05.05.2011 r.
Zadanie 1. Pokazać, że szereg potęgowy f (z) =
∞
P
n=0
a
n
z
n
jest funkcją holomorficzną w swoim
kole zbieżności |z| < R i jego pochodna wyraża się wzorem
f
0
(z) =
∞
X
n=1
na
n
z
n−1
.
Zadanie 2. Sprawdzić gdzie następujące funkcje są różniczkowalne w sensie zespolonym a
także gdzie są holomorficzne. Wszędzie z = x + iy.
• f (z) =
sin z
z
, dla z 6= 0;
1,
dla z = 0.
• g(z) = |z|
2
• h(z) =
z
|z|
2
, dla z 6= 0.
• p(z) = e
−x
e
−iy
• q(z) = z=z
• r(z) = z
2
− z
2
• x(z) = 4<z=z − iz
2
• y(z) = 2xy − i(x + y)
2
Zadanie 3. Wykazać, że funkcja holomorficzna w obszarze przyjmująca jedynie wartości
rzeczywiste jest stała.
Zadanie 4. Niech f będzie holomorficzna w z
0
. Wówczas g(z) = f (z) jest holomorficzna w
z
0
wtedy i tylko wtedy, gdy f
0
(z
0
) = 0.
Zadanie 5. Jeśli
1
z − z
1
+
1
z − z
2
+ . . . +
1
z − z
n
= 0
to z ∈ conv ({z
1
, . . . , z
n
}), gdzie
conv ({z
1
, . . . , z
n
}) =
(
z ∈ C; z = λ
1
z
1
+ . . . λ
n
z
n
, λ
k
≥ 0,
n
X
k=1
λ
k
= 1
)
jest powłoką wypukłą zbioru {z
1
, . . . , z
n
} (tj. najmniejszym zbiorem wypukłym zawiera-
jącym {z
1
, . . . , z
n
}).
Zadanie 6. Wykazać, że zera pochodnej wielomianu leżą w powłoce wypukłej zbioru zer
tego wielomianu.
W. Skorzystać z Zadania 5.
Zadanie 7. Wykazać, że relacja ∼ równoważności krzywych jest relacją równoważności.
1
Zadanie 8. Wykazać, że
Z
−γ
f dz = −
Z
γ
f dz
dla dowolnej funkcji f ciągłej na γ
∗
. −γ oznacza tu drogę przeciwną do γ.
Zadanie 9. Wykazać, że jeśli krzywe są równoważne, to mają taką samą długość.
Zadanie 10. Obliczyć całkę krzywoliniową
R
γ
|z| dz, gdzie
• γ = [−i, i];
• γ jest lewym półokręgiem od −i do i;
• γ jest prawym półokręgiem od −i do i.
Zadanie 11. Obliczyć
R
γ
zz
−1
dz po brzegu górnej połowy pierścienia A = {z; 1 < |z| < 2}.
Zadanie 12. Obliczyć
R
γ
|z| z dz po brzegu górnej połowy koła K(0, 1).
Zadanie 13. Obliczyć
R
C(0,r)
z
n
dz oraz
R
C(z
0
,r)
z
n
dz (|z
0
| > r) dla n ∈ N.
Zadanie 14. Wykazać, że funkcja f (z) = (z−z
0
)
−1
, holomorficzna w obszarze {z ∈ C; |z − z
0
| > 0},
nie ma w tym obszarze funkcji pierwotnej.
Zadanie 15. Niech |a| < r < |b|. Pokazać, że
Z
C(0,r)
dz
(z − a)(z − b)
=
2πi
a − b
.
1
Definicja 0.1. Krzywe γ : [a, b] → C oraz γ
1
: [a
1
, b
1
] → C są równoważne (γ ∼ γ
1
) jeśli istnieje różniczko-
walna bijekcja ϕ : [a
1
, b
1
] → [a, b] taka że ϕ
0
(t) > dla wszystkich t oraz γ
1
= γ ◦ ϕ.
2