www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
POZIOM ROZSZERZONY
7
MARCA
2008
C
ZAS PRACY
: 150(180?)
MINUT
Z
ADANIE
1
(5
PKT
.)
Suma trzech liczb rzeczywistych dodatnich jest równa 13. Druga liczba jest trzy razy wi˛eksza
od pierwszej. Wyznacz trzy liczby spełniaj ˛
ace podane warunki tak, aby suma ich kwadratów
była najmniejsza.
R
OZWI ˛
AZANIE
Mamy układ
(
a
+
b
+
c
=
13
b
=
3a
(
4a
+
c
=
13
b
=
3a
(
c
=
13
−
4a
b
=
3a
i chcemy znale´z´c rozwi ˛
azanie z minimalnym a
2
+
b
2
+
c
2
. Z układu mamy
a
2
+
b
2
+
c
2
=
a
2
+ (
3a
)
2
+ (
13
−
4a
)
2
=
=
a
2
+
9a
2
+
169
−
104a
+
16a
2
=
=
26a
2
−
104a
+
169
=
=
13
(
2a
2
−
8a
+
13
)
.
Aby znale´z´c warto´s´c najmniejsz ˛
a tego wyra ˙zenia, szukamy warto´sci najmniejszej funkcji
f
(
a
) =
2a
2
−
8a
+
13. W tym miejscu jest jednak pewien delikatny szczegół. Poniewa ˙z liczby
maj ˛
a by´c dodatnie, a nie mo ˙ze by´c zupełnie dowolne. Dokładniej:
a
>
0
b
=
3a
>
0
c
=
13
−
4a
>
0
⇒
a
<
13
4
.
Szukamy zatem minimum funkcji f na przedziale
0,
13
4
. Liczymy pierwsz ˛
a współrz˛edn ˛
a
wierzchołka paraboli b˛ed ˛
acej wykresem tej funkcji:
x
w
=
2.
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Poniewa ˙z punkt ten le ˙zy w przedziale
0,
13
4
, to wła´snie w nim funkcja osi ˛
aga minimum.
Otrzymujemy st ˛
ad a
=
2, b
=
6, c
=
5.
Odpowied´z: a
=
2, b
=
6, c
=
5
Z
ADANIE
2
(4
PKT
.)
Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji wykładniczej f
(
x
) =
a
x
dla x
∈
R
a) Narysuj wykres funkcji g, który jest obrazem wykresu funkcji f w przesuni˛eciu o wek-
tor
→
u
= [
2,
−
1
]
.
b) Wyznacz a i zapisz wzór funkcji g otrzymanej w wyniku tego przesuni˛ecia.
c) Odczytaj z wykresu zbiór wszystkich argumentów, dla których g
(
x
) >
0.
R
OZWI ˛
AZANIE
a) Wykres funkcji g powstaje z f przez przesuni˛ecie o dwie jednostki w prawo i jedn ˛
a w
dół – niebieski wykres na rysunku.
b) Na wykresie w tre´sci zadania wida´c, ˙ze f
(−
1
) =
2, tzn. a
−
1
=
2. St ˛
ad a
=
1
2
. Aby
napisa´c wzór funkcji g korzystamy ze wzoru na przesuni˛ecie funkcji y
=
f
(
x
)
o wektor
→
v
= [
a, b
]
:
y
=
f
(
x
−
a
) +
b.
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
W naszej sytuacji
g
(
x
) =
f
(
x
−
2
) −
1
=
1
2
x
−
2
−
1.
Odpowied´z: a
=
1
2
, g
(
x
) =
1
2
x
−
2
−
1
c) Odczytujemy z wykresu:
x
∈ (−
∞, 2
)
.
Odpowied´z:
(−
∞, 2
)
Z
ADANIE
3
(4
PKT
.)
Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których jedynym rozwi ˛
azaniem rzeczywi-
stym równania x
3
+
m
3
x
2
−
m
2
x
−
1
=
0 jest liczba 1.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposob I
Po pierwsze sprawdzamy, kiedy x
=
1 jest rzeczywi´scie pierwiastkiem podanego wielomia-
nu.
1
+
m
3
−
m
2
−
1
=
0
⇒
m
(
m
−
1
) =
0.
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Widzimy zatem, ˙ze m
=
0 lub m
=
1. Dla m
=
0 mamy wielomian
x
3
−
1
= (
x
−
1
)(
x
2
+
x
+
1
)
.
Łatwo sprawdzi´c (z
∆-y), ˙ze wielomian w nawiasie nie ma pierwiastków, czyli m
=
0 jest
ok.
Dla m
=
1 mamy wielomian
x
3
+
x
2
−
x
−
1.
W tym miejscu mamy wiele mo ˙zliwo´sci, mo ˙zemy go podzieli´c przez
(
x
−
1
)
, mo ˙zemy spraw-
dzi´c, ˙ze drugi dzielnik wyrazu wolnego, czyli -1 te ˙z jest pierwiastkiem, mo ˙zemy wreszcie
rozło ˙zy´c wielomian bezpo´srednio
x
3
+
x
2
−
x
−
1
=
=
x
2
(
x
+
1
) − (
x
+
1
) = (
x
2
−
1
)(
x
+
1
) =
= (
x
−
1
)(
x
+
1
)(
x
+
1
) = (
x
−
1
)(
x
+
1
)
2
Tak czy inaczej, x
=
1 nie jest jedynym pierwiastkiem.
Sposób II
Dzielimy z reszt ˛
a podany wielomian przez
(
x
−
1
)
(na razie nie nale ˙zy przejmowa´c si˛e pa-
rametrem m). Tak jak poprzednio robimy to grupuj ˛
ac wyrazy (chocia ˙z najpro´sciej byłoby
schematem Hornera):
x
3
+
m
3
x
2
−
m
2
x
−
1
=
= (
x
3
−
x
2
) +
x
2
+
m
3
x
2
−
m
2
x
−
1
=
=
x
2
(
x
−
1
) + (
m
3
+
1
)(
x
2
−
x
) + (
m
3
+
1
)
x
−
m
2
x
−
1
=
=
x
2
(
x
−
1
) + (
m
3
+
1
)
x
(
x
−
1
) + (
m
3
+
1
−
m
2
)(
x
−
1
) +
m
3
+
1
−
m
2
−
1
= (
x
−
1
)(
x
2
+ (
m
3
+
1
)
x
+
m
3
+
1
−
m
2
) +
m
3
−
m
2
.
Wida´c teraz, ˙ze x
=
1 jest pierwiastkiem tylko wtedy, gdy reszta m
3
−
m
2
jest równa 0, czyli
dla m
=
0 lub m
=
1.
Dla m
=
0, z powy ˙zszego dzielenia mamy:
x
3
−
1
= (
x
−
1
)(
x
2
+
x
+
1
)
i wielomian x
2
+
x
+
1 nie ma pierwisatków.
Dla m
=
1 mamy
x
3
+
x
2
−
x
−
1
= (
x
−
1
)(
x
2
+
2x
+
1
) = (
x
−
1
)(
x
+
1
)
2
i x
=
1 nie jest jedynym pierwiastkiem.
Odpowied´z: m
=
0
Z
ADANIE
4
(5
PKT
.)
Wiadomo, ˙ze okr ˛
ag jest styczny do prostej o równaniu y
=
2x
−
3 w punkcie A
= (
2, 1
)
i styczny do prostej o równaniu y
=
1
2
x
+
9 w punkcie B
= (−
4, 7
)
. Oblicz promie ´n tego
okr˛egu.
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Zacznijmy od schematycznego rysunku. Jak zwykle w przypadku zadania z geometrii ana-
litycznej jest wiele sposobów rozwi ˛
azania. My poka ˙zemy dwa z nich.
Sposób I
Spróbujemy znale´z´c współrz˛edne ´srodka O
= (
x, y
)
okr˛egu, o którym mowa w tre´sci za-
dania. W tym celu napiszemy równania prostych prostopadłych do podanych prostych w
punktach styczno´sci z okr˛egiem i znajdziemy ich punkt wspólny. Prosta prostopadła do
y
=
2x
−
3 jest postaci y
= −
1
2
x
+
b. Ponadto szukamy prostej przechodz ˛
acej przez punkt
A
= (
2, 1
)
, czyli
1
= −
1
2
·
2
+
b
⇒
b
=
2.
Podobnie znajdujemy drug ˛
a prost ˛
a. Ma on posta´c y
= −
2x
+
b oraz
7
= (−
2
) · (−
4
) +
b
⇒
b
= −
1.
Aby wyznaczy´c O, musimy znale´z´c punkt wspólny tych dwóch prostych
(
y
= −
1
2
x
+
2
y
= −
2x
−
1.
Odejmuj ˛
ac od pierwszego równania drugie ( ˙zeby skróci´c y), otrzymujemy
0
=
3
2
x
+
3
⇒
x
= −
2.
Zatem y
=
3 i O
= (−
2, 3
)
.
Pozostało wyliczy´c promie ´n okr˛egu, czyli długo´s´c odcinka AO:
AO
=
q
(−
2
−
2
)
2
+ (
3
−
1
)
2
=
√
16
+
4
=
2
√
5.
Materiał pobrany z serwisu
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób II
Podobnie jak poprzednio, znajdziemy współrz˛edne punktu O
= (
x, y
)
. Jakie ten punkt ma
własno´sci? Po pierwsze jest równoodległy od podanych prostych. Jak to zapisa´c? – trzeba
skorzysta´c ze wzoru na odległo´s´c punktu P
= (
x
0
, y
0
)
od prostej Ax
+
By
+
C
=
0.
|
Ax
0
+
By
0
+
C
|
√
A
2
+
B
2
.
˙Zeby nie mie´c ułamków, równanie drugiej prostej zamie ´nmy na x
−
2y
+
18
=
0 i mamy
wtedy:
|
2x
−
y
−
3
|
√
4
+
1
=
|
x
−
2y
+
18
|
√
1
+
4
/
·
√
5
|
2x
−
y
−
3
| = |
x
−
2y
+
18
|
.
Jak teraz opu´sci´c warto´sci bezwgl˛edne? Do tego potrzebna jest informacja o poło ˙zeniu punk-
tu O wzgl˛edem danych prostych. Dla punktu na prostej wyra ˙zenie, które znajduje si˛e pod
warto´sci ˛
a bezwzgl˛edn ˛
a jest 0. Je ˙zeli punkt jest na lewo od prostej, to ma x-a mniejszego,
czyli wyra ˙zenie jest ujemne. Gdy jest na prawo, to x jest wi˛ekszy, wi˛ec jest dodatnie. Nasz
punkt O jest na prawo od pierwszej prostej i na lewo od drugiej, zatem
2x
−
y
−
3
= −(
x
−
2y
+
18
)
3x
=
3y
−
15
x
=
y
−
5.
Dobrze, ale mamy jedno równanie a dwie niewiadome (nic w tym dziwnego, na razie wyli-
czyli´smy tylko równanie dwusiecznej podanego k ˛
ata). Drugie równanie to fakt, ˙ze odległo´s´c
punktu O od danych prostych to ma by´c dokładnie jego odległos´c od punktu A. Od razu
porównamy kwadraty odległo´sci i wykorzystamy poprzednie wyliczenie odległo´sci O od
pierwszej prostej
(
2x
−
y
−
3
)
2
5
= (
x
−
2
)
2
+ (
y
−
1
)
2
Zanim przkształcimy to dalej podstawmy wyliczone ju ˙z x
=
y
−
5
(
2
(
y
−
5
) −
y
−
3
)
2
5
= ((
y
−
5
) −
2
)
2
+ (
y
−
1
)
2
(
y
−
13
)
2
=
5
((
y
−
7
)
2
+ (
y
−
1
)
2
)
y
2
−
26y
+
169
=
5
(
y
2
−
14y
+
49
+
y
2
−
2y
+
1
)
y
2
−
26y
+
169
=
5y
2
−
70y
+
245
+
5y
2
−
10y
+
5
9y
2
−
54y
+
81
=
0
y
2
−
6y
+
9
=
0
(
y
−
3
)
2
=
0
y
=
3.
Tak wi˛ec x
= −
2 i promie ´n wyliczamy jak w poprzednim sposobie.
Materiał pobrany z serwisu
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
5
(3
PKT
.)
Narysuj wykres funkcji f
(
x
) = |
x
−
1
| +
3 okre´slonej dla x
∈
R, a nast˛epnie na jego podsta-
wie podaj liczb˛e rozwi ˛
aza ´n równania f
(
x
) =
m w zale ˙zno´sci od parametru m
∈
R.
R
OZWI ˛
AZANIE
Korzystamy ze wzoru na przesuni˛ecie funkcji y
=
f
(
x
)
o wektor
→
v
= [
a, b
]
:
y
=
f
(
x
−
a
) +
b.
W naszej sytuacji wykres f powstaje z wykresu y
= |
x
|
przez przesuni˛ecie o wektor
[
1, 3
]
–
rysunek.
Z rysunku bez trudu odczytujemy, ˙ze f
(
x
) =
m ma
0 rozwi ˛
aza ´n
dla m
<
3
1 rozwi ˛
azanie
dla m
=
3
2 rozwi ˛
azania
dla m
>
3.
Z
ADANIE
6
(5
PKT
.)
Wła´sciciel sklepu z odzie ˙z ˛
a kupił w hurtowni koszulki, płac ˛
ac za nie 720 zł. Gdyby ka ˙zda
koszulka kosztowała o 2 złote mniej, to za t˛e sam ˛
a kwot˛e mógłby kupi´c o 5 koszulek wi˛ecej.
Oblicz, ile koszulek kupił w tej hurtowni wspomniany wła´sciciel sklepu. Podaj cen˛e jednej
koszulki.
R
OZWI ˛
AZANIE
Materiał pobrany z serwisu
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Oznaczmy liczb˛e koszulek przez k, a cen˛e pojedy ´nczej koszulki przez c. Mamy wtedy
(
kc
=
720
(
k
+
5
)(
c
−
2
) =
720
(
kc
=
720
kc
+
5c
−
2k
−
10
=
720.
Odejmuj ˛
ac od drugiego równania pierwsze ( ˙zeby skróci´c kc), dostajemy
5c
−
2k
−
10
=
0
⇒
k
=
5
2
c
−
5.
Wstawiaj ˛
ac to do równania kc
=
720, dostajemy
5
2
c
−
5
c
=
720
5
2
c
2
−
5c
−
720
=
0
/ : 5
1
2
c
2
−
c
−
144
=
0.
Rozwi ˛
azujemy to standardowo,
∆
=
1
+
144
·
2
=
289
=
17
2
.
Otrzymujemy st ˛
ad c
1
=
1
−
17
= −
16, c
2
=
1
+
17
=
18. Oczywi´scie pierwsze rozwi ˛
azanie
odrzucamy.
Odpowied´z: 18 zł
Z
ADANIE
7
(4
PKT
.)
W czworok ˛
acie wypukłym ABCD dane s ˛
a:
|
AB
| =
2,
|
BC
| =
√
3,
|
CD
| =
3,
|
DA
| =
4 i
|]
DAB
| =
60
◦
. Oblicz pole tego czworok ˛
ata.
R
OZWI ˛
AZANIE
Jak zwykle, zacznijmy od schematycznego rysunku.
Plan rozwi ˛
azania zadania jest nast˛epuj ˛
acy. Aby obliczy´c pole czworok ˛
ata, podzielimy go
na dwa trójk ˛
aty (przek ˛
atn ˛
a DB). Pole ka ˙zdego z nich obliczymy ze wzoru
P
∆
=
1
2
ab sin γ,
gdzie γ – k ˛
at mi˛edzy bokami a i b. Jedyna rzecz, której nam brakuje, to miara k ˛
ata przy
wierzchołku C. B˛edziemy mogli go wyliczy´c z twierdzenia kosinusów, je ˙zeli b˛edziemy znali
długo´s´c BD, a t˛e mo ˙zemy wyliczy´c znowu z twierdzenia kosinusów, ale w trójk ˛
acie ABD.
Materiał pobrany z serwisu
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
No dobrze, skoro wszystko ju ˙z wiemy, to do dzieła. Liczymy BD:
BD
2
=
AD
2
+
AB
2
−
2
·
AD
·
AB
·
cos
]
A
BD
2
=
16
+
4
−
16 cos 60
◦
BD
2
=
20
−
16
·
1
2
BD
2
=
12
BD
=
2
√
3.
Liczymy teraz cos
]
C:
BD
2
=
CB
2
+
CD
2
−
2CB
·
CD cos
]
C
12
=
3
+
9
−
6
√
3 cos
]
C
0
=
6
√
3 cos
]
C
]
C
=
90
◦
.
Jak ju ˙z wiemy co wyszło, to wiemy, ˙ze mo ˙zna było to wyliczy´c z twierdzenia Pitagorasa, ale
to przegapili´smy, trudno. Teraz bez trudu liczymy szukane pola
P
ABD
=
1
2
·
4
·
2
·
sin 60
◦
P
ABD
=
2
√
3
P
BCD
=
1
2
·
3
·
√
3
P
BCD
=
3
2
√
3
P
ABCD
=
P
ABD
+
P
BCD
P
ABCD
=
2
√
3
+
3
2
√
3
P
ABCD
=
7
2
√
3.
Odpowied´z:
7
2
√
3
Materiał pobrany z serwisu
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
8
(5
PKT
.)
W graniastosłupie prawidłowym sze´sciok ˛
atnym płaszczyzna ABC zawieraj ˛
aca przek ˛
atne
s ˛
asiednich ´scian bocznych, wychodz ˛
acych z tego samego wierzchołka, jest nachylona do
podstawy graniastosłupa pod k ˛
atem α
=
60
◦
. Pole przekroju graniastosłupa t ˛
a płaszczyzn ˛
a
równa si˛e 8
√
3. Zaznacz na poni ˙zszym rysunku k ˛
at α. Oblicz obj˛eto´s´c tego graniastosłupa.
R
OZWI ˛
AZANIE
Zacznijmy od zazanczenia podanego k ˛
ata.
Aby obliczy´c obj˛eto´s´c graniastosłupa potrzebujemy zna´c jego wysoko´s´c H i pole podsta-
wy. Podstawa składa si˛e z 6 trójk ˛
atów równobocznych, oznaczmy długo´s´c ich boku przez a.
Spróbujmy najpierw jako´s wykorzysta´c podan ˛
a informacj˛e o polu trójk ˛
ata ABC. W tym celu
wyrazimy to pole w zale ˙zno´sci od a i H.
Materiał pobrany z serwisu
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Zauwa ˙zmy, ˙ze odcinek AB jest dwa razy dłu ˙zszy ni ˙z wysoko´s´c trojk ˛
atów równobocz-
nych, które s ˛
a w podstawie. Zatem (ze wzoru na wysoko´s´c w trójk ˛
acie równobocznym
h
=
a
√
3
2
)
AB
=
a
√
3.
Natomiast wysyko´s´c CE trójk ˛
ata ABC wyliczamy z trójk ˛
ata prostok ˛
atnego CDE:
CD
CE
=
sin 60
◦
H
CE
=
√
3
2
CE
=
2H
√
3
CE
=
2
√
3H
3
.
Mo ˙zemy zatem zapisa´c warunek z polem:
1
2
a
√
3
·
2
√
3H
3
=
8
√
3
aH
=
8
√
3.
Sk ˛
ad wzi ˛
a´c jeszcze jedno równanie? – jeszcze raz korzystamy z trójk ˛
ata CDE oraz z faktu,
˙ze DE
=
1
2
a
DE
DC
=
ctg 60
◦
a
2
H
=
√
3
3
a
=
2
√
3
3
H.
Z obu otrzymanych zwi ˛
azków dostajemy
2
√
3
3
H
·
H
=
8
√
3
H
2
=
12
H
=
2
√
3
a
=
2
√
3
3
H
=
4.
Teraz bez problemu liczymy obj˛eto´s´c (korzystamy ze wzoru na pole trójk ˛
ata równobocznego
P
=
a
2
√
3
4
)
V
=
6
·
a
2
√
3
4
·
H
=
=
6
·
4
√
3
·
2
√
3
=
144.
Odpowied´z: 144
Materiał pobrany z serwisu
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
9
(5
PKT
.)
W trójk ˛
acie równoramiennym ABC, w którym
|
AC
| = |
BC
|
wysoko´s´c CE jest dwa razy
dłu ˙zsza od wysoko´sci AD (patrz rysunek). Oblicz kosinusy wszystkich k ˛
atów wewn˛etrz-
nych trójk ˛
ata ABC.
R
OZWI ˛
AZANIE
Ogólnie, to to co chcemy zrobi´c, to zamieni´c podan ˛
a infomacj˛e o stosunku wysoko´sci na
informacj˛e o stosunku boków trójk ˛
ata – bo to, mniej wi˛ecej, daje funkcje trygonometryczne
jego k ˛
atów. Najwa ˙zniejsze to znale´z´c jak ˛
a´s równo´s´c w danym trójk ˛
acie, w której wystepuj ˛
a
jednocze´snie obie wysoko´sci. Mo ˙zliwo´sci jest wiele, ale dwie najprostsze to
- dwa wzory na pole: AB
·
CE
=
CB
·
AD,
- podobie ´nstwo trójk ˛
atów CEB i ADB:
CE
CB
=
AD
AB
.
Ka ˙zda z tych równo´sci prowadzi do wniosku
AB
CB
=
1
2
.
I to w zasadzie prawie koniec, zostało jeszcze sporo rachunków, ale s ˛
a one do´s´c oczywiste
– jest ju ˙z jasne, ˙ze kształt (a wi˛ec k ˛
aty) trójk ˛
ata ABC jest przez ten warunek jednoznacznie
wyznaczony (z warunku z wysoko´sciami nie było to całkiem jasne).
No to liczymy. Najpierw cos
]
B
=
cos
]
A:
cos
]
B
=
EB
CB
=
1
2
·
AB
CB
=
1
4
.
Na wyliczenie cos
]
C znowu jest wiele ró ˙znych sposobów, ale najmniej trickowy to wyli-
czenie cos
]
ECB
=
cos
(
90
◦
− ]
B
)
, a potem ze wzoru cos 2α
=
2 cos
2
α
−
1. Liczymy:
cos
]
ECB
=
cos
(
90
◦
− ]
B
) =
sin
]
B
=
=
p
1
−
cos
2
]
B
=
r
1
−
1
16
=
√
15
4
.
Materiał pobrany z serwisu
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
I dalej
cos
]
C
=
cos 2
]
ECB
=
2 cos
2
]
ECB
−
1
=
=
2
·
15
16
−
1
=
7
8
.
Odpowied´z: cos
]
A
=
cos
]
A
=
1
4
,
cos
]
C
=
7
8
Z
ADANIE
10
(5
PKT
.)
Ci ˛
ag geometryczny
(
a
n
)
jest okre´slony wzorem a
n
=
3
1
−
n
dla n
>
1.
a) Oblicz iloraz tego ci ˛
agu.
b) Oblicz log
3
a
1
+
log
3
a
2
+
log
3
a
3
+ · · · +
log
3
a
100
czyli sum˛e logarytmów, o podstawie
3, stu pocz ˛
atkowych, kolejnych wyrazów tego ci ˛
agu.
R
OZWI ˛
AZANIE
• Iloraz to iloraz dwóch s ˛
asiednich wyrazów:
q
=
a
2
a
1
=
3
−
1
3
0
=
3
−
1
=
1
3
.
Odpowied´z:
1
3
• Prosty rachunek (pod warunkiem znajmo´sci wzoru log
a
a
c
=
c):
log
3
3
0
+
log
3
3
−
1
+
log
3
3
−
2
+ · · · +
log
3
3
−
99
=
=
0
+ (−
1
) + (−
2
) + · · · + (−
99
) =
= −(
1
+
2
+ · · · +
99
) = −
1
+
99
2
·
99
=
= −
50
·
99
= −
4950.
Pod koniec wykorzystali´smy wzór na sum˛e wyrazów ci ˛
agu arytmetycznego.
Odpowied´z: -4950
Z
ADANIE
11
(5
PKT
.)
Rzucamy trzykrotnie symetryczn ˛
a kostk ˛
a sze´scienn ˛
a do gry. Oblicz prawdopodobie ´nstwa
nast˛epuj ˛
acych zdarze ´n:
A -– na ka ˙zdej kostce wypadnie nieparzysta liczba oczek,
B — suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek b˛edzie podzielna przez 3.
Materiał pobrany z serwisu
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Jak zwykle zaczynamy od wyboru odpowiedniej przestrzeni zdarze ´n elementarnych. Ustal-
my, ˙ze
Ω to wszystkie mo˙zliwe wyniki z uwzgl˛ednion ˛a kolejno´sci ˛a, czyli np. odró˙zniamy
(
1, 2, 3
)
od
(
2, 1, 3
)
. W takim modelu wszystkich zdarze ´n jest 6
·
6
·
6
=
6
3
.
Pierwsza cz˛e´s´c zadania jest łatwa, zdarzenia sprzyjaj ˛
ace A to takie, ˙ze wylosowane liczby
s ˛
a ze zbioru 1, 3, 5. Mamy zatem 3
·
3
·
3
=
3
3
mo ˙zliwo´sci, sk ˛
ad
P
(
A
) =
3
3
6
3
=
1
8
.
Co do drugiego prawdopodobie ´nstwa, to trzeba najpierw zrozumie´c kiedy suma kwadra-
tów trzech liczb dzieli sie przez 3. Nie ma na to lepszego sposobu ni ˙z powypisywa´c sobie
troch˛e mo ˙zliwych wyników i poszuka´c jakiej´s prawidłowo´sci. My pominiemy ten krok i od
razu podamy odpowied´z. Ka ˙zda liczba przy dzieleniu przez trzy daje reszt˛e 0, 1 lub 2. Licz-
ba jest podzielna przez 3, gdy reszta jest 0. Mamy zatem trzy liczby a, b, c i zastanawiamy si˛e
kiedy a
2
+
b
2
+
c
2
daje reszt˛e 0 z dzielenia przez trzy. Sprawd´zmy jak ˛
a reszt˛e daje a
2
:
je ˙zeli a
=
3k to reszta jest 0
je ˙zeli a
=
3k
+
1 to a
2
= (
3k
+
1
)
2
=
9k
2
+
6k
+
1, czyli reszta jest 1
je ˙zeli a
=
3k
+
2 to a
2
= (
3k
+
2
)
2
=
9k
2
+
12k
+
3
+
1, czyli reszta jest 1
Widzimy zatem, ˙ze a
2
ma zawsze reszt˛e 0 lub 1 z dzielenia przez 3. W ko ´ncu rozumiemy
kiedy a
2
+
b
2
+
c
2
dzieli si˛e przez trzy: albo a, b, c s ˛
a wszystkie podzielne przez 3 (reszta
0+0+0) albo ˙zadna z nich (reszta 1+1+1). Innych mo ˙zliwo´sci nie ma.
Pozostało policzy´c ile jest takich wyników. Układów z liczbami podzielnymi przez 3 jest
2
·
2
·
2
=
2
3
(bo do wyboru jest 3 i 6). Układów z liczbami, które nie s ˛
a podzielne przez 3
jest 4
3
(do wyboru mamy 1,2,4 lub 5). Mamy zatem
P
(
B
) =
2
3
+
4
3
6
3
=
1
+
2
3
3
3
=
1
3
.
Odpowied´z: P
(
A
) =
1
8
, P
(
B
) =
1
3
Materiał pobrany z serwisu
14
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
MJA 1 PR rozwiazania id 303664 Nieznany
dopasowane rozwiazania id 14037 Nieznany
Zestaw pytan testowych id 587 Nieznany
Zestawienie wzorow SO id 589004 Nieznany
el pr zobowiazania id 157316 Nieznany
Podst poj i pr chem id 366070 Nieznany
ZestawY do Dziekonskiej id 5891 Nieznany
biologia 6 pr kl2 id 87699 Nieznany (2)
4R ruch obrotowy bryly PR rozwiazania id 39410 (2)
zestaw pytan OWI id 588534 Nieznany
ISDN rozwiazania id 220417 Nieznany
zestaw podstawowych drgan id 58 Nieznany
zestawy pytan kolo 1 id 589534 Nieznany
biologia 7 pr kl2 id 87701 Nieznany
zestaw 10 grawitacja id 587967 Nieznany
zestaw 6 dynamika cd id 588136 Nieznany
geografia2012 pr ODP id 189038 Nieznany
geografia2013 pr ODP id 189039 Nieznany
Zestaw 06 InzB id 587912 Nieznany
więcej podobnych podstron