4 Kujon Polski  matura 2007 matematyka
Piątek 20 kwietnia 2007 Gazeta Wyborcza www.gazetawyborcza.pl
1 1
Te wzory trzeba znać!
Poniżej przedstawiamy wzory, które zdecydowanie usprawniają obliczenia, a których nie znajdziesz
w zestawie wzorów CKE. Warto je znać i o nich pamiętać
Zaznaczanie na osi liczbowej rozwiązań  Połowa trójkąta równobocznego Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach
równań i nierówności z wartością bezwzględ-
ną (typy równań i nierówności jak w wyma- Środek okręgu
ganiach maturalnych dla zakresu podstawo- opisanego na trójkącie
wego) rozwartokątnym  kąt, który tworzy prze-
nie należy do trójkąta kątna graniastosłupa pro-
Rozwiązanie równania x a b, dla b 0 stego z płaszczyzną jego
to zbiór wszystkich liczb, których odległość na Promień R okręgu podstawy
osi liczbowej od punktu o współrzędnej a jest opisanego na trójkącie,
a b c
równa b.
R ,
gdzie S to pole trójkąta.
4S
a - b a a + b
Rozwiązanie nierówności x a b, dla b 0 Środek okręgu wpisanego w trójkąt to punkt  kąt, który tworzy prze-
to zbiór wszystkich liczb, których odległość na wspólny dwusiecznych kątów wewnętrznych Trapez kątna graniastosłupa pra-
osi liczbowej od punktu o współrzędnej a jest trójkąta. widłowego czworokątne-
mniejsza od b. go z płaszczyzną jego ścia-
ny bocznej
a - b a a + b
Rozwiązanie nierówności x a b, dla b 0  kąt, który tworzy prze-
to zbiór wszystkich liczb, których odległość na kątna ściany bocznej grania-
osi liczbowej od punktu o współrzędnej a jest stosłupa prostego z płasz-
niewiększa od b. czyzną jego podstawy
a - b
a a + b
Gdy F i E są środkami ramion trapezu to  kąt, który tworzy prze-
Rozwiązanie nierówności x a b, dla b 0 a b kątna ściany bocznej gra-
m
to zbiór wszystkich liczb, których odległość na niastosłupa prawidłowe-
2
osi liczbowej od punktu o współrzędnej a jest go trójkątnego z sąsiednią
większa od b. ścianą boczną
P3 P4
a - b a a + b P1 P2 P3 P4
Promień r okręgu wpisanego w trójkąt,
Rozwiązanie nierówności x a b, dla b 0 S
P P1 P2 2 P P2
r , 1
gdzie S to pole trójkąta, p to połowa obwo-
to zbiór wszystkich liczb, których odległość na p
osi liczbowej od punktu o współrzędnej a jest
du trójkąta.
niemniejsza od b.
W trójkącie prostokątnym o przyprostokąt- Czworokąt O  spodek wysoko-
a - b a + b
a
nych długości a i b oraz przeciwprostokątnej W dowolnym czworokącie wypukłym ści ostrosłupa pra-
a b c
widłowego trójkąt-
długości c, r
Pamiętaj! 2 nego to środek okrę-
gu opisanego na
Sn
Jeżeli jest ciągiem sum częściowych
Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierz- podstawie i środek
an
ciągu , czyli Sn a1 a2 ... an
chołek ze środkiem przeciwległego boku okręgu wpisanego
to: w podstawę
a1 S1,
P1 P2 P3 P4  kąt, który tworzy
a2 S2 S1,
krawędz
boczna
i ogólnie
ostrosłupa prawidło-
Pole czworokąta o prostopadłych przekąt- wego trójkątnego z płaszczyzną jego podstawy
an Sn Sn 1 dla n 2
nych
 kąt, który tworzy krawędz
boczna ostrosłu-
Trójkąt pa prawidłowego trójkątnego z krawędzią jego
podstawy
C
Środkowe trójkąta przecinają się w jednym

punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku O  spodek wysoko-
1
2: 1 licząc od wierzchołka. ści ostrosłupa prawi-
P d1 d2
2 dłowego czworokąt-
a
nego to punkt wspól-
AM BM CM
2
b

ny przekątnych pod-
MD ME MF 1
Pole czworokąta o danych przekątnych i ką- stawy
P AMF P FMB P BMD P DMC P CME cie między nimi


 kąt, który tworzy
1
A c B
P EMA P ABC
wysokość ściany
6
bocznej ostrosłupa
Nierówność trójkąta: Suma długości każ- prawidłowego czwo-
dych dwóch boków trójkąta jest zawsze wię- Odcinek łączący środki boków trójkąta rokątnego z płaszczyzną jego podstawy (kąt
ksza od długości trzeciego boku. nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny pod-
1
P d1 d2 sin
stawy)
a b c ,
2
b c a ,
Jeżeli w ostrosłupie wszystkie krawędzie
c a b.
Pole czworokąta opisanego na okręgu o pro- boczne są równej długości (są nachylone pod
Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta mieniu r. tym samym kątem do płaszczyzny podstawy)
jest równa 180o to na podstawie można opisać okrąg i spodek
1
wysokości to środek okręgu opisanego na pod-
P r a b c d r p ,

180o .


2
stawie.
obwód czworok ą ta
1
k , ED || AB
Miara kąta zewnętrznego trójkąta jest rów- EDC ABC,
2
na sumie miar kątów wewnętrznych, do niego gdzie p połowa obwodu
1 1
ED AB , P EDC P ABC
nieprzyległych. i Wariancja
2 4
Dla indywidualnych danych x1, x2,..., xk
.
x12 x22 ... xk 2 2
2
x

Środek okręgu opisanego ma trójkącie to Trójkąt równoboczny
k
punkt wspólny symetralnych boków trójką-
ta. Dla danych przedstawionych w tabeli liczeb-
ności
WartoS
&
ć
x1 x2 xk
Wzór P r p jest prawdziwy dla dowolnego
LiczebnoS
&
ć
n1 n2 nk
wielokąta opisanego na okręgu o promieniu r.
Środek okręgu
P x0, y0
Odległość d punktu od prostej
n1 x12 n2 x22 ... nk xk 2 2
2
opisanego na trójkącie x ,

o równaniu y ax b
n
ostrokątnym należy
ax0 y0 b
do trójkąta gdzie x to średnia arytmetyczna danych
d
i n n1 n2 ... nk to liczba wszystkich danych
a2 1
Odległość d dwóch prostych równoległych
a 3 1 a 3
| CD | h , r h ,
Środek okręgu o równaniach y ax b1, y ax b2
2 3 6
opisanego na trójkącie ARKUSZE I ZESTAW WZORÓW PRZYGOTOWALI:
b2 b1
2 2
2 a 3 a 3 h 3
d
prostokątnym to środek R h , S . ANNA ZALEWSKA
3 3 4 3 a2 1
przeciwprostokątnej I EDWARD STACHOWSKI GWE 1