1 

ZESTAWIENIE WZORÓW

   

statystyka opisowa 

 

wersj

a do sprawdzianów i egzaminu 

– numeracja wzorów zgodna z książką

 

„Statystyka opisowa nie tylko dla socjologów”

 

 

 

n

n

n

n

n

n

k

i

i

k















1

3

2

1



  (2.1)  

i

i

i

r

w

f



 

 

     (2.13) 

n

k



 

 

       

     (2.2)   







n

i

i

i

p

w

w

min

w

1

2

 

,

1

 

,

)

 

,

(

     (2.14) 

n

k

n





2

   

 

     (2.3)   

1

0





p

w

 

 

     (2.15) 

k

R

r

i



   

 

       

     (2.5)   

n

x

x

x

x

n











2

1

        (3.1) 

n

n

w

i

i



  

 

 

     (2.6)   

n

x

x

n

i

i







1

 

 

      (3.2) 

1

1







k

i

i

w

 

 

        

     (2.7)   

max

min

x

x

x





  

      (3.3) 

1

0





i

w

 

 

 

     (2.8)   

0

)

(

1









n

i

i

x

x

  

   

   (3.4)

 

%

100





i

i

w

p

  

        

     (2.9)   









n

i

i

x

x

1

2

min

)

(

 

      (3.5) 

%

100

1







k

i

i

p

   

 

     (2.10)

 

n

x

x

x

n

x













2

1

   

(3.6)

 

n

n

w

sk

i

sk

i



 

 

      

     (2.11) 

n

n

g

x

x

x

x











2

1

          (3.7) 

i

i

i

r

n

g



 

 

 

     (2.12) 







n

i

i

H

x

n

x

1

1

 

 

      (3.8) 

 























 

parzyste.

gdy  

    

2

   

e,

nieparzyst

gdy  

   

          

1

2

2

2

1

n

x

x

n

x

Me

n

n

n

 

 

 

 

      (3.9) 

 

2 

 

x

Me

Do

2

3





  

 

     (3.10) 

1

3

Q

Q

R

Q





   

     (3.12) 

 

min

max

x

x

R





 

      

     (3.11) 

2

1

3

Q

Q

Q





   

     (3.13) 

Q

Me

x

Q

Me

typ









 

     (3.14) 

3

1

3

)

(

1

s

x

x

n

A

n

i

i

s









 

    

(3.24) 

n

x

x

d

n

i

i









1

   

 

     (3.15) 

n

n

x

x

k

i

i

i







1

 

 

     (3.25) 

n

x

x

s

n

i

i









1

2

2

)

(

 

      

     (3.16) 













k

i

i

i

k

i

i

i

w

x

w

x

x

1

1

1

      (3.26) 

2

1

2

2

x

n

x

s

n

i

i









 

 

     (3.17) 

100

1







k

i

i

i

p

x

x

 

 

     (3.27) 

2

s

s



 

 

     

     (3.18) 

n

n

x

x

k

i

i

i







1



 

 

     (3.28) 

s

x

x

s

x

typ









 

 

     (3.19) 













k

i

i

i

k

i

i

i

w

x

w

x

x

1

1

1





    (3.29) 

%

100





x

s

V

s

   

      

     (3.20) 

100

1







k

i

i

i

p

x

x



   

    

(3.30) 

%

100





Me

Q

V

Q

 

 

     (3.21)

 

n

n

x

x

r

i

i

i







1

 

 

     (3.31) 

s

Do

x

A

P





   

      

     (3.22) 

n

n

x

x

k

i

i

i







1

 

 

     (3.32) 

 

1

3

1

3

2

Q

Q

Me

Q

Q

A

Q









   

     (3.23) 

 

 

 

 

 

 

3 

   

)

(

)

(

1

1

1

d

d

d

d

d

d

d

ld

r

n

n

n

n

n

n

x

Do





















 

 

 

 

     (3.33) 

   

)

(

)

(

1

1

1

d

d

d

d

d

d

d

ld

r

w

w

w

w

w

w

x

Do





















 

 

 

 

     (3.34) 

m

m

sk

m

lm

r

n

n

n

x

Me











1

2

        (3.35) 

n

n

s

s

k

i

i

i

i









1

2

2

 

                  (3.44)

 

  

4

1

1

1

1

1

1

q

q

sk

q

lq

r

n

n

n

x

Q











      (3.36)        

  

)

(

)

(

1

2

2

n

n

x

x

x

s

k

i

i

i

i











           

(3.45)

 

  

4

3

3

3

3

3

1

3

q

q

sk

q

lq

r

n

n

n

x

Q











   (3.37)       

  

)

(

1

2

1

2

2

n

n

x

x

n

n

s

s

k

i

i

i

k

i

i

i



















(3.46) 

n

n

x

x

s

k

i

i

i











1

2

2

)

(

             (3.38) 

3

1

3

)

(

1

s

n

x

x

n

A

k

i

i

i

s











                 (3.48) 

 

2

1

2

2

x

n

n

x

s

k

i

i

i











 

           (3.39) 

3

1

3

)

(

1

s

n

x

x

n

A

k

i

i

i

s













                 (3.49) 

 

n

n

x

x

s

k

i

i

i











1

2

2

)

( 

             (3.41) 

4

1

4

)

(

1

s

x

x

n

K

n

i

i









 

2

1

2

2

x

n

n

x

s

k

i

i

i













 

           (3.42)           

3

'





K

K

 

 

 

 

 

 

 

  

)

(

  

   

2

2

2

i

i

x

s

s

s





 

          

(3.43)         

5000

a

G



 

 

5

,

0

a

G



 

 

 

 

 

 

5000

5000 b

G





   

5

,

0

5

,

0

b

G





 

 

 

4 

5000

2

100

)

100

100

(

5000

1

1





















k

i

i

skum

i

skum

i

w

z

z

G

 

5

,

0

2

)

(

5

,

0

1

1















k

i

i

skum

i

skum

i

w

z

z

G

 

 

y

x

s

s

Y

X

r

)

,

cov(



 

                       

 

 

 

(4.1) 

n

y

y

x

x

Y

X

n

i

i

i











1

)

)(

(

)

,

cov(

    

 

 

 

(4.2) 

 

y

x

n

y

x

Y

X

n

i

i

i











1

)

,

cov(

          

 

 

 

(4.3) 

 

n

x

x

s

n

i

i

x









1

2

)

(

 = 

2

1

2

x

n

x

n

i

i







   

 

 

 (4.4)  

 

n

y

y

s

n

i

i

y









1

2

)

(

 = 

2

1

2

y

n

y

n

i

i







   

 

 

(4.5)  

y

x

n

n

y

x

n

n

y

y

x

x

Y

X

r

i

k

j

ij

j

i

r

i

k

j

ij

j

i

























1

1

1

1

)

)(

(

)

,

cov(









 

 (4.6) 

 

2

1

2

1

2

)

(

x

n

n

x

n

n

x

x

s

r

i

i

i

r

i

i

i

x

























 

 

 

 (4.7) 

 

2

1

2

1

2

)

(

y

n

n

y

n

n

y

y

s

k

j

j

j

k

j

j

j

y

























            

 

(4.8) 

 

 

 

5 

)

1

(

6

1

2

1

2











n

n

d

r

n

i

i

s

                   (4.9)              

)

1

 

;

1

min(

2









k

r

n

V



               (4.14) 











r

i

k

j

t

ij

t

ij

ij

n

n

n

1

1

2

2

)

(



        (4.10) 

n

P





2

2





   

      

     (4.15) 

 

n

n

n

n

j

i

t

ij









                        (4.11) 

)

)(

)(

)(

(

)

(

2

2

d

c

d

b

c

a

b

a

bc

ad

n















  (4.16) 

 

n

2



 

 

 

        (4.12) 





)

)(

)(

)(

(

5

,

0

2

2

d

c

d

b

c

a

b

a

n

bc

ad

n

















  (4.17) 

 

)

1

)(

1

(

2







k

r

n

T



       (4.13) 

bc

ad

bc

ad

Q







 

 

                   (4.18) 

 
 
 

 









X

b

b

Y

1

0

 

 

i

i

i

d

x

b

b

y







1

0

 

 

i

i

x

b

b

y

1

0

ˆ





 

 

i

i

i

y

y

d

ˆ





                  

0

1







n

i

i

d

 

 

0

)

ˆ

(

1









n

i

i

i

y

y

 

 

min

)

ˆ

(

1

2









n

i

i

i

y

y

 

 

















n

i

i

n

i

i

i

x

x

y

y

x

x

b

1

2

1

1

)

(

)

)(

(

 

2

1

)

,

cov(

x

s

Y

X

b



 

 

x

b

y

b





0

 

 















n

i

i

n

i

i

y

y

y

y

R

1

2

1

2

2

)

(

)

ˆ

(

    

n

y

y

S

n

i

i

i

e









1

2

2

)

ˆ

(

    

n

y

y

S

n

i

i

i

e









1

2

)

ˆ

(

    

y

S

V

e

e





  

 

 

 

 

6 

 
 













n

i

i

n

n

y

n

y

y

y

y

1

2

1



   

1

2

1

1

2

1

2

1













n

y

y

y

y

y

n

n

ch



 

 

1

/

1

/

1

t

t

d

i





   

 

1

/

1

/

1









t

t

t

t

d

i

 

 
 

1





g

y

T

1

1

/

1

1

1

1

2

3

1

2

1

1

/

2

/

3

1

/

2

































n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

g

i

y

y

y

y

y

y

y

y

i

i

i

y





 

 

1

1

)

(





n

g

n

y

y

y

 

 

k

g

n

k

n

y

y

y

)

(





 

 

l

g

n

l

n

y

y

y

)

(





 

 

 

 

 

                                kolejne dzielenie indeksów jednopodstawowych  przez 

                                                            indeks jednopodstawowy dla okresu k 

indeksy jednopodstawowe   

                                            indeksy jednopodst. 

(gdy podstawą jest okres t = 1) 

 

                             (o dowolnej podstawie k) 

 
 
 
 

 

                                dzielenie dwóch kolejnych indeksów jednopodstawowych 
 

 

 

   („późniejszy” przez „wcześniejszy”) 

indeksy jednopodstawowe   

 

                 indeksy łańcuchowe 

 
 
 

 

             mnożenie kolejnych (od pierwszego włącznie)  

                                            indeksów łańcuchowych  

 

 

indeksy łańcuchowe   

 

 

         indeksy jednopodstawowe 

 

 
 

 

 

 

7 

0

p

p

i

n

p



 

 

0

q

q

i

n

q



 

 

0

w

w

i

n

w



 

q

p

w

i

i

i





 

 

 

 

Prosty agregatowy indeks cen 







0

p

p

I

n

p

    

 

Agregatowy indeks cen Laspeyresa 







0

0

0

q

p

q

p

I

n

L

p

 

 

 

Agregatowy indeks cen Paaschego 







n

n

n

P

p

q

p

q

p

I

0

 

 

 

Agregatowy indeks ilości Laspeyresa 







0

0

0

p

q

p

q

I

n

L

q

 

 

 

Agregatowy indeks ilości Paaschego 







n

n

n

L

q

p

q

p

q

I

0

 

 

 

 

Agregatowy indeks wartości 







0

0

q

p

q

p

I

n

n

w

   

 

 

8 

Równość indeksowa 

F

p

F

q

L

p

P

q

L

q

P

p

w

I

I

I

I

I

I

I













   

 

P

p

L

p

F

p

I

I

I





 

- agregatowy indeks cen Fishera 

 

P

q

L

q

F

q

I

I

I





 

- 

agregatowy indeks ilości Fishera 

 

Wyodrębnianie wahań okresowych 

 

Przypadek A. 

y

y

O

i

i



 

 

Przypadek B. 

i

n

i

t

t

i

n

y

y

SO

i









1

)

ˆ

(

 







d

i

i

SO

1

0

     



 

d

SO

SO

SKO

d

i

i

i

i









1

 

 
 
 

Przypadek C. 

i

n

i

t

t

i

n

y

y

SO

i







1

'

ˆ

 







d

i

i

d

SO

1

'

      











d

i

i

i

i

SO

d

SO

SKO

1

'

'

'

                    

KONIEC