Egzamin gimnazjalny
cz. matematyczno-przyrodnicza
ROZWIAZANIA I SCHEMAT PUNKTACJI
Zadania zamknięte
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
A A C B C B D C C D C D C A B A B C D C C D D B C
Zadania otwarte
Nr RozwiÄ…zanie Schemat punktacji Liczba Suma
zad punktów punktów
26. oznaczenie i 0  1 0  2
20000
wyskalowanie osi
wykresu
16000 narysowanie odcinka 0  1
Å‚Ä…czÄ…cego punkty o
współrzędnych (0 m;
12000
0 J) i (31,25 m;
18750 J)
8000
4000
0
02040
wysokość [m]
27. zastosowanie zasady 0  1 0  2
Epot = Ekin
zachowania energii
mv2
(zauważenie, że
mgh =
2
energia potencjalna
v = 2gh skoczka siedzÄ…cego
na belce zmienia siÄ™
w energiÄ™
kinetycznÄ…) lub
zastosowanie wzoru
v = 2gh
m obliczenie szybkości 0  1
v = 2 Å"10 Å" 31,25 = 625 = 25
i podanie wyniku z
s
jednostkÄ…
28. Zastosowanie 0  1 0  3
42 3
Pp = 6 Å" = 24 3[m2 ]
prawidłowej metody
4
obliczenia pola
podstawy
Zastosowanie 0  1
V = Pp Å" H
prawidłowej metody
V = 24 3 Å" 4 = 96 3 [m3 ]
obliczenia objętości
poprawność 0  1
rachunkowa
energia potencjalna [J]
29. prawidłowe 0  2 0  2
umieszczenie
lub
wszystkich symboli
N N
W
W
prawidłowe 0  1
umieszczenie 3 lub 4
symboli
30. oznaczenie 0  1 0  4
x  liczba droższych nart i x"N
niewiadomej
ułożenie nierówności 0  1
320(25-x) +520xd" 9500
rozwiÄ…zanie 0  1
xd"7,5
nierówności
Największą liczbą naturalną spełniającą tę nierówność podanie odpowiedzi 0  1
jest liczba 7, czyli można kupić co najwyżej 7 par
droższych nart.
Możesz rozwiązywać zadanie wprowadzając jedną lub dwie niewiadome.
Niech x oznacza liczbę droższych nart Niech
(pamiętaj, że x musi być liczbą naturalną). x oznacza liczbę droższych nart
Wówczas 25  x to liczba tańszych nart y liczbę tańszych nart
Natomiast (pamiętaj, że x i y muszą być liczbami
320(25-x) + 520x to koszt zakupu 25 par nart naturalnymi)
Zauważ, że tak zapisany koszt zakupu musi wówczas równanie x+ y = 25 opisuje warunek
być niewiększy niż 9500 zł dotyczący liczby kupionych nart, a nierówność
Możesz więc zapisać następującą nierówność:
320 y + 520 x d" 9500 warunek dotyczÄ…cy kosztu
320(25-x) +520x d" 9500 zakupu.
Aby ją rozwiązać mnożysz 320 przez Otrzymujesz wówczas następujący układ
wyrażenia
x + y = 25
Å„Å‚
òÅ‚320y + 520x d" 9500
w nawiasie
ół
8000  320x + 520x d" 9500
Aby rozwiązać ten układ, wyznaczasz z
porzÄ…dkujesz wyrazy podobne
równania jedną z niewiadomych np. y = 25  x i
200x d" 1500
podstawiasz do nierówności w miejsce y
i dzielisz obie strony nierówności przez 200
wyrażenie 25  x.
x d" 7,5
Otrzymujesz
Zauważ, że największą liczbą naturalną
y = 25
Å„Å‚ - x
spełniającą tę nierówność jest liczba 7. Zatem
òÅ‚320(25 - x) + 520x d" 9500
można kupić co najwyżej 7 par nart droższych. ół
po rozwiązaniu nierówności
y = 25
Å„Å‚ - x
òÅ‚x d" 7,5
ół
Największą liczba naturalną spełniającą tę
nierówność jest 7, czyli
x = 7
Å„Å‚
òÅ‚y = 18
ół
Zatem można kupić co najwyżej 7 par droższych
nart.
Możesz też to zadanie rozwiązać metodą prób i błędów.
Liczba
5 6 7 8
droższych
par nart
Liczba
20 19 18 17
tańszych
par nart
Koszt
520Å"5+320Å" 20 = 9000 520Å" 6 + 320Å"19=9200 520Å"7+320Å"18= 9400 520Å"8+320Å"17= 9600
zakupu
[zł]
za mało za mało dobrze! za dużo
Adnotacje przy sprawdzeniu (za dużo, za mało) pozwalają na sprawniejsze szukanie rozwiązania
i umożliwiają przekonanie się o tym, że jest ono jedyne.
Oczywiście nie musisz poszukiwania rozwiązania tą metodą zapisywać w tabeli.
Przy rozwiązaniu tego zadania możesz także stosować metodę ograniczania z dołu lub z góry.
Metoda ograniczenia z dołu Metoda ograniczenia z góry
Ile zapłacą za 25 tańszych nart? Ile zapłacą za 25 droższych nart?
25 Å" 320 = 8000[zÅ‚] 25 Å"520 = 13000[zÅ‚]
Ile pieniędzy zostanie? Ile pieniędzy zabraknie?
9500  8000 =1500 [zł] 13000  9500 =3500 [zł]
Ile wynosi różnica cen? Ile wynosi różnica cen?
520  320 =200 [zł] 520  320 =200 [zł]
Ile razy w 1500zł mieści się 200zł? Ile razy w 3500zł mieści się 200zł?
1500:200 =7,5 3500:200 =17,5
Zatem zamiast 7 tańszych par nart można kupić Zatem zamiast 18 droższych trzeba kupić 18
7 droższych, pozostałe 18 pary nart muszą być tańszych, pozostałych 7 pary nart musi być
tańsze. droższych.
Masa mÄ…ki (w dag)
100 150 25 62,5
31. prawidłowe 0  2 0  3
uzupełnienie tabeli
Masa drożdży
8 12 2 5
prawidłowe 0  1
(w dag)
uzupełnienie dwóch
lub trzech liczb
y prawidłowe podanie 0  1
y = 0,08Å" x lub = 0,08
zależności
x
32. zapisanie wzorów 0  1 0  3
produktów
NaHCO3 = Na2CO3 + H2OÄ™! + CO2Ä™!
dobranie 0  1
współczynnika
2NaHCO3 = Na2CO3+H2OÄ™! +CO2Ä™!
stechiometrycznego
W wyniku rozkładu związku wchodzącego w skład prawidłowe 0  1
proszku do pieczenia wydzielają się gazy (H2O i CO2), wyjaśnienie
które dyfundując powodują spulchnianie i rozrost
ciasta.
33. x  liczba bombek złotych oznaczenie 0  1 0  4
y  liczba bombek czerwonych niewiadomych
z  liczba bombek niebieskich i zapisanie równań
x + y = 40 opisujÄ…cych
x + z = 60 zależności między
y + z = 70 zmiennymi
np. z = 70 - y wyeliminowanie 0  1
jednej zmiennej
x + y = 40
Å„Å‚
òÅ‚x + 70 - y = 60
(doprowadzenie do
ół
układu dwóch
równań z dwiema
niewiadomymi)
x = 15, y = 25 rozwiązanie układu 0  1
równań
z = 45 wyliczenie trzeciej 0  1
niewiadomej
Możesz rozwiązywać zadanie wprowadzając niewiadome
Niech x oznacza liczbę bombek złotych, y liczbę bombek czerwonych a z liczbę bombek
niebieskich.
Wówczas warunki opisane w treści zadania można zapisać w postaci równań:
x + y = 40
x + z = 60
y + z = 70
Otrzymujesz układ trzech równań z trzema niewiadomymi
x + y = 40
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + z = 60
ôÅ‚y + z = 70
ół
Aby go rozwiązać możesz wyeliminować jedną z niewiadomych i doprowadzić do układu dwóch
równań z dwiema niewiadomymi np. z = 70  y, wówczas otrzymujesz układ:
x + y = 40
Å„Å‚
òÅ‚x + 70 - y = 60
ół
Rozwiązując ten układ otrzymasz
x = 15
Å„Å‚
òÅ‚y = 25
ół
Wówczas z = 45
x + y = 40
Å„Å‚
ôÅ‚
Możesz również rozwiązując układ + z = 60 dodać wszystkie równania stronami, otrzymasz
òÅ‚x
ôÅ‚y + z = 70
ół
2x + 2y + 2z = 170
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + y = 40
ôÅ‚x + z = 60
ół
Po podzieleniu obu stron pierwszego równania przez 2
x + y + z = 85
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + y = 40
ôÅ‚x + z = 60
ół
Podstawiając do pierwszego równania w miejsce x+y liczby 40 otrzymasz z= 45, podstawiając do
pierwszego równania w miejsce x+z liczby 60 otrzymasz y = 25, następnie wyznaczasz x
podstawiając np. do drugiego równania w miejsce y liczby 25, wówczas x=15.
Przy rozwiązaniu tego zadania może Ci pomóc rysunek
40
złote czerwone
60
Za interpretację danych w ten sposób
otrzymasz 1 punkt
niebieskie
złote
70
niebieskie
czerwone
Z takiej postaci łatwo zauważysz związek między liczbą bombek w dwóch kolorach np. niebieskich
i czerwonych
40
Bombek czerwonych jest o 20 mniej niż niebieskich.
złote czerwone
20 mniej
Za zauważenie tego związku otrzymasz 1 punkt.
złote
niebieskie
60
Zależność tę można wykorzystać do obliczenia liczby bombek jednego koloru (np. czerwonego).
70
Za wykorzystanie tej zależności do obliczenia liczby
czerwone
czerwone
20 bombek jednego koloru otrzymasz 1 punkt.
Liczbę bombek czerwonych możesz
obliczyć w następujący sposób: (70-20):2= 25.
Teraz możesz obliczyć liczby bombek
Za obliczenie (podanie) liczby bombek dwóch
pozostałych dwóch kolorów.
pozostałych kolorów otrzymasz 1 punkt.
Jeżeli bombek czerwonych jest 25,
to bombek niebieskich jest 25+20=45,
a bombek złotych 40  25 =15.
34. tlen podanie właściwej 0  1 0  2
nazwy gazu
Obniżenie temperatury powoduje zwolnienie przebiegu sformułowanie 0  1
fotosyntezy. prawidłowego
wniosku
Przykładowy arkusz egzaminacyjny przygotowali:
Anna Widur, Urszula Sawicka  Patrzałek, Iwo Wroński, Dorota Lewandowska, Krzysztof Koza,
Krystyna Stypińska