Konrad Weinreb
STANY USTALONE SYMETRYCZNE MASZYN ELEKTRYCZNYCH
- ZADANIA - część I
1. TRANSFORMATORY
1.1.Transformator jednofazowy o danych : SN = 10 kVA, U1N = 500 V, U2N = U20 = 220 V,
uk = 4,5 %, PwN = 100 W, PFe = 120 W, I0 = 5% IN posiada uzwojenie wykonane z miedzi.
Po naprawie zastÄ…piono uzwojenie miedziane uzwojeniem aluminiowym o tych samych
wymiarach. Zakładając równość strat znamionowych przed i po remoncie wyznaczyć dla
tego transformatora: nowe parametry schematu zastępczego, nową moc znamionową SX,
nowy prąd znamionowy I1X oraz nowe napięcie zwarcia uk. Konduktywność: miedzi -
Å‚Cu = 57 MS/m, aluminium - Å‚Al. = 34,8 MS/m.
1.2. Transformator jednofazowy ma liczby zwojów N1 = 400, N2 = 200, zaś jego parametry
wynoszÄ…: LÃ1 = 0,01 H, LÃ2 = 0,0025 H, Lm = 0,75 H, R1 = 0,6 &!, R2 = 0,15 &!. OkreÅ›lić
napięcie po stronie wtórnej, je\eli po stronie pierwotnej przyło\ono napięcie sinusoidalnie
zmienne o wartości skutecznej 220 V i częstotliwości f = 50 Hz oraz gdy strona wtórna
jest: a) rozwarta, b) obciÄ…\ona rezystancjÄ… R = 8 &!, c) obciÄ…\ona impedancjÄ… o charakte-
rze indukcyjnym i wartoÅ›ci Z = 8 &!, cosÕ = 0,6.
1.3. Transformator jednofazowy o danych: SN = 5 kVA, U1N = 500 V, U2N = 220 V,
uk = 10 %, PwN = 250 W zasila element grzejny o danych znamionowych: PN = 5 kW,
UN = 220 V. O ile zmieniła się moc grzejnika przy zasilaniu z tego transformatora? Wska-
zówka: przy obliczeniach przyjąć schemat zastępczy transformatora z pominięciem prądu
biegu jałowego czyli parametrów gałęzi poprzecznej.
1.4.Transformator trójfazowy ma dane: SN = 1000 kVA, U1N = 110 kV, U2N = 6 kV, Yy0,
uk = 9,5 %, PwN = 4 kW, PFe = 5kW, I0 = 1,5 % IN. ZakÅ‚adajÄ…c XÃ1 = X Ã2 oraz R1 = R 2
wyznaczyć parametry schematu zastępczego transformatora.
1.5. Transformator 3-fazowy o danych: SN = 1000 kVA, U1N = 60 kV, U2N = 6 kV, Yd5,
uk = 8 %, PwN = 5 kW jest zasilony z sieci trójfazowej o napięciu U = 60 kV. Na linii
U = 6 kV nastąpiło zwarcie trójfazowe w odległości 10 km od stacji transformatorowej.
Przyjmując reaktancję fazową linii równą 0,4 &!/km obliczyć ustalony prąd zwarcia Ikx po
stronie 60 kV.
1.6. Transformator o połączeniu faz Yd5 ma dane znamionowe: SN = 200 kVA, U1N = 20 kV,
U2N = 400 V, uk = 6 %, PwN = 4 kW, fN = 50 Hz. Transformator ten zasila odbiornik połą-
czony w gwiazdę o stałej impedancji o charakterze pojemnościowym i danych znamiono-
wych: PN = 200 kW, UN = 400 V, cosÕN = 0,6. PomijajÄ…c prÄ…d biegu jaÅ‚owego okreÅ›lić
prąd przewodowy strony pierwotnej oraz napięcie fazowe na odbiorniku, jeśli napięcie za-
silające transformator wynosi dokładnie 20 kV. Obliczyć procentową zmienność napięcia
po stronie wtórnej. Jak zmieni się moc czynna pobierana przez odbiornik w stosunku do
mocy znamionowej odbiornika?
1.7. Obliczyć prądy fazowe transformatora po stronie pierwotnej i wtórnej, je\eli jest on ob-
cią\ony symetrycznie impedancjami o charakterze indukcyjnym i wartościach fazowych
Z = 2,5 &!, przy cosÕ = 0,8. Transformator posiada ukÅ‚ad i grupÄ™ poÅ‚Ä…czeÅ„ Yy0, impedan-
1
cje poÅ‚Ä…czone sÄ… w trójkÄ…t. Dane transformatora: LÃ1 = 0,01 H, LÃ2 = 0,05 mH, Lm = 7,5 H,
R1 = 0,3 &!, R2 = 1,5 m&!, U1ph = 6000/ 3 V, U2ph = 400/ 3 V. Jak zmieniÄ… siÄ™ prÄ…dy w
transformatorze, jeśli obcią\enie będzie miało charakter pojemnościowy o tych samych
wartościach liczbowych? Wskazówka: przy zmianie symetrycznych impedancji fazowych
z połączenia w trójkąt (") na połączenie w gwiazdę (Y) spełniona jest zale\ność Z" = 3ZY.
ROZWIZANIA ZADAC I ODPOWIEDZI DO ROZDZIAAU 1
1.1. PrÄ…d znamionowy strony pierwotnej (zasilanej) transformatora wynosi:
S 10000
N
I1 N = = = 20 A
U 500
1 N
Wszystkie obliczenia zostaną przeprowadzone dla przypadku, gdy schemat zastępczy
odpowiada sprowadzeniu strony wtórnej transformatora na stronę pierwotną. Sposób
obliczeń nie ulega zmianie przy przeciwnym podejściu. Parametry gałęzi poprzecznej
schematu zastępczego transformatora oblicza się z danych opisujących stan jałowy pra-
cy. Napięcie znamionowe strony wtórnej (odbierającej moc) jest równe napięciu zmie-
rzonemu na zaciskach transformatora w stanie jałowym.
U12N 5002
Rezystancja reprezentujÄ…ca straty w rdzeniu: RFe = = = 2083,(3)&!
PFe 120
U1N
stÄ…d prÄ…d w tej rezystancji: IFe = = 0,24A
RFe
Prąd biegu jałowego: I0 = 5%I1N =1A
2 2
PrÄ…d magnesujÄ…cy: Im = I0 - IFe = 0,971A
U1N
Reaktancja główna: X = = 515,05&!
m
Im
Parametry gałęzi podłu\nej schematu zastępczego transformatora oblicza się z danych
opisujÄ…cych stan zwarcia.
PwN 100
Rezystancja zwarcia: RkCu = = = 0,25&!
2
I1N 202
uk U1N 0,045Å"500
Impedancja zwarcia: ZkCu = = = 1,125&!
100% I1N 20
2 2
stÄ…d reaktancja zwarcia: X = ZkCu - RkCu = 1,0968&!
kCu
Z tematu zadania wynika, \e pomimo przezwojenia, wartość reaktancji głównej, reak-
tancji rozproszeń oraz rezystancji odpowiadającej stratom w rdzeniu nie zmieniają się.
Przekładnia napięciowa transformatora jest równa stosunkowi napięć znamionowych
przy spełnieniu warunku, \e jest e"1:
U1N U1N
K = = = 2,273
U2N U20
2
Z warunku równości wymiarów geometrycznych uzwojeń przed i po remoncie wynika
następująca relacja ich rezystancji:
RkAl Å‚
Cu
=
RkCu Å‚
Al
stÄ…d
0,25Å"57
RkAl = = 0,4095&!
34,8
Poniewa\ reaktancja zwarcia nie zmieniła się, to: X = X = 1,097&!
kAl kCu
Impedancja zwarcia dla uzwojenia aluminiowego wynosi:
2 2
ZkAl = RkAl + X = 1,171&!
kAl
Z warunku wartości strat znamionowych w uzwojeniach przed i po remoncie:
"PCuN = "PAlN
wynika zale\ność:
RkAl I12x = RkCuI12N
i dalej
RkCu
I1x = I1N = 0,781Å" 20 = 15,627A
RkAl
Moc pozorna znamionowa w nowych warunkach wyniesie:
Sx = U1N I1x = 7,813 kVA
Nowe procentowe napięcie zwarcia będzie równe:
ZkAl I1x
ukx = 100% = 3,66%
U1N
Odpowiedz: W wyniku przezwojenia uległy zmianie jedynie wartości rezystancji
2 Al
uzwojeń: R1Al = R2 = 0,2047 &!. Wartości pozostałych parametrów schematu zastęp-
czego pozostajÄ… bez zmian. Nowa moc znamionowa transformatora wynosi 7,813 kVA,
nowy prąd znamionowy płynący po stronie górnego napięcia jest równy 15,627 A, zaś
nowe procentowe napięcie zwarcia wynosi 3,66 %.
1.2. Odpowiedz: a) U2 = 108,55 V, b) U2 = 102,87 V, c) U2 = 91,87 V.
1.3. Element grzejny ma charakter rezystancyjnym o wartości:
2
U 2202
N
RL = = = 9,68&!
PN 5000
Z danych tematu zadania (pytamy siÄ™ o moc grzejnika) wynika, \e wygodniej jest roz-
patrywać schemat zastępczy transformatora od strony odbiornika (wtórnej).
Stąd obliczamy parametry schematu zastępczego transformatora sprowadzone na stronę
wtórną.
SN 5000
PrÄ…d znamionowy - I2N = = = 22,727A
U2N 220
PwN 250
Rezystancja zwarcia - Rk = = = 0,484&!
2
I2N 22,7272
uk U 0,1Å" 220
2 N
Impedancja zwarcia - Zk = = = 0,968&!
100% I2N 22,727
3
2 2
Reaktancja zwarcia - Xk = Zk - Rk = 0,8383&!
Interesuje nas jedynie moduł wartości skutecznej prądu, a nie jego faza.
Zatem nie znając fazy napięcia strony wtórnej mo\emy przyjąć, \e jest równa zero.
j0
U = U2Ne = 220V
2N
Wartość prądu płynącego przez odbiornik wynosi zatem:
U 220
2 N
I = I = = = 21,5 - j1,773A
L 2
Z 10,164 + j0,8383
k
IL = 21,57 A
Moc pobierana przez odbiornik wynosi:
2
PL = RL I E" 4504W
L
Oznacza to, \e odbiornik pobiera moc czynnÄ… mniejszÄ… od znamionowej. Jest to spowo-
dowane spadkiem napięcia na transformatorze.
Ró\nica wynosi: "PL = PN PL = 496 W
Odpowiedz: Moc grzejnika zasilanego z transformatora zmniejszyła się w stosunku do
mocy znamionowej o 496 W.
1.4.Schemat zastępczy fazowy transformatora ma postać:
2
jXÃ 1 2
I1 R1
2 r 2 jXÃ R2
I 2
I
0
I
I
m
Fe
U1N
2 2N
U
jX
RFe
m
3
3
2 2
gdzie: R1 = R2 = 24,2 &!, XÃ 1 = XÃ 2 = 574,24 &!, X = 855,6 k&!, RFe = 2,42 M&!
m
Ikx
1.5. Ikx = 50,453 A, = 5,24 .
I1N
1.6. Na podstawie danych przyjmujemy do obliczeń uproszczony schemat zastępczy trans-
formatora, z pominięciem gałęzi poprzecznej. Układ transformator-odbiornik rozpatruje-
my od strony zasilania, sprowadzając układ połączeń transformatora do zastępczego ukła-
du Yy , co przy skojarzeniu odbiornika w gwiazdę pozwala w prosty sposób połączyć oba
schematy, jak na rysunku poni\ej:
Rk jX 2 r 2 2 L
I1 I = I
k
2 2 2 L
U U
U1
2 L
= Z
3 3
3
Parametry zwarciowe transformatora dla tego zastępczego układu połączeń mo\na
wyznaczyć z formuł:
4
SN 200000
I1N = = E" 5,77A
3U1N 3 Å" 20000
PwN
Rk = = 40&!
2
3I1N
uk U12N 0,06Å" 200002
Zk = = = 120&!
100% SN 200000
2 2
Xk = Zk - Rk E" 113,14&!
Impedancję fazową odbiornika mo\na wyznaczyć z zale\ności:
2
UN cosÕN 4002 Å"0,6
ZL = = = 0,48&!
PN 200000
RL = ZL cosÕN = 0,288&!
X = ZL sinÕN = 0,384&!
L
W postaci zespolonej impedancja ta jest równa: Z = RL - jX = 0,288 j0,384 (&!)
L L
Parametry te są sprowadzone na stronę górnego napięcia transformatora poprzez
uwzględnienie przekładni napięciowej:
U1N 20000
K = = = 50
U2N 400
Zatem:
2
2
RL = K RL = 720&!
2
2
X = K X = 960&!
L L
Prąd pobierany z sieci ma wartość:
U1N 20000
I1x = = = 6,78 + j7,55(A)
2 2
3[(Rk + RL ) + j(Xk - X )] 3(760 - j846,86)
L
Zatem:
I1x = 10,15 A
OdpowiadajÄ…cy mu prÄ…d przewodowy po stronie odbiornika wynosi:
I2x = K Å" I1x = 50 Å"10,15 = 507,46 A
Moc czynna pobierana przez odbiornik w tym stanie pracy wynosi:
2
Px = 3RLI2x = 3Å" 0,288 Å" (507,46)2 = 222494 W
i jest większa od mocy znamionowej:
Px 222494
= = 1,112 razy.
PN 200000
U2x
NapiÄ™cie fazowe na odbiorniku jest równe: U = = ZL Å" I2x = 243,58 V
phx
3
Zmienność napięcia strony wtórnej transformatora wynosi zatem:
U2N -U2 x 400 - 3 Å" 243,58
"u = = = -0,0547 = -5,47%
U2N 400
Zmienność napięcia mo\na równie\ wyznaczyć z zale\ności:
5
U1x I2 x
"U% = (uRN cosÕL + uXN % sinÕL)
U1N I2N %
lub równowa\nej
U1x I1x
"U% = (uRN cosÕL + uXN % sinÕL)
U1N I1N %
gdzie:
PwN
2 2
uRN % = 100 , uXN % = uk % - uRN %
SN
W funkcjach kÄ…ta ÕL nale\y uwzglÄ™dnić charakter obciÄ…\enia (dla obciÄ…\enia pojemno-
ściowego kąt jest ujemny).
Tu:
U1 I2 x
= 1, I2 N = 288,675 A, = 1,758, uRN % = 2, uXN % = 5,657
U1N I2N
stÄ…d: "u% = -5,85%
Napięcie fazowe na obcią\eniu wyznaczone ze zmienności napięcia wynosi:
"u% U2N 1,0585 Å" 400
U = (1- ) = = 244,4 V
phx
100
3 3
Pomimo uproszczonej metody wyznaczania mo\na przyjąć, \e otrzymany wynik nie-
wiele ró\ni się od uzyskanego z dokładnych obliczeń.
Odpowiedz: PrÄ…d przewodowy strony pierwotnej obciÄ…\onego transformatora wynosi
10,15 A, napięcie fazowe na odbiorniku jest równe 243,58 V i wzrosło w stosunku do
znamionowego o 5,47%. Stąd te\ moc czynna pobierana przez odbiornik zwiększyła się
w stosunku do jego mocy znamionowej 1,112 razy.
1.7. Dla obciÄ…\enia o charakterze indukcyjnym prÄ…dy fazowe transformatora wynoszÄ…:
I1 = 18,93 A, I2 = 270,15 A
Dla obcią\enia o charakterze pojemnościowym prądy fazowe transformatora wynoszą:
I1 = 17,96 A, I2 = 281,85 A
2. MASZYNY INDUKCYJNE (ASYNCHRONICZNE) TRÓJFAZOWE
2.1. Dla 4-biegunowego trójfazowego silnika indukcyjnego o danych:
PN = 37 kW, UN = 440 V, fN = 50 Hz, tb = 2,5, Tl = 1,6TN określić wartości sb, sN, TN.
Uwaga: w obliczeniach pominąć rezystancję stojana i straty mechaniczne.
2.2. Określić moment rozruchowy i maksymalny oraz moc strat mechanicznych silnika in-
dukcyjnego pierścieniowego o danych: PN = 45 kW, UN = 380 V (Y), IsN = 88 A,
nN = 970 min-1. Dane wirnika: Ulr = 160 V (Y), IrN = 184 A, Rr = 0,0142 &!/fazÄ™. PrÄ…d
zwarcia Ik wynosi 5 IsN. Wskazówka: w obliczeniach pominąć rezystancję stojana - Rs = 0
i straty w \elazie - "PFe = 0 oraz zało\yć równość reaktancji rozproszenia stojana i reak-
tancji rozproszenia wirnika, sprowadzonej na stronÄ™ stojana (XÃs = X Ãr).
2.3. Silnik indukcyjny posiada obroty idealnego biegu jałowego n0 = 1500 min-1 dla
fN = 50 Hz, UN = 500 V ("), cosĆN = 0,876, sN = 0,02, ·N = 0,9, "Pm = 200 W, i parametry
6
schematu zastÄ™pczego: Rs = 0, R r = 0,7 &!, Xm /XÃs = 25, XÃs = X Ãr = 3,5 &!. Obliczyć sb,
Tb, nN, PN, IN.
2.4. Silnik indukcyjny 3-fazowy posiada następujące dane znamionowe: PN = 350 kW,
UN = 500 V (Y), cosĆN = 0,88, ·N = 0,9, nN = 980 min-1, tb = 2,3, Pws = 1 kW,
"Pm = 0,5 %PN, Pad = 0,5 %PN, I0 = 40 %IN. Wyznaczyć parametry schematu zastępcze-
go, przy zaÅ‚o\eniu XÃs = X Ãr.
2.5. Silnik indukcyjny posiada następujące parametry schematu zastępczego:
'
XÃs = X Ãr = 3,5 &!, Rs = 0,4 &!, Rr = 0,7 &!, Xm/XÃs = 25, RFe = 150 &!, p = 2 przy f = 50 Hz.
Zakładając, \e UN = 500 V (") i sN = 0,02 oraz "Pm = 0 obliczyć :
a) PN, ·N, IN, cosĆN, tb;
Il
b) Tl, Il, il = przy przyłączeniu silnika do sieci.
IN
2.6. Silnik indukcyjny pierścieniowy ma dane znamionowe: PN = 190 kW, UN = 500 V (Y),
Ulr = 400 V (Y), fN = 50 Hz, p = 2, tb = 2,3, nN = 1480 min-1.
a) dobrać wartość rezystancji dodatkowej dołączonej do uzwojenia wirnika tak, aby mo-
ment rozruchowy był równy maksymalnemu (Rrd wyrazić w &!),
b) ile będzie wynosił względny prąd rozruchowy początkowy il przy tej rezystancji?
2.7. Silnik indukcyjny o danych: PN = 100 kW, UN = 500 V ("), cosĆN = 0,88, ·N = 0,93,
nN = 980 min-1, Pws = 1000 W, "Pm = 0,5 %PN, Pad = 0,5 %PN, I0 = 40 %IN, tb = 2,1. Silnik
ten zasilono z sieci o napięciu międzyfazowym 220 V, przy połączeniu faz stojana w trój-
kąt. Obliczyć prąd pobierany z sieci i moment przy postoju.
2.8. Silnik indukcyjny 3-fazowy ma dane: PN = 10 kW, UN = 380 V (Y), cosĆN = 0,85,
·N = 0,9, nN = 1460 min-1, il = 4.
a) wyznaczyć parametry uproszczonego schematu zastępczego przy pominięciu gałęzi po-
przecznej i dobrać rezystancję rozruchową R rd tak, aby moment Tl = TN (przy sb < 1).
b) obliczyć ustalone obroty n, gdy R rd pozostanie w obwodzie wirnika, zaś moment ob.
ciÄ…\enia wynosi T = 0,4 TN.
2.9. Silnik indukcyjny o danych: n0 = 1500 min-1, UN = 500 V (Y) posiada parametry schema-
2
tu zastÄ™pczego: XÃs = X Ãr = 3,5 &!, Rr = 0,7 &!, Rs = 0 (w schemacie zastÄ™pczym pominąć
gałąz poprzeczną). Silnik ten zasilany jest z sieci trójfazowej o napięciu międzyfazo-
wym 300 V i częstotliwości f = 40 Hz. Obliczyć w tych warunkach Tbx, sbx, oraz ustalone
obroty przy obciÄ…\eniu momentem obrotowym T = 0,4TbN.
2.10. Silnik indukcyjny dzwigowy o danych: PN = 100 kW, nN = 1470 min-1, UN = 500 V(Y),
tb = 2,5, Ulr = 300 V (Y), napędza wciągarkę.
a) dobrać wartość oporników rozruchowych, przy których silnik ten, obcią\ony
T = 0,9 TN, pracuje z prędkością 0,6 nN.
b) obliczyć prędkość maszyny przy hamowaniu prądnicowym z pozostawionym z punktu
a. oporem rozruchowym, gdy maszyna napÄ™dzana jest momentem T = 500 N·m (w obli-
czeniach pominąć rezystancję stojana i prąd biegu jałowego).
2.11. Silnik indukcyjny o danych: PN = 25 kW, UN = 380 V, cosĆN = 0,85, nN = 960 min-1,
tb = 2,5, (przyjąć Rs = 0, a w schemacie zastępczym silnika pominąć gałąz poprzeczną).
Obliczyć moment znamionowy i poślizg krytyczny. Obliczyć moment jakim mo\na ob-
7
cią\yć silnik, aby przy napięciu U = 220 V osiągnął prędkość n = nN. Ile wynosi wtedy
współczynnik mocy cosĆ?
2.12. Silnik indukcyjny pierścieniowy ma dane: UN = 380 V (Y), obroty synchroniczne
2
ns = 1500 min-1, fsN = 50 Hz, p = 2, tb = 2,1, Xk = 7 &!, Rr = 0,7 &!. Silnik zasilono, przy
niezmienionym układzie połączeń stojana, napięciem Us = 220 V, i obcią\ono momentem
T = 0,5 TN, zaś do obwodu dołączono opór dodatkowy do ka\dej fazy równy Rrd = 4Rr.
Obliczyć ustalone obroty w nowych warunkach pracy.
2.13. Silnik indukcyjny o danych: PN = 50 kW, UN = 380 V("), cosĆN = 0,86, ·N = 0,88,
nN = 970 min-1, Tb/TN = 2,1, pracuje zasilany napięciami przewodowymi 380 V, przy po-
łączeniu w gwiazdę. Ile wynosi moment początkowy przy symetrycznym dołączeniu do
wirnika oporu dodatkowego Rrd = 10Rr? Obliczyć prędkość, jaką rozwija silnik przy ob-
ciÄ…\eniu go momentem T = 0,4Tb (Tb w nowych warunkach pracy).
2.14. Silnik indukcyjny pierścieniowy o danych: PN = 50 kW, UN = 380 V ("),
cosĆN = 0,86, ·N = 0,88, nN = 970 min-1, Tb/TN = 2,1 posiada wÅ‚Ä…czony w celach regulacji
prędkości opornik dodatkowy Rrd = 8Rr. Obliczyć straty mocy wydzielonej w uzwojeniu
wirnika i w oporze dodatkowym, przy obciÄ…\eniu T = TN.
2.15. Silnik indukcyjny ma dane znamionowe: PN = 26,5 kW, UN = 380 V ("),
nN = 735 min-1, tb = 1,9, IsN = 56 A, Ulr = 300 V (Y). Dobrać wartość opornika dodatkowe-
go, aby przy obcią\eniu momentem T = 0,8 TN silnik miał prędkość n = 0,6 ns.
2.16. Silnik indukcyjny pierścieniowy posiada dane znamionowe: PN = 2500 kW,
UN = 6000V (Y), Ulr = 1000 V (Y), fs = 50 Hz, tb = 2,1, p = 2, nN = 1480 min-1. W wyniku
dołączenia rezystancji dodatkowej obroty silnika przy obcią\eniu momentem znamiono-
wym wynoszą 1400 min-1. Określić wartość tej rezystancji w &! oraz rozdział mocy traco-
nej w wirniku i na rezystancjach dodatkowych.
2.17. Silnik indukcyjny ma dane znamionowe: PN = 250 kW, UN = 380 V ("), cosĆN = 0,88,
·N = 0,94, tb = 2,5, nN = 710 min-1, Rs = 0,7 R r (w schemacie zastÄ™pczym silnika pominąć
gałąz poprzeczną). Obliczyć indukcyjność dławika, jaki trzeba włączyć szeregowo w
przewody zasilające uzwojenie stojana, aby ograniczyć prąd rozruchowy do 3IN. Ile bę-
dzie wynosił wówczas moment rozruchowy w stosunku do znamionowego? Jak zmieni
się poślizg przy obcią\eniu znamionowym, gdyby dławik nie został wyłączony? Wska-
zówka: w obliczeniach momentu stosować wzory uproszczone, nie uwzględniając Rs.
2.18. Silnik indukcyjny ma dane: UN = 380 V (Y), nN = 1450 min-1, fN = 50 Hz,
XÃs = X Ãr = 0,5 &!, R r = 0,1 &!, Cs = 0,97. Silnik pracuje zasilany z sieci trójfazowej o na-
pięciu międzyfazowym 220 V, przy f = 40 Hz. Obliczyć: Tb, sb, n silnika przy obcią\eniu
momentem T = 0,5 TN w podanych warunkach.
2.19. Silnik indukcyjny pierścieniowy ma dane: PN = 100 kW, UN = 500 V (Y),
nN = 720 min-1, tb = 2,2, ·N = 0,91, cosĆN = 0,85, fsN = 50 Hz, Ulr = 250 V (Y). Silnik pra-
cuje zasilany napięciem znamionowym UN przy f = 60 Hz. Obliczyć nową przecią\alność
momentem tbx. Dobrać opór Rrd dla wirnika tak, aby w nowych warunkach silnik obcią-
\ony momentem równym 0,75 TN wirował z prędkością 600 min-1. Obliczyć prąd pobie-
rany z sieci.
8
2.20. Silnik indukcyjny pierścieniowy ma dane: PN = 190 kW, UN = 500 V (Y),
Ulr = 400 V (Y), fN = 50 Hz, p = 2, tb = 2,3, nN = 1480 min-1, IsN = 264 A. Silnik pracuje w
warunkach zmienionych: U = 380 V ("), f = 1,2fN, T = 0,8 TN. Dobrać wartość rezystancji
dodatkowej tak, aby obroty wirnika wynosiły 1450 min-1 (Rrd wyrazić w &!). Obliczyć
straty mocy w obwodach wirnika w tym stanie pracy. Straty mechaniczne pominąć.
2.21. Silnik indukcyjny pierścieniowy ma dane znamionowe: PN = 190 kW, UN = 500 V (Y),
Ulr = 400 V (Y), fN = 50 Hz, p = 2, tb = 2,3, nN = 1480 min-1, IsN = 264 A, IrN = 310 A. Sil-
nik pracuje w sieci f = 60 Hz. Obliczyć prędkość silnika przy obcią\eniu momentem zna-
mionowym, jeśli napięcie zasilania nie uległo zmianie. Oszacować prąd stojana w tym
stanie pracy.
2.22. Silnik indukcyjny pierścieniowy ma dane znamionowe: PN = 190 kW, UN = 500 V (Y),
Ulr = 400 V (Y), fN = 50 Hz, p = 2, tb = 2,3, nN = 1480 min-1, IsN = 264 A, IrN = 310 A. Sil-
nik pracuje w nowych warunkach: U = UN, f = 1,2 fN. Obliczyć jakim momentem mo\na
obcią\yć silnik, aby poślizg pozostał znamionowy. Oszacować prąd stojana w tym stanie
pracy.
ROZWIZANIA ZADAC I ODPOWIEDZI DO ROZDZIAAU 2
2.1 Wyra\enie na moment elektromagnetyczny silnika indukcyjnego (wzór Klossa) dla
przyjętych zało\eń ma postać:
2Tb
Te =
s sb
+
sb s
Tb
Jeśli określimy przecią\alność momentem jako: t = ,
T
gdzie w warunkach pracy stabilnej zachodzi równość: T = Te
to z rozwiązania wyra\enia na moment otrzymamy z wiązek między poślizgami kry-
tycznym i w danym punkcie pracy:
2
sb = s(t Ä… t2 -1) lub s = sb (t Ä… t -1)
Tb
Przecią\alność znamionowa jest równa: tb = , gdzie TN jest znamionowym
TN
momentem obrotowym.
W zadaniu
Tb tbTN 2,5 2,5
t = = = = =1,5625, sl = 1
Tl 1,6TN 1,6TN 1,6
StÄ…d:
sb = 0,362 (drugi wynik: sb = 2,762 odrzucamy)
2
sN = sb (tb Ä… tb -1) E" 0,076 (drugi wynik sN = 1,734 odrzucamy).
És - p&!
Wyra\enie na poślizg ma postać: s =
És
És - p&!N
dla wartości znamionowych: sN =
És
9
Tu liczba par biegunów: p = 2.
És 2Ä„fN
StÄ…d: &!N = (1- sN ) = (1- sN ) = 145,21(rad/s)
p p
PN
Znamionowy moment obrotowy wynosi: TN = = 254,8 E" 255N Å"m
&!N
Odpowiedz: sb = 0,362, sN = 0,076,TN E" 255Nm
2.2 Przekładnia napięciowa jest liczona jako stosunek napięć fazowych stojana do wirnika:
UN 3 380
K = = = 2,375
160
3Ulr
2
2
Rezystancja fazy wirnika sprowadzona na stronÄ™ stojana: Rr = K Rr = 0,0801&! ,
IrN
2
prąd fazowy wirnika po sprowadzeniu ma wartość: IrN = = 77,47A
K
2
Poniewa\ w znamionowym stanie pracy wartości fazowe prądu wirnika IrN
i prądu stojana IsN są ró\ne, w analizie schematu zastępczego nale\y uwzględnić
gałąz poprzeczną. Jest ona reprezentowana przez reaktancję główną Xm .
2
Rr
jXÃs I2 rN jX Ãr sN
2
I
sN
I
m
U
sN
jXm
3
Zakładamy dla uproszczenia, \e w znamionowym stanie pracy prąd wirnika
2
Rr 2
jest w fazie z napiÄ™ciem na gaÅ‚Ä™zi poprzecznej (poniewa\ >> XÃr )
sN
i wyprzedza prąd magnesowania w tej gałęzi ( Im ) o 900.
2
Stąd: Im = (IsN )2 - (IrN )2 = 41,7A i dalej szacunkowa wartość reaktancji
UsN
głównej wynosi: Xm = = 5,26&!
3Im
W stanie zwarcia wypadkowa impedancja fazowa ma postać:
2 2 2 2 2 2
jX (Rr + jXÃr ) jX (Rr + jXÃr )[Rr - j(X + XÃr )]
m m m
Z = jXÃs + = jXÃs + =
k
2 2 2 2
Rr + j(X + XÃr ) (Rr )2 + (X + XÃr )2
m m
2 2 2 2
jXm (Rr )2 + Rr (Xm )2 jX XÃr (Xm + XÃr )
m
= jXÃs + +
2 2 2 2
(Rr )2 + (Xm + XÃr )2 (Rr )2 + (Xm + XÃr )2
2
Jeśli uwzględnimy, \e X >> Rr (patrz obliczenia wy\ej) to impedancję mo\na
m
zapisać jako:
2
ëÅ‚ öÅ‚
Xm ÷Å‚ 2 X
m
ìÅ‚ 2 2 2
Z E" jXÃs + Rr + j XÃr = (Cr )2 Rr + j(XÃs + Cr XÃr )
k
ìÅ‚
2 2
X + XÃr ÷Å‚ X + XÃr
íÅ‚ m Å‚Å‚ m
10
X
m
gdzie: Cr =
2
Xm + XÃr
Xm
2
W temacie zadania przyjÄ™to: XÃr = XÃs , stÄ…d Cr = Cs =
XÃs + Xm
2
ëÅ‚ öÅ‚
Xm ÷Å‚ 2 X
m
ìÅ‚ 2 2 2
oraz Z = jXÃs + Rr + j XÃr = (Cr )2 Rr + jX = (Cs )2 Rr + jXk
k k
ìÅ‚
2 2
X + XÃr ÷Å‚ Xm + XÃr
íÅ‚ m Å‚Å‚
2
gdzie: Xk = Cs XÃs + XÃr
PrÄ…d zwarcia: Ik = 5IsN = 440A
UsN
Jednocześnie: Ik =
2
3 (CsRr )2 + (X )2
k
2
2
Uwzględniając, \e X >> (CsRr )2 przyjmujemy wartość prądu zwarcia
k
UsN
za równą: Ik E"
3X
k
UsN
stÄ…d: X = E" 0,498&!
k
3Ik
2
Aby obliczyć wartoÅ›ci reaktancji rozproszeÅ„ XÃr = XÃs oraz współczynnika Cs nale-
\y rozwiÄ…zać równanie kwadratowe ze wzglÄ™du na XÃs :
X XÃs
m
2
X = Cs XÃs + XÃr = + XÃs
k
Xm + XÃs
stÄ…d: (XÃs )2 + (2X - Xk )XÃs - X Xm = 0
m k
Uwzględniając wyznaczone wcześniej przybli\one wartości indukcyjności głównej
Xm = 5,26&! i indukcyjności zwarcia Xk = 0,498&! otrzymujemy:
(XÃs )2 +10,02XÃs - 2,62 = 0
Xm 5,26
2
StÄ…d: XÃs = XÃr = 0,255&! oraz Cs = = = 0,954 .
XÃs + Xm 5,26 + 0,255
Dla dokÅ‚adniejszego wyznaczenia wartoÅ›ci reaktancji Xm , XÃs i dalej współczynnika
2
Cs nale\y uwzględnić w gałęzi wirnika rezystancję Rr .
Analizę przeprowadzimy dla znamionowych warunków pracy.
Dla rozwa\anego silnika przyjmujemy wartość obrotów synchronicznych równą:
n0 = 1000 min-1.
n0 - nN
Poślizg znamionowy wynosi: sN = = 0,03
n0
Zale\ność między znamionowymi wartościami prądów stojana i wirnika wyznaczymy
na podstawie schematu zastępczego z dzielnika prądów:
jXm
2 rN sN
I = I
2
Rr 2
+ j(XÃr + X )
m
sN
2
i przy zaÅ‚o\eniu równoÅ›ci reaktancji rozproszeÅ„ - XÃs = XÃr przyjmuje postać:
11
2
IrN X Xm
m
= = (1)
2
IsN ëÅ‚ Rr öÅ‚2
ëÅ‚ 2 öÅ‚
2 2 Rr
ìÅ‚ ÷Å‚ 2 ìÅ‚ ÷Å‚
+(XÃr + Xm) + (X )2
s
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
sN sN
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2
gdzie: X = XÃr + Xm .
s
Jednocześnie mo\na zapisać:
2
XÃs X XÃr X XÃs Xm
m m
2 2
X = Cs XÃs + XÃr = + XÃr = XÃs + = XÃs + =
k
'
XÃs + X XÃr + Xm XÃs + Xm
m
XÃs X
m
= XÃs +
X
s
2 2
stÄ…d: X X = XÃs X + XÃs X = XÃs(X + X ) = (X - X )(X + X ) = X - X
k s s m s m s m s m s m
2 2
czyli: Xm = Xs - Xk X (2)
s
Po uwzględnieniu zale\ności (2) w równaniu (1), po wprowadzeniu parametru Xk ,
otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą X :
s
2 2
ëÅ‚ 2 öÅ‚ ëÅ‚ 2 öÅ‚ 2
Rr Rr IrN
2 2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
Xm = k2ìÅ‚ ÷Å‚ + k2 X czyli X - X X = k + k2 X , gdzie: k = ,
s s k s s
ìÅ‚ ÷Å‚
sN sN IsN
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
i dalej:
2
ëÅ‚ 2 öÅ‚
Rr
2
ìÅ‚ ÷Å‚
(k2 -1)X + X X + k2ìÅ‚ ÷Å‚ = 0
s k s
sN
íÅ‚ Å‚Å‚
StÄ…d:
2
ëÅ‚ 2 öÅ‚
Rr
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
Xk + Xk + 4ìÅ‚ ÷Å‚ k2(1- k )
sN
íÅ‚ Å‚Å‚
X =
s
2(1- k2)
2
ëÅ‚ 0,0801öÅ‚
0,498 + 0,4982 + 4 ÷Å‚ 0,882(1- 0,882)
ìÅ‚
0,03
2,783
íÅ‚ Å‚Å‚
X = = = 6,184
s
2(1- 0,882) 0,45
Wyznaczone wartości reaktancji wynoszą: X = 6,184 &!, X = 5,93 &!
s m
Xm
Wtedy stała Cs jest równa: Cs = = 0,959
X
s
2
natomiast reaktancje rozproszenia, przy zaÅ‚o\eniu XÃs = XÃr , wynoszÄ…:
2
XÃs = XÃr = X - Xm = 0,254&!
s
Na podstawie znamionowej wartości prędkości obrotowej przyjmujemy p = 3.
Wyra\enie na moment krytyczny ma postać:
2
(CsUsph)
3
Tb = p
2 És Xk
Zatem:
2
3 (0,959Å"380 / 3)
Tb = 3Å" E" 1273(N Å" m)
2 100Ä„ Å"0,498
12
2
Rr
Poślizg krytyczny: sb = = 0,161
X
k
2Tbsb
Moment rozruchowy: Tl = E" 399(N Å" m)
2
1+ sb
Jeśli powtórzyć powy\szy cykl obliczeń dla poprawionej wartości reaktancji zwarcia,
równej:
2
ëÅ‚ öÅ‚
UsN
2
ìÅ‚ ÷Å‚
2
X = -(CsRr ) E" 0,493&!
k
ìÅ‚ ÷Å‚
3Ik
íÅ‚ Å‚Å‚
to otrzymamy ostatecznie wyniki:
2
Cs E" 0,959, XÃs = XÃr = 0,2516, sb = 0,1625, Tb =1286N Å" m , Tl = 407N Å" m
Zauwa\my, \e przeprowadzona korekta poprawia wyniki w zakresie nie przekraczajÄ…-
cym 2%. Biorąc pod uwagę dokładność samego modelu matematycznego mo\na
uznać, \e nie była ona konieczna. Równie\ uproszczona procedura wyznaczenia reak-
tancji i stałej Cs (pominięcie wpływu rezystancji wirnika) daje wyniki zbli\one do ob-
liczeń dokładnych.
Wyznaczmy teraz znamionowy moment elektromagnetyczny ze wzoru:
2TbsN sb
TeN = E" 459(N Å" m)
2 2
sN + sb
Całkowitą moc mechaniczną wytwarzaną przez maszynę mo\emy obliczyć ze wzoru:
És(1- sN )
PmN = TeN = 46643(W ),
p
stÄ…d moc strat mechanicznych:
"Pm = PmN - PN =1643W
Odpowiedz: Moment rozruchowy silnika wynosi: Tl = 407 N·m, moment maksymalny
jest równy: Tb = 1286 N·m, natomiast moc strat mechanicznych ma wartość:
"Pm = PmN - PN = 1643 N·m.
2.3 sb = 0,102, Tb = 322Nm , nN =1470min-1 , TN = 120,3Nm, PN =18,5kW , IN = 27,1A,
2 2
2.4. Rs = 1,28 m&!, Rr = 12 m&! , X =1,43 &! , RFe = 8,86 &!, XÃs = XÃr = 0,0705&!.
m
2.5 Ad a. IN = 30,55A , cosÕN = 0,88, PN =18,7kW , ·N = 0,802 , tb E" 2,6.
Ad b. Tl = 62,4 N Å" m , Il = 125A, il E" 4 .
2.6 Przy rozwiązywaniu zadania posługujemy się uproszczonym schematem zastępczym
silnika pomijając parametry gałęzi poprzecznej i rezystancję stojana, stąd stała Cs = 1.
60 fN
Ad a. Prędkość synchroniczna ns = =1500min-1
p
ns - nN Ä„ nN
sN = = 0,01(3) , &!N = =154,99 rad / s
ns 30
13
PN
TN = = 1226 E" 1230 N Å" m , Tb = tbTN = 2820 N Å" m
&!N
2
sb = sN(tb + tb -1)E" 0,0583
2
(Usph)
3
2
X = p = 0,282&! , Rr = sb X = 0,0165&!
k k
2 ÉsTb
2 2
Rr + Rrd
Nowa wartość poślizgu krytycznego: sbx = = 1
Xk
2 2
sbx Rr + Rrd
StÄ…d: =
2
sb Rr
ëÅ‚ öÅ‚
sbx UN 3
2 2 ìÅ‚ ÷Å‚ 2
i dalej: Rrd = Rr ìÅ‚ -1÷Å‚ , Rrd = 0,266&! , K = = 1,25
sb
3Ulr
íÅ‚ Å‚Å‚
zatem: Rrd E" 0,17&!
Ad b. Wartość stosunkowa prądu przy zahamowanym wirniku, gdy sx = 1:
2
2
ëÅ‚ 2 öÅ‚
Rr ëÅ‚ öÅ‚
2 sb
ìÅ‚ ÷Å‚
Usph ìÅ‚ ÷Å‚ + (X ) ìÅ‚ ÷Å‚
+1
k
ìÅ‚ ÷Å‚
sN
sN
Il
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
il = = = = 3,17 E" 3
2
2
IN
ëÅ‚ öÅ‚
sbx
ëÅ‚ 2 2 öÅ‚
Rr + Rrd ÷Å‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚
+1
ìÅ‚
Usph ìÅ‚ + (Xk )
ìÅ‚ ÷Å‚
sx
sx ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Odpowiedz:
Ad a. Szukana wartość rezystancji dodatkowej dołączonej do fazy wirnika wynosi:
Rrd E" 0,17&! .
Ad b. Wartość stosunkowa prądu przy zahamowanym wirniku il = 3,17 E" 3
2.7 Prąd przewodowy pobierany z sieci ma wartość Is = 250,2A , moment elektromagne-
tyczny wytwarzany przez silnik przy postoju wynosi Tl = 59,3 N Å"m
2.8 Ad a. Parametry uproszczonego schematu zastępczego silnika wynoszą: Rs = 0,707&!,
2 2
Rr = 0,231&!, XÃs = XÃs = 1,3&!. Szukana rezystancja rozruchowa doÅ‚Ä…czona do obwodu
wirnika, przy połączeniu faz w gwiazdę, ma wartość fazową: Rrd = 0,267&!.
Ad b. n = 1479 min-1.
2.9 Tbx = 63,95 N Å" m, sbx = 0,125, n =1137,4 min-1 .
2.10 Ad a. Na podstawie danych znamionowych przyjmujemy: p = 2. Obroty synchroniczne
wynoszÄ…: ns =1500min-1 , zaÅ› obroty silnika, n = 0,6, nN = 0,6Å"1470 = 882min-1 .
ns - n 1500 - 882
Poślizg w tych warunkach jest równy: s = = = 0,412
ns 1500
Przecią\alność momentem dla zadanego obcią\enia jest równa:
14
Tb tb
tbx = = = 2,(7)
0,9TN 0,9
2
Poślizg krytyczny w tych warunkach wynosi: sbx = s(tbx + tbx -1)= 2,212
Moment krytyczny znamionowy wynosi:
PN 30PN 30Å"100000
Tb = tb = tb = 2,5Å" =1624 N Å" m
&!N Ä„ nN Ä„ Å"1470
Reaktancję zwarcia wyznaczamy ze wzoru na moment krytyczny, kładąc Cs = 1:
2
ëÅ‚ 500 öÅ‚
2Å"3
ìÅ‚ ÷Å‚
2
(CsUsph)
3
3
íÅ‚ Å‚Å‚
X = p = = 0,49&!
k
2 ÉsTb 2Å"100Ä„ Å"1624
ns - nN 1500 -1470
Poślizg znamionowy wynosi: sN = = = 0,02
ns 1500
2
Poślizg krytyczny znamionowy jest równy: sb = sN(tb + tb -1)= 0,0958
Rezystancję fazową wirnika wyliczamy ze wzoru na poślizg krytyczny:
2
Rr = sb Xk = 0,04695&!
Rezystancja fazowa opornika dodatkowego sprowadzona na stronę stojana ma wartość
wynikłą ze wzoru na poślizg krytyczny w nowych warunkach pracy:
2 2
Rr + Rrd
sbx =
X
k
2 2
StÄ…d: Rrd = sbx X - Rr = 1,0369&!
k
Po uwzględnieniu przekładni otrzymamy następującą wartość rezystancji dodatkowej
dla fazy wirnika:
2
U 3 500 Rd
N
K = = =1,(6) , Rrd = = 0,373&!
2
300 K
3Ulr
Tb 1624
Ad b. Nowa przecią\alność momentem wynosi: tbxx = = = 3,248
T 500
Przy pracy prądnicowej poślizg krytyczny ma ujemną wartość równą, przy pominięciu
wpływu rezystancji stojana, poślizgowi sbx z części a) zadania.
Zatem: sbxx = -sbx
Poślizg odpowiadający ustalonej pracy maszyny przy hamowaniu prądnicowym wyno-
si:
2
sxx = -sbx(tbxx - tbxx -1)= -0,349
Stąd ustalone obroty mają wartość: n = ns(1- sxx )=1500(1+ 0,349)= 2024min-1
Odpowiedz:
Ad a. Szukana wartość rezystancji dodatkowej dołączonej do fazy wirnika wynosi:
Rrd = 0,373&!
Ad b. Ustalone obroty przy hamowaniu prÄ…dnicowym wynoszÄ…: n = 2024min-1
2.11 T = 83,36 N Å" m, cosÕ = 0,85.
2.12 n =1187 min-1 .
15
2.13 n = 728min-1, Tl E" 333 Nm.
2.14 Straty mocy wydzielonej w uzwojeniu wirnika wynoszÄ…: "Pr E" 1545W. Straty mocy
wydzielonej w oporze dodatkowym wynoszÄ…: "Prd E" 12370W.
2.15 Szukana rezystancja rozruchowa dołączona do obwodu wirnika, przy połączeniu faz w
gwiazdę, ma wartość fazową: Rrd = 1,525&! .
2.16 Rezystancja fazowa wirnika dodatkowego ma wartość: Rrd = 0,0198&!. Straty mocy
wydzielonej w uzwojeniu wirnika wynoszÄ…: "Pr = 33780W. Straty mocy wydzielonej w
oporze dodatkowym wynoszÄ…: "Prd = 135130W.
2.17 Indukcyjność dławika ma wartość fazową: Ld = 0,136 mH (Y ), stosunek momentu roz-
Tl
ruchowego do znamionowego wyniesie wtedy: tl = = 0,64. poślizg przy znamiono-
TN
wym obcią\eniu, przy załączonym dławiku, wzrośnie o: "s = 0,0025.
2.18 Tb E" 230 N Å" m, sb = 0,127, n =1153min-1 .
2.19 Nowa przecią\alność momentem wyniesie: tbx = 1,53, rezystancja fazowa opornika do-
datkowego ma wartość: Rrd = 0,185&!. Prąd pobierany z sieci ma wartość: Is =111,9A.
2.20 Rezystancja fazowa opornika dodatkowego ma wartość: Rrd E" 0,092&!. Straty mocy
wydzielonej w obwodach wirnika wynoszÄ…: "Pr + "Prd = 35945W.
2.21 Wskazówka: w rozwiązaniu zastosować uproszczoną procedurę wyznaczenia reaktancji
zwarcia i stałej Cs , przy pominięciu wpływu rezystancji wirnika, jak w zadaniu 2.2.
Odpowiedz: n =1769min-1, Is E" 291A.
2.22 Wskazówka: w rozwiązaniu zastosować uproszczoną procedurę wyznaczenia reaktancji
zwarcia i stałej Cs , przy pominięciu wpływu rezystancji wirnika, jak w zadaniu 2.2.
Odpowiedz: T E" 1000 Nm, Is E" 236A.
3. MASZYNY SYNCHRONICZNE CYLINDRYCZNE
Uwaga: We wszystkich zadaniach w tym rozdziale przyjąć sprawność maszyny · = 1
(pominąć straty mocy czynnej w uzwojeniach, straty w \elazie i straty dodatkowe).
3.1 Silnik synchroniczny o danych: PN = 1 MW, UN = 6 kV ("), xd = xq = 1,6, IfN = 100 A,
cosÕN = 0,8cap, pracuje w warunkach znamionowych. Obliczyć IaN , ŃLN , EfN , If0.
3.2 Silnik synchroniczny ma dane: PN = 3 MW, UN = 6 kV (Y), cos ÕN = 0,8cap i parametry
Xd = Xq = 15 &!, &!N = 314 rad/s.
a. Obliczyć przeciÄ…\alność znamionowÄ… tego silnika i zapas kÄ…ta mocy "ÅL przy wzbu-
dzeniu go do 0,9EfN
b. Obliczyć prąd sieci (stojana) i współczynnik mocy przy tym wzbudzeniu, gdy mo-
ment obciÄ…\enia jest znamionowy oraz gdy wynosi 0,8 momentu znamionowego.
3.3. Silnik synchroniczny cylindryczny o danych: PN = 16 kW, UN = 500 V (Y), Xd = 6 &!,
cosÕN = 0,8cap, zasilany jest napiÄ™ciem znamionowym i obciÄ…\ony tak, aby przy
cos ÕN = 0,9cap pobieraÅ‚ prÄ…d znamionowy. Jak nale\y zmienić wzbudzenie, aby przy
obcią\eniu momentem równym połowie poprzedniej wartości moc bierna pobierana po-
została taka sama? Obliczyć prąd fazowy, jaki wtedy popłynie.
16
3.4. Silnik synchroniczny cylindryczny o danych: PN = 1 MW, UN = 5 kV (Y), IfN = 450 A,
If0 = 200 A, cosÕN = 0,8cap, Xd = 1,5 pracuje przy obciÄ…\eniu równym 0,5 TN i wzbudze-
niu 0,8 IfN. Oblicz wartość prÄ…du fazowego i cosÕ.
3.5. Silnik synchroniczny cylindryczny o danych: PN = 1 MW, UN = 6 kV (Y), IfN = 500 A,
cosÕN = 0,8cap, xd = xq = 1,2, &!N = 314 rad/s ma kompensować moc biernÄ…
Q = 900 kVar. Jak du\ym momentem mo\na go obcią\yć, aby prąd wzbudzenia nie
przekroczył wartości znamionowej? Ile w tych warunkach będzie wynosił prąd pobiera-
ny przez silnik z sieci?
3.6. Silnik synchroniczny cylindryczny o danych: PN = 10 MW, UN = 6 kV (Y), IfN = 450 A,
If0 = 200 A, cosÕN = 0,8cap, xd = 1,5. Obliczyć prÄ…d wzbudzenia, aby przy obciÄ…\eniu
2 TN kÄ…t mocy wynosiÅ‚ 60°. Jaki bÄ™dzie wtedy cosÕ?
3.7. Silnik synchroniczny cylindryczny o danych: PN = 160 kW, UN = 6 kV (Y), Xd = 60 &!,
cosÕN = 0,8cap, zasilany jest napiÄ™ciem znamionowym i wzbudzany tak, aby przy
cosÕ = 0,9cap pobieraÅ‚ prÄ…d znamionowy. Jak nale\y zmienić wzbudzenie, aby przy ob-
cią\eniu mocą czynną, równą połowie poprzedniej wartości, moc bierna pobierana przez
silnik pozostała niezmieniona? Ile w tych warunkach będzie wynosił prąd stojana?
3.8. PrÄ…dnica synchroniczna o danych: SN = 2 MVA, UN = 6,3 kV (Y), cos ÕN = 0,9ind i parame-
trach Xd = Xq = 20 &!, zasila odbiornik o mocy znamionowej PL = 1 MW oraz cosÕ = 1,
przy UL = 6 kV.
a) Jak powinna być wzbudzona prądnica, aby napięcie na jej zaciskach było równe
Ux = 6 kV (Y)?
b) Jaki jest prÄ…d zwarcia symetrycznego tej prÄ…dnicy przy takim wzbudzeniu?
3.9. Generator synchroniczny cylindryczny ma dane: SN = 1,25 MVA, UN = 6 kV (Y), xd = 1,5,
&!N = 314 rad/s. Jest on obcią\ony prądem równym 2/3 znamionowej wartości prądu
stojana i cos Õ = 0,9ind. Obliczyć o ile wzroÅ›nie napiÄ™cie (w stanie ustalonym) przy od-
ciÄ…\eniu generatora.
3.10. Generator synchroniczny cylindryczny o danych: SN = 120 MVA, UN = 13,5 kV (Y),
xd = xq = 1,5, IfN = 500 A, If0 = 280 A, &!N = 314 rad/s pracuje napędzany momentem
T = 2 .105 Nm, podłączony do sieci 12 kV, przy If = 350 A (praca na sieć sztywną). Obli-
czyć moc czynnÄ… i biernÄ… oddawanÄ… do sieci, prÄ…d twornika i cos Õ w nowych warun-
kach pracy.
3.11. Generator synchroniczny cylindryczny o danych: SN = 12,5 MVA, UN = 10,5 kV (Y),
cosÕN = 0,8ind, fN = 50 Hz, Xd = 17,9 &!, napÄ™dzany z prÄ™dkoÅ›ciÄ… znamionowÄ…, pracuje
na odbiór o cos Õ = 0,75ind. Obliczyć dopuszczalnÄ… moc czynnÄ… P wydawanÄ… przez ge-
nerator pracujÄ…cy przy U = 9800 V, gdy Ia d" IaN oraz If d" IfN.
3.12. Generator synchroniczny cylindryczny o danych: SN = 31,25 MVA, UN = 6,3 kV (Y),
fN = 50 Hz, xd = 1,97, IfN = 492 A, cos ÕN = 0,8ind pracuje na sieć U = 6000 V, f = 50 Hz
obcią\ony prądem I = 2000 A i wydaje moc P = 18 MW. Obliczyć jaki ma prąd wzbu-
dzenia?
17
ROZWIZANIA ZADAC I ODPOWIEDZI DO ROZDZIAAU 3
3.1.Moc znamionowa silnika jest mocÄ… czynnÄ… mechanicznÄ…. PomijajÄ…c wszelkie straty przy
przetwarzaniu energii przyjmujemy, \e jest ona równa znamionowej mocy elektrycznej
pobieranej z sieci zasilającej. Przy połączeniu uzwojenia stojana w trójkąt:
PN = 3U IN cosÕN = 3UaN IaN cosÕN = 3UaphN IaphN cosÕN = 3UaN IaphN cosÕN
N
Stąd prąd fazowy stojana (twornika) jest równy:
PN
IaphN = = 69,44A, a prÄ…d przewodowy - IaN = 3IaphN = 120,1A .
3UaN cosÕN
W dalszych analizach mo\na pominąć indeks a w opisie prądu i napięcia stojana.
W maszynach cylindrycznych zachodzi równość reaktancji synchronicznych: X = X ,
d q
stąd w opisie maszyny stosuje się reaktancję w osi podłu\nej - Xd .
Wykres wskazowy silnika synchronicznego cylindrycznego przedstawia zale\ności po-
między wartościami skutecznymi fazowymi napięć i prądów i dla warunków znamio-
nowych ma postać (odpowiada mu schemat zastępczy, na którym dla przejrzystości za-
pisu pomija siÄ™ zwykle indeks ph ):
q
Xd I cosÕ
B
C
E
Õ
f
A
jXd I
jXd Id
jXd Iq
D
Uq
U
ŃL
jXd
I
I
Õ
Iq
Ud
U
Ef
I
d
d
O
Tangens kąta mocy, wyznaczony z trójkąta prostokątnego "OCB, jest równy:
X I cosÕ
CB cosÕ cosÕ
d ph
tgŃL = = = =
U U
U + X I sinÕ
OA + AC
ph
ph d ph
+ sinÕ + sinÕ
X I X I
d ph d
Kąt mocy ŃL jest kątem skierowanym, zawsze od wskazu napięcia U do wskazu siły
elektromotorycznej dla silnika E - dla silnika w prawo, dla prÄ…dnicy w lewo. KÄ…t
f
przesuniÄ™cia fazowego - Õ jest kÄ…tem skierowanym, zawsze od wskazu prÄ…du I do
wskazu napięcia U . Dla silnika, w którym E cosŃ > U , (zakładamy liniową zale\-
f
ność siły elektromotorycznej od prądu wzbudzenia: I E = kI ) zwanego silnikiem
f f f
przewzbudzonym wskaz prÄ…du I wyprzedza wskaz U i silnik pobiera z sieci moc
bierną pojemnościową. Jest to wa\na zaleta jego pracy. Dla silnika niedowzbudzonego
18
E cosŃ < U i wskaz prądu I jest opózniony względem wskazu U i silnik pobiera z
f
sieci moc bierną indukcyjną. Wtedy wykres wskazowy ma postać:
jXd Iq q
Uq
jXd Id
jXd I
U
Ef
Ń
I
q
I
Õ
Ud
d
I
d
W warunkach znamionowych pracy (tylko wtedy!) wprowadza się do zale\ności war-
tości względne reaktancji, zapisanej małą literą - xd albo równowa\nie poprzez pod-
kreślenie - X . Pozwala to uprościć obliczenia. Reaktancja względna jest bezwymia-
d
rowa i jest równa wartości reaktancji odniesionej do znamionowej wartości impedan-
cji fazowej maszyny - Z . Wobec faktu, \e reaktancja względna wynosi:
phN
I
X
phN
d
xd = X = dla warunków znamionowych otrzymamy wzór na tgŃLN :
d
U Z
phN phN
cosÕN cosÕN
tgŃLN = lub tgŃLN =
1 1
+ sinÕN + sinÕN
xd X
d
0,8
2
Tu: tgŃLN = = 0,653 , stąd ŃLN = 33009 .
1
+ 0,6
1,6
Wartość siły elektromotorycznej mo\na wyznaczyć na podstawie analizy trójkąta pro-
stokątnego "OCB, na wykresie wskazowym napięć silnika:
(Ef )2 = (U + Xd I sinÕ)2 + (Xd I cosÕ)2 i dalej
2
(Ef )2 = U + 2UXd I sinÕ + (Xd I)2[(sinÕ)2 + (cosÕ)2]
2
czyli Ef = U + 2UXd I sinÕ + (Xd I)2
W warunkach znamionowych pracy mo\na wprowadzić wartości względne reaktancji,
przez co otrzymamy:
EfN = U 1+ 2xd sinÕN + (xd )2 lub w innym zapisie
phN
EfN = U 1+ 2X sinÕN + (X )2 tu: EfN = 6000 1+ 2Å"1,6Å"0.6 + (1,6)2 = 14040V
phN d d
I E
fx fx
Zakładamy liniowość obwodu magnetycznego, stąd: =
I EfN
fN
W szczególności dla I wartość E jest równa znamionowemu napięciu fazowemu
f 0 f 0
twornika U , zatem:
phN
19
U
6000
phN
I = I tu: I = 100Å" = 42,72A
f 0 fN f 0
E 14040
fN
2
Odpowiedz: IaN = 120,1A , ŃLN = 33009 , E = 14040V , I = 42,72A
fN f 0
3.2.a. Moment elektromagnetyczny silnika synchronicznego z biegunami utajonymi (cylin-
drycznego) dla stanu ustalonego wyra\a siÄ™ wzorem:
3U Ef
ph
Te = sinŃL
&!N Xd
Przecią\alność znamionową silnika definiujemy jako iloraz momentu maksymalnego i
znamionowego:
Tb 1
tN = =
TN sinŃLN
Dla wyznaczenia poszukiwanej przecią\alności niezbędne jest wyliczenie znamiono-
wego kąta mocy ŃLN . Dla silnika synchronicznego, połączonego w gwiazdę, obowią-
zuje zwiÄ…zek:
PN
I = IaN =
phN
3U cosÕN
N
zatem względna wartość reaktancji wynosi:
I XqPN
phN
xd = X = X = = 1,5625
d d
2
U UN cosÕN
phN
Stąd znamionowy kąt mocy ma wartość, obliczoną ze wzoru na tangens kąta mocy:
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0,8
÷Å‚
ŃL = arc tgìÅ‚ = 0,573 rad
1
ìÅ‚ ÷Å‚
+ 0,6
ìÅ‚ ÷Å‚
1,5625
íÅ‚ Å‚Å‚
Wobec powy\szego przecią\alność znamionowa wynosi:
1
tN = = 1,8446
sin(0,573)
Zapas kąta mocy dla silnika synchronicznego określony jest wzorem:
"ŃLx = ŃLb -ŃLx
gdzie: ŃLb kąt mocy, przy którym moment wytwarzany przez maszynę synchroniczną
osiąga wartość maksymalną; ŃLx kąt mocy danego punktu pracy, dla którego określa-
my zapas kÄ…ta mocy.
W przypadku maszyny synchronicznej cylindrycznej powy\szy wzór przyjmie postać:
Ä„
"ŃLx = -ŃLx
2
Z warunków zadania wynika, \e wartość napięcia indukowanego zmniejszyła się do
poziomu 0,9 EfN. Stąd te\ konieczne staje się wyliczenie znamionowej wartości tego
20
napięcia. Na podstawie wyra\enia na znamionową wartość momentu (mocy) mo\emy
napisać, przy zało\eniu, \e straty mocy mechaniczne są równe zeru, "Pm = 0 :
3UN EfN
PN = TN&!N = sinŃLN
Xd
stÄ…d:
PN Xd
EfN = E" 7987V
3UN sinŃLN
Znając wartość znamionową napięcia indukowanego mo\emy określić wartość kąta
mocy ŃLx w nowych warunkach pracy:
PN X
d
sinŃLx = = 0,6024
3UN 0,9E
fN
stąd: "ŃLx = 0,9243 rad
b. PrÄ…d stojana, gdy nie znamy wartoÅ›ci cosÕ wyznaczamy z wykresu wskazowego. Dla
poprawnego narysowania wykresu sprawdzamy zale\ność E cosŃ > U .
f
Poniewa\ dla przypadku znamionowego zasilania uzwojeń stojana, przy obni\onym
prÄ…dzie wzbudzenia:
6000
sinŃLx = 0,6024 , stąd 7987 1- (0,6024)2 = 6375,2 > .
3
Oznacza to, \e silnik jest przewzbudzony i mo\na w dalszej analizie posługiwać się wy-
kresem wskazowym z zadania 3.1.
Prąd stojana wyznaczamy z trójkąta "OAB, korzystając z twierdzenia cosinusów:
(Xd I )2 = (U )2 + (Ef )2 - 2UEf cosŃL ,
1
stąd I = (U )2 + (Ef )2 - 2UE cosŃL ,
f
X
d
1 (U )2 U
N N
tu: I = + (0,9E )2 - 2 (0,9E ) cosŃLx
x fN fN
X 3
3
d
1 60002 6000
Ix = + 7188,32 - 2 Å"7188,3Å"0,7982 E" 326,05A
15 3
3
Współczynnik mocy mo\na teraz wyliczyć z wyra\enia na moc czynną w układach trój-
fazowych:
PN
cosÕx = E" 0,885
3UN Ix
Dla przypadku, gdy obciÄ…\enie wynosi 0,8 obciÄ…\enia znamionowego, przy pozosta-
wionej wartości prądu wzbudzenia, mo\na zapisać:
0,8PN X
d
sinŃLxx = = 0,8sinŃLx = 0,8Å"0,6024 = 0,4819 , stÄ…d cosŃLxx = 0,8762 .
3U 0,9E
N fN
21
Postępując analogicznie jak uprzednio otrzymuje się następujące wyniki:
Ixx = 298,4A , cosÕxx = 0,7739
Odpowiedz:
Znamionowa przecią\alność silnika wynosi 1,84. Zapas kąta mocy przy znamionowym
obciÄ…\eniu i obni\onym prÄ…dzie wzbudzenia do poziomu 0,9 znamionowego prÄ…du
wzbudzenia wynosi 0,9243. Wartość prądu stojana i współczynnik mocy w tych warun-
kach wynoszÄ… odpowiednio 326 A i 0,885. Przy obciÄ…\eniu zmniejszonym do poziomu
0,8 obcią\enia znamionowego wielkości te przyjmują wartości odpowiednio 298,4 A
i 0,7739.
x
I
f
3.3. = 0,96 , Ia = 14,5 A
I
f
3.4. Ia = 88,5 A, cos Õcap = 0,6524
3.5. W stanie znamionowym silnik jest przewzbudzony i odpowiada mu wykres wskazowy:
q
~ P
B
C
Õ
~ Q
A jXd I
D
E
f
U
ŃL
I
Õ
d
O
P
Odcinek CB = Xd I cosÕ = Xd I cosÕ = Xd =~ P jest proporcjonalny do mocy
ph
3U
ph
Q
czynnej, zaÅ› odcinek AC = Xd I sinÕ = Xd I sinÕ = Xd =~ Q - do mocy biernej
ph
3U
ph
silnika.
Poniewa\ prąd wzbudzenia pozostaje znamionowy, siłę elektromotoryczną mo\na
wyznaczyć ze wzoru:
6000
E = U 1+ 2xd sinÕN + (xd )2 = 1+ 2 Å"1,2Å"0,6 +1,22 = 6823,5V
fN phN
3
W nowych warunkach siła elektromotoryczna będzie zale\na od nieznanego prądu I i
nowego kÄ…ta Õ :
(UN )2 UN
(EfN )2 = (U + Xd I sinÕ)2 + (Xd I cosÕ)2 = + (Xd I)2 + 2 Xd I sinÕ
phN
3
3
(UN )2 2
czyli: (EfN )2 = + (X I)2 + X Q
d d
3 3
U
UN 2 cosÕN
phN
Wartość reaktancji w &! jest równa: Xd = xd Å" = xd Å" .
I PN
phN
22
60002 Å" 0,8
Tu: X = 1,2Å" = 34,56&! .
d
1Å"106
Zatem prąd fazowy stojana ma wartość:
(UN )2 2
(EfN )2 - - + XdQ
3718,1
3 3
I = = = 107,6A .
Xd 34,56
Dalej wyznaczamy nowy cosÕ .
Q Q 900Å"103
Z mocy biernej obliczamy wartość I sinÕ = = = = 86,6A .
3U
3UN 3 Å"6Å"103
phN
I sinÕ 86,6
sinÕ = = = 0,805 , stÄ…d: cosÕ = 1- 0,8052 = 0,593
I 107,6
Moc czynna silnika: P = 3UN I cosÕ = 3 Å"6000Å"107,6Å"0,5933 = 663,4kW
Zatem maksymalny moment obciÄ…\enia maszyny wynosi:
P 663400
T = = = 2112,7Nm
&!N 314
Odpowiedz: T = 2112,7 Nm, Ia = 107,6 A
3.6. If = 554,26 A, cos Õcap = 0,9873
3.7. Ef = 7104 V, Efx = 0,9756 Ef, Iax H" 12,04 A
3.8. W analizie zale\ności napięciowo - prądowych dla pracy generatora synchronicznego
korzystnie jest przyjąć zródłowy (prądnicowy) sposób strzałkowania. Oznacza to, \e
prąd fazowy I płynie od prądnicy do odbiornika (przy pracy samotnej generatora),
albo do sieci zasilającej (przy współpracy generatora z siecią). Konsekwencją takie-
go kierunku prądu jest postać wykresu wskazowego generatora, spełniająca przy tym
wszystkie zasady zapisu napięć i prądów za pomocą metody symbolicznej na płasz-
czyznie zespolonej.
Przypadek pracy samotnej generatora synchronicznego na dowolnÄ… impedancjÄ™ Z
L
przedstawia schemat poni\ej.
jXd
I = I
L
ZL U = U
Ef
L
Napięcie na fazie odbiornika jest zarazem napięciem fazowym stojana generatora, a jego
wartość mo\e się zmieniać, zgodnie z zale\nością:
Z
L
U = U = Z I = (E - jX I) = E
L L L f d f
jX + Z
d L
23
Przedstawiony poni\ej wykres wskazowy na rysunku z lewej strony opisuje generator
obciÄ…\ony impedancjÄ… o charakterze indukcyjnym, wykres na rysunku z prawej strony
opisuje generator obcią\ony impedancją o charakterze pojemnościowym.
q
jXd I
q
jX I
L
- jX I
L
jX I
d
U
E
U
f
E
f
ŃL I RL I
ŃL
Õ
I
RL I
Õ
d
d
W warunkach zadania obciÄ…\enie generatora jest czysto rezystancyjne czyli prÄ…d fazowy
stojana jest w fazie z napięciem fazowym na odbiorniku (czyli z napięciem fazowym
generatora). Wtedy wykres wskazowy przybiera wtedy postać:
jXd I
q
U = RL I
E
f
I
ŃL
d
Ad a. BiorÄ…c pod uwagÄ™ dane rezystancja fazowa odbiornika (przyjmujemy, \e jest on
UL2
połączony podobnie jak uzwojenie stojana w gwiazdę) wynosi: RL = = 36&!
P
Prąd fazowy stojana jest równy prądowi fazowemu odbiornika i wyznaczony na pod-
stawie wykresu wskazowego w nowych warunkach wynosi:
U Ux 6000
I = = = = 96,225A.
RL
3 Å" RL 3 Å" 36
Odpowiada mu wartość fazowa siły elektromotorycznej:
Ef = RL2 + Xd 2 Å" I = 41,182 Å" 96,225 = 3962,8V
Ad b. Prąd zwarcia symetrycznego mo\na obliczyć ze wzoru:
E Ef 3962,8
f
Ik = = = = 198,1A
(RL = 0)2 + Xd 2 Xd 20
Odpowiedz: Ad a. Prądnica powinna być tak wzbudzona, aby wartość fazowa napięcia
indukowanego wynosiła 3962,8 V.
Ad b. PrÄ…d zwarcia symetrycznego przy wzbudzeniu wyliczonym w punkcie a) wynie-
sie 198 A.
24
3.9. "U = 2406 V
a
3.10. PrÄ…d fazowy stojana znamionowy wyznaczamy z mocy pozornej:
SN 120 Å"106
IN = I = = = 5132A .
phN
3UN 3 Å"13500
Wartość reaktancji X w &! wyznaczamy jak w zadaniu 3.5:
d
U
13500
phN
Xd = xd Å" = 1,5 Å" E" 2,28&! .
I
3 Å" 5132
phN
Wartość siły elektromotorycznej w nowych warunkach pracy wynika ze związku (jak w
zadaniu 3.1):
I I I I
13500 350
fx fN fx fx
E = E = U Å" = U = E" 9743V
fx fN phN phN
I I I I 280
3
fN f 0 fN f 0
Moment napędzający jest równowa\ny momentowi maszyny, zgodnie zale\nością:
3U Efx 3UxEfx
phx
Tx = sinŃLx = sinŃLx
&!N Xd &!N Xd
Stąd nowa wartość kąta mocy wynosi:
Tx&!N Xd 2Å"105 Å"314Å" 2,28
sinŃLx = = = 0,707 , czyli ŃLx = 450 .
3UxEfx 3 Å"12000Å"9743
Dla tej wartości kąta: cosŃLx = 0,707 .
Analizowany generator współpracuje z siecią, przez co napięcie na zaciskach stojana
jest stałe i równe napięciu sieci. Nową wartość prądu fazowego stojana wyznaczymy z
wykresu wskazowego generatora na podstawie znajomości składowych prądu w osiach
d-q (Uwaga: analiza dotyczy modułów napięć, równym długościom odcinków na wy-
kresie wskazowym). Wykres wskazowy wyznaczamy przy zało\eniu zródłowego spo-
sóbu strzałkowania (prąd stojana płynie z generatora do sieci) jak w zadaniu 3.8.
q
Ef jXdI
Id
jXd
jXd Iq
U
U
q
ŃL
I
Õ
I
d
q
I
d
U
d
25
Ux 12000
E - cosŃLx 9743 - Å"0,707
fx
3 3
X Idx = E -U cosŃLx Ò! Idx = = E" 2125A
d fx phx
X 2,28
d
Ux 12000
sinŃLx Å"0,707
3 3
X Iqx = U sinŃLx Ò! Iqx = = E" 2148A
d phx
X 2,28
d
Stąd prąd oddawany do sieci ma wartość skuteczną:
Ix = I = Idx 2 + Iqx 2 = 3021A E" 3,02kA
phx
Nowy współczynnik mocy wyznaczamy z zale\ności (patrz rozwiązanie zadania 3.5):
X Ix cosÕx = E sinŃLx
d fx
Efx sinŃLx 9743Å" 0,707
StÄ…d: cosÕx = = = 1
Xd Ix 2,28Å"3020
Zatem generator wydziela moc biernÄ… Q = 0 .
Moc czynna przesyÅ‚ana do sieci wynosi: Px = 3UxIx = 3 Å"12000Å"3020 = 62,77MW .
Odpowiedz:
Dla zmienionych warunków szukane wartości są odpowiednio równe: P = 62,77 MW ,
Q = 0 , Ia = 3,02 kA , cosÕ = 1.
3.11. P = 8,75 MW
3.12. I = 370,6 A, lub 223 A
f
26
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Zadania maszyny cz2zadania maszyny synchroniczneSkrypt Zadania Maszyny Synchronicznewięcej podobnych podstron