DAUS de PUYAU, LAURA – PUYAU, HERMES

1

La abstracción en Aristóteles y en Santo Tomás

El el año 1964, un ilustre francés, Jean Dieudonné, decía lo siguiente: “Es bien conocido desde Aristóteles, al

menos, que toda la ciencia reposa sobre lo que se podría llamar el “principio del conocimiento voluntariamente

incompleto”: abstraer o generalizar, significa, precisamente, que se omite, de manera sistemática, ciertos aspectos de los

objetos que se consideran. El método axiomático, en matemática, no es otra cosa que una aplicación de este principio, que

no se distingue de otros, sino porque tomamos el cuidado de enumerar, de manera exhaustiva, las propiedades que

queremos admitir con respecto a los objetos estudiados (los axiomas), y que nos abstenemos de tener en cuenta, otra cosa

que no sean estas propiedades y las reglas de la lógica”. Dieudonné, Jean; “Algébre linéaire et géometrie élémentaire”

Hierman, Paris, 1964, pág. 21.

Hemos querido trascribir estas palabras del célebre matemático, porque ellas nos enfrentan con los problemas que

expondremos en esta comunicación.

Creemos que en este párrafo, Dieudonné ha dejado bien en claro, que los objetos sobre los que recae la

abstracción, son aquellos que el investigador toma en cuenta, retiene o considera, al tiempo que omite otros. El autor no

ofrece dudas a este respecto.

Las dudas versan sobre el sentido de las palabras “abstraer y generalizar”. En nuestra opinión, podríamos

preguntarnos: 1º) ambos términos, ¿deben ser considerados como sinónimos? 2º) ¿generalizar, es una consecuencia

necesaria de abstraer? 3º) la abstracción, va siempre acompañada de una generalización?

Estas cuestiones preocuparon a algunos filósofos desde Aristóteles, quien fue, sin lugar a duda, el primer

pensador que se ocupó de este tema, aunque no de manera sistemática, ni mucho menos, exhaustiva.

El problema ha continuado hasta la actualidad. Recordemos las críticas de Frege y después, de Husserl con

respecto a la teoría de la abstracción de John St. Mill. Por su parte, Husserl, en el tercer capítulo de las Investigaciones

Lógicas, parágrafo 13, escribe lo siguiente: “Pasemos ahora al análisis de una teoría de la abstracción que ha tenido

mucha influencia. Esta teoría, formulada primeramente por J. St. Mill, en su obra de polémica contra Hamilton, sostiene

que abstraer es una simple operación de la atención. Sin duda no hay, dice, ni representaciones universales ni objetos

universales; pero mientras nosotros representamos, intuitivamente, conceptos individuales, podemos aplicar atención

exclusiva o interés exclusivo a las diferentes partes y lados de su objeto. La nota que en sí y por sí, esto es, separada, no

puede no ser real ni ser representada, es atendida por sí y se convierte en objeto de un interés exclusivo, y, por lo tanto,

apartado de todas las demás notas. Así se comprende el doble sentido del término abstraer, unas veces positivo, otras

veces negativo.

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2

La abstracción en Aristóteles

En el libro I de la Física

(1)

, Aristóteles nos entrega la siguiente caracterización de la OUSÍA: “Nada hay

separable, sino la OUSÍA (la entidad) pues todo tiene como término de atribución, la ousía”.

(2)

Esta es, a nuestro juicio, una de las afirmaciones fundamentales del autor: la independencia óntica de la ousía. La

ousía es aquello que puede existir separado y en sí, no necesita de otro para existir y en ésta, su independencia óntica,

reside su diferencia fundamental con el accidente (katá sumbebekós).

Pero nuestro propósito en este trabajo, es detenernos en los términos con que Aristóteles expresa esta capacidad

de la ousía de tener una existencia separada. El filósofo apela al verbo choritho, cuya significación, según el diccionario

griego-español

(3)

es separar, poner aparte, distinguir. Veamos ahora el libro II de la Física, considerado por algunos

autores como de fecha muy antigua,

(4)

encontramos una definición parcial de naturaleza, en donde aparece nuevamente el

verbo choritho: “è fúsis án ere ton échónton èn aútoís kinéséos archen è morphe kaí tó eídos, oú choristhón, on all´e katà

tòn lógon”

(5)

. La traducción que proponemos sería: la naturaleza será (en aquellos entes que poseen en sí mismos el

principio de movimiento) la forma y la esencia, no separables sino por la razón.

(6)

Nuevamente es utilizada una forma del verbo joríxo, pero con un significado que presenta, en nuestra opinión, un

aspecto diferente a los anteriores. En efecto, si bien se trata de una separación, ésta no pertenece al nivel óntico, sino al

psicológico, pues se trata de una separación efectuada por la razón. Se trata, por lo tanto del proceso mental de la

abstracción.

¿Se dio cuenta Arostóteles que utilizada el mismo termino para designar dos planos entilativos diferentes? La

respuesta sería negativa.

En su traducción de los libros I y II de la Física, Ed. Biblos, 1993, pág. 76, Marcelo Boeri, propone esta

traducción: “La naturaleza de los entes que en sí mismos poseen el principio del movimiento será la configuración, o más

precisamente, la forma, la cual no es separable, a no ser, conceptualmente.Unas páginas más adelante, al hablar de la

distinción de los entes físicos con respecto a los matemáticos, nuestra opinión queda aparentemente confirmada.

(1)

185 a 31.

(2)

Oudèn gàr ton állon xoristón éste parà tèn oúsían, páuta gàr kat´ unokeiménou tes oúsías légetai.

(3)

Diccionario Griego-español, publicado bajo la dirección de F. I. Sebastián Jarza. Ed. Ricardo Sopena. Barcelona, 1945. Pág. 1529.

(4)

Por ejemplo, Jaeger, W.; “Aristóteles”. Traducción de J. Gaos. F.C.E. Pág. 92.

(5)

193. b. 4. en este caso, se trata del adj. Verbal de choritho: choristhós, e, ón, cuya traducción es, según el diccionario mencionado:

separado, separable, abstracto

(6)

En su traducción de los libros I y II de la Física, Ed. Biblos, 1993, pág. 76, Marcelo Boeri, propone esta traducción: “La naturaleza

de los entes que en sí mismos poseen el principio del movimiento, será la configuración, o más precisamente, la forma, la cual no es
separable, a no ser, conceptualmente.

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3

Veamos las palabras del filósofo:

(7)

22 “ Después de haber determinado en cuántos sentidos se entiende la

naturaleza, es conveniente examinar en qué se distingue al matemático del físico. Los cuerpos físicos tienen superficie,

volúmen, longitud y puntos. Acerca de estos entes investiga el matemático también. Pero no en tanto sean límites de un

cuerpo físico. Tampoco estudia los accidentes en cuanto pertenecientes a dichos cuerpos. Es por esta razón, que el

matemático los separa”. Dio kai.

En efecto, todos estos atributos de los entes físicos son separables... choristhà gar tè noései kinéseos ésti, por el

pensamiento.

(8)

Aristóteles presenta aquí, en forma terminante, la actividad psíquica de la abstracción, cuya función es separar lo

que en el nivel óntico no aparece como separado. En cuanto descripción de la operación misma, no da más explicaciones

que la de negar que sea causa de algún error.

(9)

Es interesante consignar que Henri Carteron, en su muy cuidada traducción de esta obra de Aristóteles

(10)

, no

traduce chorísthei, choristá por separar. Pero en la nota al margen de este párrafo,

(11)

dice: “Corollaire sur l´abstraction”.

Este autor, por lo tanto, da por sobreentendido que Aristóteles apela al mismo término para aludir a dos niveles ónticos

distintos.

A continuación, Aristóteles formula una observación sobre “los partidarios de las Ideas” quienes separan los

objetos naturales, que no son menos separables de las matemáticas.

(12)

Aunque no es nuestro tema específico referirnos a Platón, creemos que es totalmente inadecuado atribuir a este

autor, alguna clase de abstracción.

En efecto, en Platón se trata de una intuición intelectual que, con motivo de la percepción sensible, que actúa

como ocasión desencadenante, el noús se vuelve hacia el plano inteligible, separado, y en él intuye las esencias, que por

serlo constituyen lo necesario de los entes sensibles y, por lo tanto son universales.

A este propósito, aludiremos a algunos pasajes de la obra de Platón: uno del Fedón, cuando Sócrates sostiene que,

decepcionado de las explicasiones puramente mecanicistas de Anaxágoras, decidió refugiarse en los lógoi

(13)

y tratar de

descubrir en ellos la verdad de los entes.

La explicación es metafísica. Quizá todo Platón lo es. Pero quien se refugia en algo, huye de otra cosa, se aleja,

trata de establecer una distancia, que poco tiene que ver con la función de la abstracción que supone un proceso de

(7)

193 b. 22.

(8)

193 b. 33.

(9)

193 b. 34: oudè gínetau pseudos porizóntón.

(10)

Aristote. Physique. Texte établi et tradút par Henri Carteron. Paris. Les Belles Lettres. Tome I, pág. 62-63.

(11)

Como hemos dicho, Física 193 b. 33.

(12)

193 b. 35 y sig.

(13)

Eís tous lógus katá fugónta en ékeínos skopéin tón ónton ten aléteian, 99e.

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4

atención, de estudio y hasta de escudriñamiento sensible para distinguir en él, lo que es su objeto propio; en el caso de

Aristóteles, separa y retiene la cantidad, propia de los entes matemáticos.

Otro tanto, podemos interpretar de un diálogo –muy cuetionado- como el Parménides. En efecto, ante los

cuestionamientos de Sócrates con respecto a la existencia de las Ideas, debido a las profundas y complejas dificultades

que ésta teoría presenta, Parménides formula el siguiente comentario: “No tendremos entonces hacia dónde volver la

mirada”

(14)

. Pero la idea de girar, volver, dar vuelta, tal como indica el verbo trépo, ¿no nos indica que la razón se

distancia del objeto sensible y busca, en otro lugar, la esencia, que es su objeto propio?

También en la Alegoría de la Caverna, el esclavo liberado de grillos y cadenas que lo subordinan a las

contingencias del mundo sensible, cambiante y sin estabilidad, debe hacer un giro

(15)

, “volver el cuello y marchar

mirando la luz”

(16)

. Este giro, reiterado en el Parménides, expresa la diferencia, casi existencial, que existe entre el

conocimiento sensible y la comunicación con las Ideas.

Pero volvamos a Aristóteles. Después de la crítica a su maestro, el Estagirita establece una neta distinción entre

entes matemáticos y los físicos: “por una parte, lo impar y lo par, lo recto y lo curvo, y por otra el número

(17)

, la línea y la

figura, deben existir sin movimiento. En cambio, la carne, los huesos y el hombre, no existen sin él

(18)

.

En efecto, al distinguir la física de la filosofía primera, presenta ejemplos (los nervios, el bronce) de aquello que

es inpensable en cuanto a la forma, pero en una materia: taúta á ésti choristhá mèn eídei én úle dé

(19)

. Pero en cuanto a

aquello que en sí separado, determina su entidad y su esencia (ti ésti) es tarea propia de la filosofía primera

(20)

.

Una caracterización más rigurosa –aunque muy breve, de la abstracción, aparece en Perí Oúranòs, donde en el

libro III nos dice: Tò ta mèn èks aphairéseos légestai, tá matematika, tà dè phusikà, eks prosthéseos

(21)

.

(14)

Parménides 135 b. 9. “Oudè ópoi trefei ten diánoian é kei. A su vez, en Metafísica, traducción Tricot, pág. 55, nota 5, se dice al

final; “Una bonne définition de l´idee platonicienne est donnée par Ast Lexicon platonicorum, II 87: sensu philosophico est forma vel
species rerum quae ratione et intelligentia contenetur hoc est aeterna et inmutabilis, exemplum... Et sensu qui decitur logico
(inséparable chez Platon du sens metaphysique) ut notio communis vel generalis quae Platoni non est notio a rebus abitiacta, sed ipsa
rei natura animo spectata”.

(15)

Kaí tieriagein tón aúchena, 515 c. 7.

(16)

Eggers Lan. C. “El sol, la línea y la caverna”. EUDEBA. 1975, Bs. As. Pág. 43.

(17)

Al incluir los números entre los entes que resultan de la abstracción, Aristóteles plantea uno de los problemas que han agitado a

filósofos y matemáticos durante más de veinte siglos. En efecto, la afirmación de que los números resultan de la abstracción, a partir
de los datos sensibles, nos llevaría a suscribir estas palabras de Stuart Mill: “el nombre de un número designa una propiedad que
pertenece a un conjunto de cosas que denominamos en este nombre (el nombre del número). Así, el número “cien” pertenece al
conjunto de cosas, independientemente de mi parecer, por ejemplo, cien lápices, cien libros, etc. Pero podemos plantearnos lo
siguiente: si bien no hay inconveniente en abstraer la forma cuadrangular, que presentaran algunos de esos cien libros mencionados,
¿sería posible abstraer el número cien de esa pluralidad de objetos? ¿le pertenece a cualquiera de dichos libros, el número que le
correspondiera, de igual modo que le pertenece la forma cuandrangular? Decididamente, no. El número es, entonces, una categoría
que la mente humana proyecta sobre los objetos. Esta es la opinión de muchos matemáticos contemporáneos. Ello explica la
supervivencia del platonismo aún en la actualidad. Estos pensadores son platónicos (Goder, Kurt, Cantor, Frege, por ejemplo), sin
haber leído jamás a Platón.

(18)

194 a 6.

(19)

194 b. 12.

(20)

194 b. 14.

(21)

De Caelo. 299 a 16-18.

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5

La matemática, por lo tanto, se refiere a las propiedades conectadas con la cantidad, y deja todo el resto fuera de

su interés.

En cambio, la ciencia natural encara al objeto como una totalidad.

La abstracción como tal, como separación de lo cuantitativo es denominada, en este tratado, con el término con

que será conocida tradicionalmente y, por tanto, diferenciada con caracteres netos, tanto de la capacidad de independencia

óntica –propia de la oúsía- cuanto de la ciencia física, que estudia el ente natural, con todas sus determinaciones.

Este pasaje del “Tratado del Cielo” presenta una gran similitud en aquél del libro K, de los Metafísicos.

En efecto, en 1061 a 28, nos dice el autor: “El matemático dirige su estudio hacia las abstracciones, sin considerar

las propiedades sensibles, estudia solamente la cantidad y el continuo

(22)

.

La palabra Afaíresis había sido empleada por Platón, para referirse a una especie de purificación, purificación del

alma que, a la vez, elimina lo malo que hay en ella.

Veamos las palabras de Platón

(23)

.

La versión en español que proponemos es la siguiente: extranjero “En el alma, todo medio que encontremos de

suprimir el mal, estaremos en lo cierto de llamarlo, purificación”.

Afaíresis alude a la acción de expulsar y recae sobre aquello de lo que nos liberamos.

Conford lo expresa así: “Debe notarse que purificación es una noción negativa: el desembarazarse del mal”. Y

agrega a fin de página: “El sustantivo pasivo Kátarma (desecho, lastre) significa la impureza eliminada y no la cosa

purificada”.

(24)

Por su parte, Aristóteles había empleado en la Física la expresión Afaíresis, en varias oportunidades, pero con un

significadí con un matíz diferente.

Por ejemplo, en este pasaje

(25)

Afaíresis, tiene el sentido de extracción, efectuada a un cuerpo, de una cierta

cantidad de materia.

(22)

La versión francesa de este pasaje, incurre -a nuestro parecer- en una confusión que ha permanecido incólume a través de los

tiempos: “Nous voyons le mathématicien faire porter son étude sur des abstractions; il considére, en effet, son objet en faisant
abstraction de tous ses caractères sensibles... il conserve senlement la quantité et le continu...” Pero preguntamos: si el matemático
tiene por objeto los objetos abstraídos, es decir, separados por la mente y conservados para estudiarlos; ¿por qué emplear la misma
palabra, para designar aquellos caracteres de los que la mente se separa, de los que se aleja, en este caso, los caracteres sensibles?
Creemos que se trata de una falta de precisión que ha tenido como consecuencia graves confusiones. A su vez, en la “Disertatio” del
año 1770, Manuel Kant escribe así, en el parágrafo 6: “Necesse autem hìc est, maximam ambiguitatem vocis abstracti notare, quam,
ne nostram de intelectualibus disquisitionem maculet, antea abstergendam ese satuis duco. Nempe proprie dicendum esse: ab
aliquibus abstrahere, non aliquid abstra here. Denotat: quod in concetu quodam ad alía quomdo cumque ipsa nexa non atendamus.
Posterid autem, quod non detus, nisi in concreto et ita, ut a coniunctis separetur”. Manuel Kant. La dissertation de 1770 – Texte Latin
– Paris. J. VRIN. 1995. Pág. 40.

(23)

Sofista 227 d. 7-10.

(24)

Cornford, Frances M. “La teoría platónica del conocimiento” Paidós, Bs. As., pág. 166.

(25)

187 b. 30.

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6

O este otro ejemplo

(26)

: “Las generaciones absolutas se producen sea por..., sea por reducción (Tá d´afairései),

como Hermes que es extraído de la piedra. Aquí se trata de una de las cinco especies de generaciones sustanciales

(27)

.

En otros pasajes aparece también como cercenamiento, rebaja. Por ejemplo cuando dice: “Tó ápeiron ésti mèn

prostései ésti dè kaí afairései”

(28)

.

Y con el mismo significado de disminución, frente al crecimiento Próstesis, adjunción

(29)

.

En cuanto al “Tratado del alma”, Aristóteles plantea, en el libro I, el problema de los atributos del alma en los

siguiente términos: “Si tiene atributos propios, no compartidos con el cuerpo, el alma debe ser separable, y lo dice en un

discurso específico, en el que las palabras expresan, con matices nítidos, todas las posibilidades.

Eí mèn oún éstí ti tón tés phucher érgón é matemáton ídion, endéchoit´an aútén chorizestai

(30)

.

La existencia ónticamente separada, la independencia óntica, como capacidad de existir en sí, es denominada

chorizestan

(31)

.

Un poco más adelante efectúa una distinción tajante:

(32)

“De todos aquellos entes inseparables de hecho, Mè

choristhon, pero que no se consideran como afecciones (pathe) de un cuerpo, sino por resultado de una abstracción, son

los matemáticos.

Por fin, en otros dos pasajes, reitera el mismo lenguaje preciso. Por ejemplo

(33)

, en el primero, se refiere a los

objetos de la matemática, como “aquellos entes que proceden de la abstracción” y, en el capítulo séptimo

(34)

habla de las

las nociones abstractas, con las palabras apharései legómena.

A su vez, en el libro E, Aristóteles presenta a la metafísica, como ciencia teorética que estudiará la posible

existencia de una entidad, áídion kaì ákíneton kaì choristón

(35)

. La independencia óntica, su autonomía, está determinada

con el vocablo preciso. Otro tanto ocurre con respecto a los objetos que estudia la Física: entes separados pero no

indivisibles

(36)

.

En este capítulo de los libros Metafísicos, Aristóteles no se ha definido sobre la separación o no de los

matemáticos

(37)

.

(26)

190 b. 7.

(27)

Carterón Henri, Op. Cit. Tomo II. Pág. 162.

(28)

206 a 15.

(29)

245 a 12-15.

(30)

“Del alma” 403 a 10-12 Si hay alguna observación o afección propia del alma, es posible que ésta pueda existir separada.

Traducción A. E. NNIS. S.J.

(31)

403 a. 12.

(32)

403 b. 17-18.

(33)

429 b. 18. Épí tón èv afairései ónton.

(34)

431 b. 14.

(35)

Met. E. 1. 1026 a 12.

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7

En cuanto al libro A

(38)

, donde Aristóteles habla de las ciencias más exactas, es decir, de aquéllas que proceden

del menor número de principios, por ejemplo, la Aritmética, que es más exacta que la Geometría, no se emplea en

absoluto la expresión tá éks aphairéseos, tal como indica la traducción francesa de Tricot.

En el libro K, refiriéndose al infinito, expresa que éste puede ser por adición (o composición) o por división (o

sustracción). Al aludir a esta posibilidad, Aristóteles utiliza la expresión È aphairese, pero con el significado de división

(Diaí Tesis)

(39)

.

Veamos ahora el libro M. Al final del capítulo 2, Aristóteles establece la distinción entre anterioridad lógica y

anterioridad entitativa

(40)

. Esta última es la capacidad de ciertos entes de existir separadamente

(41)

. La anterioridad lógica

pertenece a aquellos entes cuyo concepto forma parte de la definición de otro ente

(42)

. Pero ambas anterioridades no son

coextensivas

(43)

.

Más adelante agrega: ni los productos de la abstracción tienen anterioridad entitativa, ni los productos de la

composición, de la adjunción, tienen posterioridad entitativa. Los primeros son los entes matemáticos, carentes de sustrato

(44)

, los segundos son los entes físicos, suceptibles de movimiento y de reposo.

Este ejemplo nos confirma que el filósofo ha logrado una acabada diferenciación entre la separación óntica,

propia de las oúsías y la separación mental, propia de los entes matemáticos, ante todo, ha logrado una terminología que

distingue acabadamente a ambas separaciones, sin lugar a ninguna ambigüedad.

Citamos por último los analíticos, si bien en el libro Gamma, de los metafísicos por supuesto, nos ha advertido

que es necesario conocer los Analíticos antes de abordar el estudio de cualquier ciencia, y no esperar que nos enseñen

(lógica o metodológica) para plantearse el problema de la verdad de las proposiciones

(45)

.

La razón de esta decisión (la mención de los Analíticos en último lugar), estriba en el hecho de que en el capítulo

18 del libro I, Aristóteles expresa su pensamiento definitivo sobre los productos de la abstracción.

En efecto, después de afirmar que: 1º) Sólo aprendemos por inducción o por demostración. 2º) La demostración

se efectúa a partir de principios universales y la inducción a partir de casos particulares. Aparte las afirmaciones

siguientes son, a nuestro juicio, fundamentales para el tema que no ocupa: 3º) Pero es imposible adquirir el conocimiento

de lo universal, de otra manera que por inducción

(46)

. 4º) Aún aquello que llamamos resultados de la abstracción. No

pueden ser conocidos sino por inducción

(47)

.

(36)

Idem 1026 a 14.

(37)

Idem. 1026 a 15 y Nota 2. L. 15 de la versión Tricot de Metafísica, Tomo I, pág. 332.

(38)

Met. A 2 982 a 25. Pág. 14 de Tricot.

(39)

Tricot. Idem. Libro K. 10. 1066 b. 1 u Nota 6. Pág. 621.

(40)

Metaf. M. 2. 1077 b. y sig. To lógo prótera kaí té oúsía prótera.

(41)

Idem. 1077 b. 3. Chorizómena.

(42)

Idem 1077 b. 4. Taúta dé ouch ama úparchei.

(43)

Idem b. 8. Tó ekz aphairéseos tó eks prosthéseos.

(44)

Upokeímenon.

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8

De tales afirmaciones, tan categóricas, no puede quedar duda alguna: la abstracción, no universaliza. El resultado

de esta función (separar lo que ónticamente es inseparable), se eleva al nivel científico, cuando la épagogé, convertida en

intuición del noús, tal como la describe en el capítulo 19 del segundo libro de los Segundos Analíticos, le otorga los

caracteres de necesidad y universalidad, insustituíbles de todo autético conocimiento.

La abstracción en Santo Tomás

La obra filosófica de Aristóteles fue recibida en su plenitud en occidente en el siglo XIII y pese a ciertas

dificultades –las consideraciones de 1210 y 1215- la física y la metafísica son objeto de comentarios. Santo Tomás

comenta la Física desde 1261 y los libros metafísicos entre 1268 y 1272, donde expone sus propias ideas sobre la

abstracción.

“Puede entenderse animal sin hombre y hombre sin Sócrates u otros individuos. Esto es abstraer el universal del

particular”

(48)

.

Agrega un poco más adelante: “del mismo modo puede entenderse la cantidad sin la materia”

(49)

, con lo cual

tenemos otro tipo de abstracción.

A la primera se la llama abstracción total y a la segunda formal. Es esta la que tiene un particular significado en la

clasificación de las ciencias teóricas.

Toda ciencia en su proceder usa la abstracción. En la Física se abstrae de la materia sensible individual, lo que en

definitiva es común a todo conocimiento intelectual, con ello no podemos distinguir todavía la físoca de la matemática.

En la matemática se abstrae la cantidad de la materia sensible: nos queda la materia inteligible. Los entes matemáticos no

prescinden de esta materia, por ello S. Tomás dice que no existe su materia. Es la réplica a la posición platónica que las

puso como separadas.

El cambio natural se hace entre opuestos que se dan en el ambito de la cualidad; si eliminamos la cualidad,

podemos prescindir del cambio.

Es interesante notar que esta abstracción no nos libera del movimiento local: La geometría de aquellas

formaciones que se llaman traslaciones, que dejan invariables propiedades como: paralelismo, tangencialidad, etc.; que en

la actualidad son objeto de la geometría, son alcanzadas perfectamente en el marco de la geometría que posibilita la

epistemología del Aquinate en el ámbito de la tradición aristotélica.

(45)

Metaf. 1005 b. Y sig.

(46)

Segundos Analíticos I. 18. 81 b. 2. Ádúnatov dé tá katholou theorésai mé di´ epagógés.

(47)

Idem 81 b. 4-5.

(48)

In Plujsicam. Ed. Marietti. 1934

(49)

Idem.

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9

La diferencia hasta aquí es la abstracción total, que es ajena a Aristóteles.

Con la abstracción formal, aparece nítidamente la originalidad de la posición de S. Tomás y sus seguidores.

En el comentario a la Metafísica, el libro VI tiene particular interés porque allí habla de las tres ciencias teóricas y

su distinción.

La Física se ocupa de determinado sujeto y de su definición que incluye la materia.

La ciencia ha sidodefinida como el hábito de las conclusiones obtenidas a partir de los principios, las otras son

comunes a todas las cienias, como los axiomas lógicos y los propios de cada ciencia, que en Aristóteles se llama hipótesis,

y en Euclides postulados. La distinta manera de definir es el criterio para clasificar las ciencias. En todas las diferencias

interviene de una u otra manera la materia.

Los entes matemáticos prescinden de la materia sensible y tienen en cuenta lo que Aristóteles llama inteligible (la

materia con la cantidad). La matemática se ocupa de lo separado, de la materia “secundum rationem”, pero no

“secundum esse”.

A la filosofía primera corresponde los entes separables “secundum esse et rationum”, que a diferencia de la

matemática, “non de necessitate non habentesse in materia sicut mathematica”.

En el capítulo XIII del segundo libro de los analíticos, se ocupa Aristóteles, de dos formas de demostración, y

también, aparece el tema de la subalternación.

Aristóteles da tres ejemplos de subalteración: la pespectiva con respecto a la geometría, la armónica con respecto

a la aritmética, y la mecánica con respecto a la geometría del sólido.

La ciencia subalternamente se comporta como formal con respecto a la subalternada. La idea era fecunda, pero

Aristóteles no aprovechó su riqueza, limitado por su teoría de la incomunicabilidad de los géneros.

Juan de Santo Tomás, comentando esta situación dice: “en matemática encontramos que, aunque en común

abstrae de la materia sensible, porque se consideran distintos modelos de materialidad en la cantidad contínua que en la

directa; la directa, tiene que ver menos con la materialidad, porque menos depende del espacio y el tiempo que une las

partes con el lugar; por ello, hay dos ciencias: geometría y aritmética” (Log II . 27 a I).

Con estas se daban las bases epistémicas, para dar el paso que cumplió Descartes de unir el álgebra (una

generalización de la aritmética) con la geometría, al crear la geometría analítica. No olvidemos que, en los ejemplos de

Aristóteles, siempre es una rama de la matemática, la ciencia subalternante.

Hermes Puyau

Laura Daus de Puyau