XIV Konferencja Naukowa – Korbielów’ 2002

„Metody Komputerowe w Projektowaniu i Analizie Konstrukcji Hydrotechnicznych”

Wyznaczanie minimalnego stopnia zbrojenia

w zginanych elementach z betonu

Marta S³owik

1

1. WSTÊP

Konstrukcje z betonu podzieliæ mo¿na ze wzglêdu na stopieñ zastosowanego

zbrojenia na betonowe niezbrojone, s³abo zbrojone i ¿elbetowe.

W normach dotycz¹cych wymiarowania konstrukcji z betonu podawany jest minimalny

stopieñ zbrojenia, który stanowi doln¹ granicê zbrojenia w elementach ¿elbetowych.
Elementy betonowe, w których zastosowano zbrojenie o przekroju mniejszym od
minimalnego (A

s

<A

s,min

=



min

A

c

) nazywane s¹ elementami s³abo zbrojonymi. Elementy te, w

myœl przepisów normy ¿elbetowej, nie s¹ wyodrêbniane w osobnej grupie, ale traktowane
s¹ jak elementy betonowe niezbrojone. W ten sposób pomijany jest wp³yw prêtów
zbrojeniowych na noœnoœæ i rysoodpornoœæ konstrukcji s³abo zbrojonych.

Beton s³abo zbrojony jest powszechnie stosowany w budowlach masywnych, miêdzy

innymi w budownictwie hydrotechnicznym. Budowle takie, ze wzglêdu na specyfikê pracy,
powinny byæ wymiarowane na innych zasadach ni¿ konstrukcje bez zbrojenia czy
konstrukcje ¿elbetowe. Na podstawie wyników badañ doœwiadczalnych opracowano w³asn¹
metodê szacowania noœnoœci zginanych przekrojów s³abo zbrojonych [17]. Metoda ta
zosta³a zaprezentowana na XIII Konferencji Naukowej „Metody komputerowe w
projektowaniu i analizie konstrukcji hydrotechnicznych” w Korbielowie w 2001 roku [18].
Istotne jest poprawne okreœlenie granicy stosowalnoœci wyprowadzonych wzorów, a
mianowicie ustalenie, jaki jest maksymalny stopieñ zbrojenia w konstrukcjach s³abo
zbrojonych. Maksymalny stopieñ zbrojenia w konstrukcjach s³abo zbrojonych to
jednoczeœnie minimalny stopieñ zbrojenia w konstrukcjach ¿elbetowych



min

. Przy

wymiarowaniu mamy zatem w przypadku zastosowania zbrojenie o







min

przekrój

¿elbetowy a przy

 <

min

przekrój s³abo zbrojony.

Jednak zasady wyznaczania minimum zbrojenia w konstrukcjach ¿elbetowych nie s¹

jednolicie sformu³owane i wyprowadzone teoretycznie. Minimum zbrojenia stosuje siê w
konstrukcjach ¿elbetowych przede wszystkim w celu uchronienia przed kruchym
zniszczeniem. W normach okreœlanie



min

nie jest wyprowadzone racjonalnie, lecz podane

jest w sposób umowny. St¹d okreœlone na podstawie ró¿nych norm wielkoœci ró¿ni¹ siê
nawet kilkakrotnie.
2. PRZEGL¥D KRAJOWYCH METOD WYZNACZANIA MINIMALNEGO

PRZEKROJU ZBROJENIA

1

Dr in¿. Wydzia³ In¿ynierii Budowlanej i Sanitarnej, Politechnika Lubelska

65

W Polsce do 1964 roku, przy okreœlaniu minimum zbrojenia w konstrukcjach
¿elbetowych, obowi¹zywa³o kryterium podane przez Br. Bukowskiego [11].
Minimum zbrojenia wynika wed³ug tego kryterium z porównania noœnoœci
prostok¹tnego przekroju zbrojonego i niezbrojonego, przy za³o¿eniu, ¿e naprê¿enia w
stali mog¹ przekroczyæ granicê plastycznoœci o 30%. Podstawowym celem tak
wyznaczonego minimalnego zbrojenia by³o zabezpieczenie przed kruchym
zniszczeniem.

Po porównaniu momentu rysuj¹cego element betonowy M

cr

z momentem zginaj¹cym w

przekroju przez rysê po zarysowaniu w elemencie zbrojonym

RC

ult

M

,



min

wyliczyæ mo¿na,

wg kryterium Bukowskiego, ze wzoru:

y

f

,

c

min

f

f

,26

0





(1)

gdzie: f

c,f

- wytrzyma³oœæ betonu na œciskanie przy zginaniu wg PN/B-03260 z 1951 r.

f

y

- granica plastycznoœci stali.

Powy¿sze kryterium stanowi³o podstawê normowego okreœlania minimum zbrojenia
w konstrukcjach ¿elbetowych w przepisach z 1951 roku PN-B-03260 [1].

Gdy do wymiarowania przekrojów ¿elbetowych wprowadzono metodê obci¹¿eñ

krytycznych, opart¹ na globalnych wspó³czynnikach bezpieczeñstwa, za podstawê
wyznaczania



min

przyjêto zmodyfikowane kryterium Br. Bukowskiego:

II

RC

ult

I

cr

s

M

s

M



(2)

gdzie: s

I

i s

II

- wspó³czynniki bezpieczeñstwa odpowiednio w przekrojach betonowych

niezbrojonych s

I

=3,0 i ¿elbetowych s

II

=1,8.

Wyznaczone na podstawie wzoru (2) wartoœci



min

zestawiono w normie z 1956 r. [2]

jako obowi¹zuj¹ce w elementach zginanych.

W kolejnej wersji polskich przepisów normowych dotycz¹cych konstrukcji z betonu
z 1976 roku [3] odst¹piono od powy¿szego kryterium i w elementach zginanych
przyjêto jeden minimalny stopieñ zbrojenia, niezale¿ny od klasy betonu i stali, równy
0,0015, a w przepisach normowych z 1984 r. PN-84/B-03264 [4] zalecono dwie
wartoœci



min

:

- 0,15% w przypadku stali klasy A-0 i A-I,

- 0,10% w przypadku stali klasy A-II, A-III i A-IIIN.

W nowej normie ¿elbetowej z 1999 r. [5] umieszczono regu³y wyznaczania minimum

zbrojenia w elementach zginanych wzoruj¹c siê na zaleceniach miêdzynarodowych
Eurocode 2 [6] (wzór (3) i



min



0,15%) oraz dodatkowo koniecznoϾ sprawdzenia A

s,min

ze wzglêdu na ograniczenie szerokoœci rozwarcia rys skurczowych i termicznych. Zgodnie
z zaleceniami Eurocode No.2 1992 [6] w przypadku elementów zginanych minimum
zbrojenia pod³u¿nego nale¿y wyznaczyæ ze wzoru:

66

yk

t

min

,

s

f

d

b

,

A

6

0



(3)

gdzie: b

t

- szerokoœæ przekroju w strefie rozci¹ganej,

d - wysokoœæ u¿yteczna przekroju,
f

yk

- charakterystyczna granica plastycznoœci zbrojenia w [N/mm

2

].

Obecnie, gdy przy wymiarowaniu konstrukcji z betonu obowi¹zuje metoda stanów

granicznych oparta na czêœciowych wspó³czynnikach bezpieczeñstwa, minimum zbrojenia
rozci¹ganego w ¿elbetowych elementach zginanych mo¿na okreœliæ, wg kryterium
klasycznego, jako przekrój stali, przy którym noœnoœæ obliczeniowa przekroju
¿elbetowego obliczona w fazie II-giej jest co najmniej równa obliczeniowemu momentowi
rysuj¹cemu w fazie I-szej. Obliczeniowy moment rysuj¹cy belki s³abo zbrojonej, przy
pominiêciu wp³ywu zbrojenia, wyra¿a siê ogólnym wzorem:

fp

*

ctd

crd

W

f

M



(4)

gdzie: f*

ctd

-obliczeniowa wytrzyma³oœæ betonu na rozci¹ganie w elementach betonowych,

W

fp

- wskaŸnik wytrzyma³oœci przekroju sprowadzonego.

Noœnoœæ obliczeniowa przekroju ¿elbetowego w fazie II wynosi:

z

A

f

M

s

yd

RC

Rd



(5)

gdzie: f

yd

– obliczeniowa granica plastycznoœci stali,

A

s

– przekrój zbrojenia rozci¹ganego,

z – ramiê si³ wewnêtrznych.

Po przyjêciu: z=0,98d , d=0,925h ,

=

bd

A

s

, W

fp

=0,292bh

2

i porównaniu M

crd

i

RC

Rd

M

otrzymuje siê wzór okreœlaj¹cy



min

:

yd

*

ctd

min

f

f

,35

0





(6)

WartoϾ



min

wyznaczona ze wzoru (6) zale¿y od obliczeniowej wytrzyma³oœci

betonu na rozci¹ganie i obliczeniowej granicy plastycznoœci stali. Nale¿a³oby siê
zastanowiæ czy kryterium klasyczne opisane wzorami (4) do (6), gdzie u¿yte s¹ wielkoœci
obliczeniowe f

yd

i f*

ctd

, jest poprawne. Porównywane s¹ wielkoœci niewspó³mierne.

RC

Rd

M

jest wielkoœci¹ obliczan¹ w stanie granicznym noœnoœci pod obci¹¿eniem obliczeniowym a
M

crd

w stanie u¿ytkowalnoœci tj. pod obci¹¿eniem charakterystycznym. Porównanie

powinno byæ wykonane w rzeczywistych warunkach stanów granicznych. Przy
wyznaczaniu



min

nale¿a³oby przyjmowaæ doraŸne wytrzyma³oœci betonu i stali:

y

ctm

min

f

f

,35

0





(7)

67

W tablicy 1 zamieszczono przyk³adowe wartoœci minimalnego stopnia zbrojenia

wyznaczone ze wzorów (6) i (7) w celu ich porównania. Zestawienia dokonano w
przypadku stali AI i AII i betonu klasy B15 i B37 o nastêpuj¹cych parametrach
wytrzyma³oœciowych:
- stal AI - f

yd

=210 MPa , f

y

=257 MPa

- stal AII - f

yd

=310 MPa , f

y

=380 MPa

- beton B15 - f*

ctd

=0,6 Mpa , f

ctm

=1,6 MPa

- beton B37 - f*

ctd

=1,1 MPa , f

ctm

=2,9 MPa.

Tablica 1.

Wartoœci



min

wyznaczone przy przyjêciu obliczeniowych i doraŸnych

wytrzyma³oœci betonu i stali

Stal

Beton

yd

*

ctd

min

f

f

,35

0





y

ctm

min

f

f

,35

0





AI

B15

0,0010

0,0022

B37

0,0018

0,0042

AII

B15

0,0007

0,0015

B37

0,0012

0,0029

Wyznaczaj¹c minimalny stopieñ zbrojenia ze wzoru (7), przy przyjêciu

rzeczywistych wytrzyma³oœci betonu i stali, otrzymuje siê wy¿sze wartoœci ni¿ obliczone
ze wzoru (6). S¹ one porównywalne z wielkoœciami minimalnego stopnia zbrojenia
podawanymi w zaleceniach miêdzynarodowych [6] i obecnej normie ¿elbetowej [5].
Wynika z tego, ¿e wyznaczaj¹c



min

z kryterium klasycznego (wzór (6)) otrzymujemy

wartoœci zani¿one w porównaniu do tych, które odpowiadaj¹ rzeczywistym warunkom
pracy elementu ze wzglêdu na zabezpieczenie przed kruchym zniszczeniem.

W literaturze spotkaæ mo¿na równie¿ inne propozycje wyznaczania minimalnego
zbrojenia w ¿elbecie, które nie znalaz³y jednak szerszego zastosowania w praktyce
np. propozycja Jasmana [15], Mianowskiego [16], Stysia i Rejmana [19].

Z przedstawionych w literaturze badañ wynika, ¿e na wielkoœæ minimalnego stopnia

zbrojenia maj¹ wp³yw równie¿ inne czynniki ni¿ tylko cechy wytrzyma³oœciowe betonu i
stali, przy czym badacze k³ad¹ nacisk na ró¿ne z nich np. wysokoœæ przekroju czy te¿
œrednicê prêtów zbrojeniowych. Wskazuje to na z³o¿onoœæ zagadnienia wyznaczania
minimum zbrojenia w konstrukcjach ¿elbetowych. Kryterium klasyczne wydaje siê byæ
niewystarczaj¹ce w œwietle obecnej wiedzy.

3. NAJNOWSZE TRENDY WYZNACZANIA



min

NA PODSTAWIE

MECHANIKI PÊKANIA

Obecnie w pracach dotycz¹cych minimum zbrojenia w ¿elbecie bardzo silnie jest

podkreœlany efekt skali. Badania s¹ prowadzone g³ównie za granic¹, na przyk³ad przez
zespó³ kierowany przez A. Carpinteri we W³oszech [9], [10] czy Z. Bažanta w USA [8], a
do analizy badañ stosuje siê metody mechaniki pêkania.

68

Podstaw¹ wyznaczania



min

na gruncie mechaniki pêkania jest zabezpieczenie elementu

przed kruchym zniszczeniem. Podstawowym warunkiem, który musi byæ spe³niony, by
ochroniæ element przed tak¹ ewentualnoœci¹, jest niedopuszczenie, by noœnoœæ przekroju
¿elbetowego by³a mniejsza od momentu zginaj¹cego, przy którym powstaje pierwsza rysa.
St¹d potrzeba takiej iloœci zbrojenia, by stal mog³a przenieœæ si³y rozci¹gaj¹ce po
zarysowaniu.

Propozycjê szacowania minimalnego przekroju zbrojenia w elementach zginanych,

przy za³o¿eniu jednoczesnego zarysowania betonu i uplastycznienia stali podali Bosco i
Carpinteri [9], [10]. Za pomoc¹ metod liniowo sprê¿ystej mechaniki pêkania mo¿na
teoretycznie ustaliæ charakter pracy i zniszczenia elementu ¿elbetowego. Jest to mo¿liwe
przy u¿yciu bezwymiarowej liczby kruchoœci N

P

, któr¹ Carpinteri nazywa równie¿ klas¹

kruchoœci (brittleness class) [9]:

c

IC

s

y

P

A

K

A

h

f

N



(8)

gdzie: K

IC

- sta³a materia³owa charakteryzuj¹ca odpornoœæ betonu na pêkanie.

Elementy o takiej samej liczbie kruchoœci wykazaj¹ podobne zachowanie fizyczne.
Mechanizm zniszczenia zmienia siê, gdy elementy z tego samego betonu i takim
samym stopniu zbrojenia maj¹ ró¿ne wymiary. Carpinteri na podstawie badañ
wykaza³, ¿e gdy stopieñ zbrojenia jest odwrotnie proporcjonalny do pierwiastka
kwadratowego z wysokoœci belki, mechanizm zachowania elementów jest taki sam.
Zaproponowana w [9] zale¿noœæ okreœlaj¹ca minimum zbrojenia ze wzglêdu na
zabezpieczenie przed kruchym zniszczeniem ma postaæ:

h

f

K

N

y

IC

PC

min





(9)

gdzie: N

PC

-graniczna wartoœæ liczby kruchoœci.

We wzorze (9) N

PC

jest liczb¹ kruchoœci charakteryzuj¹c¹ przejœcie miêdzy

kruchym a plastycznym charakterem zniszczenia elementu. Na rysunku 1 przedstawiono
wyznaczon¹ na podstawie wzoru (9) zale¿noœæ



min

od wysokoœci elementu, z której

wynika, ¿e w elementach o du¿ych wymiarach wymagany jest mniejszy stopieñ zbrojenia
ni¿ w elementach ma³ych.

69

Rys. 1. Minimalny stopieñ zbrojenia w zale¿noœci od wysokoœci belki [9]

W praktyce projektowej zastosowanie wzoru (9) do wyznaczania



min

ma ograniczony

zakres ze wzglêdu na koniecznoœæ okreœlenia parametrów betonu (N

PC

i K

IC

), które jak

dot¹d nie zosta³y jeszcze znormalizowane.

Rozwój coraz nowszych technik komputerowych i specjalistycznego oprogramowania
stwarza mo¿liwoœæ coraz szerszego stosowania do opisu zachowania konstrukcji z
betonu metod opartych na nieliniowej mechanice pêkania. Stosuj¹c do analizy
numerycznej nieliniowe modele betonu uzyskuje siê wyniki lepiej skorelowane z
badaniami doœwiadczalnymi.

Badania w³asne [17] i przeprowadzone przez K. D¹browskiego [12] wskazuj¹, ¿e przy

szacowaniu momentu rysuj¹cego nale¿y operowaæ wytrzyma³oœci¹ betonu na rozci¹ganie
przy zginaniu f

ct,f

, a nie wytrzyma³oœci¹ betonu na osiowe rozci¹ganie f

ctm

. Spostrze¿enie to

potwierdzaj¹ szerokie analizy numeryczne, przeprowadzone miêdzy innymi przez
Peterssona [13] i Hjorteseta [14], w których zastosowano nieliniowe modele betonu.
Wytrzyma³oœæ betonu na rozci¹ganie przy zginaniu jest wiêksza od wytrzyma³oœci betonu
na rozci¹ganie osiowe a iloraz obu wielkoœci zale¿y od wymiarów elementu i cech betonu,
zdefiniowanych w ramach nieliniowej mechaniki pêkania np. d³ugoœci charakterystycznej
betonu l

ch

:

2

ctm

cm

F

ch

f

E

G

l



(10)

gdzie: E

cm

- œredni modu³ sprê¿ystoœci betonu,

f

ctm

- œrednia wytrzyma³oœæ betonu na rozci¹ganie,

G

F

- energia pêkania betonu.

W przypadku braku wartoœci doœwiadczalnej energii pêkania mo¿na j¹ wyznaczyæ ze
wzoru podanego w zaleceniach CEB-FIP Model Code [7]:

 

7

0,

cm

F

F

f

G





; [Nm/m

2

],

(11)

70

w którym: f

cm

- œrednia wytrzyma³oœæ betonu na œciskanie w MPa,

a

F

- wspó³czynnik, którego wartoœci podano w [7] w zale¿noœci od

maksymalnego wymiaru ziaren kruszywa D

max

.

Na rysunku 2 przedstawiono zmiennoœæ wspó³czynnika

, który wyra¿a iloraz

wytrzyma³oœci betonu na rozci¹ganie przy zginaniu f

ct,f

do wytrzyma³oœci betonu na

rozci¹ganie osiowe f

ctm

, uzyskan¹ przez Peterssona [13].

Rys. 2. Zmiennoœæ wspó³czynnika

 wed³ug Peterssona [13]

Przy wyznaczaniu minimalnego stopnia zbrojenia ze wzglêdu na kruche zniszczenie

porównuje siê noœnoœæ przekroju ¿elbetowego z momentem rysuj¹cym, którego wartoœæ
powinna byæ obliczana na podstawie wytrzyma³oœci betonu na rozci¹ganie przy zginaniu.
Otrzymujemy wtedy:

6

2

bh

f

W

f

M

ctm

c

f

,

ct

cr







(12)

z

A

f

M

s

y

RC

ult



(13)

Po porównaniu (12) i (13) i przyjêciu z=0,95d i

d

h





otrzymujemy:

y

ctm

min

f

f

,







175

0



(14)

We wzorze (14) wystêpuj¹ wielkoœci doraŸne wytrzyma³oœci materia³ów i w ten

sposób wyznaczony minimalny stopieñ zbrojenia jest rzeczywist¹ doln¹ granic¹ zbrojenia
elementów ¿elbetowych.

Przyjmuj¹c we wzorze (14) wspó³czynnik

 np. wed³ug nomogramu Peterssona (rys.

2), w proponowanej metodzie wyznaczania minimalnego stopnia zbrojenia uwzglêdnia siê

71

bardzo istotny wp³yw wysokoœci przekroju (wp³yw skali). Z uwagi na to, ¿e wartoœæ



odczytana z rys. 2 zale¿y od l

ch

powstaje mo¿liwoœæ uwzglêdnienia równie¿ wp³ywu cech

betonu i maksymalnej œrednicy u¿ytego kruszywa. Ma to znaczenie w masywnych
konstrukcjach z betonu, w których maksymalna œrednica kruszywa mo¿e wynosiæ 93mm.
WielkoϾ



min

to tak¿e górna granica przekrojów s³abo zbrojonych, które najczêœciej

spotykamy w budowlach masywnych. Uwzglêdnienie zatem wspó³czynnika

 we wzorze

(14) daje podstawê do wyznaczania stopnia zbrojenia stanowi¹cego granicê miêdzy
przekrojami s³abo zbrojonymi i ¿elbetowymi w elementach o ró¿nych wymiarach.

W tablicy 2 zestawiono przyk³adowe wartoœci



min

wyznaczone na podstawie wzoru

(14) w przypadku belek zginanych o ró¿nych wysokoœciach przekroju i wykonanych z
betonu i stali o ró¿nych charakterystykach. W obliczeniach przyjmowano wspó³czynnik



na podstawie rys. 2.

Tablica 2.

Przyk³adowe wartoœci



min

obliczone ze wzoru (14)

i odpowiednie wartoœci wspó³czynnika

 odczytane z rys. 2.

Beton

Stal

WysokoϾ przekroju h [mm]

300

800

1300





min





min





min

B15

AI

1,60

0,0019

1,37

0,0016

1,26

0,0014

AII

0,0013

0,0011

0,0009

B37

AI

1,45

0,0032

1,25

0,0026

1,20

0,0024

AII

0,0022

0,0018

0,0016

3. PODSUMOWANIE

Reasumuj¹c przeprowadzone na podstawie studiów literaturowych rozwa¿ania,

dotycz¹ce minimalnego stopnia zbrojenia w zginanych elementach ¿elbetowych mo¿na
stwierdziæ, ¿e:
1. Klasyczne kryterium wyznaczania minimalnego stopnia zbrojenia w elementach
zginanych jest nieracjonalne. Nie uwzglêdnia ono wielu czynników maj¹cych wp³yw na
wielkoϾ



min

a u¿ycie we wzorze (6) obliczeniowych wartoœci wytrzyma³oœci materia³ów

daje zani¿one wartoœci .
2. Wielkoœæ minimalnego zbrojenia wyznaczanego ze wzglêdu na zabezpieczenie przed
nag³ym zniszczeniem w istotnym stopniu zale¿y od wysokoœci elementu, co wykaza³y
badania doœwiadczalne i analizy numeryczne przeprowadzone na podstawie mechaniki
pêkania przy uwzglêdnieniu nieliniowych modeli betonu.
3. W przypadku elementów zginanych, sposób wyznaczania



min

na podstawie wzoru (14)

jest najbardziej miarodajny ze wszystkich prezentowanych. Pozwala on uwzglêdniæ tak
istotny wp³yw skali elementu na wielkoœæ



min

. Tak wyznaczony stopieñ zbrojenia stanowi

granicê rozdzielaj¹c¹ elementy s³abo zbrojone i ¿elbetowe.

Betonowe przekroje s³abo zbrojone s¹ najczêœciej spotykane w konstrukcjach

masywnych takich jak np. budowle hydrotechniczne. Budowle te, ze wzglêdu na specyfikê
pracy, powinny byæ obliczane na podstawie innych procedur ni¿ typowe konstrukcje
¿elbetowe. Wyznaczony ze wzoru (14) stopieñ zbrojenia mo¿e stanowiæ o granicy
stosowalnoœci tych procedur, czyli mo¿na uznaæ, ¿e jest to maksymalny stopieñ zbrojenia

72

przekrojów s³abo zbrojonych. Ze wzglêdu na fakt, ¿e wraz ze wzrostem wymiarów
elementu ten stopieñ zbrojenia maleje bardziej ekonomicznie bêdzie mo¿na dobieraæ
zbrojenie, szczególnie w masywnych budowlach z betonu s³abo zbrojonego.

4.

PIŒMIENNICTWO

[1] PN-B-03260, 1951 rok, Konstrukcje ¿elbetowe. Obliczenia statyczne i projektowanie.
[2] PN-56/B-03260 Konstrukcje ¿elbetowe. Obliczenia statyczne i projektowanie.
[3] PN-76/B-03264 Konstrukcje betonowe, ¿elbetowe i sprê¿one. Obliczenia statyczne

i projektowanie. Wydawnictwa Normalizacyjne "Alfa".

[4] PN-84/B-03264 Konstrukcje betonowe, ¿elbetowe i sprê¿one. Obliczenia statyczne

i projektowanie. Wydawnictwa Normalizacyjne "Alfa".

[5] PN-03264:1999 Konstrukcje betonowe, ¿elbetowe i sprê¿one. Obliczenia statyczne

i projektowanie.

[6] ENV 1992-1-1 Eurocode 2 Design of Concrete Structures. Part 1-1 : General

Rules and Rules for Buildings.

[7] CEB-FIP Model Code 1990 Bulletin d'information No. 196.
[8] Bažant Z.P., Oh B.H. : Crack Band Theory for Fracture of Concrete. Materiaux et

Constructions, Vol.16-No 93, mai-juin 1983.

[9] Bosco C., Carpinteri A. : Fracture Mechanics Evaluation of Minimum Reinforcement

in Concrete Structures. Off-print from the volume "Applications of Fracture
Mechanics to Reinforced Concrete". Elsevier Applied Science, 1992.

[10] Bosco C., Carpinteri A. : Fracture Behaviour of Beam Cracked across Reinforcement.

Theoretical and Applied Fracture Mechanics, Vol. 17, No. 1, 1992.

[11] Bukowski B. : Konstrukcje ¿elbetowe. Pañstwowe Wydawnictwa Techniczne,

Warszawa 1953.

[12] D¹browski K.: Prostok¹tne elementy zginane z betonu s³abo zbrojonego. Towarzystwo

Naukowe Ekspertów Budownictwa w Polsce, Warszawa, 1962.

[13] Hillerborg A., Modeer M., Petersson P.E. : Analysis of Crack Formation and Crack

Growth in Concrete by Means of Fracture Mechanics and Finite Elements. Cement
and Concrete Research, Vol. 6, 1976.

[14] Hjorteset K. : Minimum Reinforcement Requirements for Concrete Flexural Members

Determined Using Nonlinear Fracture Mechanics. MSc thesis in Civil Engineering,
University of Washington, June 1990.

[15] Jasman S. : Minimalny stopieñ zbrojenia w rozci¹ganych strefach przekrojów

betonowych. XXXVI Konferencja Naukowa KILiW PAN I KN PZITB, Wroc³aw-
Krynica 1990.

[16] Mianowski K. M. : Wyznaczanie zbrojenia w ¿elbecie na podstawie kryterium

dopuszczalnej szerokoœci rozwarcia rys. In¿ynieria i Budownictwo, nr6/1991.

[17] S³owik M. : Analiza noœnoœci elementów z betonu s³abo zbrojonego z

uwzglêdnieniem stanów granicznych u¿ytkowania. Rozprawa doktorska, Politechnika
Lubelska, 2000.

[18] S³owik M.: Noœnoœæ konstrukcji s³abo zbrojonych w œwietle wyników badañ

doœwiadczalnych. XIII Konferencja Naukowa „Metody Komputerowe w
Projektowaniu i Analizie Konstrukcji Hydrotechnicznych” Korbielów 2001

[19] Styœ D., Rejman G. : Efekt skali a minimalny stopieñ zbrojenia belek ¿elbetowych.

XLI Konferencja Naukowa KILiW PAN I KN PZITB, Kraków-Krynica 1995.

73

STRESZCZENIE

W referacie dokonano przegl¹du ró¿nych sposobów wyznaczania minimalnego stopnia

zbrojenia



min

w zginanych elementach ¿elbetowych, przedstawionych w literaturze polskiej

i zagranicznej oraz przeprowadzono analizê ich przydatnoœci w praktyce projektowej przy
wyznaczaniu granicy miêdzy konstrukcjami s³abo zbrojonymi i ¿elbetowymi.

Minimum reinforcement ratio in bending concrete elements

SUMMARY

In the paper different methods of calculating minimum reinforcement ratio in bending

reinforced concrete elements has been presented. Also the analysis if these methods are
proper in practice to separating slightly reinforced concrete elements from reinforced
concrete elements has been made.

74