ę
c
wytrzymało
ś
ciowo jest
dodatni
Moment rozci
ą
ga włókna
przeciwne, wi
ę
c
wytrzymałosciowo jest
ujemny
ij
zgin
ij
ij
i
M
M
M
−
=
=
,
,
ji
zgin
ji
ij
j
M
M
M
=
=
,
,
Obliczając momenty zginające (
,
,ij
i
M
ij
j
M
,
) należy oczywiście uwzględniać znaki momentów
statycznych (
,
ij
M
ji
M
).
Uwzględniając powyższe zasady określimy momenty zginające w przekrojach poszczególnych prętów.
METODA PRZEMIESZCZEŃ – rama ortogonalna 2
10.02.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
11
q = 0.25 F/m
5
M
51
M
15
2m
V
51
V
15
1
F
4
M
41
=0
V
14
M
14
V
41
1
.5
m
1
1
.5
m
3
M
32
M
23
V
23
V
32
2
1
.5
m
1
.5
m
F
PRĘT 5-1
=
=
51
51
,
5
M
M
Fm
166
.
0
,
=
−
=
15
51
,
1
M
M
Fm
334
.
0
−
Pręt jest obciążony równomiernie, więc wykres momentów jest parabolą.
Aby ją narysować niezbędna jest znajomość trzeciej rzędnej np. w środku rozpiętości pręta
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
+
=
4
2
2
51
51
51
51
51
51
,
L
L
q
L
V
M
M
S
Fm
m
m
m
F
m
F
Fm
1092
.
0
5
.
0
1
/
25
.
0
1
0512
.
0
0354
.
0
−
=
⋅
⋅
−
⋅
+
−
.
PRĘT 1-2
=
=
12
12
,
1
M
M
Fm
4008
.
0
,
=
−
=
21
12
,
2
M
M
Fm
2662
.
0
−
.
PRĘT 4-1
=
=
41
41
,
4
M
M
0
,
=
−
=
14
41
,
1
M
M
Fm
1661
.
1
−
.
Pręt jest obciążony siłą skupioną. Należy, więc doliczyć rzędną pod siłą skupioną.
=
⋅
+
=
2
41
41
41
41
,
L
V
M
M
F
Fm
m
F
1666
.
0
5
.
1
1113
.
0
0
=
⋅
+
PRĘT 2-3
=
=
23
23
,
2
M
M
Fm
3315
.
0
−
,
=
−
=
32
23
,
3
M
M
Fm
3968
.
0
−
.
Pręt jest obciążony siłą skupioną. Należy, więc doliczyć rzędną pod siłą skupioną.
=
⋅
+
=
2
23
23
23
23
,
L
V
M
M
F
Fm
m
F
Fm
3858
.
0
5
.
1
4782
.
0
3315
.
0
=
⋅
+
−
6.4
WYKRESY SIŁ PRZEKROJOWYCH
Sporządzając wykresy momentów zginających należy pamiętać, że ich rzędne odkłada się po
stronie włókien rozciąganych, co jest równoznaczne z tym, że rzędne dodatnie odkłada się po stronie
włókien wyróżnionych a ujemne po stronie przeciwnej.
F
m
0
3
5
4
.
0
Fm
4331
.
0
F
m
1
0
9
2
.
0
Fm
4008
.
0
Fm
2662
.
0
Fm
3858
.
0
Fm
1666
.
0
Fm
3968
.
0
F
m
1
6
6
1
.
1
Fm
3315
.
0
Fm
0055
.
0
−
Fm
0272
.
0
Fm
0833
.
0
Fm
4998
.
0
−
F
m
0
6
7
3
.
0
F
4
4
8
8
.
0
F
1
6
6
7
.
0
F
1
6
6
7
.
0
F
8887
.
0
F
1113
.
0
F
4782
.
0
F
5218
.
0
F
0
5
1
2
.
0
F
4
1
0
5
.
0
F
1667
.
0
F
4
7
8
2
.
0
F
2821
.
0
METODA PRZEMIESZCZEŃ – rama ortogonalna 2
10.02.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
12
7.
KONTROLA KINEMATYCZNEJ DOPUSZCZALNOŚCI ROZWIĄZANIA
Aby mieć pewność, że rozwiązanie jest poprawne należy wykazać, że jest ono statycznie i
kinematycznie dopuszczalne.
Pierwszy warunek oznacza, że siły muszą spełniać równania równowagi. Warunek ten
został sprawdzony w trakcie wyznaczania sił tnących, osiowych i reakcji.
Sprawdzenie drugiego warunku polega na sprawdzeniu czy wynikające z rozwiązania
przemieszczenia w poszczególnych punktach spełniają warunki podparcia i ciągłości. Wystarczy
sprawdzenie tylu składowych przemieszczeń ile wynosi stopień statycznej niewyznaczalności.
Sprawdzenia kinematycznej dopuszczalności dokonamy wykorzystując wzory na przemieszczenia i
warunki wykorzystywane do budowy równań kanonicznych metody sił
rzecz
i
s
F
s
i
s
F
i
iF
k
S
S
dx
EI
M
M
,
∆
=
⋅
+
⋅
=
∆
∑
∫
Jak widać do dokonania sprawdzenia niezbędne jest wykonanie rozwiązań modelu statycznie
wyznaczalnego układu od sił jednostkowych przyłożonych w miejscach wyznaczanych przemieszczeń.
7.1
WYZNACZENIE STOPNIA STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI UKŁADU
6
1
3
9
3
=
⋅
−
=
−
=
t
e
n
h
7.2
PRZYJĘCIE MODELU STATYCZNIE WYZNACZALNEGO
EI
EI
X
4
X
5
X
1
X
3
X
2
X
6
7.3
ROZWIĄZANIA MODELU STATYCZNIE WYZNACZALNEGO OD OBCIĄŻEŃ
JEDNOSTKOWYCH
Rozwiązanie od
1
1
=
X
EI
EI
X
1
=1
1
M
1
0
2
=
δ
S
0
1
=
δ
S
0
2
=
ϕ
S
METODA PRZEMIESZCZEŃ – rama ortogonalna 2
10.02.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
13
Rozwiązanie od
1
2
=
X
1
m
S
/
3125
.
0
1
−
=
δ
0
2
=
δ
S
0
2
=
ϕ
S
Rozwiązanie od
1
3
=
X
1
m
S
/
3125
.
0
1
=
δ
0
2
=
δ
S
0
2
=
ϕ
S
Rozwiązanie od
1
4
=
X
1
0
2
=
δ
S
0
2
=
ϕ
S
m
S
/
3125
.
0
1
=
δ
Rozwiązanie od
1
5
=
X
E
I
2E
I
m
3
m
3
0
2
=
δ
S
0
2
=
ϕ
S
9375
.
0
1
−
=
δ
S
METODA PRZEMIESZCZEŃ – rama ortogonalna 2
10.02.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
14
Rozwiązanie od
1
6
=
X
m
2
0
2
=
δ
S
0
2
=
ϕ
S
25
.
1
1
−
=
δ
S
7.4
SPRAWDZENIE PRZEMIESZCZEŃ RZECZYWISTYCH W MIEJSCACH
PRZYJĘTYCH SIŁ HIPERSTATYCZNYCH.
Uwzględniamy, że
M
M
F
=
i
S
S
F
=
(
)
+
⋅
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
+
−
⋅
−
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∆
∫
Fm
EI
m
dx
EI
M
M
F
)
1
(
4331
.
0
)
1
(
)
1092
.
0
(
4
)
1
(
0354
.
0
6
2
1
1
(
)
+
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
+
Fm
EI
m
5
.
0
1666
.
0
75
.
0
)
4998
.
0
(
4
1
1661
.
1
2
6
5
.
1
(
)
0
00016
.
0
0
25
.
0
0833
.
0
4
5
.
0
1666
.
0
2
6
5
.
1
,
1
2
=
∆
≈
⋅
−
=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
rzecz
EI
Fm
Fm
EI
m
,
=
⋅
⋅
=
∆
∫
dx
EI
M
M
F
2
2
(
)
+
⋅
−
⋅
+
−
⋅
−
⋅
+
−
⋅
−
⋅
⋅
Fm
EI
m
)
5
.
0
(
1666
.
0
)
75
.
0
(
)
4998
.
0
(
4
)
1
(
1661
.
1
2
6
5
.
1
(
)
+
⋅
+
−
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
⋅
+
Fm
EI
m
0
)
25
.
0
(
0833
.
0
4
)
5
.
0
(
1666
.
0
2
6
5
.
1
(
)
=
−
⋅
−
+
⋅
+
−
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
⋅
+
3
/
2
)
/
3125
.
0
(
3526
.
0
0
)
5
.
0
(
0673
.
0
4
)
1
(
4008
.
0
6
4
m
EI
m
F
Fm
EI
m
0
00009
.
0
,
2
2
=
∆
≈
⋅
−
=
rzecz
EI
Fm
,
=
⋅
⋅
=
∆
∫
dx
EI
M
M
F
3
3
(
)
+
⋅
−
⋅
−
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
Fm
EI
m
)
1
(
2662
.
0
)
5
.
0
(
0673
.
0
4
0
6
4
(
)
+
⋅
−
⋅
+
−
⋅
⋅
+
−
⋅
−
⋅
⋅
+
Fm
EI
m
)
1
(
3858
.
0
)
1
(
0272
.
0
4
)
1
(
3315
.
0
6
5
.
1
(
)
+
⋅
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
+
−
⋅
⋅
⋅
+
Fm
EI
m
)
1
(
3968
.
0
)
1
(
)
0055
.
0
(
4
)
1
(
3858
.
0
6
5
.
1
=
⋅
−
+
3
/
2
/
3125
.
0
3526
.
0
m
EI
m
F
0
00016
.
0
,
3
2
=
∆
≈
⋅
rzecz
EI
Fm
,
=
⋅
⋅
=
∆
∫
dx
EI
M
M
F
4
4
(
)
+
⋅
−
⋅
−
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
Fm
EI
m
)
1
(
2662
.
0
)
5
.
0
(
0673
.
0
4
0
6
4
=
⋅
−
+
3
/
2
/
3125
.
0
3526
.
0
m
EI
m
F
EI
Fm
m
EI
Fm
k
S
EI
Fm
rzecz
2
2
2
,
2
2
03265
.
0
/
2
0653
.
0
03264
.
0
⋅
=
=
=
∆
≈
⋅
ϕ
ϕ
,
0
00001
.
0
)
03265
.
0
03264
.
0
(
2
2
,
4
4
≈
⋅
−
=
⋅
−
=
∆
−
∆
EI
Fm
EI
Fm
rzecz
F
,
=
⋅
⋅
=
∆
∫
dx
EI
M
M
F
5
5
(
)
+
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
m
Fm
EI
m
3
2662
.
0
5
.
1
0673
.
0
4
0
6
4
(
)
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
+
m
Fm
EI
m
5
.
1
3858
.
0
25
.
2
0272
.
0
4
3
3315
.
0
6
5
.
1
METODA PRZEMIESZCZEŃ – rama ortogonalna 2
10.02.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
15
(
)
+
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
m
Fm
EI
m
0
75
.
0
)
0055
.
0
(
4
5
.
1
3858
.
0
6
5
.
1
=
−
⋅
−
+
3
/
2
)
9375
.
0
(
3526
.
0
m
EI
F
0
00023
.
0
,
5
3
=
∆
≈
⋅
−
rzecz
EI
Fm
(
)
+
⋅
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
+
−
⋅
−
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∆
∫
Fm
EI
m
dx
EI
M
M
F
)
1
(
4331
.
0
)
1
(
)
1092
.
0
(
4
)
1
(
0354
.
0
6
2
6
6
=
−
⋅
−
+
3
/
2
)
25
.
1
(
3526
.
0
m
EI
F
EI
Fm
m
EI
F
k
S
EI
Fm
rzecz
3
3
2
2
,
6
3
05115
.
0
/
05115
.
0
05117
.
0
⋅
=
−
−
=
−
=
∆
≈
⋅
δ
δ
,
0
00002
.
0
)
05115
.
0
05117
.
0
(
3
2
,
6
6
≈
⋅
−
=
⋅
−
=
∆
−
∆
EI
Fm
EI
Fm
rzecz
F
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
MP rama ort1 id 309054 Nieznany
MP rama ort1 id 309054 Nieznany
MP CONF 3 35 id 308925 Nieznany
projekt 7 MP KL nr 7 id 832557 Nieznany
GW MP uczniowie % odp id 19790 Nieznany
MP 1987 029 0228 id 318265 Nieznany
MP przyk5 id 309053 Nieznany
MP 1987 029 0227 id 318264 Nieznany
MP 1988 025 0219 id 318266 Nieznany
mp cw2 id 309046 Nieznany
mp 5 id 574949 Nieznany
MP przyk1 id 309051 Nieznany
MP 1987 029 0228 id 318265 Nieznany
MP przyk5 id 309053 Nieznany
MP 1987 029 0227 id 318264 Nieznany
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
więcej podobnych podstron