POLITECHNIKA WROCŁAWSKA
ZAKŁAD
AUTOMATYKI
i STEROWANIA w ENERGETYCE
Kamil Ignatowski
204253
Wydział: Elektryczny
Rok Akademicki : 2016/2017
Laboratorium Informatyki – modelowania cyfrowego
Data wykonania ćwiczenia:
04.11.2016
Ćwiczenie nr 1
Temat:
Jednofazowe obwody RLC
Ocena:
Prowadzący:
Dr inż. Piotr Pierz
Podpis:
I.
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest poznanie zasad symulacji prostych obwodów
jednofazowych składających się z elementów RLC. Rezonans napięć i prądów.
II.
Realizacja ćwiczenia
a)
Zamodelowano obwód szeregowy RLC
Parametry obwodu:
u(t) = 325,3sin(ωt), R = 5Ω, L = 50 mH, C = 50 μF, fr =
1
2𝜋√𝐿𝐶
=100,71 Hz.
Rys1. Schemat obwodu szeregowego RLC.
Rys.2a). Napięcia na elementach analizowanego szeregowego obwodu RLC przy
częstotliwości 50Hz
Rys.2 b). Napięcia na elementach analizowanego szeregowego obwodu RLC przy
częstotliwości rezonansowej 100,71 Hz
b) Zamodelowano obwód równoległy RLC
Parametry obwodu:
u(t) = 325,3sin(ωt), R1 = 5Ω, R2 = 2,5Ω, L = 50 mH, C = 50 μF,
fr =
1
2𝜋√𝐿𝐶
√
𝑅
2
2
−
𝐿
𝐶
𝑅
1
2
−
𝐿
𝐶
= 101,67 Hz.
Rys.3. Schemat obwodu równoległego RLC.
Rys.4.a) Napięcia na elementach analizowanego równoległego obwodu RLC przy
częstotliwości 50Hz.
Rys.4b) Napięcia na elementach analizowanego równoległego obwodu RLC przy
częstotliwości rezonansowej 101,67Hz
Rys.5.a) Prądy gałęziowe analizowanego równoległego obwodu RLC przy częstotliwości 50 Hz
Rys.5.b) Prądy gałęziowe analizowanego równoległego obwodu RLC przy rezonansowej
częstotliwości 101,67 Hz.
III.
OBLICZENIA
a) Szeregowy obwód RLC przy f=50Hz
Dane do obliczeń:
-R=5Ω
-L=50mH
-C=50µF
𝑋
𝐿
= 𝑗𝜔𝐿 = 𝑗21,7Ω
𝑋
𝐶
= −𝑗
1
𝜔𝐶
= −𝑗85,69Ω
𝑍 = 𝑅 + 𝑗(𝑋
𝐿
− 𝑋
𝐶
) = 5 + 𝑗(21,7 − 85,69) = (5 − 𝑗63.99) Ω
𝐼 =
𝑈
𝑍
=
𝑈
𝑅 + 𝑗(𝑋
𝐿
− 𝑋
𝐶
)
=
230
5 − 𝑗63.99
= 3.31𝑒
𝑗84,2°
𝐴
𝑖(𝑡) = 4,7 sin(314𝑡 + 84,2°) 𝐴
𝑈
𝑅
= 𝐼 ∙ 𝑅 = 3,31𝑒
𝑗84,2°
∙ 5 = 16,6𝑒
𝑗84.2°
𝑉
𝑢
𝑅
(𝑡) = 23,5 sin(314𝑡 + 84,2°) 𝑉
𝑈
𝐶
= 𝐼 ∙ 𝑋
𝐶
= 3,31𝑒
𝑗84,2°
∙ (−𝑗85,69 ) = 283,8𝑒
−𝑗5,8°
𝑉
𝑢
𝐶
(𝑡) = 400,2 sin(314𝑡 − 5,8°) 𝑉
𝑈
𝐿
= 𝐼 ∙ 𝑋
𝐿
= 3,31𝑒
𝑗84,2°
∙ (𝑗21,7) = 71,83𝑒
𝑗174,2°
𝑉
𝑢
𝐿
(𝑡) = 101,6 sin(314𝑡 + 174,2°) 𝑉
b) Szeregowy obwód RLC przy
𝑓 = 𝑓
𝑟
=
1
2𝜋√𝐿𝐶
=
1
2𝜋√(70 ∙ 10
−3
) ∙ (35 ∙ 10
−6
)
= 100,71𝐻𝑧
𝑋
𝐿
= 𝑗𝜔𝐿 = 𝑗31,6 Ω
𝑋
𝐶
= −𝑗
1
𝜔𝐶
= −𝑗31,6 Ω
𝑍 = 𝑅 + 𝑗(𝑋
𝐿
− 𝑋
𝐶
) = (5 + 𝑗(31,6 − 31,6)) = 5 Ω
𝐼 =
𝑈
𝑍
=
𝑈
𝑅 + 𝑗(𝑋
𝐿
− 𝑋
𝐶
)
=
230
5
= 46,0 𝐴
𝑖(𝑡) = 65,1 sin(632𝑡) 𝐴
𝑈
𝑅
= 𝐼 ∙ 𝑅 = 46,0 ∙ 5 = 230𝑉
𝑢
𝑅
(𝑡) = 325,27 sin(632𝑡) 𝑉
𝑈
𝐶
= 𝐼 ∙ 𝑋
𝐶
= 46,0 ∙ (−𝑗31,6 ) = 1453,6𝑒
−𝑗0°
𝑉
𝑢
𝐶
(𝑡) = 2055,7 sin(632𝑡 − 0°) 𝑉
𝑈
𝐿
= 𝐼 ∙ 𝑋
𝐿
= 46,0 ∙ (𝑗31,6) = 1453,6𝑒
𝑗0°
𝑉
𝑢
𝐿
(𝑡) = 2055,7 sin(632𝑡 + 0°) 𝑉
Tab. 1. Porównanie wartości napięć i prądów obliczonych z wartościami odczytanymi z
wykresów
Obwód szeregowy dla f=50 Hz
Obwód szeregowy dla f=100,71Hz
Wielkość
Wartość
obliczona
Wartość
odczytana
Wielkość
Wartość
obliczona
Wartość
odczytana
𝑈
𝑅
46,0
45,0
𝑈
𝑅
325,27
325,0
𝑈
𝐿
101,6
100,0
𝑈
𝐿
2055,7
2050,0
𝑈
𝐶
400,2
400,0
𝑈
𝐶
2055,7
2050,0
𝐼
4,7
5,0
𝐼
4,7
5,0
c ) Równoległy obwód RLC przy f=50Hz
Dane do obwodu równoległego:
-R
1
=5Ω
-R
2
=2,5 Ω
-L=50mH
-C=50µF
𝑋
𝐿
= 𝑗𝜔𝐿 = 𝑗21,7 Ω
𝑋
𝐶
= −𝑗
1
𝜔𝐶
= −𝑗85,69Ω
𝑍
1
= 𝑅
1
+ 𝑗𝑋
𝐿
= (5 + 𝑗21,7 )Ω
𝑍
2
= 𝑅
2
+ 𝑗𝑋
𝐶
= (2,5 − 𝑗85,69) Ω
𝑍 =
𝑍
1
∙ 𝑍
2
𝑍
1
+ 𝑍
2
=
(5 + 𝑗21,7 ) ∙ (2,5 − 𝑗85,69)
(5 + 𝑗21,7 ) + (2,5 − 𝑗85,69)
= 26,49𝑒
𝑗65,9
Ω
𝐼 =
𝑈
𝑍
=
230
26,49𝑒
𝑗61,35
= 7,63𝑒
−𝑗65,9°
𝐴
𝑖(𝑡) = 14,8 sin(314𝑡 − 65,9°) 𝐴
𝐼
1
=
𝑈
𝑍
1
=
230
(5 + 𝑗21,7 )
= 11,96𝑒
−𝑗72,35°
𝐴
𝑖
1
(𝑡) = 19,09sin(314𝑡 − 72,35°) 𝐴
𝐼
2
=
𝑈
𝑍
2
=
230
(2,5 − 𝑗90,95)
= 3.53𝑒
𝑗87,8°
𝐴
𝑖
2
(𝑡) = 4,80 sin(314𝑡 + 87,8°) 𝐴
𝑈
𝑅1
= 𝐼
1
∙ 𝑅
1
= 11,96𝑒
−𝑗72,35°
∙ 5 = 69,72𝑒
−𝑗72,35°
𝑉
𝑢
𝑅1
(𝑡) = 98,60sin(314𝑡 − 72.35°) 𝑉
𝑈
𝑅2
= 𝐼
2
∙ 𝑅
2
= 3,53𝑒
𝑗87,8°
∙ 2,5 = 15,4𝑒
𝑗87,8°
𝑉
𝑢
𝑅2
(𝑡) = 19,4 sin(314𝑡 + 87,8°) 𝑉
𝑈
𝐿
= 𝐼
1
∙ 𝑋
𝐿
= 11,96𝑒
−𝑗72,35°
∙ 𝑗21,7 = 219,12𝑒
𝑗17,65°
𝑉
𝑢
𝐿
(𝑡) = 301,88sin(314𝑡 + 17,65°) 𝑉
𝑈
𝐶
= 𝐼
2
∙ 𝑋
𝐶
= 3.53𝑒
𝑗87,8°
∙ (−𝑗85,69 ) = 230,1𝑒
−𝑗2,2°
𝑢
𝐶
(𝑡) = 325,4sin(314𝑡 − 2,2°) 𝑉
d) Równoległy obwód RLC przy częstotliwości 𝒇 = 𝒇
𝒓
𝑋
𝐿
= 𝑗𝜔𝐿 = 𝑗47,36Ω
𝑋
𝐶
= −𝑗
1
𝜔𝐶
= −𝑗42,23 Ω
𝑍
1
= 𝑅
1
+ 𝑗𝑋
𝐿
= (5 + 𝑗47,36 )Ω
𝑍
2
= 𝑅
2
+ 𝑗𝑋
𝐶
= (2,5 − 𝑗42,23)Ω
𝑍 =
𝑍
1
∙ 𝑍
2
𝑍
1
+ 𝑍
2
=
(57 + 𝑗47,36 ) ∙ (2,5 − 𝑗42,23)
(5 + 𝑗47,36 ) + (2,5 − 𝑗42,23)
= 173,6𝑒
−𝑗29,71°
Ω
𝐼 =
𝑈
𝑍
=
230
173,6𝑒
−𝑗29,71°
= 1,82𝑒
𝑗29,71°
𝐴
𝑖(𝑡) = 2,87 sin(676,6𝑡 + 29,71°) 𝐴
𝐼
1
=
𝑈
𝑍
1
=
230
(5 + 𝑗47,36 )
= 6,8𝑒
−𝑗81,6°
𝐴
𝑖
1
(𝑡) = 9,8sin(676,6𝑡 − 81,6°) 𝐴
𝐼
2
=
𝑈
𝑍
2
=
230
(2,5 − 𝑗42,23)
= 6,7𝑒
𝑗85.26°
𝐴
𝑖
2
(𝑡) = 9,7 sin(676,6𝑡 + 85,26°) 𝐴
𝑈
𝑅1
= 𝐼
1
∙ 𝑅
1
= 6,8𝑒
−𝑗81,6°
∙ 5 = 23,6𝑒
−𝑗81,6°
𝑉
𝑢
𝑅1
(𝑡) = 28,9sin(676,6𝑡 − 81,6°) 𝑉
𝑈
𝑅2
= 𝐼
2
∙ 𝑅
2
= 6,7𝑒
𝑗85.26°
∙ 2.5 = 23,01𝑒
𝑗85,26°
𝑉
𝑢
𝑅2
(𝑡) = 29,2 sin(676,6𝑡 + 82,93°) 𝑉
𝑈
𝐿
= 𝐼
1
∙ 𝑋
𝐿
= 6,8𝑒
−𝑗81,6°
∙ 𝑗47,36 = 227,33𝑒
𝑗8,4°
𝑉
𝑢
𝐿
(𝑡) = 313,49sin(676,6𝑡 + 8,4°) 𝑉
𝑈
𝐶
= 𝐼
2
∙ 𝑋
𝐶
= 6,7𝑒
𝑗85.26°
∙ (−𝑗42,23 ) = 229,3𝑒
−𝑗4,74°
𝑢
𝐶
(𝑡) = 322,3sin(676,6𝑡 − 4,74°) 𝑉
Tab. 2. Porównanie wartości napięć i prądów obliczonych z wartościami odczytanymi z
wykresów
Obwód szeregowy dla f=50 Hz
Obwód szeregowy dla f=101,67 Hz
Wielkość
Wartość
obliczona
Wartość
odczytana
Wielkość
Wartość
obliczona
Wartość
odczytana
I
14,8
15,0
I
2,9
3,0
I
1
19,1
19,0
I
1
9,8
10,0
I
2
4,8
5,0
I
2
9,7
10,0
U
R1
98,6
100,0
U
R1
28,9
30,0
U
R2
19,4
20,0
U
R2
29,2
30,0
U
L
301,9
295,0
U
L
313,5
315,0
U
C
325,4
320,0
U
C
322,3
320,0
IV.
WNIOSKI
Podczas ćwiczenia zapoznaliśmy się z zasadami symulacji prostych obwodów jednofazowych
składających się z elementów RLC. Na podstawie wyników możemy stwierdzić iż symulacja
przebiegła prawidłowo. Wyniki uzyskane z obliczeń nie różnią się od tych odczytanych z
wykresów. W szeregowych układach dochodzi do rezonansu napięć, natomiast w obwodach
równoległych do rezonansu prądów. Zachodzący rezonans w układach elektrycznych jest
zjawiskiem szkodliwym( chyba że jest stosowany w sposób zamierzony do tłumienia
harmonicznych).