Zadanie 12.2. Wał stalowy, wydrążony, obciążono momentami M1, M2 i M3, w płaszczyznach
prostopadłych do jego osi. Wyznaczyć wartość momentu napędzającego Mn. Sporządzić
wykres momentów skręcających. Dobrać średnicę wewnętrzną wału d , i dla tak
zaprojektowanego przekroju sporządzić wykres kątów skręcenia. Obliczyć całkowity kąt
skręcenia.
Dane: a= 0,5m, D = 10 cm, M1=2kNm, M2=0,5kNm, M3=1kNm, G= 80 GPa, Rt = 60 MPa.
a)
Mn M1 M2 M3
Ämax
Ämax
x1
d-?
D
A B C D E F
Ämax = 60 MPa
0,2a 0,3a 0,5a 0,5a 0,5a
b) c)
Ämax
Wektory
Ämax
Mn M1 M2 M3
Å"
·
momentów
Ämax x1
x1
skrÄ™cajÄ…cych Ämax
x1
Ämax
Ms [kNm]
1
3,5
1,5
Ã
x1
Ã
Õ [rad] Ã
x1
Ã
0,0117
0,0234
0,0167
à = Ämax = 60 MPa
Moment napędzający i wykres momentów skręcających :
" = - - - = 0 , = 2 + 0,5 + 1 = 3,5
Zakłada się, że tarcie w łożyskach podporowych B i E można pominąć. Nie ma tutaj zmiany
wartości momentu skręcającego, wobec czego podpory nie stanowią granicy przedziału
zmienności momentów skręcających, które określono dla odcinków:
ABC CD DEF
M1 MCD
MAC Mn MDF
Mn M3
D
A A B
C
= - = -3,5 = - + = -1,5 = - = -1
Naprężenia styczne, projektowanie średnicy wału.
Wał o przekroju pierścieniowym, stałym na całej długości, dla którego określono Jo 
biegunowy moment bezwładności i Wo - biegunowy wskaz
nik wytrzymałości:
 "( ) ( )
= , = = .
/
Najbardziej wytężony odcinek wału AC, gdzie max wartość naprężenia stycznego
= = 16 d"
.
( )
Obliczenia promienia wału:
"
e" - = 10 - " 350 = 9,15 ,
" ,
Przyjęto średnicę wewnętrzną wału d = 9,15 cm, dla której
"( , ) ( , )
= = 93,45 , = = 58,72 .
"
Max naprężenia styczne wzdłuż poszczególnych odcinków wału wynoszą:
odcinek AC: = = = -5,96 = -59,6
,
odcinek CD: = = = -2,55 = -25,5
,
odcinek DF: = = = -1,70 = -17,0
,
Max naprężenie styczne, równe naprężeniom dopuszczalnym H" 60 MPa , występuje na
odcinku AC, na powierzchni bocznej wału w kierunku równoległym i prostopadłym do osi
waÅ‚u. Naprężenia główne, wystÄ™pujÄ… w kierunkach nachylonych do osi waÅ‚u pod kÄ…tem 45° i
1350 : : /
= ą = ą60 MPa . Wektory naprężeń na rys. c).
Wykres kątów skręcenia.
Sztywność skrÄ™cania waÅ‚u wydrążonego GJ0 = 8000 kN/cm2 ·93,45 cm4 = 747600 kNcm2.
Kąty skręcenia przekrojów:
= 0
"
= + = = -0,0117
"
= + = -0,0117 + = -0,0167
"
= + = -0,0167 + = -0,02340
Wykresy kątów skręcenia na rys. b).
Dla porównania zaprojektowano wał o przekroju kołowym pełnym,
"
e" = = 6,67 i porównano podstawowe charakterystyki
"
" ,
geometryczne obydwu przekrojów: kołowego pełnego o średnicy d = 6,67 cm oraz
pierścieniowego: D = 10 cm, d = 9,15 cm.
Biegunowy Biegunowy Całkowity
Pole Sztywność
moment wskaz
nik kÄ…t
Rodzaj
powierzchni skręcania
bezwładności wytrzymałości skręcenia
przekroju
A [cm2] GJo [kNcm2]
Jo [cm4] Wo [cm3] Ć [rad]
Pierścieniowy,
12,78 93,45 58,72 747 600 -0,0234
D = 10 cm
Kołowy pełny,
34,94 194,31 58,26 1 559 520 -0,0112
d = 6,67 cm
Max wartość naprężenia stycznego w obydwu przypadkach jest taka sama Ämax = 60 MPa .
Wnioski wynikajÄ…ce z zestawienia:
a) Parametrem decydujÄ…cym w projektowaniu przekroju jest wskaz
nik wytrzymałości,
w obydwu przypadkach ma tę samą wartość,
b) Przekrój pierścieniowy jest przekrojem ekonomicznym, do wykonania przekroju
kołowego pełnego potrzeba 2,73 razy więcej materiału,
c) Sztywność przekroju pierścieniowego jest dwukrotnie mniejsza i dlatego całkowity kąt
skręcenia tego przekroju dwukrotnie większy.
Obydwa przekroje i wykresy naprężeń stycznych na odcinku AC zestawiono na rys. a).
Element wycięty ze ścianki wału wydrążonego znajduje się w płaskim stanie naprężenia,
tzn. naprężenia prostopadłe do ścianki wału są równe zeru. Wektory naprężeń na ściankach
elementu, znajdującego się na odcinku AC wału, równoległych do osi wału i ściankach
nachylonych pod kÄ…tem 45° , przedstawiono na rys. c).