MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
1
1.
ROZWIĄZANIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ
Ramę pokazaną na rysunku
rozwiązać metodą przemieszczeń i
dokonać kontroli rozwiązania.
1.1
WYZNACZENIE STOPNIA GEOMETRYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI
1.1.1
WYZNACZENIE LICZBY STOPNI SWOBODY OBROTU WĘZŁÓW
Podział układu na elementy,
dla których dane są wzory
transformacyjne przedstawiono na
rysunku obok
Z przyjętego podziału na elementy wynika, że:
–
dla pręta A-1 stosować będziemy wzory transformacyjne w postaci
–
(
)
o
A
A
A
A
A
A
M
L
EI
M
1
1
1
1
1
1
+
−
=
ϕ
ϕ
,
(
)
o
A
A
A
A
A
A
M
L
EI
M
1
1
1
1
1
1
+
−
=
ϕ
ϕ
, gdzie
0
1
=
A
ϕ
,
–
dla pręta B-1 stosować będziemy wzory transformacyjne w postaci
–
o
B
B
M
M
1
1
=
,
o
B
B
M
M
1
1
=
,
–
dla pręta 1-2 stosować będziemy wzory transformacyjne w postaci
–
(
)
o
M
L
EI
M
12
12
21
12
12
12
12
6
2
4
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
,
(
)
o
M
L
EI
M
21
12
12
21
12
12
21
6
2
4
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
,
–
dla pręta 2-C stosować będziemy wzór transformacyjny w postaci
–
(
)
o
C
C
C
C
C
C
M
L
EI
M
2
2
2
2
2
2
3
3
+
⋅
−
⋅
=
ψ
ϕ
,
0
2
=
C
M
Uwzględniając, że
0
1
=
A
ϕ
,
1
12
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
B
A
,
2
2
21
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
C
stwierdzamy, że
wszystkie kąty obrotu końców prętów określone są przez kąty obrotu 2 węzłów
1
ϕ
i
2
ϕ
, więc
–
liczba stopni swobody obrotu węzłów wynosi
n
ϕ
=
2 .
1
cm
L
1
1
=
∆
3m
4
m
4m
2m
1m
m
EI
k
/
2
=
ϕ
EI
EI
EI
EI
2
o
1
cm
2
cm
L
5
.
1
2
−
=
∆
2
cm
r
1
=
∆
o
5
.
1
3
/
3
m
EI
k
=
δ
s - s
w - s
s - p
s - s ; element "sztywno - sztywny"
s - p ; element "sztywno - przegubowy"
1, 2 ; w
ę
zły sztywne maj
ą
ce swobod
ę
obrotu,
ł
ą
cz
ą
ce ko
ń
ce przyj
ę
tych elementów
A
ł -
s
1
2
C
B
w - s ; element "wolny koniec - sztywny"
to jest element wspornikowy
ł - s ; element "ły
ż
wa - sztywny"
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
2
1.1.2
WYZNACZENIE LICZBY STOPNI SWOBODY PRZESUWU WĘZŁÓW
Model układu o węzłach przegubowych przedstawiono na rysunku poniżej. Więzi oznaczone
liniami przerywanymi odbierają stopnie swobody przesuwu, które zostały już uwzględnione we
współczynnikach wzorów transformacyjnych (dotyczy to elementu wspornikowego i elementu „ł-s”).
Liczba stopni swobody przesuwu modelu
przegubowego spełnia warunek
n
w
p
r
δ
≥ ⋅ − −
2
=2*8 - 7 - 7 = 2,
gdzie w - liczba węzłów,
p - liczba prętów,
r - liczba więzi podporowych.
Wynika stąd, że aby przegubowy
model układu był geometrycznie niezmienny
należy dodać, co najmniej 2 więzi.
Określając, w których węzłach i w jakich
kierunkach dodać te więzi, należy pamiętać, że
węzły połączone więziami pojedynczymi z
fundamentem (z punktami, które nie mają
możliwości przemieszczania się), jeśli mogą się
przemieszczać to tylko w kierunkach
prostopadłych do tych więzi. Inne połączenia nie
mogą powodować zmiany tych kierunków, mogą
natomiast powodować, że określone węzły w
ogóle nie mogą się przemieszczać.
W rozwiązywanym przykładzie węzły B, 1
i C połączone są z fundamentem więziami
pojedynczymi (podporę przegubowo-przesuwną
traktujemy jak więź pojedynczą). Jeśli więc
mogą się przemieszczać to tylko tak jak
pokazano strzałkami na rysunku obok.
Odbieramy możliwość przemieszczania się
jednego z tych węzłów (np. węzła C) przez
przyłożenie więzi elementarnej I o kierunku
możliwego przemieszczenia określonym
strzałkami. Powoduje to, że węzły B, 1 i 2 jeśli
mogą się przemieszczać to tylko tak jak
pokazano strzałkami na rysunku obok
Odbieramy możliwość przemieszczania się
jednego z tych węzłów (np. węzła 2) przez
przyłożenie więzi elementarnej II o kierunku
możliwego przemieszczenia określonym
strzałkami.
Układ przegubowy z dodanymi
więziami I i II pokazano na rysunku obok.
Jak widać na tym rysunku dodanie tych 2
więzi przekształciło przegubowy model
układu w układ geometrycznie niezmienny.
Oznacza to, że liczba stopni swobody
przesuwu układu danego wynosi
n
δ
=
2
.
Stopień geometrycznej
niewyznaczalności wynosi, więc
n
n
n
g
=
+
=
ϕ
δ
2 + 2.
A
1
2
C
B
A
1
2
C
B
I
II
C
Węzeł A nie może się przemieszczać,
gdyż połączony jest z fundamentem 2
więziami nie leżącymi na jednej prostej
B
A
1
C
I
B
A
1
2
Węzeł C po dodaniu więzi I nie może się
przemieszczać, gdyż połączony jest z
fundamentem 2 więziami nie leżącymi na
jednej prostej.
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
3
1.2
UKŁAD PODSTAWOWY I ODPOWIADAJĄCY MU UKŁAD RÓWNAŃ KANONICZNYCH
1.2.1
UKŁAD PODSTAWOWY
Układ podstawowy tworzymy
z układu danego przez dodanie n
ϕ
więzi rotacyjnych i
n
δ
więzi
translacyjnych (w naszym
przykładzie 2 więzi rotacyjne i 2
translacyjne), co przekształca dany
układ w układ geometrycznie
wyznaczalny pokazany na rysunku
obok.
Uwzględniając wprowadzone
oznaczenia, dane przemieszczenia
podpór i błędy montażu wynoszą:
02618
.
0
180
/
5
.
1
5
.
1
−
=
⋅
−
=
−
=
π
ϕ
o
A
,
m
cm
v
C
01
.
0
1
=
+
=
,
01745
.
0
180
/
1
1
1
=
⋅
=
+
=
∆
π
ϕ
,
m
cm
h
02
.
0
2
1
−
=
−
=
∆
,
m
cm
L
01
.
0
1
1
=
+
=
∆
,
m
cm
L
015
.
0
5
.
1
2
−
=
−
=
∆
.
1.2.2
UKŁAD RÓWNAŃ KANONICZNYCH
.
0
,
0
,
0
,
0
,
,
,
2
2
1
1
,
,
,
2
2
1
1
2
2
2
2
22
1
21
1
1
1
2
12
1
11
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
∆
∆
∆
∆
II
II
II
II
I
I
II
II
II
I
II
II
I
I
I
I
I
I
II
II
I
I
II
II
I
I
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
1.3
ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO
1.3.1
ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA DANEGO
Należy pamiętać, że poszczególne stany obciążeń rozpatrujemy rozłącznie, to jest, że stanowi
obciążeń danych towarzyszy
ϕ
ϕ
δ
δ
1
2
0
=
=
=
=
I
II
.
Momenty brzegowe od błędów montażu typu
ϕ
∆
i h
∆
wyznacza się tylko dla prętów, na
których te błędy występują na podstawie odpowiednich wzorów zależnych od typów prętów (dla
pozostałych prętów są równe zero):
0
3
)
2
3
2
3
(
2
)
2
3
(
2
)
(
1
1
12
12
=
∆
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
∆
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
∆
ϕ
ϕ
ξ
ϕ
m
EI
L
EI
M
o
,
m
EI
m
EI
L
EI
M
o
⋅
=
∆
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
∆
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
∆
011636
.
0
3
)
1
3
2
3
(
2
)
1
3
(
2
)
(
1
1
12
21
ϕ
ϕ
ξ
ϕ
,
m
EI
m
m
EI
h
L
EI
h
M
h
M
o
o
⋅
−
=
−
⋅
⋅
=
∆
⋅
⋅
=
∆
=
∆
013333
.
0
)
02
.
0
(
9
6
6
)
(
)
(
2
1
12
2
21
12
.
Momenty brzegowe od obrotów węzłów
i
ϕ
(końców prętów) wyznacza się tylko dla prętów, których
końców te obroty dotyczą, ze wzorów transformacyjnych (można też ze wzorów jak wyżej przy
założeniu, że są to błędy typu
ϕ
∆
usytuowane na końcu pręta to jest dla
0
=
ξ
lub
1
=
ξ
)
(
)
(
)
m
EI
m
EI
b
a
L
EI
M
A
A
A
A
o
A
⋅
−
=
⋅
−
−
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
=
005236
.
0
0
1
)
02618
.
0
(
1
5
)
(
1
1
1
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
,
(
)
(
)
m
EI
m
EI
b
a
L
EI
M
A
A
A
A
o
A
⋅
=
−
⋅
−
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
=
005236
.
0
)
02618
.
0
(
1
0
1
5
)
(
1
1
1
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
,
Momenty brzegowe od zmian długości prętów L
∆
i przesunięć podpór r
∆
mogą być różne od zera dla
wszystkich prętów i są określone wzorem
∆
⋅
⋅
−
=
∆
∆
ij
ij
ij
o
ij
L
EI
c
r
L
M
ψ
)
,
(
(
ij
ij
ij
L
/
∆
∆
∆
=
ψ
).
A
B
C
1
1
cm
L
1
1
=
∆
3m
4
m
4m
2m
1m
m
EI
k
/
2
1
=
EI
EI
EI
EI
2
o
1
cm
2
cm
L
5
.
1
2
−
=
∆
2
cm
r
1
=
∆
o
5
.
1
II
2
I
3
/
3
m
EI
k
=
δ
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
4
Do wyznaczenia przesunięć węzłów wykorzystamy układ związków kinematycznych, na które
składają się:
- związki między przemieszczeniami końców prętów a zmianami ich długości
(
)
(
)
pk
pk
k
pk
k
pk
p
pk
p
L
v
u
v
u
∆
=
⋅
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
α
α
α
α
sin
cos
sin
cos
,
- warunki uwzględniające, że kąty obrotu cięciw a więc i wzajemne poprzeczne przesunięcia ich
końców dla prętów: wspornikowego i sztywno łyżwa są równe zero
(
)
(
)
pk
k
pk
k
pk
p
pk
p
pk
v
u
v
u
α
α
α
α
cos
sin
cos
sin
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
∆
=0,
które można przyjąć w postaci
pk
pk
k
p
L
u
u
α
cos
⋅
∆
=
+
−
,
pk
pk
k
p
L
v
v
α
sin
⋅
∆
=
+
−
,
- oraz warunki brzegowe:
0
8
.
0
6
.
0
=
⋅
+
⋅
−
A
A
v
u
(stąd
A
A
u
v
⋅
=
75
.
0
),
0
=
=
I
C
u
δ
,
0
=
C
v
,
0
2
=
=
II
v
δ
.
Układ warunków oraz zestawienie wyników ich rozwiązania przedstawiono w poniższej tabeli
(zaznaczono też kolejność wyznaczania zmiennych i z których równań zostały obliczone)
BŁĘDY MONTAŻU
CHARAKTERYSTYKI PRĘTÓW
I PRZEMIESZCZENIA PODPÓR
Pręt
Lx
Ly
L
cos a
sin a
∆ϕ
1
∆
h
1
∆
L
ϕ
A
v
C
Lx/L
Ly/L
A-1
3
-4
5
0.6
-0.8
-0.015 -0.02618
B-1
3
0
3
1
0
1-2
3
0
3
1
0
0.01745 -0.02
0.01
2-C
4
0
4
1
0
0.01
Mnoż.
m
m
m
m
m
m
UKŁAD RÓWNAŃ
Pręt
u
A
v
A
u
B
v
B
u
1
v
1
u
2
v
2
u
C
v
C
0.75u
A
0
0
0.01 War. wyjściowe
1
A-1
-0.6
0.8
0.6
-0.8
=
∆
L
A1
2
B-1
-1
0
1
0
=
∆
L
B1
3
1-2
-1
0
1
0
=
∆
L
12
4
2-C
-1
0
1
0
=
∆
L
2C
5
A-1
-1
1
=
0.6
∆
L
A1
6
A-1
-1
1
=
-0.8
∆
L
A1
7
B-1
-1
1
=
0
-0.001 -0.00075 -0.01 0.001125 -0.01 0.001125
0
0
0
0.01 Zest. wyników
4
5
3
7
2
6
1
Kolejność obliczania zmiennych
z r.5
w.b.
z r.2
z r.7
z r.3
z r.6
z r.4
Z równania
C
A
B
1
2
Rozwiązanie powyższego układu równań rozpisano poniżej:
1) z równania 4
C
c
L
u
u
2
2
∆
=
+
−
po uwzględnieniu
0
=
C
u
otrzymujemy
0
2
2
=
∆
−
=
C
L
u
,
2) z równania 3
12
2
1
L
u
u
∆
=
+
−
po uwzględnieniu powyższej wartości
2
u
m
m
L
u
u
01
.
0
)
01
.
0
0
(
12
2
1
−
=
⋅
−
=
∆
−
=
,
3) z równania 2
1
1
B
B
L
u
u
∆
=
+
−
po uwzględnieniu powyższej wartości
1
u
m
m
L
u
u
B
B
01
.
0
)
0
01
.
0
(
1
1
−
=
−
−
=
∆
−
=
,
4) z równania 5
1
1
6
.
0
A
A
L
u
u
∆
⋅
=
+
−
po uwzględnieniu powyższej wartości
1
u
m
m
L
u
u
A
A
001
.
0
)
015
.
0
(
6
.
0
01
.
0
(
6
.
0
1
1
−
=
⋅
−
⋅
−
−
=
∆
⋅
−
=
,
5) z warunku brzegowego
m
m
u
v
A
A
00075
.
0
)
001
.
0
(
75
.
0
75
.
0
−
=
−
⋅
=
⋅
=
,
6) z równania 6
1
1
8
.
0
A
A
L
v
v
∆
⋅
−
=
+
−
po uwzględnieniu powyższej wartości
A
v
m
m
L
v
v
A
A
001125
.
0
))
015
.
0
(
8
.
0
00075
.
0
(
8
.
0
1
1
=
⋅
−
⋅
−
−
=
∆
⋅
−
=
,
7) z równania 7
0
1
=
+
−
v
v
B
m
v
v
B
001127
.
0
1
=
=
,
Pozostało równanie 1
m
C
v
u
v
u
T
o
A
A
⋅
⋅
−
=
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
−
α
25
8
.
0
6
.
0
8
.
0
6
.
0
1
1
, które jest spełnione
tożsamościowo, gdyż dla pręta A1 wykorzystano 2 równania w postaci 5 i 6.
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
5
Wykorzystując powyższe wartości obliczamy wzajemne poprzeczne przesunięcia końców prętów
(
)
(
)
pk
k
pk
k
pk
p
pk
p
pk
v
u
v
u
α
α
α
α
cos
sin
cos
sin
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
∆
i kąty obrotu cięciw
pk
pk
pk
L
/
∆
=
ψ
.
Obliczenia wykonano w tabeli poniżej
WYZNACZENIE
∆∆∆∆
ij
oraz
ψ
ψ
ψ
ψ
ij
OD PRZEMIESZCZEŃ
Pręt
u
A
v
A
u
B
v
B
u
1
v
1
u
2
v
2
u
C
v
C
∆
ij
ψ
ij
-0.001 -0.00075
-0.01
0.01125
-0.01
0.01125
0
0
0
0.01
Mnoż.
m
A-1
-0.8
-0.6
0.8
0.6
=
0.00000
0.00000
B-1
0
-1
0
1
=
0
0
1-2
0
-1
0
1
=
-0.01125 -0.00375
2-C
0
-1
0
1
=
0.01
0.0025
m
2
C
A
B
1
Momenty brzegowe od zmian długości prętów L
∆
i przesunięć podpór r
∆
∆
⋅
⋅
−
=
∆
∆
12
12
12
12
12
)
,
(
ψ
L
EI
c
r
l
M
o
=
−
⋅
⋅
−
=
)
0375
.
0
(
3
6
m
EI
m
EI
0075
.
0
)
,
(
21
r
l
M
o
∆
∆
=
.
∆
⋅
⋅
−
=
∆
∆
C
C
C
C
o
C
L
EI
c
r
l
M
2
2
2
2
2
)
,
(
ψ
=
⋅
⋅
−
=
0025
.
0
4
3
m
EI
m
EI
00375
.
0
−
.
Sumaryczne momenty brzegowe od przemieszczeń podpór i błędów montażu
=
=
∆
)
(
1
1
ϕ
o
A
o
A
M
M
m
EI /
005236
.
0
−
,
=
=
∆
)
(
1
1
ϕ
o
A
o
A
M
M
m
EI /
005236
.
0
,
=
+
∆
∆
o
A
o
A
M
M
1
1
0,
0
1
1
=
=
∆
∆
o
B
o
B
M
M
,
=
∆
∆
+
∆
+
∆
=
∆
)
,
(
)
(
)
(
12
12
12
12
r
L
M
h
M
M
M
o
o
o
o
ϕ
(0-
013333
.
0
+
m
EI /
)
0075
.
0
=
m
EI /
005833
.
0
−
,
=
∆
∆
+
∆
+
∆
=
∆
)
,
(
)
(
)
(
21
21
21
21
r
L
M
h
M
M
M
o
o
o
o
ϕ
(
011636
.
0
-
013333
.
0
+
m
EI /
)
0075
.
0
=
m
EI /
005803
.
0
,
=
+
∆
∆
o
o
M
M
21
12
m
EI /
00003
.
0
−
,
=
∆
∆
+
∆
+
∆
=
∆
)
,
(
)
(
)
(
2
2
2
2
r
L
M
h
M
M
M
o
C
o
C
o
C
o
C
ϕ
m
EI /
00375
.
0
−
,
0
2
=
∆
o
C
M
=
+
∆
∆
o
C
o
C
M
M
2
2
0
.
Przemieszczenie podpory C o
1
=
∆
r
nie powoduje wydłużenie więzi sprężystej translacyjnej,
więc siła osiowa w tej więzi
0
0
2
=
∆
S
.
1.3.2
ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD
ϕ
1
1
=
W tym stanie obciążenia uwzględniamy:
ϕ
1
1
=
,
0
,
0
2
=
=
=
II
I
δ
δ
ϕ
(
0
1
=
=
ij
ij
ψ
ψ
) i brak
obciążenia danego. Korzystamy, więc ze wzorów w postaci
(
)
1
1
1
ji
ij
ij
ij
ij
ij
ij
b
a
L
EI
M
ϕ
ϕ
⋅
+
⋅
=
,
do których podstawiamy
1
1
1
12
1
1
1
1
=
=
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
B
A
, i pozostałe
0
1
=
ij
ϕ
Momenty brzegowe wynoszą:
–
(
)
m
EI
m
EI
M
A
⋅
−
=
−
=
2
.
0
1
0
5
1
1
,
(
)
m
EI
m
EI
M
A
⋅
=
−
=
2
.
0
0
1
5
1
1
,
0
1
1
1
1
=
+
A
A
M
M
,
–
0
1
1
1
1
=
=
B
B
M
M
,
0
1
1
1
1
=
+
B
B
M
M
,
–
(
)
m
EI
m
EI
M
⋅
=
⋅
+
⋅
=
3
4
0
2
1
4
3
1
12
,
(
)
m
EI
m
EI
M
⋅
=
⋅
+
⋅
=
3
2
1
2
0
4
3
1
21
,
m
EI
M
M
⋅
=
+
2
1
21
1
12
,
–
( )
0
0
3
4
2
1
2
=
⋅
=
m
EI
M
C
,
0
1
2
=
C
M
,
0
1
2
1
2
=
+
C
C
M
M
,
–
m
EI
k
S
/
2
1
1
1
1
⋅
=
⋅
=
ϕ
ϕ
(
Moment
ϕ
S
działający na więź sprężystą traktowany tu jest jak moment brzegowy
–
pręta: prawoskrętny : „+”, lewoskrętny „–„.
–
Dodatnia reakcja więzi na węzeł jest lewoskrętna tak jak moment brzegowy pręta).
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
6
1.3.3
ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD
ϕ
2
1
=
W tym stanie obciążenia uwzględniamy:
1
2
=
ϕ
,
0
,
0
1
=
=
=
II
I
δ
δ
ϕ
(
0
2
=
=
ij
ij
ψ
ψ
) i brak obciążenia
danego. Momenty obliczamy ze wzorów
(
)
2
2
2
ji
ij
ij
ij
ij
ij
b
a
L
EI
M
ϕ
ϕ
⋅
+
⋅
=
,
do których podstawiamy
1
2
2
2
2
21
=
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
C
, i pozostałe
0
2
=
ij
ϕ
Momenty brzegowe wynoszą:
–
(
)
0
0
0
5
2
1
=
−
=
m
EI
M
A
,
(
)
0
0
0
5
2
1
=
−
=
m
EI
M
A
,
0
2
1
2
1
=
+
A
A
M
M
,
–
0
2
1
2
1
=
=
B
B
M
M
,
0
2
1
2
1
=
+
B
B
M
M
,
–
(
)
m
EI
m
EI
M
⋅
=
⋅
−
⋅
+
⋅
=
3
2
0
6
1
2
0
4
3
2
12
,
(
)
m
EI
m
EI
M
⋅
=
⋅
−
⋅
+
⋅
=
3
4
0
6
0
2
1
4
3
2
21
,
m
EI
M
M
⋅
=
+
2
2
21
2
12
,
–
(
)
m
EI
m
EI
M
C
⋅
=
⋅
−
⋅
=
5
.
1
0
3
1
3
4
2
2
2
,
0
2
2
=
C
M
,
m
EI
M
M
C
C
⋅
=
+
5
.
1
2
2
2
2
,
0
1
1
2
1
=
⋅
=
ϕ
k
S
( w tym stanie
0
1
=
ϕ
).
1.3.4
ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD
δ
I
=
1
W tym stanie obciążenia uwzględniamy:
0
2
1
=
=
ϕ
ϕ
(
0
=
=
ji
ij
ϕ
ϕ
),
0
=
II
δ
i brak obciążenia danego.
Od obciążenia przemieszczeniem
δ
I
=
1
należy określić, występujące w dalszych obliczeniach:
-
kąty obrotu cięciw elementów
I
ij
ψ
,
-
momenty brzegowe
I
ij
ij
ij
I
ij
L
EI
c
M
ψ
⋅
⋅
−
=
dla elementów przyjętych w punkcie 1.1.1,
-
wydłużenia translacyjnych więzi sprężystych i siły w tych więziach.
Potrzebne wielkości mogą być wyznaczone z wykorzystaniem biegunowych planów przesunięć
obróconych (patrz przykład 3) lub z wykorzystaniem analitycznych związków kinematycznych. Tu
wykorzystamy związki kinematyczne z punktu 1.3.1 uwzględniając dodatkowo
0
=
∆
pk
L
, skąd wynika,
ż
e dla prętów: sztywno-łyżwa i wspornikowego zamiast warunków
pk
pk
k
p
L
u
u
α
cos
⋅
∆
=
+
−
,
pk
pk
k
p
L
v
v
α
sin
⋅
∆
=
+
−
, mamy
k
p
u
u
=
,
k
p
v
v
=
,
co dla tych prętów daje warunki
1
u
u
u
B
A
=
=
,
1
v
v
v
B
A
=
=
.
Warunki brzegowe w rozpatrywanym przypadku mają postać
A
A
u
v
⋅
=
75
.
0
,
1
=
=
I
C
u
δ
,
0
=
C
v
,
0
2
=
=
II
v
δ
.
Układ warunków oraz zestawienie wyników ich rozwiązania przedstawiono w poniższej tabeli
(zaznaczono też kolejność wyznaczania zmiennych i z których równań zostały obliczone)
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
7
CHARAKTERYSTYKI PRĘTÓW
Pręt
Lx
Ly
L
cos a
sin a
Lx/L
Ly/L
A-1
3
-4
5
0.6
-0.8
B-1
3
0
3
1
0
1-2
3
0
3
1
0
2-C
4
0
4
1
0
Mnoż.
m
m
m
UKŁAD WARUNKÓW KINEMATYCZNYCH
Pręt
u
A
v
A
u
B
v
B
u
1
v
1
u
2
v
2
u
C
v
C
u
1
0.75u
A
u
1
v
1
v
A
0
1
0
War. wyjściowe
1
A-1
-0.6
0.8
0.6
-0.8
=
0
2
B-1
-1
0
1
0
=
0
3
1-2
-1
0
1
0
=
0
4
2-C
-1
0
1
0
=
0
1
0.75
1
0.75
1
0.75
1
0
1
0
Zest. wyników
4
5
3
7
2
6
1
Kolejność obliczania zmiennych
z r.5
w.b.
z r.2
z r.7
z r.3
z r.6
z r.4
Z równania
2
C
A
B
1
Rozwiązanie powyższego układu równań rozpisano poniżej.
1) z równania 4
0
2
=
+
−
c
u
u
po uwzględnieniu
1
=
C
u
otrzymujemy
1
2
=
u
,
2) z równania 3
0
2
1
=
+
−
u
u
po uwzględnieniu powyższej wartości
2
u mamy
1
1
=
u
,
3) z równania 2
0
1
=
+
−
u
u
B
1
1
=
=
u
u
B
, co już uwzględniono w warunkach wyjściowych,
4) z warunku, że
0
1
=
∆
A
1
1
=
=
u
u
A
,
5) z warunku brzegowego
75
.
0
75
.
0
=
⋅
=
A
A
u
v
,
6) z warunku, że
0
1
=
∆
A
75
.
0
1
=
=
A
v
v
,
7) z warunku, że
0
1
=
∆
B
75
.
0
1
=
=
v
v
B
,
Pozostało równanie 1, które jest spełnione
tożsamościowo
0
8
.
0
6
.
0
8
.
0
6
.
0
1
1
=
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
−
v
u
v
u
A
A
.
Wydłużenie translacyjnej więzi sprężystej
1
2
−
=
−
=
C
I
u
δ
.
Siła osiowa w tej więzi
3
2
2
1
2
/
3
m
EI
k
S
I
−
=
⋅
=
δ
.
Wzajemne poprzeczne przesunięcia końców prętów określone wzorem
(
)
(
)
pk
k
pk
k
pk
p
pk
p
pk
v
u
v
u
α
α
α
α
cos
sin
cos
sin
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
∆
,
kąty obrotu cięciw prętów
pk
pk
pk
L
/
∆
=
ψ
i momenty brzegowe
pk
pk
pk
pk
L
EI
c
M
ψ
⋅
⋅
−
=
obliczono w tabeli poniżej
WYZNACZENIE
∆∆∆∆
pk
,
ψ
ψ
ψ
ψ
pk
oraz momentów brzegowych od
δ
δ
δ
δ
I
= 1
Pręt
u
A
v
A
u
B
v
B
u
1
v
1
u
2
v
2
u
C
v
C
∆
pk
ψ
pk
E
pk
L
pk
c
pk
c
kp
M
pk
M
kp
1
0.75
1
0.75
1
0.75
1
0
1
0
1/m
EI
m
A-1
-0.8
-0.6
0.8
0.6
=
0
0
1
5
0
0
0
0
B-1
0
-1
0
1
=
0
0
1
3
0
0
0
0
1-2
0
-1
0
1
= -0.75
-0.25
1
3
6
6
0.5
0.5
2-C
0
-1
0
1
=
0
0
2
4
3
0
0
0
EI/m
2
2
C
A
B
1
Obliczenie momentów brzegowych rozpisano poniżej.
0
1
1
=
=
I
A
I
A
M
M
,
0
1
1
=
+
I
A
I
A
M
M
,
0
1
1
=
=
I
B
I
B
M
M
,
0
1
1
=
+
I
B
I
B
M
M
,
A
1
2
C
B
II
1
=
I
δ
C'
2'
1'
A'
B'
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
8
2
12
12
12
21
12
2
1
4
1
3
6
6
m
EI
m
m
EI
L
EI
M
M
I
I
I
⋅
=
−
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
=
ψ
,
2
21
12
m
EI
M
M
I
I
=
+
,
0
3
2
2
2
2
=
⋅
⋅
−
=
I
C
C
c
I
C
L
EI
M
ψ
,
0
2
=
I
C
M
,
0
2
2
=
+
I
C
I
C
M
M
.
1.3.5
ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD
δ
II
=
1
W tym stanie obciążenia uwzględniamy:,
0
2
1
=
=
ϕ
ϕ
(
0
=
=
ji
ij
ϕ
ϕ
),
0
=
I
δ
i brak obciążenia danego.
Od obciążenia przemieszczeniem
1
=
II
δ
należy określić, występujące w dalszych obliczeniach:
-
kąty obrotu cięciw elementów
ij
II
ij
II
ij
L
/
∆
=
ψ
,
-
momenty brzegowe
II
ij
ij
ij
ij
II
ij
L
EI
c
M
ψ
⋅
⋅
−
=
dla elementów przyjętych w punkcie 1.1.1,
-
wydłużenia translacyjnych więzi sprężystych i siły w tych więziach.
Potrzebne wielkości mogą być wyznaczone z wykorzystaniem biegunowych planów przesunięć
obróconych (patrz przykład 3) lub z wykorzystaniem analitycznych związków kinematycznych. Tu
wykorzystamy związki kinematyczne z punktu 1.3.4. Zmianie ulegają tylko warunki brzegowe, które
maja tu postać:
A
A
u
v
⋅
=
75
.
0
,
0
=
=
I
C
u
δ
,
0
=
C
v
,
1
2
=
=
II
v
δ
.
Układ warunków oraz zestawienie wyników ich rozwiązania przedstawiono w poniższej tabeli
CHARAKTERYSTYKI PRĘTÓW
Pręt
Lx
Ly
L
cos a
sin a
Lx/L
Ly/L
A-1
3
-4
5
0.6
-0.8
B-1
3
0
3
1
0
1-2
3
0
3
1
0
2-C
4
0
4
1
0
Mnoż.
m
m
m
UKŁAD WARUNKÓW KINEMATYCZNYCH
Pręt
u
A
v
A
u
B
v
B
u
1
v
1
u
2
v
2
u
C
v
C
u
1
0.75u
A
u
1
v
1
v
A
1
0
0
War. wyjściowe
1
A-1
-0.6
0.8
0.6
-0.8
=
0
2
B-1
-1
0
1
0
=
0
3
1-2
-1
0
1
0
=
0
4
2-C
-1
0
1
0
=
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
Zest. wyników
4
5
3
7
2
6
1
Kolejność obliczania zmiennych
z r.5
w.b.
z r.2
z r.7
z r.3
z r.6
z r.4
Z równania
2
C
A
B
1
Rozwiązanie powyższego układu równań rozpisano poniżej.
1) z równania 4
0
2
=
+
−
c
u
u
po uwzględnieniu
0
=
C
u
otrzymujemy
0
2
=
u
2) z równania 3
0
2
1
=
+
−
u
u
po uwzględnieniu
powyższej wartości
2
u mamy
0
1
=
u
,
3) z równanie 2
0
1
=
+
−
u
u
B
0
1
=
=
u
u
B
,
co już uwzględniono w warunkach wyjściowych,
4) z warunku, że
0
1
=
∆
A
0
1
=
=
u
u
A
,
5) z warunku brzegowego
0
75
.
0
=
⋅
=
A
A
u
v
,
6) z warunku, że
0
1
=
∆
A
0
1
=
=
A
v
v
,
7) z warunku, że
0
1
=
∆
B
0
1
=
=
v
v
B
,
Pozostało równanie 1, które jest spełnione tożsamościowo
0
8
.
0
6
.
0
8
.
0
6
.
0
1
1
=
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
−
v
u
v
u
A
A
.
Zmiana długości translacyjnej więzi sprężystej
0
30
cos
2
=
⋅
−
=
o
C
II
u
δ
.
Siła osiowa w sprężystej więzi translacyjnej
0
2
2
2
=
⋅
=
II
II
k
S
δ
.
A
1
2
C
B
C'
2'
1'
B'
A'
1
=
II
δ
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
9
Wzajemne poprzeczne przesunięcia końców prętów, kąty obrotu cięciw prętów i momenty brzegowe
obliczono w tabeli poniżej
WYZNACZENIE
∆∆∆∆
pk
,
ψ
ψ
ψ
ψ
pk
oraz momentów brzegowych od
δ
δ
δ
δ
II
= 1
Pręt
u
A
v
A
u
B
v
B
u
1
v
1
u
2
v
2
u
C
v
C
∆
pk
ψ
pk
E
pk
L
pk
c
pk
c
kp
M
pk
M
kp
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1/m
EI
m
A-1
-1
-1
0.8 0.6
=
0
0
1
5
0
0
0
0
B-1
0
-1
0
1
=
0
0
1
3
0
0
0
0
1-2
0
-1
0
1
= 1.00
0.33333
1
3
6
6
-0.666667
-0.666667
2-C
0
-1
0
1
=
-1
-0.25
2
4
3
0
0.375
0
A
B
1
EI/m
2
2
C
Obliczenie momentów brzegowych rozpisano poniżej.
0
1
1
=
=
II
A
II
A
M
M
,
0
1
1
=
+
II
A
II
A
M
M
,
0
1
1
=
=
II
B
II
B
M
M
,
0
1
1
=
+
II
B
II
B
M
M
,
2
12
12
12
21
12
3
2
3
1
3
6
6
m
EI
m
m
EI
L
EI
M
M
II
II
II
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
=
ψ
,
2
21
12
3
4
m
EI
M
M
I
I
−
=
+
,
2
2
2
2
2
8
3
4
1
4
2
3
3
m
EI
m
m
EI
L
EI
M
II
C
C
c
II
C
⋅
=
−
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
ψ
,
0
2
=
II
C
M
,
2
2
2
8
3
m
EI
M
M
II
C
II
C
⋅
=
+
.
1.4
UKŁADU RÓWNAŃ I JEGO ROZWIĄZANIE
1.4.1
OBLICZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW UKŁADU RÓWNAŃ
=
+
+
+
=
+
=
∑
ϕ
ϕ
1
1
12
1
1
1
1
1
1
1
11
k
M
M
M
k
M
k
B
A
j
j
m
EI
m
EI
m
EI
⋅
=
⋅
=
⋅
+
+
+
5333333
.
3
15
53
2
3
4
0
2
.
0
,
=
=
2
12
12
M
k
m
EI
m
EI
⋅
=
⋅
666667
.
0
3
2
,
=
+
+
=
=
∑
I
I
B
I
A
j
I
j
I
M
M
M
M
k
12
1
1
1
1
(
)
2
2
5
.
0
5
.
0
0
0
m
EI
m
EI
⋅
=
⋅
+
+
,
=
+
+
=
=
∑
II
II
B
II
A
j
II
j
II
M
M
M
M
k
12
1
1
1
1
2
2
666667
.
0
3
2
0
0
m
EI
m
EI
⋅
−
=
⋅
−
+
,
=
+
+
=
=
∆
∆
∆
∆
∆
∑
o
o
B
o
A
j
o
j
M
M
M
M
k
12
1
1
1
1
(
)
m
EI
m
EI
0005966
.
0
005833
.
0
0
005236
.
0
−
=
⋅
−
+
,
=
=
1
21
21
M
k
m
EI
m
EI
⋅
=
⋅
666667
.
0
3
2
= k
12
,
=
+
+
=
+
=
∑
ϕ
ϕ
2
2
2
2
21
2
2
2
22
k
M
M
k
M
k
C
j
j
m
EI
m
EI
m
EI
⋅
=
⋅
=
⋅
+
8333333
.
2
6
17
2
3
3
4
,
=
+
=
=
∑
I
C
I
j
I
j
I
M
M
M
k
2
21
2
2
(
)
2
2
5
.
0
0
5
.
0
m
EI
m
EI
⋅
=
⋅
+
,
=
+
=
=
∑
II
C
II
j
II
j
II
M
M
M
k
2
21
2
2
2
2
2
291667
.
0
24
7
8
3
3
2
m
EI
m
EI
m
EI
⋅
−
=
⋅
−
=
⋅
+
−
,
=
+
=
=
∆
∆
∆
∆
∑
o
C
o
j
o
j
M
M
M
k
2
21
2
2
(
)
m
EI
m
EI
002053
.
0
00375
.
0
005803
.
0
=
⋅
−
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
⋅
+
−
=
∑
I
C
C
C
I
I
B
B
B
I
A
A
A
I
ij
ij
ji
ij
I
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
k
2
1
2
1
2
12
1
21
1
12
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
2
5
.
0
0
4
1
2
0
0
m
EI
m
m
EI
⋅
=
−
−
⋅
⋅
−
−
−
=
=
I
k
1
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
⋅
+
−
=
∑
I
C
C
C
I
I
B
B
B
I
A
A
A
I
ij
ij
ji
ij
I
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
k
2
2
2
2
2
12
2
21
2
12
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
2
5
.
0
0
4
1
2
0
0
m
EI
m
m
EI
⋅
=
−
−
⋅
⋅
−
−
−
=
= k
I
2
,
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
=
∑
∑
I
s
s
I
s
s
I
ij
ij
I
ji
I
ij
I
I
k
M
M
k
δ
δ
ψ
δ
,
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
10
(
)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
I
s
I
s
I
C
I
C
I
C
I
I
I
I
B
I
B
I
B
I
A
I
A
I
A
k
M
M
M
M
M
M
M
M
δ
δ
ψ
ψ
ψ
ψ
δ
2
2
2
12
21
12
1
1
1
1
1
1
3
3
2
25
.
3
)
1
(
)
1
(
3
0
4
1
0
0
m
EI
m
EI
m
m
EI
⋅
=
−
⋅
−
⋅
⋅
+
−
−
⋅
−
−
−
=
,
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
=
∑
∑
II
s
s
I
s
s
I
ij
ij
II
ji
II
ij
II
I
k
M
M
k
δ
δ
ψ
δ
,
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
0
2
2
2
2
2
12
21
12
1
1
1
1
1
1
I
C
C
C
I
II
II
I
B
II
B
II
B
I
A
II
A
II
A
M
M
M
M
M
M
M
M
ψ
ψ
ψ
ψ
,
33333333
.
0
0
0
4
1
3
4
0
0
3
2
m
EI
m
m
EI
⋅
−
=
+
−
−
⋅
⋅
−
−
−
−
=
(
)
(
)
(
)
(
)
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∑
∑
I
o
o
I
B
o
B
o
B
I
A
o
A
o
A
s
s
I
s
s
I
ij
ij
o
ji
o
ij
I
M
M
M
M
M
M
k
M
M
k
12
21
12
1
1
1
1
1
1
0
,
ψ
ψ
ψ
δ
δ
ψ
δ
(
)
(
)
(
)
I
o
o
I
B
o
B
o
B
I
A
o
A
o
A
M
M
M
M
M
M
12
21
12
1
1
1
1
1
1
ψ
ψ
ψ
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
∆
∆
∆
0
2
2
2
2
2
2
δ
δ
ψ
δ
I
I
C
o
C
o
C
k
M
M
(
)
0
0
0
00375
.
0
25
.
0
)
00003
.
0
(
0
0
0
0
=
+
⋅
−
−
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
−
=
m
m
EI
,
(
)
=
⋅
+
−
=
∑
II
ij
ij
ji
ij
II
M
M
k
ψ
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
II
C
C
C
II
II
B
B
B
II
A
A
A
M
M
M
M
M
M
M
M
2
1
2
1
2
12
1
21
1
12
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ψ
ψ
ψ
ψ
2
2
66666667
.
0
3
2
0
3
1
2
0
0
m
EI
m
EI
m
m
EI
⋅
−
=
⋅
−
=
−
⋅
⋅
−
−
−
=
=
II
k
1
,
(
)
=
⋅
+
−
=
∑
II
ij
ij
ji
ij
II
M
M
k
ψ
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
II
C
C
C
II
II
B
B
B
II
A
A
A
M
M
M
M
M
M
M
M
2
2
2
2
2
12
2
21
2
12
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
ψ
ψ
ψ
ψ
2
2
291667
.
0
24
7
4
1
5
.
1
3
1
2
0
0
m
EI
m
EI
m
m
EI
m
m
EI
⋅
−
=
⋅
−
=
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
−
−
=
=
II
k
2
,
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
=
∑
∑
II
s
s
I
s
s
II
ij
ij
I
ji
I
ij
I
II
k
M
M
k
δ
δ
ψ
δ
,
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
0
2
2
2
12
21
12
1
1
1
1
1
1
II
C
I
C
I
C
II
I
I
II
B
I
B
I
B
II
A
I
A
I
A
M
M
M
M
M
M
M
M
ψ
ψ
ψ
ψ
3
2
3333333
.
0
0
3
1
0
0
m
EI
m
m
EI
⋅
−
=
−
⋅
−
−
−
=
= k
I II
,
,
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
=
∑
∑
II
s
s
II
s
s
II
ij
ij
II
ji
II
ij
II
II
k
M
M
k
δ
δ
ψ
δ
,
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
0
2
2
2
12
21
12
1
1
1
1
1
1
II
C
II
C
II
C
II
II
II
II
B
II
B
II
B
II
A
II
A
II
A
M
M
M
M
M
M
M
M
ψ
ψ
ψ
ψ
3
3
2
2
53819444
.
0
288
155
4
1
8
3
3
1
3
4
0
0
m
EI
m
EI
m
m
EI
m
m
EI
⋅
=
⋅
=
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
−
−
−
=
,
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
=
∆
∆
∆
∆
∑
∑
0
,
s
s
II
s
s
II
ij
ij
o
ji
o
ij
II
k
M
M
k
δ
δ
ψ
δ
(
)
(
)
(
)
II
o
o
II
B
o
B
o
B
II
A
o
A
o
A
M
M
M
M
M
M
12
21
12
1
1
1
1
1
1
ψ
ψ
ψ
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
(
)
=
⋅
⋅
+
⋅
+
−
∆
∆
∆
0
2
2
2
2
2
2
δ
δ
ψ
δ
II
II
C
o
C
o
C
k
M
M
(
)
2
0009276
.
0
0
4
1
00375
.
0
3
1
)
00003
.
0
(
0
0
0
0
m
EI
m
m
EI
=
+
−
⋅
−
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
−
=
.
1.4.2
POSTAĆ SZCZEGÓŁOWA UKŁADU RÓWNAŃ I JEGO ROZWIĄZANIE
.
0
0009276
.
0
538194
.
0
333333
.
0
291667
.
0
666667
.
0
,
0
0
333333
.
0
25
.
3
5
.
0
5
.
0
,
0
002053
.
0
291667
.
0
5
.
0
833333
.
2
666667
.
0
,
0
0.0005966
666667
.
0
5
.
0
666667
.
0
533333
.
3
2
3
3
2
2
1
2
3
3
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
=
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
⋅
−
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
=
−
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
=
−
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
II
I
II
I
II
I
II
I
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
ϕ
1
=
0.00071475,
ϕ
2
=
0.0006901,
δ
I
=
0.00024316
m
,
δ
II
=
-0.0023856
m
.
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
11
1.5
RZECZYWISTE SIŁY PRZEKROJOWE
1.5.1
OBLICZENIE MOMENTÓW BRZEGOWYCH I SIŁ W WIĘZIACH SPRĘŻYSTYCH
Momenty brzegowe (momenty na końcach prętów) określamy na podstawie wzoru:
∆
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
o
ij
II
II
ij
I
I
ij
ij
ij
ij
M
M
M
M
M
M
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
2
2
1
1
Obliczenia wykonano w poniższej tabeli
ϕ
1
ϕ
1
δ
Ι
δ
ΙΙ
dla I 200
E I
0.00071475
-0.0006901
0.00024316
0.0023856
4387
kN m
2
M
1
M
2
M
I
M
II
M
o
∆
M
∆
M
∆
M
A 1
-0.2
0
0
0
-0.005236
=
-0.005379
-23.60
M
1A
0.2
0
0
0
0.005236
=
0.005379
23.60
M
B 1
0
0
0
0
0
=
0.000000
0.00
M
1B
0
0
0
0
0
=
0.000000
0.00
M
12
1.333333
0.666667
0.5
-0.666667
-0.0058326
=
-0.006808
-29.87
M
21
0.666667
1.333333
0.5
-0.666667
0.005803
=
0.003891
17.07
M
2C
0
1.5
0
0.375
-0.00375
=
-0.003891
-17.07
M
C 2
0
0
0
0
0
=
0.000000
0.00
S
ϕ
1
2
0
0
0
0
=
0.001430
6.27
M nożnik
kN m
E I/m
E I/m
E I/m
2
m
Siła osiowa w sprężystej więzi translacyjnej
2
3
0
2
2
2
2
0007295
.
0
0
)
0023856
.
0
(
0
00024316
.
0
3
m
EI
m
m
EI
S
S
S
S
II
II
I
I
−
=
+
−
⋅
+
⋅
−
=
+
⋅
+
⋅
=
∆
δ
δ
Momenty brzegowe mogą też być obliczone bezpośrednio z wykorzystaniem wzorów
transformacyjnych (patrz przykład 3).
1.5.2
OBLICZENIE SIŁ TNĄCYCH I SIŁ OSIOWYCH ORAZ KONTROLA STATYCZNEJ
DOPUSZCZALNOŚCI ROZWIĄZANIA
Brzegowe siły tnące i osiowe wyznaczamy z równań równowagi prętów i węzłów.
W tym celu układ dzielimy na pręty i węzły oraz obciążamy wydzielone elementy obciążeniem danym
i na brzegach siłami przekrojowymi (określonymi już momentami i szukanymi siłami osiowymi i
tnącymi). Przedstawiono to na rysunku poniżej.
4 m
B
C
A
1
A
M
A
M
1
B
M
1
1
C
M
2
3 m
2 m
2 m
q
2
0
1
=
B
M
B
V
1
B
N
1
0
1
=
B
V
0
1
=
B
N
12
M
B
M
1
B
N
1
B
V
1
12
V
12
N
A
M
1
A
N
1
A
V
1
ϕ
1
S
A
N
1
A
V
1
0
1
=
A
V
1
A
N
21
M
3 m
12
M
12
V
12
N
21
N
21
V
21
N
2
C
N
2
12
V
C
V
2
21
M
C
M
2
0
2
=
C
M
2
C
N
2
C
V
C
V
2
C
N
2
x
y
x
y
x
y
3 m
x
y
x
y
x
y
Dla sił działających na każdy element wypisujemy 3 równania równowagi. Z sum momentów
względem końców prętów wyznaczamy siły tnące a z pozostałych równań wyznaczamy siły osiowe i
część z nich stanowi kontrolę statycznej dopuszczalności rozwiązania. W obliczeniach wykorzystamy
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
12
określone już wartości momentów oraz wynikające z warunków podparcia wartości sił osiowych i
tnących
N
B1
= V
B1
= V
A1
= 0.
PRĘT A-1
⇒
=
⋅
+
+
=
∑
0
5
1
1
1
m
V
M
M
M
A
A
A
A
=
⇒
=
⋅
+
+
−
A
A
V
m
V
1
1
0
5
005379
.
0
005379
.
0
0
,
0
1
1
⇒
=
−
=
∑
A
A
V
V
Y
0
0
0
=
−
(spełnione tożsamościowo),
0
1
1
⇒
=
+
−
=
∑
A
A
N
N
X
1
1A
A
N
N
=
.
PRĘT B-1
⇒
=
⋅
+
+
=
∑
0
3
1
1
1
m
V
M
M
M
B
B
B
B
=
⇒
=
⋅
+
+
B
B
V
m
V
1
1
0
3
0
0
0,
0
1
1
⇒
=
−
=
∑
B
B
V
V
Y
0
0
0
=
−
(spełnione tożsamościowo),
⇒
=
+
−
=
∑
0
1
1
B
B
N
N
X
0
1
1B
=
=
B
N
N
.
PRĘT 1-2
⇒
=
⋅
+
+
=
∑
0
3
21
21
12
1
m
V
M
M
M
⇒
=
⋅
+
+
−
0
3
/
003891
.
0
006808
.
0
(
21
m
V
m
EI
2
21
/
0009726
.
0
m
EI
V
=
,
0
12
21
⇒
=
−
=
∑
V
V
Y
2
21
12
/
0009726
.
0
m
EI
V
V
=
=
,
0
21
12
⇒
=
+
−
=
∑
N
N
X
21
12
N
N
=
.
PRĘT 2-C
0
4
2
2
2
2
=
⋅
+
+
=
∑
m
V
M
M
M
C
C
C
⇒
⇒
=
⋅
+
+
−
0
4
/
)
0
003891
.
0
(
2
m
V
m
EI
C
2
2
/
0009726
.
0
m
EI
V
C
=
,
0
2
2
⇒
=
−
=
∑
C
C
V
V
Y
⇒
2
2
2
/
0009726
.
0
m
EI
V
V
C
C
=
=
,
0
2
2
⇒
=
+
−
=
∑
C
C
N
N
X
2
2
C
C
N
N
=
.
WĘZEŁ 1
=
−
−
−
+
−
=
−
−
−
−
=
∑
001430
.
0
)
006008
.
0
(
0
005379
.
0
1
12
1
1
1
ϕ
S
M
M
M
M
B
A
0003
.
0
−
m
EI
/
0
≈
(spełnione tożsamościowo),
0
8
.
0
6
.
0
1
1
1
12
=
⋅
+
⋅
−
−
=
∑
A
A
B
N
V
V
V
Y
⇒
2
1A
1
/
001289
.
0
N
0
8
.
0
6
.
0
0
0
0009726
.
0
m
EI
N
A
−
=
⇒
=
⋅
+
⋅
−
−
0
8
.
0
6
.
0
1
1
1
12
=
⋅
−
⋅
−
−
=
∑
A
A
B
V
N
N
N
X
⇒
2
12
2
12
/
0007295
.
0
N
0
8
.
0
0
6
.
0
/
)
001289
.
0
(
0
m
EI
m
EI
N
−
=
⇒
=
⋅
−
⋅
−
−
−
Z trzeciego równania dla pręta A-1
.
/
001289
.
0
2
1
1
m
EI
N
N
A
A
−
=
=
Z trzeciego równania dla pręta 1-2
2
12
21
/
0007735
.
0
m
EI
N
N
−
=
=
.
WĘZEŁ 2
0
)
003891
.
0
(
003891
.
0
2
21
2
=
−
−
−
=
−
−
=
∑
C
M
M
M
(spełnione tożsamościowo),
0
0009726
.
0
0009726
.
0
21
2
=
−
=
−
=
∑
V
V
Y
C
(spełnione tożsamościowo),
0
21
2
⇒
=
−
=
∑
N
N
X
C
2
21
2
/
0007295
.
0
m
EI
N
N
C
−
=
=
.
Z trzeciego równania dla pręta 2-C wyznaczamy
2
2
2
/
0007295
.
0
m
EI
N
N
C
C
−
=
=
.
Brzegowe siły tnące mogą też być obliczone bezpośrednio z wykorzystaniem wzorów
transformacyjnych (patrz przykład 3).
1.6
WYKRESY SIŁ PRZEKROJOWYCH
M
-
-
m
EI /
005379
.
0
m
EI /
006808
.
0
m
EI /
003891
.
0
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
13
V
+
2
/
0009726
.
0
m
EI
N
-
-
2
/
001216
.
0
m
EI
2
/
0007295
.
0
m
EI
1.7
KONTROLA ROZWIĄZANIA
Aby mieć pewność, że rozwiązanie jest poprawne należy wykazać, że jest ono statycznie i
kinematycznie dopuszczalne.
Pierwszy warunek oznacza, że siły muszą spełniać równania równowagi. Warunek ten
został sprawdzony w trakcie wyznaczania sił tnących i osiowych.
Sprawdzenie drugiego warunku polega na sprawdzeniu czy wynikające z rozwiązania
przemieszczenia w poszczególnych punktach spełniają warunki podparcia i ciągłości. Wystarczy
sprawdzenie tylu składowych przemieszczeń ile wynosi stopień statycznej niewyznaczalności.
Rozwiązywane zadanie
jest dwukrotnie statycznie
niewyznaczalne. Wystarczy, więc
sprawdzić 2 przemieszczenia. W
tym celu przyjmujemy układ
podstawowy metody sił i
rozwiązujemy go od
jednostkowych wartości sił
hiperstatycznych.
Na rysunku powyżej pokazano
układ podstawowy bez obciążenia
danego, gdyż nie będzie on
rozwiązywany od tego obciążenia.
Siły
2
X
muszą tu być przyjęte z takimi zwrotami jak w rozwiązaniu metodą przemieszczeń.
Wartości reakcji, wykresy sił przekrojowych oraz wartości tych sił i reakcji w miejscach
błędów montażu i przemieszczeń podpór od obciążenia
1
1
=
X
pokazano na rysunkach poniżej.
7
5
1
1
=
M
7
4
1
M
1
1
=
X
0
1
=
A
M
m
R
A
28
5
1
=
0
1
=
ϕ
S
m
V
C
28
4
1
−
=
m
S
28
3
1
=
δ
2EI
X
1
X
2
X
2
A
B
1
2
C
3m
4
m
3m
4m
3
/
3
m
EI
k
=
δ
m
EI
k
/
2
1
=
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
14
m
N
28
3
1
1
=
m
N
28
5
1
2
=
m
V
7
1
1
1
−
=
Wartości reakcji, wykresy sił przekrojowych oraz wartości tych sił i reakcji w miejscach
błędów montażu i przemieszczeń podpór od obciążenia
1
2
=
X
pokazano na rysunkach poniżej.
7
5
1
1
−
=
M
7
4
−
2
M
0
1
=
A
M
m
R
A
28
5
1
−
=
1
1
=
ϕ
S
1
2
=
X
m
S
28
3
1
−
=
δ
m
V
C
28
4
1
=
-
-
2
N
m
N
28
3
2
1
−
=
m
N
28
5
2
2
−
=
+
m
7
2
V
m
V
7
1
1
1
+
=
1
Przemieszczenia w miejscach usuniętych więzi obliczamy korzystając ze wzorów:
=
∆
⋅
−
∆
⋅
+
∆
⋅
+
∆
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
∆
∑
∑
∑
∑
∫
∑
∆
∆
r
r
r
v
v
v
n
n
n
m
m
m
s
s
s
R
h
V
L
N
M
k
S
S
dx
EI
M
M
1
1
1
1
1
1
1
ϕ
C
C
A
A
s
s
s
v
V
M
h
V
L
N
L
N
M
k
S
S
dx
EI
M
M
⋅
−
⋅
−
∆
⋅
+
∆
⋅
+
∆
⋅
+
∆
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
∫
∑
∆
∆
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
ϕ
ϕ
,
=
∆
⋅
−
∆
⋅
+
∆
⋅
+
∆
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
∆
∑
∑
∑
∑
∫
∑
∆
∆
r
r
r
v
v
v
n
n
n
m
m
m
s
s
s
R
h
V
L
N
M
k
S
S
dx
EI
M
M
2
2
2
2
2
2
2
ϕ
C
C
A
A
s
s
s
v
V
M
h
V
L
N
L
N
M
k
S
S
dx
EI
M
M
⋅
−
⋅
−
∆
⋅
+
∆
⋅
+
∆
⋅
+
∆
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
∫
∑
∆
∆
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
ϕ
ϕ
,
przy czym przemieszczenie
1
∆
(przy przyjętym układzie podstawowym met. sił. – usunięto więź
rotacyjną) jest obrotem końca A pręta A-1 i powinno być równe obrotowi podpory
02618
.
0
−
=
A
ϕ
.
Do obliczenia całek zastosujemy wzór Simpsona i wzór Mohra.
+
−
⋅
+
−
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
⋅
+
=
∆
m
EI
m
EI
m
EI
EI
m
m
EI
m
EI
)
003891
.
0
(
7
4
)
0053494
.
0
(
14
11
4
)
006808
.
0
(
1
6
3
/
)
005379
.
0
(
5
1
1
0
1
MP – przykład 5 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – przemieszczenia podpór i błędy montażu
18.03.09
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
15
+
⋅
+
−
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
⋅
+
0
0
)
0019455
.
0
(
7
2
4
)
003891
.
0
(
7
4
2
6
4
+
⋅
−
⋅
+
4
14
)
0008423
.
0
(
3
0
=
⋅
−
−
−
⋅
−
−
⋅
−
−
⋅
+
⋅
+
⋅
+
m
m
m
m
m
m
m
m
01
.
0
28
4
3
)
02618
.
0
(
0
)
02
.
0
(
7
1
)
015
.
0
(
28
5
01
.
0
28
3
01745
.
0
7
5
02624
.
0
−
.
Uwzględniając, że przemieszczenie to powinno być równe obrotowi podpory A
02618
.
0
−
=
A
ϕ
,
błąd wynosi
0
00006
.
0
)
02618
.
0
(
02624
.
0
1
≈
−
=
−
−
−
=
−
∆
A
ϕ
+
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
+
−
⋅
−
⋅
+
+
=
∆
m
EI
m
EI
m
EI
EI
m
)
003891
.
0
(
7
4
)
0053494
.
0
(
14
11
4
)
006808
.
0
(
1
6
3
0
0
2
+
⋅
+
−
⋅
−
⋅
+
−
⋅
−
⋅
⋅
+
0
0
)
0019455
.
0
(
7
2
4
)
003891
.
0
(
7
4
2
6
4
+
⋅
⋅
−
+
4
14
0008932
.
0
3
0
0
00006
.
0
01
.
0
28
3
4
)
02618
.
0
(
0
)
02
.
0
(
7
1
)
015
.
0
(
28
5
01
.
0
28
3
01745
.
0
7
5
≈
=
⋅
−
−
−
⋅
−
−
⋅
+
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
m
m
m
m
m
m
m
m
.
Otrzymane rozwiązanie jest, więc kinematycznie dopuszczalne.