POLITECHNIKA WROCŁAWSKA

ZAKŁAD

AUTOMATYKI

i STEROWANIA w ENERGETYCE

Kamil Ignatowski

204253

Wydział: Elektryczny
Rok Akademicki : 2016/2017

Laboratorium Informatyki – modelowania cyfrowego

Data wykonania ćwiczenia:
04.11.2016

Ćwiczenie nr 1

Temat:

Jednofazowe obwody RLC

Ocena:

Prowadzący:
Dr inż. Piotr Pierz

Podpis:

I.

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest poznanie zasad symulacji prostych obwodów

jednofazowych składających się z elementów RLC. Rezonans napięć i prądów.

II.

Realizacja ćwiczenia

a)

Zamodelowano obwód szeregowy RLC

Parametry obwodu:

u(t) = 325,3sin(ωt), R = 5Ω, L = 50 mH, C = 50 μF, fr =

1

2𝜋√𝐿𝐶

=100,71 Hz.

Rys1. Schemat obwodu szeregowego RLC.

Rys.2a). Napięcia na elementach analizowanego szeregowego obwodu RLC przy
częstotliwości 50Hz

Rys.2 b). Napięcia na elementach analizowanego szeregowego obwodu RLC przy
częstotliwości rezonansowej 100,71 Hz

b) Zamodelowano obwód równoległy RLC

Parametry obwodu:
u(t) = 325,3sin(ωt), R1 = 5Ω, R2 = 2,5Ω, L = 50 mH, C = 50 μF,

fr =

1

2𝜋√𝐿𝐶

√

𝑅

2

2

−

𝐿
𝐶

𝑅

1

2

−

𝐿
𝐶

= 101,67 Hz.

Rys.3. Schemat obwodu równoległego RLC.

Rys.4.a) Napięcia na elementach analizowanego równoległego obwodu RLC przy
częstotliwości 50Hz.

Rys.4b) Napięcia na elementach analizowanego równoległego obwodu RLC przy
częstotliwości rezonansowej 101,67Hz

Rys.5.a) Prądy gałęziowe analizowanego równoległego obwodu RLC przy częstotliwości 50 Hz

Rys.5.b) Prądy gałęziowe analizowanego równoległego obwodu RLC przy rezonansowej
częstotliwości 101,67 Hz.

III.

OBLICZENIA

a) Szeregowy obwód RLC przy f=50Hz

Dane do obliczeń:
-R=5Ω
-L=50mH
-C=50µF

𝑋

𝐿

= 𝑗𝜔𝐿 = 𝑗21,7Ω

𝑋

𝐶

= −𝑗

1

𝜔𝐶

= −𝑗85,69Ω

𝑍 = 𝑅 + 𝑗(𝑋

𝐿

− 𝑋

𝐶

) = 5 + 𝑗(21,7 − 85,69) = (5 − 𝑗63.99) Ω

𝐼 =

𝑈

𝑍

=

𝑈

𝑅 + 𝑗(𝑋

𝐿

− 𝑋

𝐶

)

=

230

5 − 𝑗63.99

= 3.31𝑒

𝑗84,2°

𝐴

𝑖(𝑡) = 4,7 sin(314𝑡 + 84,2°) 𝐴

𝑈

𝑅

= 𝐼 ∙ 𝑅 = 3,31𝑒

𝑗84,2°

∙ 5 = 16,6𝑒

𝑗84.2°

𝑉

𝑢

𝑅

(𝑡) = 23,5 sin(314𝑡 + 84,2°) 𝑉

𝑈

𝐶

= 𝐼 ∙ 𝑋

𝐶

= 3,31𝑒

𝑗84,2°

∙ (−𝑗85,69 ) = 283,8𝑒

−𝑗5,8°

𝑉

𝑢

𝐶

(𝑡) = 400,2 sin(314𝑡 − 5,8°) 𝑉

𝑈

𝐿

= 𝐼 ∙ 𝑋

𝐿

= 3,31𝑒

𝑗84,2°

∙ (𝑗21,7) = 71,83𝑒

𝑗174,2°

𝑉

𝑢

𝐿

(𝑡) = 101,6 sin(314𝑡 + 174,2°) 𝑉

b) Szeregowy obwód RLC przy

𝑓 = 𝑓

𝑟

=

1

2𝜋√𝐿𝐶

=

1

2𝜋√(70 ∙ 10

−3

) ∙ (35 ∙ 10

−6

)

= 100,71𝐻𝑧

𝑋

𝐿

= 𝑗𝜔𝐿 = 𝑗31,6 Ω

𝑋

𝐶

= −𝑗

1

𝜔𝐶

= −𝑗31,6 Ω

𝑍 = 𝑅 + 𝑗(𝑋

𝐿

− 𝑋

𝐶

) = (5 + 𝑗(31,6 − 31,6)) = 5 Ω

𝐼 =

𝑈

𝑍

=

𝑈

𝑅 + 𝑗(𝑋

𝐿

− 𝑋

𝐶

)

=

230

5

= 46,0 𝐴

𝑖(𝑡) = 65,1 sin(632𝑡) 𝐴

𝑈

𝑅

= 𝐼 ∙ 𝑅 = 46,0 ∙ 5 = 230𝑉

𝑢

𝑅

(𝑡) = 325,27 sin(632𝑡) 𝑉

𝑈

𝐶

= 𝐼 ∙ 𝑋

𝐶

= 46,0 ∙ (−𝑗31,6 ) = 1453,6𝑒

−𝑗0°

𝑉

𝑢

𝐶

(𝑡) = 2055,7 sin(632𝑡 − 0°) 𝑉

𝑈

𝐿

= 𝐼 ∙ 𝑋

𝐿

= 46,0 ∙ (𝑗31,6) = 1453,6𝑒

𝑗0°

𝑉

𝑢

𝐿

(𝑡) = 2055,7 sin(632𝑡 + 0°) 𝑉

Tab. 1. Porównanie wartości napięć i prądów obliczonych z wartościami odczytanymi z
wykresów

Obwód szeregowy dla f=50 Hz

Obwód szeregowy dla f=100,71Hz

Wielkość

Wartość
obliczona

Wartość
odczytana

Wielkość

Wartość
obliczona

Wartość
odczytana

𝑈

𝑅

46,0

45,0

𝑈

𝑅

325,27

325,0

𝑈

𝐿

101,6

100,0

𝑈

𝐿

2055,7

2050,0

𝑈

𝐶

400,2

400,0

𝑈

𝐶

2055,7

2050,0

𝐼

4,7

5,0

𝐼

4,7

5,0

c ) Równoległy obwód RLC przy f=50Hz

Dane do obwodu równoległego:
-R

1

=5Ω

-R

2

=2,5 Ω

-L=50mH
-C=50µF

𝑋

𝐿

= 𝑗𝜔𝐿 = 𝑗21,7 Ω

𝑋

𝐶

= −𝑗

1

𝜔𝐶

= −𝑗85,69Ω

𝑍

1

= 𝑅

1

+ 𝑗𝑋

𝐿

= (5 + 𝑗21,7 )Ω

𝑍

2

= 𝑅

2

+ 𝑗𝑋

𝐶

= (2,5 − 𝑗85,69) Ω

𝑍 =

𝑍

1

∙ 𝑍

2

𝑍

1

+ 𝑍

2

=

(5 + 𝑗21,7 ) ∙ (2,5 − 𝑗85,69)

(5 + 𝑗21,7 ) + (2,5 − 𝑗85,69)

= 26,49𝑒

𝑗65,9

Ω

𝐼 =

𝑈

𝑍

=

230

26,49𝑒

𝑗61,35

= 7,63𝑒

−𝑗65,9°

𝐴

𝑖(𝑡) = 14,8 sin(314𝑡 − 65,9°) 𝐴

𝐼

1

=

𝑈

𝑍

1

=

230

(5 + 𝑗21,7 )

= 11,96𝑒

−𝑗72,35°

𝐴

𝑖

1

(𝑡) = 19,09sin(314𝑡 − 72,35°) 𝐴

𝐼

2

=

𝑈

𝑍

2

=

230

(2,5 − 𝑗90,95)

= 3.53𝑒

𝑗87,8°

𝐴

𝑖

2

(𝑡) = 4,80 sin(314𝑡 + 87,8°) 𝐴

𝑈

𝑅1

= 𝐼

1

∙ 𝑅

1

= 11,96𝑒

−𝑗72,35°

∙ 5 = 69,72𝑒

−𝑗72,35°

𝑉

𝑢

𝑅1

(𝑡) = 98,60sin(314𝑡 − 72.35°) 𝑉

𝑈

𝑅2

= 𝐼

2

∙ 𝑅

2

= 3,53𝑒

𝑗87,8°

∙ 2,5 = 15,4𝑒

𝑗87,8°

𝑉

𝑢

𝑅2

(𝑡) = 19,4 sin(314𝑡 + 87,8°) 𝑉

𝑈

𝐿

= 𝐼

1

∙ 𝑋

𝐿

= 11,96𝑒

−𝑗72,35°

∙ 𝑗21,7 = 219,12𝑒

𝑗17,65°

𝑉

𝑢

𝐿

(𝑡) = 301,88sin(314𝑡 + 17,65°) 𝑉

𝑈

𝐶

= 𝐼

2

∙ 𝑋

𝐶

= 3.53𝑒

𝑗87,8°

∙ (−𝑗85,69 ) = 230,1𝑒

−𝑗2,2°

𝑢

𝐶

(𝑡) = 325,4sin(314𝑡 − 2,2°) 𝑉

d) Równoległy obwód RLC przy częstotliwości 𝒇 = 𝒇

𝒓

𝑋

𝐿

= 𝑗𝜔𝐿 = 𝑗47,36Ω

𝑋

𝐶

= −𝑗

1

𝜔𝐶

= −𝑗42,23 Ω

𝑍

1

= 𝑅

1

+ 𝑗𝑋

𝐿

= (5 + 𝑗47,36 )Ω

𝑍

2

= 𝑅

2

+ 𝑗𝑋

𝐶

= (2,5 − 𝑗42,23)Ω

𝑍 =

𝑍

1

∙ 𝑍

2

𝑍

1

+ 𝑍

2

=

(57 + 𝑗47,36 ) ∙ (2,5 − 𝑗42,23)

(5 + 𝑗47,36 ) + (2,5 − 𝑗42,23)

= 173,6𝑒

−𝑗29,71°

Ω

𝐼 =

𝑈

𝑍

=

230

173,6𝑒

−𝑗29,71°

= 1,82𝑒

𝑗29,71°

𝐴

𝑖(𝑡) = 2,87 sin(676,6𝑡 + 29,71°) 𝐴

𝐼

1

=

𝑈

𝑍

1

=

230

(5 + 𝑗47,36 )

= 6,8𝑒

−𝑗81,6°

𝐴

𝑖

1

(𝑡) = 9,8sin(676,6𝑡 − 81,6°) 𝐴

𝐼

2

=

𝑈

𝑍

2

=

230

(2,5 − 𝑗42,23)

= 6,7𝑒

𝑗85.26°

𝐴

𝑖

2

(𝑡) = 9,7 sin(676,6𝑡 + 85,26°) 𝐴

𝑈

𝑅1

= 𝐼

1

∙ 𝑅

1

= 6,8𝑒

−𝑗81,6°

∙ 5 = 23,6𝑒

−𝑗81,6°

𝑉

𝑢

𝑅1

(𝑡) = 28,9sin(676,6𝑡 − 81,6°) 𝑉

𝑈

𝑅2

= 𝐼

2

∙ 𝑅

2

= 6,7𝑒

𝑗85.26°

∙ 2.5 = 23,01𝑒

𝑗85,26°

𝑉

𝑢

𝑅2

(𝑡) = 29,2 sin(676,6𝑡 + 82,93°) 𝑉

𝑈

𝐿

= 𝐼

1

∙ 𝑋

𝐿

= 6,8𝑒

−𝑗81,6°

∙ 𝑗47,36 = 227,33𝑒

𝑗8,4°

𝑉

𝑢

𝐿

(𝑡) = 313,49sin(676,6𝑡 + 8,4°) 𝑉

𝑈

𝐶

= 𝐼

2

∙ 𝑋

𝐶

= 6,7𝑒

𝑗85.26°

∙ (−𝑗42,23 ) = 229,3𝑒

−𝑗4,74°

𝑢

𝐶

(𝑡) = 322,3sin(676,6𝑡 − 4,74°) 𝑉

Tab. 2. Porównanie wartości napięć i prądów obliczonych z wartościami odczytanymi z
wykresów

Obwód szeregowy dla f=50 Hz

Obwód szeregowy dla f=101,67 Hz

Wielkość

Wartość
obliczona

Wartość
odczytana

Wielkość

Wartość
obliczona

Wartość
odczytana

I

14,8

15,0

I

2,9

3,0

I

1

19,1

19,0

I

1

9,8

10,0

I

2

4,8

5,0

I

2

9,7

10,0

U

R1

98,6

100,0

U

R1

28,9

30,0

U

R2

19,4

20,0

U

R2

29,2

30,0

U

L

301,9

295,0

U

L

313,5

315,0

U

C

325,4

320,0

U

C

322,3

320,0

IV.

WNIOSKI

Podczas ćwiczenia zapoznaliśmy się z zasadami symulacji prostych obwodów jednofazowych
składających się z elementów RLC. Na podstawie wyników możemy stwierdzić iż symulacja
przebiegła prawidłowo. Wyniki uzyskane z obliczeń nie różnią się od tych odczytanych z
wykresów. W szeregowych układach dochodzi do rezonansu napięć, natomiast w obwodach
równoległych do rezonansu prądów. Zachodzący rezonans w układach elektrycznych jest
zjawiskiem szkodliwym( chyba że jest stosowany w sposób zamierzony do tłumienia
harmonicznych).