ÿþW y m i a n a c i e p Ba p r z e z p r z e w o d z e n i e .
P r o c e s w y m i a n y c i e p Ba p r z e z p r z e g r o d j e d n o w a r s t w o w
1
1 1 2 , 8 5
P O Z . 4 . 5
+
0 , 0 0 = 1 1 2 , 8 7
-
P O Z . 4 . 3 . 1
P O Z .
N A D C I G
O b s z a r y j e d n o k i e r u n k o w e g o p r z e p By w u c i e p Ba w b u d y n k u
2
P r z e p By w c i e p Ba p r z e z o b s z a r y z a b u r z e D g e o m e t r i i p r z e g r o d y .
3
P r z e w o d z e n i e c i e p Ba w c i a Ba c h s t a By c h w s p o s ó b i l o [c i o w y o p i s u j e e m p i r y c z n e
p r a w o F o u r i e r a :
q = - lð g r a d t ,
g d z i e :
q - w e k t o r g s t o [c i s t r u m i e n i a c i e p l n e g o ,
lð - w s p ó Bc z y n n i k p r z e w o d z e n i a c i e p Ba ,
t - t e m p e r a t u r a .
4
W o g ó l n y m p r z y p a d k u , w k a r t e z j a Ds k i m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h , w e k t o r q m a
t r z y s k Ba d o w e , q x , q y i q z , p r z y c z y m :
¶ðt
q x =ð -ðlð
¶ðx
¶ðt
q y =ð -ðlð
¶ðy
¶ðt
q z =ð -ð lð
¶ðz
5
P r z e w o d z e n i e c i e p Ba p r z e z e l e m e n t a r n y p r o s t o p a d Bo [c i a n c i a Ba s t a Be g o .
6
P r z e z p o w i e r z c h n i o d l e g B o x o d p o c z t k u u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h d o p By w a d o
e l e m e n t u , w c z a s i e d tð , i l o [ c i e p Ba :
p r z e z p o w i e r z c h n i z a [ o d l e g B o x + d x o d p By w a c i e p Bo :
éð ùð
¶ðq x
'
d Q x ' =ð +ð d x úð d y d z d tð
êðq x
¶ðx ûð
ëð
7
R ó |n i c a m i d z y i l o [c i c i e p Ba d o p By w a j c e g o a i l o [c i c i e p Ba o d p By w a j c e g o z
e l e m e n t u w k i e r u n k u o s i O X u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h , w y n o s i :
g d z i e :
j e s t o b j t o [c i r o z p a t r y w a n e g o p r o s t o p a d Bo [c i a n u .
8
P o d o b n i e , r ó |n i c a p o m i d z y i l o [c i c i e p Ba d o p r o w a d z o n e g o a i l o [c i c i e p Ba
o d p r o w a d z o n e g o z e l e m e n t u w k i e r u n k u o s i O Y u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h w y n o s i :
9
i o d p o w i e d n i o w k i e r u n k u o s i O Z u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h :
1 0
M i a r n a t |e n i a w y d z i e l a n i a s i e n e r g i i w e w n t r z n e g o zr ó d Ba j e s t t z w .
w y d a j n o [ |r ó d Ba c i e p Ba q v , k t ó r a j e s t r ó w n a :
g d z i e :
Dð Q h - c i e p Bo w y d z i e l a j c e w c i g u j e d n o s t k i c z a s u w o b j t o [c i
DðV r o z w a |a n e g o u k Ba d u .
1 1
B i l a n s e n e r g e t y c z n y p r o s t o p a d Bo [c i a n u o d n i e s i o n y d o o k r e s u c z a s u d tð z
u w z g l d n i e n i e m m o |l i w o [c i w e w n t r z n e g o w y d z i e l a n i a s i c i e p Ba m o |n a w y r a z i
o p i s o w o w n a s t p u j c y s p o s ó b :
c i e p Bo d o p r o w a d z o n e d o p r o s t o p a d Bo [c i a n u c i e p Bo
o d p r o w a d z o n e z p r o s t o p a d Bo [c i a n u + c i e p Bo w y d z i e l o n e w
e l e m e n c i e =
= p r z y r o s t e n e r g i i w e w n t r z n e j p r o s t o p a d Bo [c i a n u + p r a c a
z e w n t r z n a .
1 2
M a t e m a t y c z n y m w y r a |e n i e m b i l a n s u e n e r g e t y c z n e g o j e s t w i c r ó w n a n i e :
1 3
C z Bo n r ó w n a n i a b i l a n s u c i e p l n e g o :
o z n a c z a p r z y r o s t e n t a l p i i p r o s t o p a d Bo [c i a n u w c z a s i e d tð , g d y | j e g o t e m p e r a t u r a
u l e g n i e w ó w c z a s z m i a n i e o :
1 4
P o d s t a w i a j c p o p r z e d n i o o t r z y m a n e w y r a |e n i e n a r ó |n i c e i l o [c i c i e p Ba d Q x - d Q x ,
d l a p o s z c z e g ó l n y c h k i e r u n k ó w g Bó w n y c h u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h , r ó w n a n i e b i l a n s u
m o |n a p r z e d s t a w i w n a s t p u j c e j p o s t a c i :
1 5
S k r a c a j c c a Be r ó w n a n i e p r z e z d V d tð o r a z p o d s t a w i a j c w a r t o [c i q x , q y i q z
o t r z y m u j e s i :
éð ùð
¶ð ¶ðt ¶ð ¶ðt ¶ð ¶ðt ¶ðt
éðlð ùð éðlð ùð
+ð +ð +ð q v =ð c p rð
êðlð úð
êð úð êð úð
¶ðx ¶ðx ¶ðy ¶ðy ¶ðz ¶ðz ¶ðtð
ëð ûð ëð ûð
ëð ûð
J e s t t o o g ó l n e r ó w n a n i e p r z e w o d z e n i a c i e p Ba w c i e l e i z o t r o p o w y m z u w z g l d n i e n i e m
w e w n t r z n e g o w y d z i e l a n i a s i c i e p Ba .
1 6
W w i k s z o [c i p r z y p a d k ó w p r a k t y c z n y c h m o |n a z a Bo |y , |e p r z y n a j m n i e j w p e w n y m
o b s z a r z e z m i e n n o [c i t e m p e r a t u r , w a r t o [ p r z e w o d n o [c i c i e p l n e j n i e z a l e |y o d
t e m p e r a t u r y i j e s t s t a Ba .
lð(ðt )ð =ð c o n s t
1 7
P r z y j c i e w a r u n k u lð( t ) = c o n s t p o z w a l a s p r o w a d z i r ó w n a n i e p r z e w o d n i c t w a
c i e p l n e g o d o r ó w n a n i a l i n i o w e g o o p o s t a c i :
lð q v ¶ðt
Ñð2 t +ð =ð ,
c p rð c p rð ¶ðtð
g d z i e :
¶ð2 ¶ð2 ¶ð2
Ñð2 =ð +ð +ð
, j e s t s y m b o l e m l a p l a s j a n u d r u g i e g o r z d u
¶ðx 2 ¶ðy 2 ¶ðz 2
1 8
W w i k s z o [c i z a g a d n i e D f i z y k i b u d o w l i m o |n a p r z y j z d o s t a t e c z n d o k Ba d n o [c i ,
|e c i e p Bo w Ba [c i w e m a t e r i a Bu n i e z a l e |y o d t e m p e r a t u r y :
¶ðc
=ð 0 ,
¶ðt
O z n a c z a j c :
- t z w . w s p ó Bc z y n n i k w y r ó w n y w a n i a t e m p e r a t u r y o r a z
- n a t |e n i e zr ó d e B c i e p l n y c h n a j e d n o s t k o b j t o [c i i j e d n o s t k
c z a s u ,
1 9
M o |n a r ó w n a n i e p r z e w o d n i c t w a c i e p l n e g o z a p i s a w p o w s z e c h n i e s t o s o w a n e j
p o s t a c i :
¶ðt
=ð a Ñð2 t
¶ðtð
r ó w n a n i a p r z e w o d n i c t w a c i e p l n e g o b e z zr ó d e B, o r a z w p o s t a c i :
¶ðt w
=ð a Ñð2 t +ð ,
¶ðtð c p rð
t z w . r ó w n a n i a d y f u z j i l u b p r z e w o d n i c t w a c i e p l n e g o z e zr ó d Ba m i .
2 0
R o z w i z a n i e r ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e g o p r z e w o d n i c t w a c i e p l n e g o w d o w o l n y m c i e l e
s t a By m l u b u k Ba d z i e c i a B p o l e g a n a o k r e [l e n i u p o l a t e m p e r a t u r y , t j . p o d a n i a z a l e |n o [c i
f u n k c y j n e j t e m p e r a t u r y o d w s p ó Br z d n y c h p r z e s t r z e n n y c h i c z a s u w p o s t a c i :
g d z i e :
r - w e k t o r o k r e [l a j c y p o Bo |e n i e p u n k t u w w y b r a n y m
u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h .
2 1
J e |e l i t e m p e r a t u r a z a l e |y o d c z a s u , t o p o l e t e m p e r a t u r y n o s i n a z w n i e u s t a l o n e g o
( l u b n i e s t a c j o n a r n e g o ) .
J e |e l i t e m p e r a t u r a w k a |d y m p u n k c i e j e s t s t a Ba w c z a s i e :
¶ð
f ( x , y , z , tð ) =ð 0
¶ðtð
t o p o l e t e m p e r a t u r y n a z y w a s i j a k o u s t a l o n e l u b s t a c j o n a r n e .
2 2
U s t a l o n e p o l e r o z k Ba d u t e m p e r a t u r y u z y s k u j e s i j e j a k o r o z w i z a n i e r ó w n a n i a
p r z e w o d n i c t w a , w k t ó r y m t e m p e r a t u r a n i e z a l e |y o d c z a s u :
Ñð2 t =ð 0 - r ó w n a n i e L a p l a c e a
l u b
w
Ñð2 t +ð =ð 0 r ó w n a n i e P o i s s o n a .
lð
2 3
P r o w a d z c d a l e j r o z w a |a n i a z m i e r z a j c e d o u p r o s z c z e n i a m o d e l u m a t e m a t y c z n e g o
p r z e w o d z e n i a c i e p Ba , m o |n a p r z y j z a Bo |e n i e , |e d l a l i c z n y c h z a g a d n i e D
t e m p e r a t u r a e l e m e n t ó w b u d o w l i z m i e n i a s i w z d Bu | t y l k o j e d n e j o s i u k Ba d u
w s p ó Br z d n y c h , a w z d Bu | p o z o s t a By c h n i e o d b y w a s i p r z e p By w c i e p Ba :
¶ðt ¶ðt
=ð =ð 0 ,
¶ðy ¶ðz
i s t d :
P o l e t e m p e r a t u r y o p i s a n e p o w y |s z y m r ó w n a n i e m n a z y w a m y j e d n o w y m i a r o w y m .
2 4
W m i e j s c a c h z a b u r z e D g e o m e t r i i e l e m e n t u ( n p . w n a r o |a c h p o m i e s z c z e D) l u b
m i e j s c a c h n i e j e d n o r o d n e j b u d o w y e l e m e n t ó w c z s t o j e s t k o n i e c z n e j e s t
r o z p a t r y w a n i e d w u w y m i a r o w e g o p o l a t e m p e r a t u r y , n a j c z [c i e j u s t a l o n e g o , p o s t a c i :
W o g ó l n y m p r z y p a d k u , g d y p r z e p By w c i e p Ba m a c h a r a k t e r t r ó j w y m i a r o w y i
n i e s t a c j o n a r n y , r o z w i z a n i e r ó w n a n i a p r z e w o d n i c t w a c i e p l n e g o w y m a g a o k r e [l e n i a
w a r u n k u p o c z t k o w e g o .
2 5
P o d p o j c i e m w a r u n k u p o c z t k o w e g o n a l e |y r o z u m i e p o l e r o z k Ba d u t e m p e r a t u r y w
r o z p a t r y w a n y m o b s z a r z e w c h w i l i tð = 0 :
P o z a w a r u n k i e m p o c z t k o w y m , r o z w i z a n i e s z c z e g ó l n e n i e s t a c j o n a r n e g o r ó w n a n i a
p r z e w o d n i c t w a c i e p l n e g o w y m a g a o k r e [l e n i a w a r u n k ó w j e d n o z n a c z n o [c i
r o z w i z a n i a , k t ó r e n a z y w a m y w a r u n k a m i b r z e g o w y m i .
W a r u n k i b r z e g o w e o p i s u j s p o s ó b w y m i a n y c i e p Ba n a g r a n i c y o b s z a r u o
j e d n o r o d n y c h c e c h a c h c i e p l n y c h , w k t ó r y m p r z e w o d z e n i e c i e p Ba j e s t o p i s a n e
j e d n y m r ó w n a n i e m .
2 6
W p r a c a c h p o d s t a w o w y c h n a t e m a t t e o r i i p r z e w o d n i c t w a c i e p l n e g o w y r ó |n i a s i
n a s t p u j c e p r z y p a d k i w a r u n k ó w b r z e g o w y c h :
- w a r u n e k b r z e g o w y I r o d z a j u
s t a Be
t F ( )
m a m i e j s c e g d y z n a n y j e s t r o z k Ba d t e m p e r a t u r y n a b r z e g u o b s z a r u w
d o w o l n e j c h w i l i :
2 7
- w a r u n e k b r z e g o w y I I r o d z a j u
s t a Be
q F ( )
m a m i e j s c e g d y z n a n y j e s t r o z k Ba d g s t o [c i s t r u m i e n i a c i e p l n e g o
n a b r z e g u o b s z a r u w d o w o l n e j c h w i l i :
2 8
- w a r u n e k b r z e g o w y I I I r o d z a j u
q p q k
m a m i e j s c e g d y w y m i a n a c i e p Ba n a b r z e g u o b s z a r u o d b y w a s i w e d Bu g
p r a w a N e w t o n a :
g d z i e :
t c - t e m p e r a t u r a o t a c z a j c e g o o [r o d k a ;
2 9
- w a r u n e k b r z e g o w y I V r o d z a j u
o b e j m u j e w a r u n k i c i g Bo [c i t e m p e r a t u r y i g s t o [c i s t r u m i e n i a c i e p l n e g o n a
b r z e g u w s p ó l n y m d l a o b s z a r ó w , w k t ó r y c h p r z e w o d z e n i e c i e p Ba j e s t o p i s a n e
r ó |n y m i r ó w n a n i a m i n p . w s k u t e k r ó |n y c h w Ba [c i w o [c i c i e p l n y c h m a t e r i a Bó w :
3 0
U s t a l o n e p r z e w o d z e n i e c i e p Ba .
R o z w a |m y p r z y p a d e k p r z e w o d z e n i a c i e p Ba p r z e z w a r s t w m a t e r i a Bu o g r a n i c z o n
d w i e m a r ó w n o l e g By m i p Ba s z c z y z n a m i , p r z y c z y m p r z e p By w c i e p Ba o d b y w a s i w
k i e r u n k u w y Bc z n i e p r o s t o p a d By m d o p Ba s z c z y z n o g r a n i c z a j c y c h t w a r s t w .
R o z k Ba d t e m p e r a t u r y n a g r u b o [c i j e d n o r o d n e j w a r s t w y
m a t e r i a Bu p r z y w a r u n k a c h b r z e g o w y c h I r o d z a j u .
3 1
Z a k Ba d a s i , |e w s p ó Bc z y n n i k p r z e w o d z e n i a c i e p Ba j e s t s t a By n a c a Be j g r u b o [c i
w a r s t w y . W t a k i m p r z y p a d k u r ó w n a n i e u s t a l o n e g o p r z e p By w u c i e p Ba ( r ó w n a n i e
L a p l a c e , a ) s p r o w a d z a s i d o p o s t a c i :
2
d t
=ð 0 ,
d x 2
i m a r o z w i z a n i e o g ó l n e , w y z n a c z o n e p r z e z d w u k r o t n e c a Bk o w a n i e :
P o s t a s t a By c h A i B z a l e |y o d t y p u w a r u n k ó w b r z e g o w y c h .
3 2
D l a w a r u n k u b r z e g o w e g o I r o d z a j u n a p o w i e r z c h n i a c h g r a n i c z n y c h , w p o s t a c i :
s t a Be c a Bk o w a n i a s r ó w n e :
S t d r o z w i z a n i e d a n e j e s t w z o r e m :
3 3
D l a w a r u n k u b r z e g o w e g o I I I r o d z a j u n a o b u p o w i e r z c h n i a c h g r a n i c z n y c h w
p o s t a c i :
d t
-ð lð =ð að1 [ðt 1 -ð t (ð0 )ð]ð
x = 0 ,
d x
d t
-ð lð =ð að2 [ðt (ðd )ð-ð t 2 ]ð
x = d ,
d x
g d z i e :
t 1 , t 2 - t e m p e r a t u r y o [r o d k ó w r o z d z i e l o n y c h [c i a n k ,
að1 , að2 - w s p ó Bc z y n n i k i p r z e j m o w a n i a c i e p Ba n a
p o w i e r z c h n i a c h ,
3 4
s t a Be c a Bk o w a n i a s r ó w n e :
t 2 -ð t 1
B =ð t 1 +ð U
að1
t 2 -ð t 1
A =ð U
lð
g d z i e :
1
U =ð
1 d 1
+ð +ð
að1 lð að2
W i e l k o [ U , k t ó r a o p i s a n a j e s t p o w y |s z y m w z o r e m , n a z y w a m y w s p ó Bc z y n n i k i e m
p r z e n i k a n i a c i e p Ba .
3 5
P o d s t a w i a j c s t a Be c a Bk o w a n i a d o r o z w i z a n i a o g ó l n e g o , m o |n a p r z e d s t a w i p o s t a
r o z w i z a n i a s z c z e g ó l n e g o r ó w n a n i a p r z e w o d n i c t w a c i e p l n e g o d l a p r z y j t y c h
z a Bo |e D:
t 2 -ð t 1 t 2 -ð t 1
t ( x ) =ð t 1 +ð U +ð U x
að1 lð
O p i e r a j c s i n a p r a w i e F o u r i e r a , m o |n a o b l i c z y g s t o [ s t r u m i e n i a c i e p l n e g o ,
p r z e p By w a j c e g o p r z e z w a r s t w w o m ó w i o n y c h w a r u n k a c h :
- d l a w a r u n k ó w b r z e g o w y c h I r o d z a j u n a p o w i e r z c h n i a c h g r a n i c z n y c h :
3 6
d t t 2 -ð t 1
q =ð -ðlð =ð
d x R
g d z i e :
d
R =ð - o p ó r p r z e w o d z e n i a c i e p Ba ,
lð
- d l a w a r u n k ó w b r z e g o w y c h I I I r o d z a j u n a p o w i e r z c h n i a c h
g r a n i c z n y c h
t 2 -ð t 1
q =ð U (ðt 2 -ðt 1 )ð =ð
R k
g d z i e :
1
R k =ð - o p ó r p r z e w o d z e n i a c i e p Ba .
U
3 7
W s p ó Bc z y n n i k p r z e n i k a n i a c i e p Ba U c h a r a k t e r y z u j e s t a t y c z n p r a c p r z e g r ó d
z e w n t r z n y c h . W r z e c z y w i s t o [c i p r z e g r o d y , n a s k u t e k z m i e n n y c h w c z a s i e
w y m u s z e D z e w n t r z n y c h ( t a k i c h j a k t e m p e r a t u r a p o w i e t r z a z e w n t r z n e g o i
w e w n t r z n e g o , p r d k o [ w i a t r u w s p ó Bc z y n n i k p r z e j m o w a n i a c i e p Ba ) p r a c u j j a k o
u k Ba d y d y n a m i c z n e . W p e w n y c h w a r u n k a c h m o |e d o p r o w a d z i d o w y s t p i e n i a
b a r d z o d u |y c h b Bd ó w w o c e n i e t e r m o i z o l a c y j n o [c i p r z e g r o d y .
3 8
U s t a l o n e p r z e w o d z e n i e c i e p Ba p r z e z [c i a n k w i e l o w a r s t w o w .
R o z k Ba d t e m p e r a t u r y n a g r u b o [c i [c i a n k i w i e l o w a r s t w o w e j .
3 9
W k a |d e j z w a r s t w g s t o [ s t r u m i e n i a c i e p Ba o k r e [l o n a j e s t w z o r e m :
Dðt
j
q =ð
R j
s t d r ó |n i c t e m p e r a t u r y n a p o w i e r z c h n i a c h [c i a n k i w y z n a c z a m y j a k o :
a r ó |n i c t e m p e r a t u r y n a p o w i e r z c h n i a c h [c i a n k i w i e l o w a r s t w o w e j
Dðt =ð
åðDðt =ð q åðR
j j
j j
4 0
W z w i z k u z p o w y |s z z a l e |n o [c i , d l a [c i a n k i w i e l o w a r s t w o w e j o p ó r
p r z e w o d z e n i a c i e p Ba j e s t s u m o p o r ó w p o s z c z e g ó l n y c h w a r s t w , j a k i c o Ba t w o
u d o w o d n i o p o r ó w c i e p l n y c h s z c z e l i n p o w i e t r z n y c h .
S t d t e | w s p ó Bc z y n n i k p r z e n i k a n i a c i e p Ba d l a [c i a n k i w i e l o w a r s t w o w e j w y r a |a s i
w z o r e m :
1
U =ð
1 1
+ð +ð
åðR j
að1 j að2
P o w y |s z e w y p r o w a d z e n i e w z o r u o p i s u j c e g o p r z e w o d z e n i e c i e p Ba m o |n a
p r z e p r o w a d z i r ó w n i e | i n a c z e j ( b d z i e o n o n a w e t b a r d z i e j p o p r a w n e z
m a t e m a t y c z n e g o p u n k t u w i d z e n i a ) .
4 1
R o z w i z a n i e m o |n a o s i g n p o p r z e z r o z w i z a n i e u k Ba d u r ó w n a D L a p l a c e a :
2
ìðd t 1
=ð 0
ïð
d x 2
ïð
2
ïðd t 2 =ð 0
ïð
d x 2
íð
ïð. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ïð
2
d t n
ïð
=ð 0
ïð
îð d x 2
g d z i e :
n - n u m e r w a r s t w o w y .
4 2
W a r u n k a m i j e d n o z n a c z n o [c i r o z w i z a n i a s w a r u n k i b r z e g o w e t r z e c i e g o r o d z a j u n a
b r z e g a c h [c i a n k i :
d t
x = 0 , -ð lð =ð að1 [ðt 1 -ð t ( 0 ) ]ð ,
d x
d t
x = d , -ð lð =ð aðn [ðt ( d ) -ð t n ]ð ,
d x
4 3
N a p o w i e r z c h n i a c h s t y k u m i d z y p o s z c z e g ó l n y m i w a r s t w a m i n a l e |y p r z y j
w a r u n k i b r z e g o w e c z w a r t e g o r o d z a j u :
W s p ó Bc z y n n i k p r z e n i k a n i a c i e p Ba U p r z e w a |n i e o b l i c z a s i d l a p r z e g r ó d
z e w n t r z n y c h , o d d z i e l a j c y c h p o w i e t r z e w e w n t r z n e o t e m p e r a t u r z e t i o d
z e w n t r z n e g o o t e m p e r a t u r z e t e .
4 4
T e m p e r a t u r p o w i e r z c h n i w e w n t r z n e j ( o d s t r o n y n a p By w u c i e p Ba ) m o |n a w y l i c z y
z e w z o r u :
a n a s t y k u j t e j i j + 1 w a r s t w y ( n u m e r u j c w a r s t w y o d s t r o n y n a p By w u c i e p Ba )
o b l i c z a m y z e w z o r u :
4 5
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