MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
1
1.
ROZWIĄZANIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ
Ramę pokazaną na rysunku
rozwiązać metodą przemieszczeń i
dokonać kontroli rozwiązania.
1.1
WYZNACZENIE STOPNIA GEOMETRYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI
1.1.1
WYZNACZENIE LICZBY STOPNI SWOBODY OBROTU WĘZŁÓW
Podział układu na elementy,
dla których dane są wzory
transformacyjne przedstawiono na
rysunku obok
Z przyjętego podziału na elementy wynika, że:
–
dla pręta A-1 stosować będziemy wzory transformacyjne w postaci
–
(
)
o
A
A
A
A
A
A
M
L
EI
M
1
1
1
1
1
1
+
−
=
ϕ
ϕ
,
(
)
o
A
A
A
A
A
A
M
L
EI
M
1
1
1
1
1
1
+
−
=
ϕ
ϕ
, gdzie
0
1
=
A
ϕ
,
–
dla pręta B-1 stosować będziemy wzory transformacyjne w postaci
–
o
B
B
M
M
1
1
=
,
o
B
B
M
M
1
1
=
,
–
dla pręta 1-2 stosować będziemy wzory transformacyjne w postaci
–
(
)
o
M
L
EI
M
12
12
21
12
12
12
12
6
2
4
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
,
(
)
o
M
L
EI
M
21
12
12
21
12
12
21
6
2
4
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
,
–
dla pręta 2-C stosować będziemy wzór transformacyjny w postaci
–
(
)
o
C
C
C
C
C
C
M
L
EI
M
2
2
2
2
2
2
3
3
+
⋅
−
⋅
=
ψ
ϕ
,
0
2
=
C
M
Uwzględniając, że
0
1
=
A
ϕ
,
1
12
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
B
A
,
2
2
21
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
C
stwierdzamy, że
wszystkie kąty obrotu końców prętów określone są przez kąty obrotu 2 węzłów
1
ϕ
i
2
ϕ
, więc
–
liczba stopni swobody obrotu węzłów wynosi
n
ϕ
=
2 .
1
cm
L
1
1
=
∆
3m
4
m
4m
2m
1m
m
EI
k
/
2
=
ϕ
EI
EI
EI
EI
2
o
1
cm
2
cm
L
5
.
1
2
−
=
∆
2
cm
r
1
=
∆
o
5
.
1
3
/
3
m
EI
k
=
δ
s - s
w - s
s - p
s - s ; element "sztywno - sztywny"
s - p ; element "sztywno - przegubowy"
1, 2 ; w
ę
zły sztywne maj
ą
ce swobod
ę
obrotu,
ł
ą
cz
ą
ce ko
ń
ce przyj
ę
tych elementów
A
ł -
s
1
2
C
B
w - s ; element "wolny koniec - sztywny"
to jest element wspornikowy
ł - s ; element "ły
ż
wa - sztywny"
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
2
1.1.2
WYZNACZENIE LICZBY STOPNI SWOBODY PRZESUWU WĘZŁÓW
Model układu o węzłach przegubowych przedstawiono na rysunku poniżej. Więzi oznaczone
liniami przerywanymi odbierają stopnie swobody przesuwu, które zostały już uwzględnione we
współczynnikach wzorów transformacyjnych (dotyczy to elementu wspornikowego i elementu „ł-s”).
Liczba stopni swobody przesuwu modelu
przegubowego spełnia warunek
n
w
p
r
δ
≥ ⋅ − −
2
=2*8 - 7 - 7 = 2,
gdzie w - liczba węzłów,
p - liczba prętów,
r - liczba więzi podporowych.
Wynika stąd, że aby przegubowy
model układu był geometrycznie niezmienny
należy dodać, co najmniej 2 więzi.
Określając, w których węzłach i w jakich
kierunkach dodać te więzi, należy pamiętać, że
węzły połączone więziami pojedynczymi z
fundamentem (z punktami, które nie mają
możliwości przemieszczania się), jeśli mogą się
przemieszczać to tylko w kierunkach
prostopadłych do tych więzi. Inne połączenia nie
mogą powodować zmiany tych kierunków, mogą
natomiast powodować, że określone węzły w
ogóle nie mogą się przemieszczać.
W rozwiązywanym przykładzie węzły B, 1
i C połączone są z fundamentem więziami
pojedynczymi (podporę przegubowo-przesuwną
traktujemy jak więź pojedynczą). Jeśli więc
mogą się przemieszczać to tylko tak jak
pokazano strzałkami na rysunku obok.
Odbieramy możliwość przemieszczania się
jednego z tych węzłów (np. węzła C) przez
przyłożenie więzi elementarnej I o kierunku
możliwego przemieszczenia określonym
strzałkami. Powoduje to, że węzły B, 1 i 2 jeśli
mogą się przemieszczać to tylko tak jak
pokazano strzałkami na rysunku obok
Odbieramy możliwość przemieszczania się
jednego z tych węzłów (np. węzła 2) przez
przyłożenie więzi elementarnej II o kierunku
możliwego przemieszczenia określonym
strzałkami.
Układ przegubowy z dodanymi
więziami I i II pokazano na rysunku obok.
Jak widać na tym rysunku dodanie tych 2
więzi przekształciło przegubowy model
układu w układ geometrycznie niezmienny.
Oznacza to, że liczba stopni swobody
przesuwu układu danego wynosi
n
δ
=
2
.
Stopień geometrycznej
niewyznaczalności wynosi, więc
n
n
n
g
=
+
=
ϕ
δ
2 + 2.
A
1
2
C
B
A
1
2
C
B
I
II
C
Węzeł A nie może się przemieszczać,
gdyż połączony jest z fundamentem 2
więziami nie leżącymi na jednej prostej
B
A
1
C
I
B
A
1
2
Węzeł C po dodaniu więzi I nie może się
przemieszczać, gdyż połączony jest z
fundamentem 2 więziami nie leżącymi na
jednej prostej.
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
3
1.2
UKŁAD PODSTAWOWY I ODPOWIADAJĄCY MU UKŁAD RÓWNAŃ KANONICZNYCH
1.2.1
UKŁAD PODSTAWOWY
Układ podstawowy tworzymy
z układu danego przez dodanie n
ϕ
więzi rotacyjnych i
n
δ
więzi
translacyjnych (w naszym
przykładzie 2 więzi rotacyjne i 2
translacyjne), co przekształca dany
układ w układ geometrycznie
wyznaczalny pokazany na rysunku
obok.
Uwzględniając wprowadzone
oznaczenia, dane przemieszczenia
podpór i błędy montażu wynoszą:
02618
.
0
180
/
5
.
1
5
.
1
−
=
⋅
−
=
−
=
π
ϕ
o
A
,
m
cm
v
C
01
.
0
1
=
+
=
,
01745
.
0
180
/
1
1
1
=
⋅
=
+
=
∆
π
ϕ
,
m
cm
h
02
.
0
2
1
−
=
−
=
∆
,
m
cm
L
01
.
0
1
1
=
+
=
∆
,
m
cm
L
015
.
0
5
.
1
2
−
=
−
=
∆
.
1.2.2
UKŁAD RÓWNAŃ KANONICZNYCH
.
0
,
0
,
0
,
0
,
,
,
2
2
1
1
,
,
,
2
2
1
1
2
2
2
2
22
1
21
1
1
1
2
12
1
11
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
∆
∆
∆
∆
II
II
II
II
I
I
II
II
II
I
II
II
I
I
I
I
I
I
II
II
I
I
II
II
I
I
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
1.3
ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO
1.3.1
ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA DANEGO
Należy pamiętać, że poszczególne stany obciążeń rozpatrujemy rozłącznie, to jest, że stanowi
obciążeń danych towarzyszy
ϕ
ϕ
δ
δ
1
2
0
=
=
=
=
I
II
.
Momenty brzegowe od błędów montażu typu
ϕ
∆
i h
∆
wyznacza się tylko dla prętów, na
których te błędy występują na podstawie odpowiednich wzorów zależnych od typów prętów (dla
pozostałych prętów są równe zero):
0
3
)
2
3
2
3
(
2
)
2
3
(
2
)
(
1
1
12
12
=
∆
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
∆
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
∆
ϕ
ϕ
ξ
ϕ
m
EI
L
EI
M
o
,
m
EI
m
EI
L
EI
M
o
⋅
=
∆
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
∆
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
∆
011636
.
0
3
)
1
3
2
3
(
2
)
1
3
(
2
)
(
1
1
12
21
ϕ
ϕ
ξ
ϕ
,
m
EI
m
m
EI
h
L
EI
h
M
h
M
o
o
⋅
−
=
−
⋅
⋅
=
∆
⋅
⋅
=
∆
=
∆
013333
.
0
)
02
.
0
(
9
6
6
)
(
)
(
2
1
12
2
21
12
.
Momenty brzegowe od obrotów węzłów
i
ϕ
(końców prętów) wyznacza się tylko dla prętów, których
końców te obroty dotyczą, ze wzorów transformacyjnych (można też ze wzorów jak wyżej przy
założeniu, że są to błędy typu
ϕ
∆
usytuowane na końcu pręta to jest dla
0
=
ξ
lub
1
=
ξ
)
(
)
(
)
m
EI
m
EI
b
a
L
EI
M
A
A
A
A
o
A
⋅
−
=
⋅
−
−
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
=
005236
.
0
0
1
)
02618
.
0
(
1
5
)
(
1
1
1
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
,
(
)
(
)
m
EI
m
EI
b
a
L
EI
M
A
A
A
A
o
A
⋅
=
−
⋅
−
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
=
005236
.
0
)
02618
.
0
(
1
0
1
5
)
(
1
1
1
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
,
Momenty brzegowe od zmian długości prętów L
∆
i przesunięć podpór r
∆
mogą być różne od zera dla
wszystkich prętów i są określone wzorem
∆
⋅
⋅
−
=
∆
∆
ij
ij
ij
o
ij
L
EI
c
r
L
M
ψ
)
,
(
(
ij
ij
ij
L
/
∆
∆
∆
=
ψ
).
A
B
C
1
1
cm
L
1
1
=
∆
3m
4
m
4m
2m
1m
m
EI
k
/
2
1
=
EI
EI
EI
EI
2
o
1
cm
2
cm
L
5
.
1
2
−
=
∆
2
cm
r
1
=
∆
o
5
.
1
II
2
I
3
/
3
m
EI
k
=
δ
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
4
Do wyznaczenia przesunięć węzłów wykorzystamy układ związków kinematycznych, na które
składają się:
- związki między przemieszczeniami końców prętów a zmianami ich długości
(
)
(
)
pk
pk
k
pk
k
pk
p
pk
p
L
v
u
v
u
∆
=
⋅
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
α
α
α
α
sin
cos
sin
cos
,
- warunki uwzględniające, że kąty obrotu cięciw a więc i wzajemne poprzeczne przesunięcia ich
końców dla prętów: wspornikowego i sztywno łyżwa są równe zero
(
)
(
)
pk
k
pk
k
pk
p
pk
p
pk
v
u
v
u
α
α
α
α
cos
sin
cos
sin
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
∆
=0,
które można przyjąć w postaci
pk
pk
k
p
L
u
u
α
cos
⋅
∆
=
+
−
,
pk
pk
k
p
L
v
v
α
sin
⋅
∆
=
+
−
,
- oraz warunki brzegowe:
0
8
.
0
6
.
0
=
⋅
+
⋅
−
A
A
v
u
(stąd
A
A
u
v
⋅
=
75
.
0
),
0
=
=
I
C
u
δ
,
0
=
C
v
,
0
2
=
=
II
v
δ
.
Układ warunków oraz zestawienie wyników ich rozwiązania przedstawiono w poniższej tabeli
(zaznaczono też kolejność wyznaczania zmiennych i z których równań zostały obliczone)
BŁĘDY MONTAŻU
CHARAKTERYSTYKI PRĘTÓW
I PRZEMIESZCZENIA PODPÓR
Pręt
Lx
Ly
L
cos a
sin a
∆ϕ
1
∆
h
1
∆
L
ϕ
A
v
C
Lx/L
Ly/L
A-1
3
-4
5
0.6
-0.8
-0.015 -0.02618
B-1
3
0
3
1
0
1-2
3
0
3
1
0
0.01745 -0.02
0.01
2-C
4
0
4
1
0
0.01
Mnoż.
m
m
m
m
m
m
UKŁAD RÓWNAŃ
Pręt
u
A
v
A
u
B
v
B
u
1
v
1
u
2
v
2
u
C
v
C
0.75u
A
0
0
0.01 War. wyjściowe
1
A-1
-0.6
0.8
0.6
-0.8
=
∆
L
A1
2
B-1
-1
0
1
0
=
∆
L
B1
3
1-2
-1
0
1
0
=
∆
L
12
4
2-C
-1
0
1
0
=
∆
L
2C
5
A-1
-1
1
=
0.6
∆
L
A1
6
A-1
-1
1
=
-0.8
∆
L
A1
7
B-1
-1
1
=
0
-0.001 -0.00075 -0.01 0.001125 -0.01 0.001125
0
0
0
0.01 Zest. wyników
4
5
3
7
2
6
1
Kolejność obliczania zmiennych
z r.5
w.b.
z r.2
z r.7
z r.3
z r.6
z r.4
Z równania
C
A
B
1
2
Rozwiązanie powyższego układu równań rozpisano poniżej:
1) z równania 4
C
c
L
u
u
2
2
∆
=
+
−
po uwzględnieniu
0
=
C
u
otrzymujemy
0
2
2
=
∆
−
=
C
L
u
,
2) z równania 3
12
2
1
L
u
u
∆
=
+
−
po uwzględnieniu powyższej wartości
2
u
m
m
L
u
u
01
.
0
)
01
.
0
0
(
12
2
1
−
=
⋅
−
=
∆
−
=
,
3) z równania 2
1
1
B
B
L
u
u
∆
=
+
−
po uwzględnieniu powyższej wartości
1
u
m
m
L
u
u
B
B
01
.
0
)
0
01
.
0
(
1
1
−
=
−
−
=
∆
−
=
,
4) z równania 5
1
1
6
.
0
A
A
L
u
u
∆
⋅
=
+
−
po uwzględnieniu powyższej wartości
1
u
m
m
L
u
u
A
A
001
.
0
)
015
.
0
(
6
.
0
01
.
0
(
6
.
0
1
1
−
=
⋅
−
⋅
−
−
=
∆
⋅
−
=
,
5) z warunku brzegowego
m
m
u
v
A
A
00075
.
0
)
001
.
0
(
75
.
0
75
.
0
−
=
−
⋅
=
⋅
=
,
6) z równania 6
1
1
8
.
0
A
A
L
v
v
∆
⋅
−
=
+
−
po uwzględnieniu powyższej wartości
A
v
m
m
L
v
v
A
A
001125
.
0
))
015
.
0
(
8
.
0
00075
.
0
(
8
.
0
1
1
=
⋅
−
⋅
−
−
=
∆
⋅
−
=
,
7) z równania 7
0
1
=
+
−
v
v
B
m
v
v
B
001127
.
0
1
=
=
,
Pozostało równanie 1
m
C
v
u
v
u
T
o
A
A
⋅
⋅
−
=
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
−
α
25
8
.
0
6
.
0
8
.
0
6
.
0
1
1
, które jest spełnione
tożsamościowo, gdyż dla pręta A1 wykorzystano 2 równania w postaci 5 i 6.
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
5
Wykorzystując powyższe wartości obliczamy wzajemne poprzeczne przesunięcia końców prętów
(
)
(
)
pk
k
pk
k
pk
p
pk
p
pk
v
u
v
u
α
α
α
α
cos
sin
cos
sin
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
∆
i kąty obrotu cięciw
pk
pk
pk
L
/
∆
=
ψ
.
Obliczenia wykonano w tabeli poniżej
WYZNACZENIE
∆∆∆∆
ij
oraz
ψ
ψ
ψ
ψ
ij
OD PRZEMIESZCZEŃ
Pręt
u
A
v
A
u
B
v
B
u
1
v
1
u
2
v
2
u
C
v
C
∆
ij
ψ
ij
-0.001 -0.00075
-0.01
0.01125
-0.01
0.01125
0
0
0
0.01
Mnoż.
m
A-1
-0.8
-0.6
0.8
0.6
=
0.00000
0.00000
B-1
0
-1
0
1
=
0
0
1-2
0
-1
0
1
=
-0.01125 -0.00375
2-C
0
-1
0
1
=
0.01
0.0025
m
2
C
A
B
1
Momenty brzegowe od zmian długości prętów L
∆
i przesunięć podpór r
∆
∆
⋅
⋅
−
=
∆
∆
12
12
12
12
12
)
,
(
ψ
L
EI
c
r
l
M
o
=
−
⋅
⋅
−
=
)
0375
.
0
(
3
6
m
EI
m
EI
0075
.
0
)
,
(
21
r
l
M
o
∆
∆
=
.
∆
⋅
⋅
−
=
∆
∆
C
C
C
C
o
C
L
EI
c
r
l
M
2
2
2
2
2
)
,
(
ψ
=
⋅
⋅
−
=
0025
.
0
4
3
m
EI
m
EI
00375
.
0
−
.
Sumaryczne momenty brzegowe od przemieszczeń podpór i błędów montażu
=
=
∆
)
(
1
1
ϕ
o
A
o
A
M
M
m
EI /
005236
.
0
−
,
=
=
∆
)
(
1
1
ϕ
o
A
o
A
M
M
m
EI /
005236
.
0
,
=
+
∆
∆
o
A
o
A
M
M
1
1
0,
0
1
1
=
=
∆
∆
o
B
o
B
M
M
,
=
∆
∆
+
∆
+
∆
=
∆
)
,
(
)
(
)
(
12
12
12
12
r
L
M
h
M
M
M
o
o
o
o
ϕ
(0-
013333
.
0
+
m
EI /
)
0075
.
0
=
m
EI /
005833
.
0
−
,
=
∆
∆
+
∆
+
∆
=
∆
)
,
(
)
(
)
(
21
21
21
21
r
L
M
h
M
M
M
o
o
o
o
ϕ
(
011636
.
0
-
013333
.
0
+
m
EI /
)
0075
.
0
=
m
EI /
005803
.
0
,
=
+
∆
∆
o
o
M
M
21
12
m
EI /
00003
.
0
−
,
=
∆
∆
+
∆
+
∆
=
∆
)
,
(
)
(
)
(
2
2
2
2
r
L
M
h
M
M
M
o
C
o
C
o
C
o
C
ϕ
m
EI /
00375
.
0
−
,
0
2
=
∆
o
C
M
=
+
∆
∆
o
C
o
C
M
M
2
2
0
.
Przemieszczenie podpory C o
1
=
∆
r
nie powoduje wydłużenie więzi sprężystej translacyjnej,
więc siła osiowa w tej więzi
0
0
2
=
∆
S
.
1.3.2
ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD
ϕ
1
1
=
W tym stanie obciążenia uwzględniamy:
ϕ
1
1
=
,
0
,
0
2
=
=
=
II
I
δ
δ
ϕ
(
0
1
=
=
ij
ij
ψ
ψ
) i brak
obciążenia danego. Korzystamy, więc ze wzorów w postaci
(
)
1
1
1
ji
ij
ij
ij
ij
ij
ij
b
a
L
EI
M
ϕ
ϕ
⋅
+
⋅
=
,
do których podstawiamy
1
1
1
12
1
1
1
1
=
=
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
B
A
, i pozostałe
0
1
=
ij
ϕ
Momenty brzegowe wynoszą:
–
(
)
m
EI
m
EI
M
A
⋅
−
=
−
=
2
.
0
1
0
5
1
1
,
(
)
m
EI
m
EI
M
A
⋅
=
−
=
2
.
0
0
1
5
1
1
,
0
1
1
1
1
=
+
A
A
M
M
,
–
0
1
1
1
1
=
=
B
B
M
M
,
0
1
1
1
1
=
+
B
B
M
M
,
–
(
)
m
EI
m
EI
M
⋅
=
⋅
+
⋅
=
3
4
0
2
1
4
3
1
12
,
(
)
m
EI
m
EI
M
⋅
=
⋅
+
⋅
=
3
2
1
2
0
4
3
1
21
,
m
EI
M
M
⋅
=
+
2
1
21
1
12
,
–
( )
0
0
3
4
2
1
2
=
⋅
=
m
EI
M
C
,
0
1
2
=
C
M
,
0
1
2
1
2
=
+
C
C
M
M
,
–
m
EI
k
S
/
2
1
1
1
1
⋅
=
⋅
=
ϕ
ϕ
(
Moment
ϕ
S
działający na więź sprężystą traktowany tu jest jak moment brzegowy
–
pręta: prawoskrętny : „+”, lewoskrętny „–„.
–
Dodatnia reakcja więzi na węzeł jest lewoskrętna tak jak moment brzegowy pręta).
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
6
1.3.3
ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD
ϕ
2
1
=
W tym stanie obciążenia uwzględniamy:
1
2
=
ϕ
,
0
,
0
1
=
=
=
II
I
δ
δ
ϕ
(
0
2
=
=
ij
ij
ψ
ψ
) i brak obciążenia
danego. Momenty obliczamy ze wzorów
(
)
2
2
2
ji
ij
ij
ij
ij
ij
b
a
L
EI
M
ϕ
ϕ
⋅
+
⋅
=
,
do których podstawiamy
1
2
2
2
2
21
=
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
C
, i pozostałe
0
2
=
ij
ϕ
Momenty brzegowe wynoszą:
–
(
)
0
0
0
5
2
1
=
−
=
m
EI
M
A
,
(
)
0
0
0
5
2
1
=
−
=
m
EI
M
A
,
0
2
1
2
1
=
+
A
A
M
M
,
–
0
2
1
2
1
=
=
B
B
M
M
,
0
2
1
2
1
=
+
B
B
M
M
,
–
(
)
m
EI
m
EI
M
⋅
=
⋅
−
⋅
+
⋅
=
3
2
0
6
1
2
0
4
3
2
12
,
(
)
m
EI
m
EI
M
⋅
=
⋅
−
⋅
+
⋅
=
3
4
0
6
0
2
1
4
3
2
21
,
m
EI
M
M
⋅
=
+
2
2
21
2
12
,
–
(
)
m
EI
m
EI
M
C
⋅
=
⋅
−
⋅
=
5
.
1
0
3
1
3
4
2
2
2
,
0
2
2
=
C
M
,
m
EI
M
M
C
C
⋅
=
+
5
.
1
2
2
2
2
,
0
1
1
2
1
=
⋅
=
ϕ
k
S
( w tym stanie
0
1
=
ϕ
).
1.3.4
ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD
δ
I
=
1
W tym stanie obciążenia uwzględniamy:
0
2
1
=
=
ϕ
ϕ
(
0
=
=
ji
ij
ϕ
ϕ
),
0
=
II
δ
i brak obciążenia danego.
Od obciążenia przemieszczeniem
δ
I
=
1
należy określić, występujące w dalszych obliczeniach:
-
kąty obrotu cięciw elementów
I
ij
ψ
,
-
momenty brzegowe
I
ij
ij
ij
I
ij
L
EI
c
M
ψ
⋅
⋅
−
=
dla elementów przyjętych w punkcie 1.1.1,
-
wydłużenia translacyjnych więzi sprężystych i siły w tych więziach.
Potrzebne wielkości mogą być wyznaczone z wykorzystaniem biegunowych planów przesunięć
obróconych (patrz przykład 3) lub z wykorzystaniem analitycznych związków kinematycznych. Tu
wykorzystamy związki kinematyczne z punktu 1.3.1 uwzględniając dodatkowo
0
=
∆
pk
L
, skąd wynika,
ż
e dla prętów: sztywno-łyżwa i wspornikowego zamiast warunków
pk
pk
k
p
L
u
u
α
cos
⋅
∆
=
+
−
,
pk
pk
k
p
L
v
v
α
sin
⋅
∆
=
+
−
, mamy
k
p
u
u
=
,
k
p
v
v
=
,
co dla tych prętów daje warunki
1
u
u
u
B
A
=
=
,
1
v
v
v
B
A
=
=
.
Warunki brzegowe w rozpatrywanym przypadku mają postać
A
A
u
v
⋅
=
75
.
0
,
1
=
=
I
C
u
δ
,
0
=
C
v
,
0
2
=
=
II
v
δ
.
Układ warunków oraz zestawienie wyników ich rozwiązania przedstawiono w poniższej tabeli
(zaznaczono też kolejność wyznaczania zmiennych i z których równań zostały obliczone)
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
7
CHARAKTERYSTYKI PRĘTÓW
Pręt
Lx
Ly
L
cos a
sin a
Lx/L
Ly/L
A-1
3
-4
5
0.6
-0.8
B-1
3
0
3
1
0
1-2
3
0
3
1
0
2-C
4
0
4
1
0
Mnoż.
m
m
m
UKŁAD WARUNKÓW KINEMATYCZNYCH
Pręt
u
A
v
A
u
B
v
B
u
1
v
1
u
2
v
2
u
C
v
C
u
1
0.75u
A
u
1
v
1
v
A
0
1
0
War. wyjściowe
1
A-1
-0.6
0.8
0.6
-0.8
=
0
2
B-1
-1
0
1
0
=
0
3
1-2
-1
0
1
0
=
0
4
2-C
-1
0
1
0
=
0
1
0.75
1
0.75
1
0.75
1
0
1
0
Zest. wyników
4
5
3
7
2
6
1
Kolejność obliczania zmiennych
z r.5
w.b.
z r.2
z r.7
z r.3
z r.6
z r.4
Z równania
2
C
A
B
1
Rozwiązanie powyższego układu równań rozpisano poniżej.
1) z równania 4
0
2
=
+
−
c
u
u
po uwzględnieniu
1
=
C
u
otrzymujemy
1
2
=
u
,
2) z równania 3
0
2
1
=
+
−
u
u
po uwzględnieniu powyższej wartości
2
u mamy
1
1
=
u
,
3) z równania 2
0
1
=
+
−
u
u
B
1
1
=
=
u
u
B
, co już uwzględniono w warunkach wyjściowych,
4) z warunku, że
0
1
=
∆
A
1
1
=
=
u
u
A
,
5) z warunku brzegowego
75
.
0
75
.
0
=
⋅
=
A
A
u
v
,
6) z warunku, że
0
1
=
∆
A
75
.
0
1
=
=
A
v
v
,
7) z warunku, że
0
1
=
∆
B
75
.
0
1
=
=
v
v
B
,
Pozostało równanie 1, które jest spełnione
tożsamościowo
0
8
.
0
6
.
0
8
.
0
6
.
0
1
1
=
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
−
v
u
v
u
A
A
.
Wydłużenie translacyjnej więzi sprężystej
1
2
−
=
−
=
C
I
u
δ
.
Siła osiowa w tej więzi
3
2
2
1
2
/
3
m
EI
k
S
I
−
=
⋅
=
δ
.
Wzajemne poprzeczne przesunięcia końców prętów określone wzorem
(
)
(
)
pk
k
pk
k
pk
p
pk
p
pk
v
u
v
u
α
α
α
α
cos
sin
cos
sin
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
∆
,
kąty obrotu cięciw prętów
pk
pk
pk
L
/
∆
=
ψ
i momenty brzegowe
pk
pk
pk
pk
L
EI
c
M
ψ
⋅
⋅
−
=
obliczono w tabeli poniżej
WYZNACZENIE
∆∆∆∆
pk
,
ψ
ψ
ψ
ψ
pk
oraz momentów brzegowych od
δ
δ
δ
δ
I
= 1
Pręt
u
A
v
A
u
B
v
B
u
1
v
1
u
2
v
2
u
C
v
C
∆
pk
ψ
pk
E
pk
L
pk
c
pk
c
kp
M
pk
M
kp
1
0.75
1
0.75
1
0.75
1
0
1
0
1/m
EI
m
A-1
-0.8
-0.6
0.8
0.6
=
0
0
1
5
0
0
0
0
B-1
0
-1
0
1
=
0
0
1
3
0
0
0
0
1-2
0
-1
0
1
= -0.75
-0.25
1
3
6
6
0.5
0.5
2-C
0
-1
0
1
=
0
0
2
4
3
0
0
0
EI/m
2
2
C
A
B
1
Obliczenie momentów brzegowych rozpisano poniżej.
0
1
1
=
=
I
A
I
A
M
M
,
0
1
1
=
+
I
A
I
A
M
M
,
0
1
1
=
=
I
B
I
B
M
M
,
0
1
1
=
+
I
B
I
B
M
M
,
A
1
2
C
B
II
1
=
I
δ
C'
2'
1'
A'
B'
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
8
2
12
12
12
21
12
2
1
4
1
3
6
6
m
EI
m
m
EI
L
EI
M
M
I
I
I
⋅
=
−
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
=
ψ
,
2
21
12
m
EI
M
M
I
I
=
+
,
0
3
2
2
2
2
=
⋅
⋅
−
=
I
C
C
c
I
C
L
EI
M
ψ
,
0
2
=
I
C
M
,
0
2
2
=
+
I
C
I
C
M
M
.
1.3.5
ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD
δ
II
=
1
W tym stanie obciążenia uwzględniamy:,
0
2
1
=
=
ϕ
ϕ
(
0
=
=
ji
ij
ϕ
ϕ
),
0
=
I
δ
i brak obciążenia danego.
Od obciążenia przemieszczeniem
1
=
II
δ
należy określić, występujące w dalszych obliczeniach:
-
kąty obrotu cięciw elementów
ij
II
ij
II
ij
L
/
∆
=
ψ
,
-
momenty brzegowe
II
ij
ij
ij
ij
II
ij
L
EI
c
M
ψ
⋅
⋅
−
=
dla elementów przyjętych w punkcie 1.1.1,
-
wydłużenia translacyjnych więzi sprężystych i siły w tych więziach.
Potrzebne wielkości mogą być wyznaczone z wykorzystaniem biegunowych planów przesunięć
obróconych (patrz przykład 3) lub z wykorzystaniem analitycznych związków kinematycznych. Tu
wykorzystamy związki kinematyczne z punktu 1.3.4. Zmianie ulegają tylko warunki brzegowe, które
maja tu postać:
A
A
u
v
⋅
=
75
.
0
,
0
=
=
I
C
u
δ
,
0
=
C
v
,
1
2
=
=
II
v
δ
.
Układ warunków oraz zestawienie wyników ich rozwiązania przedstawiono w poniższej tabeli
CHARAKTERYSTYKI PRĘTÓW
Pręt
Lx
Ly
L
cos a
sin a
Lx/L
Ly/L
A-1
3
-4
5
0.6
-0.8
B-1
3
0
3
1
0
1-2
3
0
3
1
0
2-C
4
0
4
1
0
Mnoż.
m
m
m
UKŁAD WARUNKÓW KINEMATYCZNYCH
Pręt
u
A
v
A
u
B
v
B
u
1
v
1
u
2
v
2
u
C
v
C
u
1
0.75u
A
u
1
v
1
v
A
1
0
0
War. wyjściowe
1
A-1
-0.6
0.8
0.6
-0.8
=
0
2
B-1
-1
0
1
0
=
0
3
1-2
-1
0
1
0
=
0
4
2-C
-1
0
1
0
=
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
Zest. wyników
4
5
3
7
2
6
1
Kolejność obliczania zmiennych
z r.5
w.b.
z r.2
z r.7
z r.3
z r.6
z r.4
Z równania
2
C
A
B
1
Rozwiązanie powyższego układu równań rozpisano poniżej.
1) z równania 4
0
2
=
+
−
c
u
u
po uwzględnieniu
0
=
C
u
otrzymujemy
0
2
=
u
2) z równania 3
0
2
1
=
+
−
u
u
po uwzględnieniu
powyższej wartości
2
u mamy
0
1
=
u
,
3) z równanie 2
0
1
=
+
−
u
u
B
0
1
=
=
u
u
B
,
co już uwzględniono w warunkach wyjściowych,
4) z warunku, że
0
1
=
∆
A
0
1
=
=
u
u
A
,
5) z warunku brzegowego
0
75
.
0
=
⋅
=
A
A
u
v
,
6) z warunku, że
0
1
=
∆
A
0
1
=
=
A
v
v
,
7) z warunku, że
0
1
=
∆
B
0
1
=
=
v
v
B
,
Pozostało równanie 1, które jest spełnione tożsamościowo
0
8
.
0
6
.
0
8
.
0
6
.
0
1
1
=
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
−
v
u
v
u
A
A
.
Zmiana długości translacyjnej więzi sprężystej
0
30
cos
2
=
⋅
−
=
o
C
II
u
δ
.
Siła osiowa w sprężystej więzi translacyjnej
0
2
2
2
=
⋅
=
II
II
k
S
δ
.
A
1
2
C
B
C'
2'
1'
B'
A'
1
=
II
δ
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
9
Wzajemne poprzeczne przesunięcia końców prętów, kąty obrotu cięciw prętów i momenty brzegowe
obliczono w tabeli poniżej
WYZNACZENIE
∆∆∆∆
pk
,
ψ
ψ
ψ
ψ
pk
oraz momentów brzegowych od
δ
δ
δ
δ
II
= 1
Pręt
u
A
v
A
u
B
v
B
u
1
v
1
u
2
v
2
u
C
v
C
∆
pk
ψ
pk
E
pk
L
pk
c
pk
c
kp
M
pk
M
kp
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1/m
EI
m
A-1
-1
-1
0.8 0.6
=
0
0
1
5
0
0
0
0
B-1
0
-1
0
1
=
0
0
1
3
0
0
0
0
1-2
0
-1
0
1
= 1.00
0.33333
1
3
6
6
-0.666667
-0.666667
2-C
0
-1
0
1
=
-1
-0.25
2
4
3
0
0.375
0
A
B
1
EI/m
2
2
C
Obliczenie momentów brzegowych rozpisano poniżej.
0
1
1
=
=
II
A
II
A
M
M
,
0
1
1
=
+
II
A
II
A
M
M
,
0
1
1
=
=
II
B
II
B
M
M
,
0
1
1
=
+
II
B
II
B
M
M
,
2
12
12
12
21
12
3
2
3
1
3
6
6
m
EI
m
m
EI
L
EI
M
M
II
II
II
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
=
ψ
,
2
21
12
3
4
m
EI
M
M
I
I
−
=
+
,
2
2
2
2
2
8
3
4
1
4
2
3
3
m
EI
m
m
EI
L
EI
M
II
C
C
c
II
C
⋅
=
−
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
ψ
,
0
2
=
II
C
M
,
2
2
2
8
3
m
EI
M
M
II
C
II
C
⋅
=
+
.
1.4
UKŁADU RÓWNAŃ I JEGO ROZWIĄZANIE
1.4.1
OBLICZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW UKŁADU RÓWNAŃ
=
+
+
+
=
+
=
∑
ϕ
ϕ
1
1
12
1
1
1
1
1
1
1
11
k
M
M
M
k
M
k
B
A
j
j
m
EI
m
EI
m
EI
⋅
=
⋅
=
⋅
+
+
+
5333333
.
3
15
53
2
3
4
0
2
.
0
,
=
=
2
12
12
M
k
m
EI
m
EI
⋅
=
⋅
666667
.
0
3
2
,
=
+
+
=
=
∑
I
I
B
I
A
j
I
j
I
M
M
M
M
k
12
1
1
1
1
(
)
2
2
5
.
0
5
.
0
0
0
m
EI
m
EI
⋅
=
⋅
+
+
,
=
+
+
=
=
∑
II
II
B
II
A
j
II
j
II
M
M
M
M
k
12
1
1
1
1
2
2
666667
.
0
3
2
0
0
m
EI
m
EI
⋅
−
=
⋅
−
+
,
=
+
+
=
=
∆
∆
∆
∆
∆
∑
o
o
B
o
A
j
o
j
M
M
M
M
k
12
1
1
1
1
(
)
m
EI
m
EI
0005966
.
0
005833
.
0
0
005236
.
0
−
=
⋅
−
+
,
=
=
1
21
21
M
k
m
EI
m
EI
⋅
=
⋅
666667
.
0
3
2
= k
12
,
=
+
+
=
+
=
∑
ϕ
ϕ
2
2
2
2
21
2
2
2
22
k
M
M
k
M
k
C
j
j
m
EI
m
EI
m
EI
⋅
=
⋅
=
⋅
+
8333333
.
2
6
17
2
3
3
4
,
=
+
=
=
∑
I
C
I
j
I
j
I
M
M
M
k
2
21
2
2
(
)
2
2
5
.
0
0
5
.
0
m
EI
m
EI
⋅
=
⋅
+
,
=
+
=
=
∑
II
C
II
j
II
j
II
M
M
M
k
2
21
2
2
2
2
2
291667
.
0
24
7
8
3
3
2
m
EI
m
EI
m
EI
⋅
−
=
⋅
−
=
⋅
+
−
,
=
+
=
=
∆
∆
∆
∆
∑
o
C
o
j
o
j
M
M
M
k
2
21
2
2
(
)
m
EI
m
EI
002053
.
0
00375
.
0
005803
.
0
=
⋅
−
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
⋅
+
−
=
∑
I
C
C
C
I
I
B
B
B
I
A
A
A
I
ij
ij
ji
ij
I
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
k
2
1
2
1
2
12
1
21
1
12
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
2
5
.
0
0
4
1
2
0
0
m
EI
m
m
EI
⋅
=
−
−
⋅
⋅
−
−
−
=
=
I
k
1
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
⋅
+
−
=
∑
I
C
C
C
I
I
B
B
B
I
A
A
A
I
ij
ij
ji
ij
I
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
k
2
2
2
2
2
12
2
21
2
12
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
2
5
.
0
0
4
1
2
0
0
m
EI
m
m
EI
⋅
=
−
−
⋅
⋅
−
−
−
=
= k
I
2
,
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
=
∑
∑
I
s
s
I
s
s
I
ij
ij
I
ji
I
ij
I
I
k
M
M
k
δ
δ
ψ
δ
,
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
10
(
)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
I
s
I
s
I
C
I
C
I
C
I
I
I
I
B
I
B
I
B
I
A
I
A
I
A
k
M
M
M
M
M
M
M
M
δ
δ
ψ
ψ
ψ
ψ
δ
2
2
2
12
21
12
1
1
1
1
1
1
3
3
2
25
.
3
)
1
(
)
1
(
3
0
4
1
0
0
m
EI
m
EI
m
m
EI
⋅
=
−
⋅
−
⋅
⋅
+
−
−
⋅
−
−
−
=
,
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
=
∑
∑
II
s
s
I
s
s
I
ij
ij
II
ji
II
ij
II
I
k
M
M
k
δ
δ
ψ
δ
,
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
0
2
2
2
2
2
12
21
12
1
1
1
1
1
1
I
C
C
C
I
II
II
I
B
II
B
II
B
I
A
II
A
II
A
M
M
M
M
M
M
M
M
ψ
ψ
ψ
ψ
,
33333333
.
0
0
0
4
1
3
4
0
0
3
2
m
EI
m
m
EI
⋅
−
=
+
−
−
⋅
⋅
−
−
−
−
=
(
)
(
)
(
)
(
)
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∑
∑
I
o
o
I
B
o
B
o
B
I
A
o
A
o
A
s
s
I
s
s
I
ij
ij
o
ji
o
ij
I
M
M
M
M
M
M
k
M
M
k
12
21
12
1
1
1
1
1
1
0
,
ψ
ψ
ψ
δ
δ
ψ
δ
(
)
(
)
(
)
I
o
o
I
B
o
B
o
B
I
A
o
A
o
A
M
M
M
M
M
M
12
21
12
1
1
1
1
1
1
ψ
ψ
ψ
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
∆
∆
∆
0
2
2
2
2
2
2
δ
δ
ψ
δ
I
I
C
o
C
o
C
k
M
M
(
)
0
0
0
00375
.
0
25
.
0
)
00003
.
0
(
0
0
0
0
=
+
⋅
−
−
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
−
=
m
m
EI
,
(
)
=
⋅
+
−
=
∑
II
ij
ij
ji
ij
II
M
M
k
ψ
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
II
C
C
C
II
II
B
B
B
II
A
A
A
M
M
M
M
M
M
M
M
2
1
2
1
2
12
1
21
1
12
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ψ
ψ
ψ
ψ
2
2
66666667
.
0
3
2
0
3
1
2
0
0
m
EI
m
EI
m
m
EI
⋅
−
=
⋅
−
=
−
⋅
⋅
−
−
−
=
=
II
k
1
,
(
)
=
⋅
+
−
=
∑
II
ij
ij
ji
ij
II
M
M
k
ψ
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
II
C
C
C
II
II
B
B
B
II
A
A
A
M
M
M
M
M
M
M
M
2
2
2
2
2
12
2
21
2
12
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
ψ
ψ
ψ
ψ
2
2
291667
.
0
24
7
4
1
5
.
1
3
1
2
0
0
m
EI
m
EI
m
m
EI
m
m
EI
⋅
−
=
⋅
−
=
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
−
−
=
=
II
k
2
,
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
=
∑
∑
II
s
s
I
s
s
II
ij
ij
I
ji
I
ij
I
II
k
M
M
k
δ
δ
ψ
δ
,
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
0
2
2
2
12
21
12
1
1
1
1
1
1
II
C
I
C
I
C
II
I
I
II
B
I
B
I
B
II
A
I
A
I
A
M
M
M
M
M
M
M
M
ψ
ψ
ψ
ψ
3
2
3333333
.
0
0
3
1
0
0
m
EI
m
m
EI
⋅
−
=
−
⋅
−
−
−
=
= k
I II
,
,
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
=
∑
∑
II
s
s
II
s
s
II
ij
ij
II
ji
II
ij
II
II
k
M
M
k
δ
δ
ψ
δ
,
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
0
2
2
2
12
21
12
1
1
1
1
1
1
II
C
II
C
II
C
II
II
II
II
B
II
B
II
B
II
A
II
A
II
A
M
M
M
M
M
M
M
M
ψ
ψ
ψ
ψ
3
3
2
2
53819444
.
0
288
155
4
1
8
3
3
1
3
4
0
0
m
EI
m
EI
m
m
EI
m
m
EI
⋅
=
⋅
=
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
−
−
−
=
,
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
=
∆
∆
∆
∆
∑
∑
0
,
s
s
II
s
s
II
ij
ij
o
ji
o
ij
II
k
M
M
k
δ
δ
ψ
δ
(
)
(
)
(
)
II
o
o
II
B
o
B
o
B
II
A
o
A
o
A
M
M
M
M
M
M
12
21
12
1
1
1
1
1
1
ψ
ψ
ψ
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
∆
∆
∆
0
2
2
2
2
2
2
δ
δ
ψ
δ
II
II
C
o
C
o
C
k
M
M
(
)
2
0009276
.
0
0
4
1
00375
.
0
3
1
)
00003
.
0
(
0
0
0
0
m
EI
m
m
EI
=
+
−
⋅
−
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
−
=
.
1.4.2
POSTAĆ SZCZEGÓŁOWA UKŁADU RÓWNAŃ I JEGO ROZWIĄZANIE
.
0
0009276
.
0
538194
.
0
333333
.
0
291667
.
0
666667
.
0
,
0
0
333333
.
0
25
.
3
5
.
0
5
.
0
,
0
002053
.
0
291667
.
0
5
.
0
833333
.
2
666667
.
0
,
0
0.0005966
666667
.
0
5
.
0
666667
.
0
533333
.
3
2
3
3
2
2
1
2
3
3
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
=
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
⋅
−
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
=
−
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
=
−
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
II
I
II
I
II
I
II
I
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
ϕ
1
=
0.00071475,
ϕ
2
=
0.0006901,
δ
I
=
0.00024316
m
,
δ
II
=
-0.0023856
m
.
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
11
1.5
RZECZYWISTE SIŁY PRZEKROJOWE
1.5.1
OBLICZENIE MOMENTÓW BRZEGOWYCH I SIŁ W WIĘZIACH SPRĘŻYSTYCH
Momenty brzegowe (momenty na końcach prętów) określamy na podstawie wzoru:
∆
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
o
ij
II
II
ij
I
I
ij
ij
ij
ij
M
M
M
M
M
M
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
2
2
1
1
Obliczenia wykonano w poniższej tabeli
ϕ
1
ϕ
1
δ
Ι
δ
ΙΙ
dla I 200
E I
0.00071475
-0.0006901
0.00024316
0.0023856
4387
kN m
2
M
1
M
2
M
I
M
II
M
o
∆
M
∆
M
∆
M
A 1
-0.2
0
0
0
-0.005236
=
-0.005379
-23.60
M
1A
0.2
0
0
0
0.005236
=
0.005379
23.60
M
B 1
0
0
0
0
0
=
0.000000
0.00
M
1B
0
0
0
0
0
=
0.000000
0.00
M
12
1.333333
0.666667
0.5
-0.666667
-0.0058326
=
-0.006808
-29.87
M
21
0.666667
1.333333
0.5
-0.666667
0.005803
=
0.003891
17.07
M
2C
0
1.5
0
0.375
-0.00375
=
-0.003891
-17.07
M
C 2
0
0
0
0
0
=
0.000000
0.00
S
ϕ
1
2
0
0
0
0
=
0.001430
6.27
M nożnik
kN m
E I/m
E I/m
E I/m
2
m
Siła osiowa w sprężystej więzi translacyjnej
2
3
0
2
2
2
2
0007295
.
0
0
)
0023856
.
0
(
0
00024316
.
0
3
m
EI
m
m
EI
S
S
S
S
II
II
I
I
−
=
+
−
⋅
+
⋅
−
=
+
⋅
+
⋅
=
∆
δ
δ
Momenty brzegowe mogą też być obliczone bezpośrednio z wykorzystaniem wzorów
transformacyjnych (patrz przykład 3).
1.5.2
OBLICZENIE SIŁ TNĄCYCH I SIŁ OSIOWYCH ORAZ KONTROLA STATYCZNEJ
DOPUSZCZALNOŚCI ROZWIĄZANIA
Brzegowe siły tnące i osiowe wyznaczamy z równań równowagi prętów i węzłów.
W tym celu układ dzielimy na pręty i węzły oraz obciążamy wydzielone elementy obciążeniem danym
i na brzegach siłami przekrojowymi (określonymi już momentami i szukanymi siłami osiowymi i
tnącymi). Przedstawiono to na rysunku poniżej.
4 m
B
C
A
1
A
M
A
M
1
B
M
1
1
C
M
2
3 m
2 m
2 m
q
2
0
1
=
B
M
B
V
1
B
N
1
0
1
=
B
V
0
1
=
B
N
12
M
B
M
1
B
N
1
B
V
1
12
V
12
N
A
M
1
A
N
1
A
V
1
ϕ
1
S
A
N
1
A
V
1
0
1
=
A
V
1
A
N
21
M
3 m
12
M
12
V
12
N
21
N
21
V
21
N
2
C
N
2
12
V
C
V
2
21
M
C
M
2
0
2
=
C
M
2
C
N
2
C
V
C
V
2
C
N
2
x
y
x
y
x
y
3 m
x
y
x
y
x
y
Dla sił działających na każdy element wypisujemy 3 równania równowagi. Z sum momentów
względem końców prętów wyznaczamy siły tnące a z pozostałych równań wyznaczamy siły osiowe i
część z nich stanowi kontrolę statycznej dopuszczalności rozwiązania. W obliczeniach wykorzystamy
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
12
określone już wartości momentów oraz wynikające z warunków podparcia wartości sił osiowych i
tnących
N
B1
= V
B1
= V
A1
= 0.
PRĘT A-1
⇒
=
⋅
+
+
=
∑
0
5
1
1
1
m
V
M
M
M
A
A
A
A
=
⇒
=
⋅
+
+
−
A
A
V
m
V
1
1
0
5
005379
.
0
005379
.
0
0
,
0
1
1
⇒
=
−
=
∑
A
A
V
V
Y
0
0
0
=
−
(spełnione tożsamościowo),
0
1
1
⇒
=
+
−
=
∑
A
A
N
N
X
1
1A
A
N
N
=
.
PRĘT B-1
⇒
=
⋅
+
+
=
∑
0
3
1
1
1
m
V
M
M
M
B
B
B
B
=
⇒
=
⋅
+
+
B
B
V
m
V
1
1
0
3
0
0
0,
0
1
1
⇒
=
−
=
∑
B
B
V
V
Y
0
0
0
=
−
(spełnione tożsamościowo),
⇒
=
+
−
=
∑
0
1
1
B
B
N
N
X
0
1
1B
=
=
B
N
N
.
PRĘT 1-2
⇒
=
⋅
+
+
=
∑
0
3
21
21
12
1
m
V
M
M
M
⇒
=
⋅
+
+
−
0
3
/
003891
.
0
006808
.
0
(
21
m
V
m
EI
2
21
/
0009726
.
0
m
EI
V
=
,
0
12
21
⇒
=
−
=
∑
V
V
Y
2
21
12
/
0009726
.
0
m
EI
V
V
=
=
,
0
21
12
⇒
=
+
−
=
∑
N
N
X
21
12
N
N
=
.
PRĘT 2-C
0
4
2
2
2
2
=
⋅
+
+
=
∑
m
V
M
M
M
C
C
C
⇒
⇒
=
⋅
+
+
−
0
4
/
)
0
003891
.
0
(
2
m
V
m
EI
C
2
2
/
0009726
.
0
m
EI
V
C
=
,
0
2
2
⇒
=
−
=
∑
C
C
V
V
Y
⇒
2
2
2
/
0009726
.
0
m
EI
V
V
C
C
=
=
,
0
2
2
⇒
=
+
−
=
∑
C
C
N
N
X
2
2
C
C
N
N
=
.
WĘZEŁ 1
=
−
−
−
+
−
=
−
−
−
−
=
∑
001430
.
0
)
006008
.
0
(
0
005379
.
0
1
12
1
1
1
ϕ
S
M
M
M
M
B
A
0003
.
0
−
m
EI
/
0
≈
(spełnione tożsamościowo),
0
8
.
0
6
.
0
1
1
1
12
=
⋅
+
⋅
−
−
=
∑
A
A
B
N
V
V
V
Y
⇒
2
1A
1
/
001289
.
0
N
0
8
.
0
6
.
0
0
0
0009726
.
0
m
EI
N
A
−
=
⇒
=
⋅
+
⋅
−
−
0
8
.
0
6
.
0
1
1
1
12
=
⋅
−
⋅
−
−
=
∑
A
A
B
V
N
N
N
X
⇒
2
12
2
12
/
0007295
.
0
N
0
8
.
0
0
6
.
0
/
)
001289
.
0
(
0
m
EI
m
EI
N
−
=
⇒
=
⋅
−
⋅
−
−
−
Z trzeciego równania dla pręta A-1
.
/
001289
.
0
2
1
1
m
EI
N
N
A
A
−
=
=
Z trzeciego równania dla pręta 1-2
2
12
21
/
0007735
.
0
m
EI
N
N
−
=
=
.
WĘZEŁ 2
0
)
003891
.
0
(
003891
.
0
2
21
2
=
−
−
−
=
−
−
=
∑
C
M
M
M
(spełnione tożsamościowo),
0
0009726
.
0
0009726
.
0
21
2
=
−
=
−
=
∑
V
V
Y
C
(spełnione tożsamościowo),
0
21
2
⇒
=
−
=
∑
N
N
X
C
2
21
2
/
0007295
.
0
m
EI
N
N
C
−
=
=
.
Z trzeciego równania dla pręta 2-C wyznaczamy
2
2
2
/
0007295
.
0
m
EI
N
N
C
C
−
=
=
.
Brzegowe siły tnące mogą też być obliczone bezpośrednio z wykorzystaniem wzorów
transformacyjnych (patrz przykład 3).
1.6
WYKRESY SIŁ PRZEKROJOWYCH
M
-
-
m
EI /
005379
.
0
m
EI /
006808
.
0
m
EI /
003891
.
0
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
13
V
+
2
/
0009726
.
0
m
EI
N
-
-
2
/
001216
.
0
m
EI
2
/
0007295
.
0
m
EI
1.7
KONTROLA ROZWIĄZANIA
Aby mieć pewność, że rozwiązanie jest poprawne należy wykazać, że jest ono statycznie i
kinematycznie dopuszczalne.
Pierwszy warunek oznacza, że siły muszą spełniać równania równowagi. Warunek ten
został sprawdzony w trakcie wyznaczania sił tnących i osiowych.
Sprawdzenie drugiego warunku polega na sprawdzeniu czy wynikające z rozwiązania
przemieszczenia w poszczególnych punktach spełniają warunki podparcia i ciągłości. Wystarczy
sprawdzenie tylu składowych przemieszczeń ile wynosi stopień statycznej niewyznaczalności.
Rozwiązywane zadanie
jest dwukrotnie statycznie
niewyznaczalne. Wystarczy, więc
sprawdzić 2 przemieszczenia. W
tym celu przyjmujemy układ
podstawowy metody sił i
rozwiązujemy go od
jednostkowych wartości sił
hiperstatycznych.
Na rysunku powyżej pokazano
układ podstawowy bez obciążenia
danego, gdyż nie będzie on
rozwiązywany od tego obciążenia.
Siły
2
X
muszą tu być przyjęte z takimi zwrotami jak w rozwiązaniu metodą przemieszczeń.
Wartości reakcji, wykresy sił przekrojowych oraz wartości tych sił i reakcji w miejscach
błędów montażu i przemieszczeń podpór od obciążenia
1
1
=
X
pokazano na rysunkach poniżej.
7
5
1
1
=
M
7
4
1
M
1
1
=
X
0
1
=
A
M
m
R
A
28
5
1
=
0
1
=
ϕ
S
m
V
C
28
4
1
−
=
m
S
28
3
1
=
δ
2EI
X
1
X
2
X
2
A
B
1
2
C
3m
4
m
3m
4m
3
/
3
m
EI
k
=
δ
m
EI
k
/
2
1
=
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
14
m
N
28
3
1
1
=
m
N
28
5
1
2
=
m
V
7
1
1
1
−
=
Wartości reakcji, wykresy sił przekrojowych oraz wartości tych sił i reakcji w miejscach
błędów montażu i przemieszczeń podpór od obciążenia
1
2
=
X
pokazano na rysunkach poniżej.
7
5
1
1
−
=
M
7
4
−
2
M
0
1
=
A
M
m
R
A
28
5
1
−
=
1
1
=
ϕ
S
1
2
=
X
m
S
28
3
1
−
=
δ
m
V
C
28
4
1
=
-
-
2
N
m
N
28
3
2
1
−
=
m
N
28
5
2
2
−
=
+
m
7
2
V
m
V
7
1
1
1
+
=
1
Przemieszczenia w miejscach usuniętych więzi obliczamy korzystając ze wzorów:
=
∆
⋅
−
∆
⋅
+
∆
⋅
+
∆
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
∆
∑
∑
∑
∑
∫
∑
∆
∆
r
r
r
v
v
v
n
n
n
m
m
m
s
s
s
R
h
V
L
N
M
k
S
S
dx
EI
M
M
1
1
1
1
1
1
1
ϕ
C
C
A
A
s
s
s
v
V
M
h
V
L
N
L
N
M
k
S
S
dx
EI
M
M
⋅
−
⋅
−
∆
⋅
+
∆
⋅
+
∆
⋅
+
∆
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
∫
∑
∆
∆
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
ϕ
ϕ
,
=
∆
⋅
−
∆
⋅
+
∆
⋅
+
∆
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
∆
∑
∑
∑
∑
∫
∑
∆
∆
r
r
r
v
v
v
n
n
n
m
m
m
s
s
s
R
h
V
L
N
M
k
S
S
dx
EI
M
M
2
2
2
2
2
2
2
ϕ
C
C
A
A
s
s
s
v
V
M
h
V
L
N
L
N
M
k
S
S
dx
EI
M
M
⋅
−
⋅
−
∆
⋅
+
∆
⋅
+
∆
⋅
+
∆
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
∫
∑
∆
∆
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
ϕ
ϕ
,
przy czym przemieszczenie
1
∆
(przy przyjętym układzie podstawowym met. sił. – usunięto więź
rotacyjną) jest obrotem końca A pręta A-1 i powinno być równe obrotowi podpory
02618
.
0
−
=
A
ϕ
.
Do obliczenia całek zastosujemy wzór Simpsona i wzór Mohra.
+
−
⋅
+
−
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
⋅
+
=
∆
m
EI
m
EI
m
EI
EI
m
m
EI
m
EI
)
003891
.
0
(
7
4
)
0053494
.
0
(
14
11
4
)
006808
.
0
(
1
6
3
/
)
005379
.
0
(
5
1
1
0
1
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
15
+
⋅
+
−
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
⋅
+
0
0
)
0019455
.
0
(
7
2
4
)
003891
.
0
(
7
4
2
6
4
+
⋅
−
⋅
+
4
14
)
0008423
.
0
(
3
0
=
⋅
−
−
−
⋅
−
−
⋅
−
−
⋅
+
⋅
+
⋅
+
m
m
m
m
m
m
m
m
01
.
0
28
4
3
)
02618
.
0
(
0
)
02
.
0
(
7
1
)
015
.
0
(
28
5
01
.
0
28
3
01745
.
0
7
5
02624
.
0
−
.
Uwzględniając, że przemieszczenie to powinno być równe obrotowi podpory A
02618
.
0
−
=
A
ϕ
,
błąd wynosi
0
00006
.
0
)
02618
.
0
(
02624
.
0
1
≈
−
=
−
−
−
=
−
∆
A
ϕ
+
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
+
−
⋅
−
⋅
+
+
=
∆
m
EI
m
EI
m
EI
EI
m
)
003891
.
0
(
7
4
)
0053494
.
0
(
14
11
4
)
006808
.
0
(
1
6
3
0
0
2
+
⋅
+
−
⋅
−
⋅
+
−
⋅
−
⋅
⋅
+
0
0
)
0019455
.
0
(
7
2
4
)
003891
.
0
(
7
4
2
6
4
+
⋅
⋅
−
+
4
14
0008932
.
0
3
0
0
00006
.
0
01
.
0
28
3
4
)
02618
.
0
(
0
)
02
.
0
(
7
1
)
015
.
0
(
28
5
01
.
0
28
3
01745
.
0
7
5
≈
=
⋅
−
−
−
⋅
−
−
⋅
+
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
m
m
m
m
m
m
m
m
.
Otrzymane rozwiązanie jest, więc kinematycznie dopuszczalne.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
mp cw2 id 309046 Nieznany
MP przyk1 id 309051 Nieznany
MP 1987 029 0228 id 318265 Nieznany
MP rama ort1 id 309054 Nieznany
MP 1987 029 0227 id 318264 Nieznany
MP 1988 025 0219 id 318266 Nieznany
MP CONF 3 35 id 308925 Nieznany
projekt 7 MP KL nr 7 id 832557 Nieznany
mp 5 id 574949 Nieznany
GW MP uczniowie % odp id 19790 Nieznany
MP rama ort2 id 309055 Nieznany
MP 1987 029 0228 id 318265 Nieznany
MP rama ort1 id 309054 Nieznany
MP 1987 029 0227 id 318264 Nieznany
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
więcej podobnych podstron