1

ZESTAWIENIE WZORÓW

I. CAŁKI FUNKCJI NIEWYMIERNYCH:

A)

∫













dx

x

x

R

n

m

,

N

t

x

=

,

gdzie N – wspólny mianownik ułamków postaci

n

m .

B)

(

)

∫













+

dx

b

ax

x

R

n

m

,

N

t

b

ax

=

+

,

gdzie N – wspólny mianownik ułamków postaci

n

m .

C)

∫





























+

+

dx

d

cx

b

ax

x

R

n

m

,

N

t

d

cx

b

ax

=

+

+

, gdzie N – wspólny mianownik ułamków postaci

n

m .

D)

E)

∫

∫

+

+

+

+

+

⋅

=

+

+

−

c

bx

ax

dx

K

c

bx

ax

x

Q

dx

c

bx

ax

x

W

n

n

2

2

1

2

)

(

)

(

,

gdzie

)

(

1

x

Q

n

−

- wielomian stopnia n – 1 w POSTACI OGÓLNEJ, K – stała

F)

C

k

t

t

k

t

dt

+

+

+

=

+

∫

2

2

ln

G)

C

k

t

t

k

dt

∫

+

=

−

arcsin

2

2

H)

C

t

k

t

k

t

k

dt

t

k

+

−

+

=

−

∫

2

2

2

2

2

2

arcsin

2

I)

C

k

t

t

k

k

t

t

dt

k

t

+

+

+

+

+

=

+

∫

2

2

2

ln

2

2

J)

C

t

k

t

k

t

k

dt

t

k

t

+

−

−

=

−

∫

2

2

2

2

2

2

2

arcsin

2

K)

C

k

t

t

k

k

t

t

dt

k

t

t

+

+

+

−

+

=

+

∫

2

2

2

2

ln

2

2

II. CAŁKI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH:

A)

(

)

∫

dx

x

x

R

cos

,

sin

t

x

=

2

tg

dt

t

dx

2

1

2

+

=

2

1

2

sin

t

t

x

+

=

,

2

2

1

1

cos

t

t

x

+

−

=

,

2

1

2

tg

t

t

x

−

=

B)

(

)

∫

dx

x

x

x

x

R

cos

sin

,

cos

,

sin

2

2

t

x

=

tg

dt

t

dx

2

1

1

+

=

2

2

2

1

sin

t

t

x

+

=

,

2

2

1

1

cos

t

x

+

=

,

2

1

cos

sin

t

t

x

x

+

=

⋅

∫

+

+

c

bx

ax

dx

2

0

>

a

0

<

a

C

t

t

t

dt

+

±

+

=

±

∫

1

ln

1

2

2

C

t

t

dt

+

=

−

∫

arcsin

1

2

2

C)

∫

dx

x

x

n

m

cos

sin

, gdzie

N

∈

n

m

,

1.

∫

∫

−

−

−

+

−

=

dx

x

n

n

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

sin

1

cos

sin

1

sin

,

2

>

n

2.

∫

∫

−

−

−

+

=

dx

x

n

n

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

cos

1

sin

cos

1

cos

,

2

>

n

D)

∫

+

−

=

C

x

x

dx

x

2

sin

4

1

2

1

sin

2

E)

∫

+

+

=

C

x

x

dx

x

2

sin

4

1

2

1

cos

2

F)

2

,

tg

tg

1

1

tg

2

1

>

−

−

=

∫

∫

−

−

n

dx

x

x

n

dx

x

n

n

n

G)

2

,

ctg

ctg

1

1

ctg

2

1

>

−

−

−

=

∫

∫

−

−

n

dx

x

x

n

dx

x

n

n

n

H)

∫

∫

∫

dx

x

x

dx

x

x

dx

x

x

β

α

β

α

β

α

cos

cos

,

sin

sin

,

cos

sin

1.

(

)

B

A

B

A

B

A

sin

sin

2

1

2

cos

2

sin

+

=

−

+

2.

(

)

B

A

B

A

B

A

cos

cos

2

1

2

cos

2

cos

+

=

−

+

3.

(

)

B

A

B

A

B

A

cos

cos

2

1

2

sin

2

sin

−

−

=

−

+

I)

∫

x

x

dx

m

n

cos

sin

,

N

∈

≠

≠

m

n

x

x

,

,

0

cos

,

0

sin

∫

∫

∫

∫

∫

+

=

+

=

=

dx

x

x

x

dx

x

x

x

dx

x

x

x

x

dx

x

x

x

x

dx

m

n

m

n

m

n

m

n

m

n

cos

sin

cos

cos

sin

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

1

cos

sin

2

2

2

2

J)

∫

+

=

C

x

x

dx

2

tg

ln

sin

K)

∫

+













+

=

C

x

x

dx

2

4

tg

ln

cos

π

III. ZASTOSOWANIE CAŁKI OZNACZONEJ:

A) Pole obszaru płaskiego:

1.

∫

=

b

a

dx

x

f

D

)

(

,

b

a

x

,

∈

2.

∫

′

⋅

=

β

α

dt

t

x

t

y

D

)

(

)

(

,

β

α

,

∈

t

3.

[

]

∫

=

2

1

2

)

(

2

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

d

r

D

,

2

1

,

ϕ

ϕ

ϕ

∈

3

B) Długość łuku krzywej:

1.

[

]

dx

x

f

L

b

a

∫

′

+

=

2

)

(

1

,

b

a

x

,

∈

2.

[

]

[

]

dt

t

y

t

x

L

∫

′

+

′

=

β

α

2

2

)

(

)

(

,

β

α

,

∈

t

3.

[

]

[

]

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

d

r

r

L

∫

′

+

=

2

1

2

2

)

(

)

(

,

2

1

,

ϕ

ϕ

ϕ

∈

C) Objętość bryły obrotowej:

1.

∫

=

b

a

dx

x

f

V

)

(

2

π

,

b

a

x

,

∈

2.

[

]

∫

′

⋅

=

β

α

π

dt

t

x

t

y

V

)

(

)

(

2

,

β

α

,

∈

t

D) Pole powierzchni bryły obrotowej:

1.

[

]

0

)

(

,

)

(

1

)

(

2

2

≥

′

+

=

∫

x

f

dx

x

f

x

f

S

b

a

π

,

b

a

x

,

∈

2.

[

]

[

]

dt

t

y

t

x

t

y

S

∫

′

+

′

=

β

α

π

2

2

)

(

)

(

)

(

2

,

β

α

,

∈

t

IV. CAŁKI NIEWŁAŚCIWE:

A) całka niewłaściwa I – go rodzaju – w obszarze nieograniczonym:

1.

∫

∫

+∞

→

+∞

=

β

β

a

a

dx

x

f

dx

x

f

)

(

lim

)

(

,

2.

∫

∫

−∞

→

∞

−

=

b

b

dx

x

f

dx

x

f

α

α

)

(

lim

)

(

3.

∫

∫

∫

+∞

∞

−

+∞

∞

−

+

=

c

c

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

)

(

)

(

)

(

B) całka niewłaściwa II – go rodzaju – z funkcji nieograniczonej:

1.

∫

∫

−

→

+

=

ε

ε

b

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

)

(

lim

)

(

0

,

±∞

=

−

→

)

(

lim

x

f

b

x

2.

∫

∫

+

→

+

=

b

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

ε

ε

)

(

lim

)

(

0

,

±∞

=

+

→

)

(

lim

x

f

a

x

3.

∫

∫

∫

+

=

b

c

c

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

)

(

)

(

)

(

,

±∞

=

→

)

(

lim

x

f

c

x