Wykład 15.
Elektryczność i magnetyzm. Równania Maxwella
Ciekawe strony internetowe:
http://en.wikipedia.org/wiki/ (* wikipedia *)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/
http://www.falstad.com/mathphysics.html
(* komputerowe demonstracje fizyczne*)
1. Prawo indukcji Faradaya
Cyrkulacja, krą\
enie pola elektrycznego definiujemy w sposób następujący
(patrz rysunek)
Rys 1.1 Cyrkulacja pola elektrycznego
B B
r r r r
E dl = E cos(E, dl ) dl
+" +"
(1.1.1)
A A
Prawo Faradaya mówi, \
e cyrkulacja pola elektrycznego wywołana jest zmianą
pola magnetycznego.
r
r
dŚB
E dl = -
+" (1.1.2)
dt
Po podstawieniu definicji strumienia pola magnetycznego otrzymamy
następującą postać prawa Faraday a:
1
r
r r r
d
+"E dl = - dt +"B dA
(1.1.3)
C A
gdzie kontur C obejmuje powierzchnię A.
Jest to postać całkowa prawa Faraday a. Postać ró\
niczkowa wygląda
następująco:
r
r
"B
rot E = -
(1.1.4)
"t
Prawo Faradaya mówi, \
e zmiana pola magnetycznego powoduje powstanie
pola elektrycznego. Znak minus występujący w równaniach 1.1.3 i 1.1.4 jest to
reguła Lentza. Pole elektryczne wzbudzane jest w takim kierunku, aby
przeciwdziałać zmianie pola magnetycznego, która go wywołała.
Rys. 1.1 Reguła Lentza.
1.1 Indukcja własna
Wez
my cewkę indukcyjną N zwojach. Je\
eli prąd przepływający przez
uzwojenie zmienia się, to zgodnie z prawe Faradaya zmienia się strumień pola
magnetycznego, czyli w uzwojeniu cewki indukuje się siła elektromotoryczna
indukcji SEM równa:
2
dŚB
�SEM = -N
(1.1.5)
dt
Ostatecznie otrzymujemy wzór:
dI
�SEM = -L
(1.1.6)
dt
gdzie I  natę\
enie prądu płynącego w uzwojeniu cewki, L  współczynnik
indukcji, indukcyjność zwojnicy.
1.2 Indukcja wzajemna
Gdy mamy cewki, zmiana prądu w jednej mo\
e powodować indukowanie siły
elektromotorycznej SEM w drugiej cewce. Strumień przechodzący przez drugą
cewkę jest proporcjonalny do zmian prądu w pierwszej cewce (i na odwrót).
dI2
�1 = -M12
(1.1.7a)
dt
dI1
�2 = -M21
(1.1.7b)
dt
gdzie M12, M21  współczynniki indukcji wzajemnej.
W idealnych warunkach, gdy cały strumień pola wytwarzany przez pierwszą
zwojnicę przenika przez uzwojenie drugiej zwojnicy wtenczas współczynnik
M12 jest równy:
M12 = L1 L2
(1.1.8a)
W rzewistości zawsze mamy straty, stąd
M12 < L1 L2
(1.1.8b)
3
Prawo Faradayą jest niezwykle wa\
ne ze względu na swoje reperkusje. Mo\
na
powiedzieć, \
e przemył energetyczny, elektromaszynowy oparty jest na
zastosowaniach prawa Faradaya w takich dziedzinach jak: silniki elektryczne,
generatory prądu, transformatory i wiele innych.
2. Równania Maxwella
James Clerk Maxwell (1831  1879)
Równania Maxwella: zbiór czterech równań, zebranych przez J. C. Maxwella,
opisujących zachowanie pola elektrycznego i magnetycznego oraz ich
oddziaływanie z materią.
4
Tabela 1. Równania Maxwella.
forma ró\
niczkowa forma całkowa
r r r
I prawo Gaussa
div D = �
(dla pola +"D dA = Q
A
elektrycznego)
r r r
II prawo Gaussa
div B = 0
(dla pola +"B dA = 0
A
magnetycznego)
r
r
III prawo Fradaya r r r
r d
"B
E dl = - B dA
rot E = -
+" +"
dt
"t l A
r
r
IV prawo Ampera r r r r
r
r "D
r
"D
H dl = j dA + dA
(uzupełnione
+" +" +"
rot H = j +
"t
l A A
przez Maxwella)
"t
Pierwsze równanie Maxwella: pole elektryczne jest polem z
ródłowym, istnieją
ładunki elektryczne.
Drugie równanie Maxwella: pole magnetyczne jest polem bezz
ródłowym, nie
istnieją monopole magnetyczne.
Trzecie równanie Maxwella to prawo Faradaya o indukcji. Zmienne pole
magnetyczne powoduje powstanie pola elektrycznego.
Czwarte równanie Maxwella to prawo Ampera z dodanym członem
odpowiedzialnym za tzw. prąd przesunięcia. Prądy i zmienne pole elektryczne
powodują powstanie pola magnetycznego.
Znaczenie wielkości występujących w równaniach Maxwella:
Tabela 2. Oznaczenia u\
yte w równaniach Maxwella.
Oznaczenie Nazwa Powiązania
r
natę\
enie pola elektrycznego
E
r r
r
indukcja pola elektrycznego
D = �0� E
D
r
natę\
enie pola magnetycznego
H
r r
r
indukcja pola magnetycznego
B = �0 � H
B
r
gęstość prądu
j
� gęstość ładunku
5
r
ró\
niczkowy element powierzchni,
dA
normalny do tej powierzchni
r
ró\
niczkowy element krzywej L
dl
zawierającej powierzchnię A
operator dywergencji (z
ródłowości)
div lub " �"
operator rotacji (cyrkulacji, krą\
enia)
rot lub " �
1
c =
�0 ,�0 przenikalność magnetyczna, elektryczna,
pró\
ni
� �0
0
względna przenikalność magnetyczna,
�, �
elektryczna, materiału
Konsekwencje równań Maxwella.
2.1 Zasada zachowania ładunku
Z równań Maxwella mo\
na otrzymać związek między natę\
eniem prądu a
zmianą ładunku. Opisuje to równanie:
r
"�
div j = -
(1.2.3)
"t
Całkowity prąd wypływające przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy
zmianie ładunku (ze znakiem minus) wewnątrz tej powierzchni.
Jest to treść zasady zachowania ładunku.
2.2 Pole elektromagnetyczne w pró\
ni
W pró\
ni, w nieobecności ładunków i prądów, równania Maxwella przybiorą
postać:
r
div D = 0
r
div B = 0
r
r
"B
rot E = -
(2.2.1)
"t
6
r
r
"D
rot H =
"t
gdzie związek między natę\
eniem a indukcją pola jest następujący:
r r
D = �0E
r r
B = �0 H
(2.2.2)
Układ równań ró\
niczkowych (2.2.1) sprowadza się do równania fali, które dla
przypadku fali jednowymiarowej przybiera postać:
"2E 1 "2E
=
(2.2.3)
"x2 c2 "t2
przykład równania dla pola elektrycznego. Analogiczne równanie dla pola
magnetycznego.
Rozwiązaniem równania 2.2.3 jest zmienne pole elektryczne i magnetyczne o
równaniu, odpowiednio:
E = E0 sin(�t - kx)
B = B0 sin(�t - kx)
(2.2.4)
oczywiście dotyczy to przypadku fali jednowymiarowej.
Zgodnie z równaniami Maxwella iloraz amplitud pola amgnetyczngo i
elektrycznego jest związana zale\
nością:
E0
= c
(2.2.5)
B0
7
gdzie c  prędkość światła. Pole magnetyczne jest prostopadłe do pola
elektrycznego, zaś iloczyn wektorowy E x B wyznacza kierunek propagacji fali
elektromagnetycznej
Przykład fali elektromagnetycznej ukazuje rysunek poni\
ej.
Rys. Fala elektromagnetyczna
Widmo fal elektromagnetycznych
Rys. Fale elektromagnetyczne, spektrum.
8
 9