05.05.2011 r.

Zadanie 1. Pokazać, że szereg potęgowy f (z) =

∞

P

n=0

a

n

z

n

jest funkcją holomorficzną w swoim

kole zbieżności |z| < R i jego pochodna wyraża się wzorem

f

0

(z) =

∞

X

n=1

na

n

z

n−1

.

Zadanie 2. Sprawdzić gdzie następujące funkcje są różniczkowalne w sensie zespolonym a
także gdzie są holomorficzne. Wszędzie z = x + iy.

• f (z) =



sin z

z

, dla z 6= 0;

1,

dla z = 0.

• g(z) = |z|

2

• h(z) =

z

|z|

2

, dla z 6= 0.

• p(z) = e

−x

e

−iy

• q(z) = z=z

• r(z) = z

2

− z

2

• x(z) = 4<z=z − iz

2

• y(z) = 2xy − i(x + y)

2

Zadanie 3. Wykazać, że funkcja holomorficzna w obszarze przyjmująca jedynie wartości
rzeczywiste jest stała.

Zadanie 4. Niech f będzie holomorficzna w z

0

. Wówczas g(z) = f (z) jest holomorficzna w

z

0

wtedy i tylko wtedy, gdy f

0

(z

0

) = 0.

Zadanie 5. Jeśli

1

z − z

1

+

1

z − z

2

+ . . . +

1

z − z

n

= 0

to z ∈ conv ({z

1

, . . . , z

n

}), gdzie

conv ({z

1

, . . . , z

n

}) =

(

z ∈ C; z = λ

1

z

1

+ . . . λ

n

z

n

, λ

k

≥ 0,

n

X

k=1

λ

k

= 1

)

jest powłoką wypukłą zbioru {z

1

, . . . , z

n

} (tj. najmniejszym zbiorem wypukłym zawiera-

jącym {z

1

, . . . , z

n

}).

Zadanie 6. Wykazać, że zera pochodnej wielomianu leżą w powłoce wypukłej zbioru zer
tego wielomianu.
W. Skorzystać z Zadania 5.

Zadanie 7. Wykazać, że relacja ∼ równoważności krzywych jest relacją równoważności.

1

Zadanie 8. Wykazać, że

Z

−γ

f dz = −

Z

γ

f dz

dla dowolnej funkcji f ciągłej na γ

∗

. −γ oznacza tu drogę przeciwną do γ.

Zadanie 9. Wykazać, że jeśli krzywe są równoważne, to mają taką samą długość.

Zadanie 10. Obliczyć całkę krzywoliniową

R

γ

|z| dz, gdzie

• γ = [−i, i];

• γ jest lewym półokręgiem od −i do i;

• γ jest prawym półokręgiem od −i do i.

Zadanie 11. Obliczyć

R

γ

zz

−1

dz po brzegu górnej połowy pierścienia A = {z; 1 < |z| < 2}.

Zadanie 12. Obliczyć

R

γ

|z| z dz po brzegu górnej połowy koła K(0, 1).

Zadanie 13. Obliczyć

R

C(0,r)

z

n

dz oraz

R

C(z

0

,r)

z

n

dz (|z

0

| > r) dla n ∈ N.

Zadanie 14. Wykazać, że funkcja f (z) = (z−z

0

)

−1

, holomorficzna w obszarze {z ∈ C; |z − z

0

| > 0},

nie ma w tym obszarze funkcji pierwotnej.

Zadanie 15. Niech |a| < r < |b|. Pokazać, że

Z

C(0,r)

dz

(z − a)(z − b)

=

2πi

a − b

.

1

Definicja 0.1. Krzywe γ : [a, b] → C oraz γ

1

: [a

1

, b

1

] → C są równoważne (γ ∼ γ

1

) jeśli istnieje różniczko-

walna bijekcja ϕ : [a

1

, b

1

] → [a, b] taka że ϕ

0

(t) > dla wszystkich t oraz γ

1

= γ ◦ ϕ.

2