Adrian Langowski
Politechnika Poznańska
ul. Piotrowo 3a
60-965 Poznań
alangows@et.put.poznan.pl
2006
Poznań, 7 – 9 czerwca 2006
REDUKCJA STOSUNKU MOCY SZCZYTOWEJ DO MOCY ŚREDNIEJ
METODĄ KSZTAŁTOWANIA KONSTELACJI
Streszczenie: W niniejszej pracy przedstawiono problem
dużego stosunku mocy szczytowej do mocy średniej PAPR
symboli OFDM. Omówiono podstawy algorytmów minima-
lizujących PAPR oraz wskazano ich podstawowe wady.
Zaprezentowano prosty, nieiteracyjny algorytm autorstwa
H. Sari’ego, oraz zaproponowano jego modyfikację, mającą
na celu uproszczenie implementacji. Skuteczność algorytmu
została udowodniona na drodze symulacji, których wyniki
przedstawiono na końcu referatu.
1. WSTĘP
Modulacja wielotonowa OFDM (ang. Orthogonal
Frequency Division Multiplexing) z uwagi na jej zalety,
takie jak odporność na zaniki w kanale, czy efektywność
widmowa, znalazła zastosowanie w wielu systemach
bezprzewodowych: DAB, DVB-T/H, ADSL, VDSL itp.
Jednakże poważnymi wadami OFDM są wrażliwość na
błędy synchronizacji oraz duży stosunek mocy szczyto-
wej do mocy średniej PAPR (ang. Peak-to-Average
Power Ratio). Rozwiązaniem pierwszego problemu jest
zastosowanie w odbiorniku algorytmów synchronizacji
odpornych na zakłócenia. Problem drugi rozwiązywany
jest natomiast w nadajniku poprzez odpowiednią mody-
fikację nadawanego sygnału.
Do tej pory zaproponowano wiele różnych metod
redukcji PAPR. Pierwszą i zarazem najprostszą metodą
było mnożenie sygnału przez prostokątne okno jeśli jego
amplituda przekraczała pewien określony poziom [1].
Poważnymi wadami tego rozwiązania są jednak wpro-
wadzenie interferencji, degradacja bitowej stopy błędu
BER oraz zwiększenie mocy promieniowania poza pa-
smem sygnału. Pozbawione tych wad są metody polega-
jące na odpowiedniej modyfikacji sygnału w dziedzinie
czasu lub częstotliwości. Pierwszym z nich jest algorytm
PTS (ang. Partial Transmit Sequence) dzielący wejścio-
wy blok N danych na kilka mniejszych bloków o rozmia-
rze M [2, 3]. Każdy z bloków jest przetworzony za po-
mocą odwrotnej, szybkiej transformacji Fouriera IFFT o
rozmiarze N dając tym samym blok N próbek w dziedzi-
nie czasu. Odpowiada to procesowi modulacji. Nadawa-
ny sygnał jest sumą ważoną tak otrzymanych bloków ze
współczynnikami wagowymi dobranymi w taki sposób,
aby PAPR przyjmował minimalną wartość. Modyfikacji
sygnału w dziedzinie częstotliwości dokonuje z kolei
algorytm SLM (ang. Selective Mapping). W metodzie tej
z bloku N danych generuje się M różnych bloków po-
przez zmianę fazy w każdym z nich. Następnie wszystkie
bloki modulowane są za pomocą N-punktowej transfor-
macji IFFT. Ostatecznie nadawany jest ten blok, dla
którego uzyskano najmniejszy stosunek mocy szczytowej
do mocy średniej. Za odmianę algorytmu SLM można
potraktować metodę wykorzystującą kodowanie do wy-
generowania różnych wersji nadawanego sygnału, z
których wybierana jest ta o najmniejszym stosunku mocy
szczytowej do mocy średniej [4].
Zastosowanie każdej z powyższych dwóch metod
gwarantuje znaczne obniżenie PAPR, jednakże wydają
się one nieprzydatne z praktycznego punktu widzenia ze
względu na wielokrotne obliczanie IFFT celem wygene-
rowania jednego symbolu OFDM. Dodatkowo metody
te, z wyjątkiem [4], wymagają nadania dodatkowej in-
formacji do nadajnika o wybranych współczynnikach lub
o indeksie wybranej wersji.
Najnowsze metody redukcji PAPR bazują na tech-
nice kształtowania konstelacji [5, 6]. Celem określenia,
które punkty konstelacji należy zmodyfikować metody te
wykorzystują iteracyjne algorytmy gradientowe, co
oznacza, że są bardzo złożone. W niniejszym referacie
przedstawiono nieiteracyjny algorytm zmniejszający
stosunek mocy szczytowej do średniej opracowany przez
Sezginera i Sari’ego w [7], korzystający z techniki
kształtowania konstelacji. W dalszej części artykułu
zaproponowano jego modyfikację oraz przedstawiono
wyniki przeprowadzonych symulacji.
2. PAPR I JEGO REDUKCJA
2.1. DEFINICJA PAPR
Zakładając, że symbol OFDM składa się z N no-
śnych, wektor zespolonych danych wejściowych można
wyrazić wzorem:
(
)
1
1
0
...,
,
,
−
=
N
a
a
a
a
(1)
Korzystając z odwrotnej transformacji Fouriera otrzymu-
jemy sygnał wyjściowy o postaci:
∑
−
=
=
1
0
/
2
1
N
m
N
nm
j
i
m
i
n
e
a
N
b
π
(2)
gdzie n oznacza numer próbki w dziedzinie czasu, a
górny indeks i jest numerem symbolu OFDM. W celu
uproszczenia dalszych zapisów indeks ten zostanie po-
minięty. Powodem powstawania dużych wartości PAPR
jest fakt, że dla dużych wartości N próbki sygnału w
dziedzinie czasu
n
b
mają rozkład Gaussowski. Więk-
szość próbek będzie więc miała małe amplitudy, jednak-
że wśród nich pojawiać się będą próbki, których ampli-
tudy będą bardzo duże [5, 7]. Matematycznie stosunek
mocy szczytowej do mocy średniej symbolu OFDM
można wyrazić wzorem:
[ ]
N
E
b
PAPR
n
N
n
/
max
)
(
2
2
0
b
b
<
≤
=
(3)
gdzie b jest wektorem próbek w dziedzinie czasu, a
.
oznacza normę wektora.
2.2. Redukcja PAPR
Ideą algorytmu jest modyfikacja punktów konstela-
cji sygnału nadawanego w takim kierunku, aby zmniej-
szyć PAPR nie zmniejszając minimalnych odległości
między punktami i aby nie zmienić prawdopodobieństwa
błędu w odbiorniku. Dozwolone są więc zmiany wyłącz-
nie zewnętrznych punktów konstelacji. Przykładowe
modyfikacje konstelacji 16-QAM przedstawione są na
rys. 1.
α
Rysunek 1 Kształtowanie konstelacji 16-QAM
W celu znalezienia symboli danych, których mody-
fikacja zmniejszy PAPR, dla każdego z nich wyznaczona
jest następująca metryka:
(
) ( )
∑
−
=
=
1
0
,
N
n
q
p
m
n
w
m
n
f
µ
(3)
gdzie:
(
)
(
)
nm
m
n
f
ϕ
cos
,
−
=
(4)
jest miarą kąta
nm
ϕ
między próbką
n
b
sygnału wyjścio-
wego a wkładem symbolu wejściowego
m
a
do tej próbki
wyrażonym przez
N
nm
j
m
e
a
/
2
π
. Funkcja
( )
n
w
jest ampli-
tudą próbki
n
b
, natomiast stałe p i q są parametrami
projektowymi, przy czym p musi być liczbą nieparzystą.
Po wyznaczeniu wszystkich metryk wybieranych jest L
symboli danych o największych wartościach
m
µ
. Sym-
bole te są następnie skalowane przez współczynnik
α
.
Działanie algorytmu kończy się wraz z aktualizacją pró-
bek w dziedzinie czasu wyrażoną przez:
∑
∈
−
+
=
L
S
l
N
nl
j
k
n
n
e
a
N
b
b
/
2
1
ˆ
π
α
(5)
gdzie l należy do zbioru
L
S
indeksów symboli wejś-
ciowych, które należy zmodyfikować. Dla danego roz-
miaru N symbolu OFDM oraz wykorzystanego odwzo-
rowania symboli danych istnieje zawsze pewna optymal-
na, stała wartość L modyfikowanych punktów konstela-
cji, powyżej której PAPR nie maleje [7]. Z tego powodu
wybór L nie musi odbywać się w nadajniku, lecz może
być dokonany na drodze komputerowych symulacji.
2.3. Proponowana modyfikacja algorytmu
Obliczenie metryki (3) jest operacją złożoną,
szczególnie w realizacjach stałoprzecinkowych, ze
względu na konieczność wyznaczenia kąta
nm
ϕ
oraz
kosinusa tego kąta (4). Jednakże po odpowiednich prze-
kształceniach, przy założeniu, że parametr
1
=
p
, moż-
liwe jest wykorzystanie IFFT do wyznaczenia metryki,
jak i do aktualizacji próbek w dziedzinie czasu (5).
Kosinus kąta w (4) można zapisać w następującej
postaci:
(
)
( )
(
)
n
m
nm
j
N
nm
j
j
j
nm
e
e
e
e
ϕ
π
ϕ
ϕ
ϕ
−
=
=
/
2
Re
Re
cos
(6)
Dokonując następujących podstawień:
m
m
j
n
n
j
a
a
e
b
b
e
m
n
=
=
−
ϕ
ϕ
i
*
(7)
otrzymujemy nowy wzór definiujący metrykę:
−
=
∑
−
=
1
0
/
2
*
Re
N
n
N
nm
j
q
n
n
m
n
m
m
e
b
b
a
b
a
π
µ
(8)
Ostatecznie, po uproszczeniach uzyskujemy:
(
)
∗
−
−
=
*
1
Re
b
b
q
N
m
m
m
IFFT
a
a
µ
(9)
gdzie operator
∗
oznacza mnożenie element po elemen-
cie, natomiast
(
)
1
1
0
...,
,
,
−
=
N
b
b
b
b
jest wektorem pró-
bek w dziedzinie czasu.
Zauważmy, że odpowiednie przekształcenie wyra-
żenia (5) pozwoli na użycie IFFT do aktualizacji
n
b
:
( )
a
N
n
N
i
N
ni
j
i
n
n
IFFT
b
e
a
N
b
b
+
=
+
=
∑
−
=
1
0
/
2
1
ˆ
π
(10)
gdzie
(
)
1
1
0
...,
,
,
−
=
N
a
a
a
a
jest wektorem zmodyfikowa-
nych symboli danych. Symbole
i
a
o indeksach i nie
należących do zbioru
L
S
równe są 0. Aktualizacja
n
b
kończy działanie algorytmu.
3. WYNIKI SYMULACJI
Działanie algorytmu zbadano stosując go w modelu
modemu opracowywanego w ramach projektu WINNER
[8]. W modemie używane są dwa rodzaje symboli
OFDM. Dla łącza w dół symbol mający 2048 nośnych, z
których wykorzystywanych jest 1664, oraz dla łącza w
górę symbol o 512 nośnych, z których wykorzystywa-
nych jest 416. W każdym symbolu dokonuje się podziału
nośnych na grupy, w których można stosować różne
odwzorowywania danych.
W symulacji przetestowano obie wielkości symboli
OFDM. Założono, że wielkość grupy nośnych wynosi
16. Dla każdej grupy w sposób losowy wybierany był typ
odwzorowania danych spośród QPSK, 16-QAM i 64-
QAM. W celu uzyskania dokładniejszych wyników w
symulacji zastosowano
6
10
losowo wygenerowanych, 4-
krotnie nadpróbkowanych symboli OFDM. Przebadano
wpływ parametrów
α
,
q
oraz liczby modyfikowanych
symboli danych na jakość działania algorytmu. Na ry-
sunkach prezentujących wyniki symulacji przez NC
oznaczono krzywe referencyjne uzyskane dla systemu
bez korekcji PAPR. Wyniki zobrazowane są jako dopeł-
nienie funkcji dystrybuanty zdefiniowane jako:
( )
(
)
( )
(
)
K
PAPR
PAPR
CCDF
>
=
b
b
Prob
(11)
Wpływ wielkości parametru q na jakość działania
algorytmu dla łącza w górę i łącza w dół przedstawiony
jest na rysunkach 2 i 3. Parametr ten jest szczególnie
istotny z punktu widzenia złożoności algorytmu, ponie-
waż jest on wykładnikiem potęgi w (9). Jak widać w obu
przypadkach zwiększenie wartości q ponad 4 nie wpływa
znacząco na zmniejszenie PAPR. W przypadku łącza w
górę, czyli dla symbolu OFDM o większej liczbie no-
śnych, użycie parametru q o wartości 2 daje już o 1,5 dB
mniejszy PAPR na poziomie CCDF równym
3
10
−
.
Zależność stopnia redukcji PAPR od wielkości pa-
rametru
α
, skalującego modyfikowane symbole danych,
przedstawiona jest na rysunku 4 dla łącza w górę i na
rysunku 5 dla łącza w dół. Zwiększanie wartości
α
po-
woduje zmniejszenie PAPR, jednakże związany jest z
tym wzrost mocy średniej symbolu OFDM. Wybór tej
wartości tego parametru jest więc kompromisem między
akceptowalnym wzrostem mocy średniej sygnału, a
oczekiwanym spadkiem PAPR.
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
PAPR [dB]
P
ro
b
(P
A
P
R
>K
)
NC
2
4
6
Rysunek 2 Zależność redukcji PAPR od wartości para-
metru q dla transmisji w łączu w górę
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
PAPR [dB]
P
ro
b
(P
A
P
R
>
K
)
NC
2
4
6
Rysunek 3 Zależność redukcji PAPR od wartości para-
metru q dla transmisji w łączu w dół
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
PAPR [dB]
P
ro
b
(P
A
P
R
>
K
)
NC
1.1
1.2
1.4
1.6
Rysunek 4 Zależność redukcji PAPR od wartości para-
metru α dla transmisji w łączu w górę
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
PAPR [dB]
P
ro
b
(P
A
P
R
>
K
)
NC
1.1
1.3
1.6
1.7
Rysunek 5 Zależność redukcji PAPR od wartości para-
metru α dla transmisji w łączu w dół
Ostatnim parametrem mającym istotny wpływ na
minimalizację PAPR jest liczba L modyfikowanych
symboli danych. Wyniki przedstawione są na rysunku 6
dla transmisji w łączu w górę oraz na rysunku 7 dla
transmisji w łączu w dół. Łatwo zauważyć, że zwiększe-
nie liczby L powyżej pewnej wartości nie powoduje
znaczącego zmniejszenia stosunku mocy szczytowej do
mocy średniej. Ma to zasadnicze znaczenie dla działania
algorytmu, gdyż oznacza, że optymalna liczba modyfi-
kowanych symboli może być określona na podstawie
symulacji w trakcie projektowania nadajnika.
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
PAPR [dB]
P
ro
b
(P
A
P
R
>
K
)
NC
5
10
15
20
Rysunek 6 Zależność redukcji PAPR od ilości zmodyfi-
kowanych symboli dla parametrów łącza w górę
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
PAPR [dB]
P
ro
b
(P
A
P
R
>
K
)
NC
5
10
15
20
30
Rysunek 7 Zależność redukcji PAPR od ilości zmodyfi-
kowanych symboli dla parametrów łącza w dół
Modyfikowanie symboli danych poprzez zwiększa-
nie ich amplitudy celem zmniejszenia PAPR skutkuje
zwiększeniem mocy średniej symbolu OFDM. Wpływ
liczby modyfikowanych symboli na wzrost mocy średniej
symbolu OFDM dla transmisji w górę pokazany jest na
rysunku 8. Przez PC oznaczono moc średnią symboli
OFDM bez redukcji PAPR. Jak widać wykorzystanie 25
symboli danych powoduje wzrost mocy średniej o 1 dB.
-17,50
-17,00
-16,50
-16,00
-15,50
5
10
15
20
25
30
35
LICZBA METRYK
M
O
C
Ś
R
E
D
N
IA
[
d
B
]
NC
PC
Rysunek 8 Wpływ liczby metryk na moc średnią symbolu
OFDM
4. PODSUMOWANIE
W niniejszym artykule przedstawiono nieiteracyjny
algorytm redukcji stosunku mocy szczytowej do mocy
średniej bazujący na technice kształtowania konstelacji.
Ponadto zaproponowano jego modyfikację z zastosowa-
niem odwrotnej transformacji Fouriera. Przyczyniło się
to do uproszczenia implementacji, co jest szczególnie
istotne w przypadku realizacji stałoprzecinkowej. Zapre-
zentowano wyniki symulacji udowadniające skuteczność
algorytmu. Kolejnymi etapami prac nad algorytmem
będą testy sprawdzające wpływ przedstawionej metody
na jakość metryk wykorzystywanych w dekoderach
miękko-decyzyjnych, oraz na widmową gęstość mocy
generowanego sygnału. Autorzy widzą możliwość
zmniejszenia wzrostu mocy średniej sygnału przez wybór
różnych wartości parametru
α
w zależności od wartości
wyznaczonej metryki
m
µ
, co będzie również tematem
dalszych badań.
LITERATURA
[1] R. van Nee, R. Prasad, OFDM Wireless Multime-
dia Communications, Artech House 2000
[2] S. H. Muller, J. B. Huber, OFDM with Reduced
Peak-to-Average Power Ratio by Optimum Combi-
nation of Partial Transmit Sequences, Electronics
Letters, vol. 33, No. 5, s. 368-369, Februar 1997
[3] L. J. Cimini, N. R. Sollenberger, Peak-to-Average
Power Ration Reduction of an OFDM Signal using
Partial Transmit Sequences, IEEE Inter. Conf. On
Comm. Vol. 1, s. 511-515, 1999
[4] K. Yang, S. I. Chang, Peak-to-Average Power
Control in OFDM Using Standard Arrays of Lin-
ear Block Codes, IEEE Comm. Letters, vol. 7, no.
4, s. 174-176, April 2003
[5] B. S. Krongold, D. L. Jones, PAR Reduction in
OFDM via Active Constellation Extension, IEEE
Trans. on Broadcasting, vol. 3, s. 258-268, Sep-
tember 2003
[6] H. K. Kwok, D. L. Jones, PAR Reduction via Con-
strellation Shaping, Proc. of ISIT 2000, June 2000
[7] S. Sezginer, H. Sari, OFDM Peak Power Reduction
with simple amplitude predistortion, IEEE Comm.
Letters, vol. 10, issue 2, s. 65-67, February 2006
[8] IST-2003-507581 WINNER, D2.10 Final report
on identified key radio interface technologies, sys-
tem concepts and their assessment, December
2005.