1
Jolanta Dymkowska
Centrum Nauczania Matematyki
i Kształcenia na Odległość
al. Zwycięstwa 25 - pokój 102
http://www.pg.gda.pl/snm/pracownicy/jolanta.dymkowska
http://www.moodle.pg.gda.pl
2
Literatura
" Matematyka - Podstawy z elementami matematyki wyższej, Praca
zbiorowa, PG, Gdańsk 2007
" K. Jankowska, T. Jankowski, Zbiór zadań z matematyki, PG,
Gdańsk 1997
" Praca zbiorowa pod red. E. Mieloszyka, Matematyka  Materiały
pomocnicze do ćwiczeń, PG, Gdańsk 2004
" R. Leitner, Zarys matematyki wyższej I i II, Wydawnictwo Naukowo-
Techniczne, Warszawa 2001
" R. Leitner, W. Matuszewski, Z. Rojek, Zadania z matematyki
wyższej I i II, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999
" M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1  Definicje,
twierdzenia, wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2001
3
" M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1  Przykłady i
zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2001
" T. Jankowski, Linear algebra, PG, Gdańsk 2001
" T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1  Definicje, twierdzenia,
wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002
" T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1  Przykłady i zadania,
Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002
" E. Mieloszyk, Liczby zespolone, PG, Gdańsk 2003
" E. Mieloszyk, Macierze, wyznaczniki i układy równań, PG, Gdańsk
2003
" W. Krysicki, L. WÅ‚odarski, Analiza matematyczna w zadaniach I
i II, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998
4
Podstawowe pojęcia i oznaczenia algebry zbiorów
X, Y, Z - zbiory x, y, z - elementy zbioru
x " X - x  należy do zbioru X , x jest elementem zbioru X
X ‚" Y - zbiór X  zawiera siÄ™ w Y , X jest podzbiorem Y
Zbiory liczbowe
N - zbiór liczb naturalnych
Z - zbiór liczb całkowitych
Q - zbiór liczb wymiernych
R - zbiór liczb rzeczywistych
N Z Q R
5
Kwantyfikatory
" - kwantyfikator ogólny ( '" )
" - kwantyfikator szczególny ( (" )
Przykład Czy prawdziwe są zdania?
"x"R x2 + 1 > 0 "x"R x2 + 1 > 0
"x"R x2 - 1 = 0 "x"R x2 - 1 = 0
6
Funkcje - podstawowe pojęcia i własności
Definicja Jeżeli każdemu elementowi zbioru X został przypo-
rządkowany dokładnie jeden element zbioru Y , to mówimy, że
zostało określone odwzorowanie zbioru X w zbiór Y . Zamiast
 odwzorowanie mówimy też:  przekształcenie lub  funkcja , odwzo-
rowująca zbiór X w zbiór Y a piszemy f : X Y .
Wykres funkcji f : X Y Krzywa nie będąca wykresem funkcji
7
" X - dziedzina funkcji f (ozn. X = Df )
" x " X - argument funkcji f
" f(x) " Y - wartość funkcji f w punkcie x (ozn. y = f(x) )
" Wf = { y " Y : y = f(x), x " X } ‚" Y -
przeciwdziedzina funkcji f , zbiór wartości funkcji f
8
Uwaga Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję (rzeczywistą
zmiennej rzeczywistej), to zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których
wzór ten ma sens, nazywamy dziedziną naturalną funkcji.
Przykład Niech f będzie funkcją, której wartości są dane
wzorem




f(x) = 3 - 2 - (x + 1)2.
Wyznaczmy dziedzinÄ™ naturalnÄ… funkcji f oraz jej przeciwdziedzinÄ™.
Naszkicujmy wykres funkcji f , wiedząc, że wykresem funkcji rze-
czywistej zmiennej rzeczywistej nazywamy zbiór
Å„Å‚ üÅ‚
òÅ‚ żł
(x, y) " R2 : x " Df, y = f(x) .
ół þÅ‚
9
Definicja Funkcje f : Df Y i g : Dg Y są równe, co
zapisujemy f = g , wtedy i tylko wtedy, gdy
Df = Dg '" "x"Df f(x) = g(x).
Przykład Zbadajmy, czy podane funkcje są równe
x3-1
" f(x) = x2 + x + 1, g(x) =
x-1
"
"
"
" f(x) = 2x2 + x, g(x) = x · 2x + 1.
10
Definicja Niech X, Y ‚" R .
" Funkcję f : X Y nazywamy funkcją ograniczoną, jeżeli
"m,M"R "x"X m f(x) M.
" FunkcjÄ™ f : X Y nazywamy
üÅ‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
funkcjÄ… rosnÄ…cÄ…, f(x1) < f(x2)
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
funkcjÄ… malejÄ…cÄ…, f(x1) > f(x2)
żł òÅ‚
jeżeli dla x1 < x2,
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
funkcjÄ… nierosnÄ…cÄ…, f(x1) f(x2)
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
funkcjÄ… niemalejÄ…cÄ…, f(x1) f(x2),
þÅ‚ ół
dla dowolnych x1, x2 " X
" Funkcję f : X Y nazywamy funkcją okresową, jeżeli

" " x Ä… T " X '" f(x + T ) = f(x) .
T >0 x"X
11
Definicja Niech X, Y ‚" R .
" Funkcję f : X Y nazywamy funkcją parzystą, jeżeli

" - x " X '" f(-x) = f(x) .
x"X
" Funkcję f : X Y nazywamy funkcją nieparzystą, jeżeli

" - x " X '" f(-x) = -f(x) .
x"X
Wykres funkcji parzystej Wykres funkcji nieparzystej
12
Przykład Wykazać, że funkcja
"
f(x) = 2x - 1
jest funkcjÄ… rosnÄ…cÄ….
Przykład Zbadać, czy podane funkcje są parzyste, czy nieparzyste.
" f(x) = |3x - 8| + |3x + 8|
" f(x) = (x6 + 2x2) · sgn x