AUTOR: DR INŻ. KRZYSZTOF CHODNIKIEWICZ
Rok akademicki: 2012/13
ZA ZGOD
AUTORA  TYLKO DO UZYTKU WA
ASNEGO
1. DYNAMIKA NAP
DU ELEKTYCZNEGO
SPIS TREŚCI
1.1. Co to jest równanie ruchu i kiedy warto lub należy się nim zajmować?
1.2. Przykłady równań ruchu
1.3. Masowy moment bezwładności
1.4. Równanie ruchu układu napędowego, w którym J `" const
1.5. Redukcja momentów sił oraz momentu bezwładności do wybranego elementu układu
napędowego
1.6. Człony M0 oraz Me występujące w równaniu ruchu układu napędowego
1.7. Równanie ruchu  statyczna charakterystyka silnika
1.8. Stabilny i niestabilny punkt pracy układu napędowego
1.9. Wstępne uwagi dotyczące układów o więcej niż jeden stopniach swobody
1.10. Model układu napędowego ze sprzęgłem ciernym
1.11. Model układu napędowego uwzględniający odkształcenia sprężyste wałów
1.12. Dynamiczna charakterystyka silnika napędowego
1.1. Co to jest równanie ruchu i kiedy warto się nim zajmować?
Równanie ruchu jest równanie różniczkowe (lub układ takich równań) wynikające z drugiej
zasady dynamiki Newtona. W najprostszym przypadku ruchu prostoliniowego punktu
materialnego o stałej masie m, na który działa siła F, równanie ruchu ma postać
2
d x dv
m =� F lub m =� F
2
dt
dt
gdzie symbol x oznacza przemieszczenie zaś symbol v  prędkość.
W przypadku ruchu obrotowego ciała o stałym masowym momencie bezwładności J,
równaniem ruchu jest
2
d a�
J =� M lub
2
dt
gdzie M  moment obrotowy działający na obracające się ciało, ą  kąt obrotu, �  prędkość
kątowa. W zagadnieniach dotyczących napędu elektrycznego najczęściej rozpatruje się
równania ruchu obrotowego. Efektywne rozwiązanie równania różniczkowego, a więc i
równania ruchu, wymaga znajomości warunków początkowych.
1
 Rozwiązaniem równania jest
Równanie: Warunki początkowe funkcja:
2
opisująca zależność
dx
d x
x i dla chwili początkowej t = t0
m =� F
przemieszczenia od czasu
2 dt
dt
opisująca zależność prędkości
dv
dx
m =� F
v = dla chwili początkowej t = t0
liniowej od czasu
dt
dt
2
opisująca zależność kąta obrotu od
da�
d a�
a� i dla chwili początkowej t = t0
J =� M
czasu
2
dt
dt
opisująca zależność prędkości
dw� da�
J =� M w� =� dla chwili początkowej t = t0
kątowej od czasu
dt dt
Uwaga: Bez wiedzy jakie funkcje kryją się pod symbolami F i M, powyższych równań rozwiązać nie
można.
Równaniami ruchu są także równania opisujące drgania mechaniczne. Przykładowo,
równaniem ruchu jest równanie różniczkowe zwyczajne opisujące drgania swobodne punktu
materialnego o masie m zawieszonego na sprężynie o sztywności k
2
d x
m +� kx =� 0
2
dt
Równanie drgań wzdłużnych pręta prostego o stałym przekroju ma postać
E ś�2u ś�2u
=�
2
r�
ś�x2 ś�t
gdzie E, r�  odpowiednio moduł sprężystości podłużnej oraz gęstość materiału pręta, u 
przemieszczenie osiowe przekroju pręta. Jest to równanie różniczkowe cząstkowe; można je
też uważać za równanie ruchu.
W celu uzyskania odpowiedzi na pytanie:  Kiedy warto lub należy rozpatrywać równanie
dv
ruchu? rozważmy równanie m =� F , zakładając, że F = 0. Dzięki temu założeniu
dt
dv
równanie przyjmuje postać = 0 . Całkując otrzymuje się v = C , gdzie C jest stałą.
dt
Wyznaczenie stałej C wymaga znajomości prędkości v0 w chwili t0. Z podstawienia wynika
C = v0 , czyli, że jeżeli F = 0, to v = v0, a więc ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się
ruchem jednostajnym. Jest to rozwiązanie zgodne z Pierwszą Zasadą Dynamiki Newtona. Jest
ono niezbyt  interesujące , ale można je uznać za pośrednia odpowiedz
na postawione wyżej
pytanie. Otóż, interesującego rozwiązania równania ruchu można oczekiwać gdy F `" 0
(lub M `" 0), gdyż w takim przypadku mamy do czynienia z ruchem nieustalonym.
1.2. Przykłady równań ruchu
Wyprowadz
my równanie układu pokazanego na rys.1.2.1: wózek o masie m podparty jest
sprężyną o sztywności k. Na wózek działa siła F. Tarcie pomiędzy wózkiem i podłożem
pomijamy. Pierwszym krokiem jest przyjęcie dodatniego zwrotu osi x, wzdłuż której porusza
się wózek, oraz wybór początku tej osi, czyli punktu, w którym x = 0.
2
Wybór ten jest całkowicie dowolny, ale - raz przyjęty - obowiązuje do końca rozważań.
Załóżmy, że dodatni zwrot osi x jest skierowany w prawo i że punkt x = 0 odpowiada takiemu
położeniu wózka, w którym siła sprężyny jest równa zero. Należy z naciskiem podkreślić, że
dodatni zwrot osi x determinuje
+x, + dx/dt, +d2x/dt2
!!!
x
m
F
k
m (d2x/dt2)
Rys.1.2.1
kx
2
dx d x
dodatni zwrot prędkości oraz dodatni zwrot przyspieszenia . Wynika to stąd, że
2
dt
dt
2
d x
uznajemy, że różniczka dt > 0. Z fizyki wiadomo, że siła bezwładności, m , jest
2
dt
skierowana przeciwnie do dodatniego zwrotu przyspieszenia. Z tego powodu strzałka
obrazująca tę siłę jest na rys.1.1 skierowana w lewo. Nadajmy myślowo wózkowi dodatnie
przemieszczenie x. Strzałka obrazująca siłę oddziaływania sprężyny kx jest skierowana
przeciwnie do przemieszczenia x, czyli też w lewo. Patrząc na blokowe strzałki na rys.1.1,
można powiedzieć, że równanie ruchu wózka zostało  narysowane . Pozostaje je napisać:
2
d x
m +� kx -� F =� 0
2
dt
Informacje zawarte w tym równaniu nie wystarczają do jego rozwiązania. Brakuje zarówno
informacji dotyczących k i F, a także warunków początkowych. Przecież k, F mogą być w
jednym przypadku wielkościami stałymi, w innym  zmiennymi, a od tego zależy konkretna
postać równania. Do jego rozwiązania konieczna jest znajomość warunków początkowych,
które określają położenie x = x0 i prędkość wózka dx/dt=v0 w chwili t0 przyjętej za
początkową.
W analogiczny sposób można wyprowadzić równanie ruchu obrotowego (rys.1.2.2). Niech na
element, który może się obracać, a którego masowy moment bezwładności wynosi J, działa
czynny (powodujący ruch) moment obrotowy Me oraz bierny moment obrotowy M0.
+ą +dą/dt +d2ą/dt2
J
Me M0 J�d2ą/dt2
Rys.1.2.2
Pierwszy krok prowadzący do wyprowadzenia równania ruchu jest taki sam jak w przypadku
ruchu postępowego. Należy przyjąć dodatni zwrot osi ą oraz położenie kątowe obracającego
3
się elementu, które odpowiada ą = 0. Analogicznie do ruchu postępowego, moment
dynamiczny J�d2ą/dt2 ma zwrot przeciwny do dodatniego zwrotu przyspieszenia kątowego
d2ą/dt2, moment Me ma zwrot zgodny ze zwrotem przyspieszenia, moment M0  zwrot
przeciwny. Patrząc na rysunek można napisać
2
d a�
J +� M -� M0 =� 0 (1.7)
e
2
dt
Warunki początkowe mają postać
da�
a� =� a�0 , =� w�0 dla t =� t0 (1.8)
dt
Tak jak i poprzednio należy zdefiniować Me oraz M0.
1.3. Masowy moment bezwładności
Jak już wiadomo, w równaniach ruchu obrotowego występuje masowy moment
bezwładności. Warto przypomnieć podstawowe wiadomości dotyczące tego momentu. (W
dalszym tekście słowo  masowy będzie pomijane. Nie powinno to spowodować
nieporozumień; wykład dotyczy bowiem napędu a nie wytrzymałości materiałów).
Moment bezwładności J punktu materialnego o masie m względem osi 0  0 (rys.1.3.1)
0
r
Rys.1.3.1
m
0
wyraża się wzorem
2
J =� m��r
gdzie r jest odległością punktu materialnego od osi O  O.
Moment bezwładności bryły
2
J =� r dm
��
m
Przykład
Obliczyć moment bezwładności walca o promieniu R i długości l względem jego osi symetrii; walec jest
wykonany z materiału o gęstości � (Rys.1.3.2).
R r dr
Rys.1.3.2
l
2 2
dJ =� r �� dV �� r� =� r �� 2p� �� r ��l �� r� �� dr
R R
R4 p� p� �� R2 ��l �� r� m m D
3
J =� dJ =� 2p� ��l �� r� �� r �� dr =� 2p� ��l �� r� =� ��l �� r� �� R4 =� �� R2 =� �� R2 =� ( )2
�� ��
4 2 2 2 2 2
0 0
4
x
z
z
l/2
R
y
y
c
l
(a)
x
(c)
x
(b)
Rys.1.3.3
a
b
Poniżej podano wzory, na podstawie których można wyznaczyć momenty bezwładności
cienkiego pręta (Rys.1.3.3a), prostopadłościanu (Rys.1.3.3b) i kuli (Rys.1.3.3c).
ml2
Cienki pręt: J =�
x
12
m m m
Prostopadłościan: J =� ( b2 +� c2 ) J =� ( a2 +� c2 ) J =� ( a2 +� b2 )
x y z
12 12 12
2
Kula: J =� J =� J =� mR2
x y z
5
Twierdzenie Steinera (patrz wzór poniżej) umożliwia obliczenie momentu bezwładności
względem osi równoległej do tej, względem której znany jest moment bezwładności; znana
musi też być odległość d pomiędzy osiami
J" NOWA" OS = J" STARA" OS + md2
Warto zwrócić uwagę, że obliczenia najkorzystniej jest wykonywać w układzie SI (kg, m, s).
Jest to najbezpieczniejszy sposób prowadzenia obliczeń, taki, w którym nie trzeba stosować
żadnych współczynników liczbowych.
Momenty bezwładności brył o złożonych kształtach oblicza się dzieląc te bryły na elementy
składowe i dodając (lub odejmując) momenty bezwładności tychże elementów.
Momenty bezwładności wirników silników elektrycznych podawane są zazwyczaj w
katalogach firm, które te silniki produkują. Jednak niekiedy, szczególnie w starszych
katalogach, podawana jest wartość oznaczana GD2, którą można zamienić na moment
bezwładności przeprowadzając następujące przeliczenie
GD2 =� ( m �� g )��( 2rz )2 =� 4 �� g ��( mrz2 ) =� 4 �� g �� J
GD2
J =�
4g
gdzie rz jest promieniem zastępczym, tak dobranym, że m �� rz2 =� J .
1.4. Równanie ruchu układu napędowego, w którym J `" const
Rozpatrzmy układ złożony z silnika S i maszyny roboczej MR. Schemat układu pokazano na
rys.1.4.1a.
Silnik przekazuje do maszyny energię Ee, która zamienia się na energię kinetyczną Ek i pracę
LU (rys.1.4.1b). Z zasady zachowania energii wynika
Ee =� LU +� Ek
Energię Ee i pracę LU można określić zależnościami
dEe dLU
Pe =� PU =� ,
dt dt
czyli
5
t t
Ee =� Pedt LU =� PU dt
�� ��
0 0
Ek
S MR
Ee
LU
�
Me M0
(b)
(a)
Rys.1.4.1
Podane powyżej równanie wyrażające zasadę zachowania energii można więc napisać w
postaci
2
t t
w�
Pedt =� PU dt +� J
�� ��
2
0 0
A zamiast Pe i Pu napisać
Pe =� Me ��w� PU =� M0 ��w�
gdzie Me jest momentem silnika, zaś M0  momentem oporowym maszyny roboczej. Moment
M0  zawiera w sobie zarówno moment użyteczny (z punktu działania maszyny) jak i
moment oporowy, wynikający najczęściej z tarcia. Po podstawieniu
2
t t
w�
M ��w� �� dt =� M ��w� �� dt +� J
�� ��
e 0
2
0 0
t t
w�
M �� dt =� M �� dt +� J
�� ��
e 0
2
0 0
Różniczkując względem czasu
dw� w� dJ
J +� =� M -� M0
e
dt 2 dt
Powyższe równanie można również napisać w postaci
2
d a� w� da� dJ
J +� =� M -� M
e 0
2
2 da� dt
dt
2 2
d a� w� dJ
J +� =� M -� M
e 0
2
2 da�
dt
Jeżeli J = const, to powyższe równanie upraszcza się do znanej już postaci
2
d a�
J =� M -� M0
e
2
dt
1.5. Redukcja momentów sił oraz momentu bezwładności do wybranego elementu
układu napędowego
Schemat układu napędowego przedstawiony na rys.1.4.1a jest bardzo prosty i wygodny do
analizy. Jednak rzeczywiste układy mają budowę bardziej skomplikowaną. W układach
rzeczywistych jest często wiele wałów, stosowane są przekładnie, sprzęgła, dz
wignie, itd.
Korzystnym sposobem uproszczenia schematu skomplikowanego układu jest  chwyt
polegający na redukcji (sprowadzeniu) elementów układu napędowego do wału silnika
elektrycznego. Zasady redukcji najłatwiej jest poznać na przykładach. Rozpatrzmy układ
napędowy (rys.1.5.1a), w którym pomiędzy silnikiem S i maszyną roboczą MR znajduje się
przekładnia zębata. Chodzi o to, aby zamiast schematu pokazanego na rys.1.5.1a rozpatrywać
6
schemat zastępczy pokazany na rys.1.5.1b. Należy więc zastąpić wszystkie momenty
bezwładności momentem zastępczym JZ związanym z wałem silnika, zaś moment oporowy
JS Me �S
J1 z1
JZ
�S MZ
S
S
MR
J2 z2
Me
�M M0 JM
(a) (b)
JS  moment bezwładności wirnika silnika JM  moment bezwładności części wirujących
Me  moment obrotowy silnika M0  moment oporowy maszyny roboczej
J1  moment bezwładności koła zębatego 1 �S  prędkość kątowa wału silnika
z1  liczba zębów koła zębatego 1 �M  prędkość kątowa wału maszyny
J2  moment bezwładności koła zębatego 2 S - silnik; MR  maszyna robocza
z2  liczba zębów koła zębatego 2
Rys.1.5.1
maszyny roboczej M0 momentem oporowym zastępczym MZ przyłożonym do wału silnika.
Redukując momenty bezwładności wymaga się, aby energia kinetyczna układu pokazanego
na rys.1.5.1b była równa energii kinetycznej układu pokazanego na rysunku rys.1.5.1a. W
przypadku redukcji momentów obrotowych, wymaga się natomiast aby moc związana z
momentem zastępowanym była równa mocy związanej z momentem zastępczym. W
przypadku układu pokazanego na rys 1.5.1a, nazwanego  oryginalnym , energia kinetyczna
wynosi
2 2 2 2
�S �S �M �M
Ek ,oryg = JS + J1 + J2 + JM
2 2 2 2
natomiast energia kinetyczna układu zastępczego (rys.1.5.1b) jest równa
2
w�S
Ek ,zas =� J
Z
2
Z warunku, że energie te mają być takie same, otrzymuje się zastępczy moment bezwładności
2 2
ć� �� ć� ��
w�M z1
�� �� �� ��
J =� J +� J1 +� ( J2 +� J )�� �� =� J +� J1 +� ( J2 +� J )�� ��
Z S M S M
w�S z2
Ł� ł� Ł� ł�
Moc na wale maszyny roboczej, związana z zastępowanym momentem obrotowym jest równa
PM =� M0 ��w�M
zaś moc na wale silnika, związana z zastępczym momentem oporowym wynosi
PZ =� M ��w�S
Z
Ponieważ moce te mają być równe sobie, więc zastępczy moment oporowy jest określony
zależnością
w�M z1
M =� Mo =� M0 ��
Z
w�S z2
Zauważmy, że przy wyprowadzaniu powyższego wzoru milcząco założono, że sprawność
przekładni zębatej jest równa jedności. Nie odpowiada to rzeczywistości. Uwzględniając
sprawność przekładni zębatej, �, zastępczy moment oporowy należy napisać w postaci
M w�M M z1
M M
M =� =� ��
Z
h� w�S h� z2
7
Wiedząc już jak wyrazić zastępczy moment bezwładności oraz zastępcze momenty oporowe,
można napisać równanie ruchu dla układu pokazanego na rys. 1.5.1 w postaci
d�S
J M + M = 0
Z e Z
dt
Warto omówić redukcję do wału silnika mas elementów poruszających się ruchem
postępowym oraz redukcję sił działających na takie elementy. W tym celu rozpatrzmy typowy
układ napędowy pokazany na rys.1.5.2. Silnik napędza śrubę poprzez przekładnię zębatą, zaś
śruba - suwak o masie m, na który działa siła F. Metoda obliczenia zastępczego momentu
bezwładności pozostaje bez zmian.
JS MS �S
J1 z1
JZ
�S MZ
S
m
F
S
J2 z2
�M MS
(a) (b)
Rys.1.5.2
Energia kinetyczna układu oryginalnego (rys.1.5.2a)
2 2 2
w�S w�S w�2 v2
Ek ,oryg =� JS +� J1 +� J2 +� m
2 2 2 2
gdzie v oznacza prędkość suwaka. Zastępczy moment bezwładności jest równy
2 2 2 2
ć� �� ć� �� ć� �� ć� ��
w�M v z1 h w�M
�� �� �� �� �� �� �� ��
J =� J +� J1 +� J2 �� �� +� m�� �� =� J +� J1 +� J2 �� �� +� m�� =�
Z S
w�S w�S S z2 2p� w�S ��
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
2 2
ć� �� ć� ��
z1 h z1
�� �� �� ��
=� J +� J1 +� J2 �� �� +� m�� ��
S
z2 2p� z2
Ł� ł� Ł� ł�
gdzie symbolem h oznaczono skok gwintu śruby.
Moment obrotowy (na śrubie) spowodowany działaniem siły F wynosi
d
M0 = F tg( ł + � )
2
gdzie d jest średnicą podziałową gwintu, ł  kątem pochylenia linii śrubowej
h
ł = arctg( )
Ąd
zaś �  kątem tarcia obliczanym na podstawie współczynnika tarcia
� = arctg( ź )
Moc na śrubie
d
M0�M = F tg( ł + � ) �M
2
Musi równać się mocy na wale silnika, czyli
M �S = M0�M
Z
Z tej zależności można łatwo obliczyć zredukowany do osi silnika moment obrotowy
spowodowany działaniem siły F.
8
1.6. Człony M0 oraz Me występujące w równaniu ruchu układu napędowego
Symbol M0 występujący w równaniu ruchu
dw�
J =� Me -� M0
dt
oznacza moment oporowy maszyny roboczej, który składa się z momentu użytecznego
(potrzebnego do wykonania procesu technologicznego) oraz momentu tarcia w maszynie
roboczej oraz w silniku. Typowe charakterystyki maszyn roboczych pokazano w sposób
M0
2
M0
1
B
A2
�
0
3
A1
�
0
Rys.1.6.2
Rys.1.6.1
jakościowy na rys.1.6.1. Linia 1 odpowiada maszynom, w których moment oporowy jest
stały, tzn. pompom o stałej wydajności, maszynom wyciągowym, walcarkom, itp. Linia 2
charakteryzuje wentylatory, pompy odśrodkowe i inne maszyny, w których opory ruchu są
wprost proporcjonalne do kwadratu prędkości obrotowej. Linia 3 odpowiada - przykładowo -
urządzeniom odwijającym, w których jest zachowana stała siła naciągu oraz stała prędkość
liniowa taśmy lub drutu; maszyny takie są stosowane, między innymi, w przemyśle
papierniczym.
Wyróżnia się bierne i czynne momenty (siły) oporowe. Momenty (siły) oporowe bierne są
związane z wykonywaniem procesu technologicznego i pokonywaniem tarcia. Mówiąc
inaczej: praca momentu (siły) oporowego biernego jest pracą użyteczną lub pracą tarcia.
Moment (siła) oporowy bierny ma zawsze zwrot przeciwny do zwrotu prędkości. Obrazują to
na rys.1.6.2 linie A1 i A2.
Czynny moment (siła) oporowy jest niezależny od zwrotu prędkości. Obrazuje to linia B na
rys.1.6.2. W przypadku czynnego momentu (siły) oporowego należy wyróżnić dwie sytuacje,
które łatwo wyjaśnić na przykładzie windy. Jeżeli winda porusza się do góry, to moment
oporowy przeciwdziała ruchowi. Jeżeli natomiast winda zjeżdża w dół, to moment oporowy
staje się momentem czynnym i  pomaga temu ruchowi; silnik może w tym przypadku
oddawać energię do z
ródła. Innym przykładem jest siła spowodowana odkształceniem
sprężystym elementu maszyny. W obydwu tych przypadkach mamy do czynienia z energią
potencjalną. W przypadku windy  z energią potencjalną związaną z polem grawitacyjnym, w
przypadku elementu maszyny  z energią potencjalną odkształceń sprężystych, która jest
najpierw akumulowana, a następnie może być oddana.
Dyskusję na temat członu Me występującego w równaniu ruchu układu napędowego należy
rozpocząć od rozróżnienia statycznych i dynamicznych charakterystyk silnika elektrycznego.
Charakterystyka statyczna silnika to taka, którą uzyskano na hamowni zmieniając bardzo
wolno obciążenie silnika.  Bardzo wolno oznacza, że zmiana obciążenia nie powoduje ani
momentów dynamicznych, ani procesów przejściowych w silniku. Każdy silnik określonego
typu ma inną charakterystykę statyczną, która jest także nazywana charakterystyką
mechaniczną. Jako przykład rozpatrzmy, charakterystykę statyczną silnika indukcyjnego,
którą pokazano schematycznie na rys.1.6.3. Charakterystykę tę w przybliżeniu opisuje tzw.
9
Me
Mk
Mr
Mn
�
0
�k � n �S
s
sk 0
1
Rys.1.6.3
wzór Klossa
2M 2M sk s
k k
M =� =�
e
2
s sk s2 +� sk
+�
sk s
gdzie s oznacza poślizg silnika, równy
w�S -� w�
s =�
w�S
w� - prędkość kątowa,
w�S - prędkość kątowa synchroniczna.
Symbole �k , sk , Mk oznaczają kolejno: krytyczną prędkość kątową, krytyczny poślizg i
krytyczny (maksymalny) moment silnika. Poślizg krytyczny można obliczyć ze wzoru
2
ć� ��
M M
k k
�� ��
sk =� sn [ +� -� 1 ]
�� ��
M M
n Ł� n ł�
gdzie Mn oznacza moment znamionowy. Dla poślizgów znacznie mniejszych od poślizgu
krytycznego zachodzi zależność sk/s >>s/sk , dzięki czemu wzór Klossa można napisać w
postaci
2M
k
M =� s .
e
sk
Wykonując stosowane przekształcenia otrzymuje się
w�s -� w�
M =� 2M (w�s -� w�k )
e k
(w�s -� w� )2 +� (w�s -� w�k )2
oraz
2M w�s ć� ��
w�
k
�� ��
Me =� -�
w�s -� w�k ��1 w�s ��
Ł� ł�
Charakterystyka statyczna silnika innego niż indukcyjny ma oczywiście odmienną postać,
jednak jest to zawsze zależność wiążąca moment Me z prędkością kątową silnika.
10
1.7. Równanie ruchu  statyczna charakterystyka silnika
Rozpatrzmy najpierw najprostszy przypadek równania ruchu, który odpowiada założeniu, że
obydwa momenty, Me i M0, mają wartości stałe. Zastosujmy to założenie do oszacowania
czasu rozruchu silnika indukcyjnego. Przyjmijmy, że moment M0 jest znany i mniejszy od
momentu rozruchowego Mr (rys.1.6.3). W czasie rozruchu prędkość kątowa wzrasta od
w� =� 0 do w� =� w�u , gdzie w�u oznacza prędkość ruchu ustalonego, czyli sytuację, w której Me
= M0. Korzystając z charakterystyki silnika można powiedzieć, że rozruch rozpoczyna się od
punktu (0, Mr) i kończy w punkcie (w�u , M0). Przyjmijmy upraszczając, że w czasie rozruchu
moment silnika wynosi
M +� M
r k
M =� .
e,sr
2
Równanie ruchu przyjmuje postać
dw�
J =� M -� M0
e,sr
dt
Zauważmy, że powyższe równanie opisuje ono ruch obrotowy jednostajnie przyspieszony i
mogłoby być rozwiązane sposobem znanym ze szkoły średniej. My rozwiążemy to równanie
nieco  mądrzej pisząc
M -� M0
e,sr
dw� =� dt
J
M -� M0
e,sr
w� =� t +� C
J
gdzie C jest stałą, która należy obliczyć z warunku początkowego: dla t = 0 jest � = 0.
Uzyskuje się
Me,sr -� M0
w� =� t
J
Rozruch, którego czas wynosi tr , kończy się gdy prędkość osiągnie wartość w�u . Stąd wynika
czas rozruchu
Jw�u
tr =�
M -� M0
e,sr
Uzyskanemu rozwiązaniu można zarzucić, że w rzeczywistości moment silnika nie jest stały,
a więc przyspieszenie też nie jest stałe. Rozwiązanie to ma jednak ogromną zaletę. Jest ono
proste, a w technice bardzo często przedkłada się prostotę rozwiązania nad jego dokładność.
Obecnie zastosujmy znaną już zależność
2M
k
M =� s
e
sk
opisującą charakterystykę silnika indukcyjnego dla małych poślizgów, do odpowiedzi na
następujące pytania: (a) jak zmienia się prędkość silnika jeżeli moment obciążający zmieni się
skokowo z M01 na M02? , (b) jak długo trwa zmiana prędkości? Zakładamy, że do chwili t = 0
silnik jest obciążony momentem M01. Momentowi M01 odpowiada prędkość kątowa
ć� M01 ��
w�1 =� w�s ��1 -� ��
�� ��
z�
Ł� ł�
2M w�s
k
gdzie z� =�
w�s -� w�k
Dla t > 0 równanie ruchu ma postać
11
dw� w�
J =� z� (1 -� ) -� M02
dt w�s
czyli
dw� z�
J =� z� -� M02 -� w�
dt w�s
Oznaczając
z�
a =� z� -� M02 b =�
w�s
otrzymujemy równanie
d�
J + b� = a (*)
dt
w którym a i b są stałymi. Równanie uproszczone ma postać
d�
J + b� = 0
dt
a jego rozwiązaniem jest
b
- t
J
� = Ae
Rozwiązanie szczególne � = D, przy czym D = const. Podstawiając do równania (*)
a
otrzymuje się D = , czyli rozwiązanie ogólne równania (*) ma postać
b
b
- t
a
J
� = Ae +
b
Korzystając z warunków początkowych (dla t = 0 jest � = �1) otrzymuje się
a
�1 = A +
b
a
A = �1 -
b
i ostatecznie
b
- t
a a
J
� = ( �1 - )e +
b b
b b
- t - t
a
J J
� = �1e + (1 - e )
b
a
Zauważmy, że gdy t �� Ą� , to � �2 = �s = , co pozwala napisać rozwiązanie końcowe
b
w postaci
b b
- t - t
J J
� = �1e + �2(1- e )
Zauważmy, ze zależność określająca czas rozruchu została wyprowadzona przy założeniu, że
moment silnika jest stały, natomiast zależność dotycząca skokowej zmiany momentu
oporowego  przy założeniu, że moment silnika jest liniową funkcją poślizgu. Można byłoby
zamiast tych założeń próbować wprowadzić do równania ruchu pełny wzór Klossa. Jednak w
tym wzorze moment silnika jest nieliniową funkcja poślizgu, a więc nieliniową funkcją
prędkości kątowej. Jest to poważne utrudnienie, gdyż równanie ruchu przestaje być
12
równaniem liniowym. Większość równań nieliniowych nie ma rozwiązań, które można by
było zapisać w postaci wzoru analitycznego. Nieliniowe równanie różniczkowe można
zawsze rozwiązać numerycznie ale rozwiązanie numeryczne nie ma charakteru ogólnego;
dotyczy konkretnego przypadku. Z tego powodu  jeżeli to tylko nie wpływa na istotę
rozpatrywanych zjawisk  unika się założeń, które prowadzą do nieliniowych równań ruchu.
Zalecenie to dotyczy nie tylko napędu elektrycznego.
1.8. Stabilny i niestabilny punkt pracy układu napędowego
Stabilny układ (niekoniecznie napędowy) to taki, w którym małe odchylenie od stanu, w
którym on się znajduje, jest samoczynnie likwidowane i układ wraca do stanu wyjściowego.
Bardzo często pojęcie stabilności wyjaśnia się rozpatrując zachowanie kulki na powierzchni
wklęsłej (stabilne położenie kulki) oraz na powierzchni wypukłej (położenie niestabilne).
Stabilność układu napędowego można natomiast wyjaśnić posługując się wykresami
momentów (silnika Me i oporowego M0) w funkcji prędkości kątowej. Rozpatrzmy dwie
różne sytuacje pokazane na rys.3.8.1 i przeanalizujmy odchylenia układu od punktu
równowagi, czyli od punktu S (rys.3.8.la) przecięcia charakterystyk Me(�) i M0(�). Załóżmy
że moment oporowy wzrósł o "M0 . Zgodnie z charakterystyką M0(�), wzrostowi temu
odpowiada wzrost prędkości kątowej. Powinien mu towarzyszyć wzrost momentu silnika Me.
Tak jednak nie jest, gdyż wraz ze wzrostem prędkości kątowej moment silnika zmniejsza się.
Oznacza to, że w punkcie P układ napędowy nie może pracować i powróci do stabilnego
punktu pracy S. Inaczej jest w sytuacji pokazanej na rys.3.8.1b. Jeżeli moment oporowy na
chwilę by się zmniejszył, to układ powinien przejść do punktu R. Praca układu w tym punkcie
nie jest jednak możliwa, ponieważ zwiększonej prędkości kątowej towarzyszy większy
Me P M0
M0 Me
N
"M0
"M0
S
R
�
�
(a)
(b)
Rys.1.8.1
moment silnika. Nadwyżka momentu silnika w porównaniu z momentem oporowym
spowoduje wzrost obrotów i dalsze zmniejszenie momentu oporowego. Oznacza to, że punkt
N jest niestabilnym punktem pracy silnika.
Z powyższego rozumowania wynika, że aby punkt pracy układu napędowego był stabilny,
musi być spełniony warunek
dM0 dM
e
>� .
dw� dw�
Powyższy warunek pozwala stwierdzić, że w przypadku silnika indukcyjnego (rys.3.8.2)
punkt S1 jest punktem pracy stabilnej.
13
Podobnie stabilnym punktem pracy jest punkt S2 jednak w punkcie tym długotrwała praca
silnika nie jest możliwa z uwagi na duży prąd płynący w uzwojeniach silnika, który
spowodowałby niedopuszczalny wzrost temperatury tych uzwojeń.
M
Me Mk
M02
S2
S1 M01
�S �
0
Rys.1.8.2
Załóżmy teraz, że na silnik, pracujący stabilnie w punkcie S1, zaczyna działać zwiększony
moment oporowy jak to umownie pokazuje strzałka skierowana od punktu S1 w górę. Silnik,
odpowiadając spadkiem prędkości i zwiększeniem momentu, przechodzi do nowego punktu
stabilnej pracy. Dzieje się tak aż do osiągnięcia momentu maksymalnego (krytycznego).
Jeżeli moment oporowy nadal by wzrastał, to silnik by się po prostu zatrzymał. W powyższej
analizie pominęliśmy nagrzewanie się silnika. W rzeczywistości silnik nie może długo
pracować będąc obciążony momentem większym od momentu znamionowego
(nominalnego).
1.9. Wstępne uwagi dotyczące układów o więcej niż jeden stopniach swobody
Rozpocznijmy od definicji:  Stopień swobody jest to liczba niezależnych zmiennych
opisujących jednoznacznie stan modelu układu fizycznego. Z definicji wynika, że wszystkie
analizowane dotychczas modele układów miały jeden stopień swobody.
Stosując model o jednym stopniu swobody, nie można opisać wielu zjawisk zachodzących w
układzie napędowym. Przykładami takich właśnie zjawisk są:
- proces włączania sprzęgła ciernego,
- drgania skrętne wałów,
- zjawiska zachodzące w silniku elektrycznym podczas rozruchu układu napędowego.
W wyżej wymienionych, i w wielu innych, przypadkach trzeba zastosować modele o większej
liczbie stopni swobody. Zwiększenie liczby stopni swobody modelu wynika często z dążenia
do większej dokładności opisu działania układu. Jednak zwiększając liczbę stopni swobody
modelu należy zawsze wykazywać ostrożność; musimy być pewni, że znamy dostatecznie
dokładnie wartości liczbowe parametrów występujących w równaniach. Mówiąc inaczej:
bardziej skomplikowany model nie oznacza  automatycznie dokładniejszych wyników
analizy.
Pamiętając o powyższych uwagach, rozpatrzmy najpierw układ pokazany na rys.1.9.1. W
skład układu wchodzą dwie masy: m1 i m2 połączone sprężyną k2. Sprężyna k1 łączy masę m1
z nieruchomą ścianą.
Zachowanie układu będzie znane, jeżeli w każdej chwili znane będą położenia mas m1 i m2.
Położenia te określone są dwoma współrzędnymi x1 i x2, co oznacza, ze układ ma dwa stopnie
swobody. Na rys.1.9.1 narysowane zostały siły działające na obydwie masy. Chcąc uzyskać
równania ruchu wystarczy zsumować  narysowane siły i sumę przyrównać do zera.
14
2
d x1
m1 2 +� k1x1 -� k2( x2 -� x1 ) =� 0
dt
2
d x2
m2 2 +� k2( x2 -� x1 ) -� F2 =� 0
dt
+x1, + dx1/dt, +d2x1/dt2 +x2, +dx2/dt, +d2x2/dt2
x1
x2
m1 m2
F2
k2
k1
m1 (d2x1/dt2)
m2 (d2x2/dt2)
k1x1
Rys.1.9.1
k2(x2-x1)
k2(x2-x1)
F
Układ o dwóch stopniach swobody jest opisany układem dwóch równań różniczkowych i
wymaga znajomości położeń i prędkości obydwu mas w chwili uznanej za początkową, czyli
dx1 dx2
x1 =� x10 =� v10 x2 =� x20 =� v20 dla t =� t0
dt dt
Podobnie, dwa stopnie swobody ma układ pokazany na rys.1.9.2 składający się z dwóch
obracających się elementów (1 i 2) połączonych elastycznym wałem. Niech elementy 1 i 2
cechują się momentami bezwładności J1 i J2. Wał łączący elementy ma sztywność kątowa k12
(sztywność skrętna mierzona jest w Nm/rad). Odkształcenie sprężyste wału powoduje, że na
elementy 1 i 2 działają momenty skręcające k12(ą1-ą2). równe co do wartości bezwzględnej,
lecz przeciwnie skierowane.
k12
1 2
J1 J2
�1
�2
J1d2ą1/dt2
MS k12(ą1-ą2)
J2d2�2/dt2 M02
Rys.1.9.2
Na element 1 działa także moment MS, zaś na element 2  moment oporowy M02. Stan układu
wymaga znajomości dla dowolnej chwili t zarówno kąta obrotu ą1 elementu 1 jak i kąta
obrotu ą2 elementu 2.
15
Trzy masy połączone elementami sprężystymi lub tłumiącymi maja trzy stopnie swobody,
cztery masy  cztery, itd. Bryła (np. pręt, płyta, układ prętów, itp.) wykonana z
rzeczywistego, sprężystego materiału ma nieskończenie wiele stopni swobody.
1.10. Model układu napędowego ze sprzęgłem ciernym
Rozpatrywać będziemy układ napędowy, w którym silnik napędza maszynę roboczą poprzez
sprzęgło cierne, przykładowo takie jak na rys.1.10.1a. Schemat układu pokazano na rys.
1.10.1.b. Zakładamy, że przed włączeniem sprzęgła silnik i tak zwane czynne części sprzęgła
Części czynne Części bierne
(włączające) (włączane)
�c
S
(b)
JS
Jc Jb
�b
�c
S
N
(d)
(a)
Msp
Jz d�c/dt Me MC0 Msp Msp Mb0 Jbd�b/dt
(c)
Części czynne Części bierne
(e)
t
Rys.1.10.1
0
obracają się; części bierne są nieruchome. Przyjmijmy, że części bierne sprzęgła zostają
dosunięte do części czynnych w chwili t = 0. Skutkiem dosunięcia, moment przenoszony
przez sprzęgło wzrasta skokowo (rys.1.10.1c) od zera do Msp. Skokowy wzrost momentu jest
uproszczeniem, które ułatwia rozwiązanie równań ruchu. Schemat układu dla t > 0 pokazano
na rys.1.10.1d. W czasie zasprzęglania układ jest opisany dwoma równaniami
różniczkowymi. Pierwsze dotyczy obrotu elementów czynnych układu, równanie drugie 
elementów biernych:
dw�c
J +� MC0 +� M -� M =� 0
z sp e
dt
dw�b
Jb +� Mb0 -� M =� 0
sp
dt
gdzie J =� JS +� Jc , przy czym JS jest momentem bezwładności wirnika silnika, a Jc 
z
momentem bezwładności części czynnych sprzęgła; Me  moment silnika, MC0 - moment
obrotowy wynikający z oporów ruchu części czynnych układu, Mb0  moment obrotowy
wynikający z oporów ruchu części biernych. Warunki początkowe mają następującą postać:
dla t = 0 jest w�c =� w�0 oraz w�b =� 0 . Powyższe równania obowiązują do chwili, w której w�b
stanie się równe w�c .
16
Zauważmy, że do chwili pełnego zasprzęglenia (w�b =� w�c ) rozpatrywany układ ma dwa
stopnie swobody, po zasprzęgleniu  jeden.
1.11. Model układu napędowego uwzględniający odkształcenia sprężyste wałów
Rozpatrzmy model układu (rys.1.11.1), który jest podobny do pokazanego na rys.1.5.1.
Różnica polega na odmiennych założeniach. Rozpatrując układ pokazany na rys.1.5.1
zakładaliśmy, że wszystkie elementy układu są sztywne. Obecnie odstępujemy od tego
założenia i zakładamy co następuje:
- sztywność kątowa wału łączącego silnik S z kołem zębatym 1 wynosi kS1;
- sztywność kątowa wału łączącego koło 2 z elementem 3 wynosi k23; element 3, który
symbolizuje maszynę robocza cechuje się momentem bezwładności J3 ;
- pomija się bezwładność kół zębatych 1 i 2 oraz odkształcenia sprężyste zębów tych kół.
JS Me kS1 ą1 1 z1
S
J3
k23
ąS
3
2 z2
Rys.1.11.1
ą2
ą 3
Rozpatrywany układ ma dwa stopnie swobody. Jego stan jest zdefiniowany kątem obrotu
wirnika silnika ąS i kątem ą3 obrotu elementu 3. Równania ruchu układu można napisać na
dwa sposoby. Pierwszy nie wymaga redukcji momentu bezwładności J3 oraz sztywności
kątowej k23 do wału silnika, drugi te redukcje wykorzystuje. Zastosujemy najpierw sposób
pierwszy.
Równania ruchu układu pokazanego na rys.1.11.1 maja postać
2
d a�S
JS 2 +� kS1(a�S -�a�1 ) -� M =� 0
e
dt
2
d a�3
J3 2 -� k23(a�3 -�a�2 ) =� 0
dt
z2
Definiując przełożenie przekładni 1  2 jako i =� można napisać
z1
a�1
a�2 =�
i
ik1(a�S -�a�1 ) =� k2(a�2 -�a�3 )
Eliminując z powyższych równań kąty ą1 oraz ą2 uzyskuje się równania, identyczne z tymi,
które zostaną wyprowadzone przy zastosowaniu redukcji momentu bezwładności i sztywności
do wału silnika. Z treści podpunktu 1.5 wiadomo, że moment bezwładności J3 zredukowany
J
3
do wału silnika wynosi . Redukcja sztywności do wału silnika opiera się na warunku
2
i
równości energii odkształceń sprężystych elementu oryginalnego i zredukowanego. Energia
odkształceń sprężystych elementu o sztywności k wyraża się wzorem
2
Ma� ka�
Espr =� =�
2 2
Energia odkształceń sprężystych zakumulowana w oryginalnym (przed redukcją) wale 2-3
wynosi k2(a�2 -�a�3 )2 / 2 . Jeżeli wał 2-3 zostanie zredukowany do wału silnika, to energia
17
zredukowanego wału wyniesie k23,R(ą2-ą3)2i2, gdzie k23,R oznacza sztywność zredukowaną.
Zgodnie z warunkiem równości energii odkształceń sprężystych można napisać
k2(a�2 -�a�3 )2 =� k23,R(a�2 -�a�3 )2 ��i2
czyli
k23
k23,R =� .
i2
Model układu po redukcji elementu 3 oraz wału 2-3 do wału silnika pokazano na rys.1.11.2a.
Model można dalej przekształcić zauważając, że wał o sztywności kS1 i wał o sztywności
zredukowanej k23,R są połączone szeregowo. W celu znalezienia sztywności zastępczej
obydwu wałów dodaje się odwrotności ich sztywności
JS Me kS1 ą1 k23,R J3 / i2 JS Me kZ J3 / i2
3R 3R
S S
ią3 ią3
ąS ąS
(a) (b)
Rys.1.11.2
1 1 1
kZ =� kS1 +� k23
i2
W wyniku tych przekształceń powstaje model układu pokazany na rys.1.11.2b. Równania
ruchu tego układu pokazanego mają postać
2
d a�S
JS 2 +� kZ (a�S -� ia�3 ) -� M =� 0
e
dt
2
J3 d ( ia�3 )
-� kZ (a�S -� ia�3 ) =� 0
2
i2 dt
Efektywne rozwiązanie powyższego układu równań wymaga znajomości warunków
początkowych.
1.12. Dynamiczna charakterystyka silnika napędowego
W rozpoczynanym punkcie rozpatrzymy układ, w którym zwiększenie liczby stopni swobody
wynikać będzie z uwzględnienia dynamicznej charakterystyki silnika. Pojęcie to,
wzmiankowane w podrozdziale 1.6, nie zostało tam wyjaśnione. Przypomnijmy, że
charakterystyka statyczna silnika opisana była zależnością algebraiczną wiążącą moment
silnika z jego obrotami. Zmiana obrotów silnika powodowała natychmiastową zmianę
momentu. Charakterystyka dynamiczna silnika ma postać równania (lub równań)
różniczkowych, co powoduje, że zmiana momentu na skutek zmiany obrotów (a więc
obciążenia) nie jest natychmiastowa.
Rozpatrzmy model układu napędzanego obcowzbudnym silnikiem prądu stałego (rys.1.12.1)
przy następujących założeniach:
- wał łączący silnik z maszyną roboczą jest elementem sztywnym,
- napięcie uzwojenia wzbudzenia Um = const.
UZ Um
Rys.1.12.1
18
Równania opisujące działanie rozpatrywanego układu mają postać
dw�
J =� cmY�eI -� M0
dt
dI
L =� UZ -� RA �� I -� cE ��Y�e ��w�
dt
gdzie:
J - moment bezwładności wirnika i napędzanej maszyny,
M0 - moment oporowy,
I i UZ - odpowiednio prąd i napięcie twornika,
RA i L  rezystancja i indukcyjność uzwojenia twornika,
Y�e - strumień magnetyczny.
Symbole cm i cE oznaczają stałe, zaś w� , tak jak dotychczas  prędkość kątową wirnika silnika.
Niezależnymi zmiennymi (funkcjami), które opisują stan układu są prędkość kątowa wirnika
w� oraz prąd twornika I. Pierwsze równanie jest równaniem ruchu, w którym zamiast moment
obrotowy silnika Me wyrażono poprzez prąd twornika. Drugie równanie dotyczy obwodu
twornika. Zauważmy, że uzupełnienie równania ruchu równaniem różniczkowym dotyczącym
obwodu twornika spowodowało zwiększenie o jeden liczby stopni swobody układu. Jest
zrozumiałe, że równanie obwodu twornika można dołączać do układów równań omówionych
w podrozdziałach 1.10 i 1.11. Takie działania spowoduje zwiększenie o jeden liczby stopni
swobody układu. Należy dodać, że rozwiązanie powyższych równań wymaga znajomości
warunków początkowych, czyli wartości prędkości kątowej i prądu twornika dla chwili
uznanej za początkową.
Model dynamiczny silnika indukcyjnego jest bardziej skomplikowany niż podany wyżej
model silnika prądu stałego. Jeden z modeli dynamicznych silnika indukcyjnego jest opisany
równaniem
1 dMe 2M 1 2M
k k
+� Me +� ��w� =�
w�S �� sk dt sk w�s sk
1
gdzie jest elektryczną stałą czasowa silnika,
w�s �� sk
Użyte symbole powinny są już znane: Mk i sk są momentem i poślizgiem krytycznym, �s jest
synchroniczną prędkością kątową. Można zauważyć, że podana wyżej, zaczerpnięta z
literatury, charakterystyka dynamiczna silnika indukcyjnego jest charakterystyką
uproszczoną, gdyż nie występują w niej wielkości elektryczne. Ma ona jednak tę zaletę, że
współczynniki występujące w powyższym równaniu są wielkościami katalogowymi, lub na
ich podstawie mogą być obliczone.
19