I. Tabela danych pomiarowych
f, Hz I, µA U , V U , V
l c
311 36,6 0,287 2,257
360 44 0,376 2,334
410 52,2 0,489 2,433
460 61,2 0,622 2,545
550 76,4 0,89 2,657
640 101,6 1,342 3,033
730 136,6 2,019 3,58
820 190,8 3,126 4,465
900 255,8 4,66 5,455
920 268,2 4,96 5,62
940 282,6 5,35 5,784
960 298,2 5,76 5,978
980 305,6 6,02 6,004
1000 309,4 6,22 5,95
1020 311 6,34 5,914
1040 306,6 6,4 5,673
1060 300,6 6,38 5,47
1080 289,2 6,28 5,123
1100 274,2 6,05 4,78
1130 255 5,8 4,33
1160 235 5,47 3,87
1190 215 5,14 3,455
1240 190 4,75 2,93
1315 159,2 4,2 2,3
1413 131,6 3,74 1,754
1460 121,6 3,49 1,57
1520 110,4 3,31 1,362
1600 97 3,078 1,127
1
II. Opracowanie wyników pomiarów oraz analiza niepewności pomiarowych
Pierwszym zadaniem było narysowanie wykresów zależności częstotliwościowej natężenia prądu
oraz napięcia na cewce i na kondensatorze (dwa ostatnie na wspólnym arkuszu). Prócz tego należało
zaznaczyć słupki niepewności dla dokonanych pomiarów. Oba wykresy znajdują się na stronach 3. i 4.
2
U, V
7
6
5
U_ll
U
Uc
U_c
4
3
2
1
f, Hz
0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
3
I, µA
350
300
250
200
150
100
50
f, Hz
0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
4
Z wykresu wynika, że czÄ™stotliwość rezonansowa 5ØSÜ5ØEÜ = 10205Ø;Ü5ØgÜ. Oby obliczyć niepewność odczytanej
0,0015ØSÜ5ØEÜ+15Ø;Ü5ØgÜ
wartoÅ›ci skorzystamy ze wzoru 5ØbÜ 5ØSÜ5ØEÜ = . Wynika z tego, że 5ØbÜ 5ØSÜ5ØEÜ = 1,175Ø;Ü5ØgÜ. ZaÅ‚ożona na
3
poczÄ…tku teoretyczna czÄ™stotliwość rezonansowa jest równa 5ØSÜ5ØGÜ = 10005Ø;Ü5ØgÜ. Jako, że 5ØSÜ5ØEÜ - 5ØSÜ5ØGÜ =
10205Ø;Ü5ØgÜ - 10005Ø;Ü5ØgÜ = 205Ø;Ü5ØgÜ > 1,175Ø;Ü5ØgÜ stwierdzić można, że obie czÄ™stotliwoÅ›ci nie sÄ… zgodne
względem siebie w zakresie niepewności (jak i niepewności rozszerzonej).
W celu obliczenia dobroci badanego układu rezonansowego, musimy znalez
ć różnicę miedzy dwoma
5Ø<Ü5ØEÜ5Ø@Ü5Ø4Ü5ØKÜ 3115Øß5Ø4Ü
czÄ™stotliwoÅ›ciami dla których 5Ø<Ü = = = 219,95Øß5Ø4Ü (wartość 5Ø<Ü5ØEÜ5Ø@Ü5Ø4Ü5ØKÜ może zostać odczytana z
2 2
wykresu lub tabeli danych pomiarowych). Szukaną różnicę znajdujemy na wykresie i wynosi ona
5ØSÜ5ØEÜ 10205Ø;Ü5ØgÜ
"5ØSÜ = 3305Ø;Ü5ØgÜ. Z tego wynika, że 5ØDÜ = = = 3,090909090909.
"5ØSÜ 3305Ø;Ü5ØgÜ
1 5Ø?Ü
W celu obliczenia niepewnoÅ›ci 5ØDÜ5ØGÜ skorzystamy ze wzoru 5ØbÜ 5ØDÜ5ØGÜ = " 5ØbÜ 5ØEÜ . Wzór powstaÅ‚ na
5ØEÜ2 5Ø6Ü
5ØHÜ
podstawie prawa propagacji niepewnoÅ›ci dla funkcji jednej zmiennej. Jako, że 5ØEÜ = , w celu
5Ø<Ü
2 2
5ØbÜ(5ØHÜ0) 5ØHÜ05ØbÜ(5Ø<Ü5ØGÜ5Ø@Ü5Ø4Ü5ØKÜ )
otrzymania 5ØbÜ(5ØEÜ) skorzystamy ze wzoru 5ØbÜ 5ØEÜ = + . NiepewnoÅ›ci 5ØbÜ(5ØHÜ0) i
2
5Ø<Ü5ØGÜ5Ø@Ü5Ø4Ü5ØKÜ 5Ø<Ü5ØGÜ5Ø@Ü5Ø4Ü5ØKÜ
5ØbÜ(5Ø<Ü5ØGÜ5Ø@Ü5Ø4Ü5ØKÜ ) powstaÅ‚y w wyniku mierzenia ich za pomocÄ… mierników elektronicznych i w zwiÄ…zku z tym
otrzymujemy wzory 5ØbÜ 5ØHÜ0 = 1,5% " 5ØHÜ0 + 0,0035ØIÜ i 5ØbÜ 5Ø<Ü5ØGÜ5Ø@Ü5Ø4Ü5ØKÜ = 1,0% " 5Ø<Ü5ØGÜ5Ø@Ü5Ø4Ü5ØKÜ + 0,55Øß5Ø4Ü. PodstawiajÄ…c
5ØHÜ0 = 25ØIÜ, 5Ø<Ü5ØGÜ5Ø@Ü5Ø4Ü5ØKÜ = 300,435Øß5Ø4Ü, 5ØEÜ = 6657©, 5Ø?Ü = 35Ø;Ü i 5Ø6Ü = 85Ø[Ü5Ø9Ü otrzymujemy w koÅ„cu, że 5ØDÜ5ØGÜ =
2,9090(65).
2
5ØbÜ 5ØSÜ5ØEÜ 2 5ØSÜ5ØEÜ "5ØbÜ "5ØSÜ
Aby obliczyć niepewność 5ØDÜ, skorzystamy ze wzoru 5ØbÜ 5ØDÜ = + . NiepewnoÅ›ci
"5ØSÜ "5ØSÜ2
wyznaczenia obu potrzebnych czÄ™stotliwoÅ›ci można policzyć za pomocÄ… wzoru 5ØbÜ 5ØSÜ = 0,1%5ØSÜ + 15Ø;Ü5ØgÜ.
Po podstawieniu odpowiednich wartoÅ›ci otrzymujemy, że 5ØDÜ = 3,0909(80).
2 2
Obie wartoÅ›ci dobroci różniÄ… siÄ™ o 0,1819. Jako, że 5ØDÜ - 5ØDÜ5ØGÜ > 5ØbÜ(5ØDÜ) + 5ØbÜ(5ØDÜ5ØGÜ) , można
stwierdzić, że obie wartości nie są zgodne w zakresie swoich niepewności.
Aby okreÅ›lić teoretycznÄ… wartość natężenia prÄ…du w rezonansie skorzystamy ze wzoru 5Ø<Ü0 =
5ØHÜ0
, gdzie 5Øß = 25Øß5ØSÜ5ØGÜ. Wynika z tego, że 5Ø<Ü0 = 296,805Øß5Ø4Ü, 5ØbÜ 5Ø<Ü0 = 4,345Øß5Ø4Ü. Po przeanalizowaniu
2
1
5ØEÜ2+ 5Øß5Ø?Ü-
5Øß5Ø6Ü
otrzymanego wyniku i wartoÅ›ci 5Ø<Ü5ØEÜ5Ø@Ü5Ø4Ü5ØKÜ (wraz z jej niepewnoÅ›ciÄ…) można stwierdzić, że obie wartoÅ›ci
nie są zgodne w zakresie w swych niepewności.
Aby obliczyć przesunięcie fazowe prądu względem napięcia wymuszającego skorzystamy ze wzoru
1
5Øß5Ø?Ü-
5Øß5Ø6Ü
tan 5Øß = . Po podstawieniu wartoÅ›ci otrzymujemy, że tan 5Øß = 0,0489, wiÄ™c 5Øß = 2,39°.
5ØEÜ
5
III. Wnioski
Przeprowadzone obserwacje pozwoliły zaobserwować zjawisko rezonansu w szeregowym układzie
LC, jednakże obliczone wartości różniły się w wielu przypadkach od pierwotnie założonych. Oprócz
usterek w przeprowadzaniu samego ćwiczenia (trudności z ustaleniem dokładnej wartości
częstotliwości, czy napięcia wymuszającego) wpływ na taki stan rzeczy miała również ograniczona
dokładność kondensatora kaskadowego użytego w doświadczeniu. Mianowicie, w obserwacjach
zostaÅ‚a użyta wartość 5Ø6Ü = 85Ø[Ü5Ø9Ü. Wartość ta nie odpowiada dokÅ‚adnie pojemnoÅ›ci, która zostaÅ‚a
obliczona przed przeprowadzeniem zadania - musiała zostać zaokrąglona, ponieważ użyty
kondensator miał najmniejszą podziałkę 1nF.
Obliczona wartość przesunięcia fazowego jest bliska zeru, co zgadza się z teorią, mówiącą, że
przesunięcie w idealnym układzie rezonującym jest równe 0.
6