Wiskozymetr rotacyjny (M17) 57
1.8 Wiskozymetr rotacyjny (M17)
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy w temperaturze
pokojowej.
Zagadnienia do przygotowania:
 lepkość;
 wiskozymetr rotacyjny.
Literatura podstawowa: [1], [2], [5], [7].
1.8.1 Podstawowe pojęcia i definicje
Główną właściwością, która odróżnia płyn (ciecz, gaz, plazmę) od ciała stałego
jest to, że w płynie nie może się utrzymywać przez żaden skończony czas naprężenie
ścinające. Jeżeli poddamy płyn naprężeniom ścinającym, spowodują one jego ruch. Tą
właściwość nazywamy lepkością (tarciem wewnętrznym). Ilościowo naprężenia ścinają-
ce charakteryzuje współczynnik lepkoÅ›ci ·, stanowiÄ…cy współczynnik proporcjonalnoÅ›ci
w podanej przez Newtona zależności
"F "Å
= · . (1.8.1)
"S "l
Wzór ten wiąże stosunek siły "F wzajemnego oddziaływania stycznego dwóch płaskich
elementów równoległych warstw płynu do pola powierzchni "S każdego z nich, ze
stosunkiem różnicy prÄ™dkoÅ›ci "Å tych elementów do dzielÄ…cej je odlegÅ‚oÅ›ci "l (rysunek
1.8.1). W ukÅ‚adzie SI jednostkÄ… współczynnika lepkoÅ›ci · jest N · s · m-2 = P a · s.
F

l
S
Rys. 1.8.1: Rozkład prędkości płynu pomiędzy dwoma płaskimi, równoległymi, poruszającymi
się względem siebie elementami.
Obraz mikroskopowy
Z punktu widzenia teorii cząsteczkowej lepkość tłumaczy się wymianą pędu mię-
dzy równoległymi, przylegającymi do siebie warstwami płynu. Wymiana ta zachodzi
58 Mechanika
wskutek przedostawania siÄ™ czÄ…steczek z jednej warstwy do drugiej. CzÄ…steczki opusz-
czające warstwę poruszającą się wolniej powodują zmniejszanie pędu warstwy szybszej
do której przechodzą. Analogicznie cząsteczki z warstwy szybszej powodują wzrost
pędu warstwy wolniejszej.
Współczynnik lepkości zależy od temperatury ośrodka. Ze wzrostem temperatu-
ry rośnie chaotyczny ruch cząstek, co prowadzi do zwiększenia wymiany cząsteczek.
Powoduje to, że współczynnik lepkości gazu rośnie wraz z temperaturą. W cieczach
wzajemnemu przesuwaniu się sąsiednich warstw przeciwdziałają siły spójności i ruchy
takie są możliwe głównie dzięki ruchliwości cząsteczek przenikających z jednej warstwy
do drugiej. W tym przypadku nasilajÄ…ca siÄ™ wraz ze wzrostem temperatury wymiana
cząsteczek między warstwami powoduje zmniejszanie współczynnika lepkości wraz ze
wzrostem temperatury.
Podczas ruchu płynu lepkiego występuje przekształcanie części jego energii kine-
tycznej w energię kinetyczną bezładnego ruchu cząsteczek. Oznacza to, że następuje
ogrzewanie się płynu. Jest to zjawisko dyssypacji, czyli rozpraszania koherentnej energii
kinetycznej płynu jako całości.
Wiskozymetr rotacyjny
Schemat wiskozymetru rotacyjnego przedstawiony jest na rysunku 1.8.2. Zasadni-
czą częścią wiskozymetru jest walec wewnętrzny o średnicy zewnętrznej da i wysokości
lw oraz walec zewnętrzny o średnicy wewnętrznej db i głębokości lg. Wąska przestrzeń
pomiędzy walcami wypełniona jest warstwą badanej cieczy o grubości d i wysokości
l = lw - "l, przy czym db = da + 2d. Pod walcem wewnętrznym również znajduje się
badana ciecz o grubości dd = lg + "l - lw. Walec wewnętrzny zakończony jest szpulką
o średnicy dc. Nić wychodząca ze szpulki przechodzi przez bloczek i jest zakończona
szalką o masie ms z ciężarkiem o masie m. Zaraz po starcie szalka z ciężarkiem po-
rusza się ruchem przyspieszonym i za pośrednictwem nici wprawia walec wewnętrzny
w ruch obrotowy przyspieszony. Jednak ze wzrostem prędkości obrotowej rosną siły
lepkości hamujące walec. W końcu ustala się stan równowagi, w którym walec porusza
siÄ™ ruchem obrotowym jednostajnym, a szalka ruchem prostoliniowym jednostajnym.
Wtedy szalka w czasie t pokonuje odległość s pomiędzy fotokomórkami ustawionymi
na trasie jej ruchu.
Zagadnienie ruchu cieczy pomiędzy dwoma współśrodkowymi walcami opisane jest
w pracy [7]. Nie można w tym przypadku korzystać z prostego wzoru (1.8.1), po-
nieważ ciecz porusza się po okręgu. Trzeba wtedy stosować ogólniejszy wzór wiążący
naprężenie ścinania ze zmianami składowych prędkości cieczy w określonych kierun-
kach. Przykładowo naprężenie Sxy w płaszczyz
nie XY prostopadłej do osi walców ma
postać

"Åy "Åx
Sxy = · + . (1.8.2)
"x "y
Wiskozymetr rotacyjny (M17) 59
db
da
dc
d
l
lw lg l
m
ms
d
d
Rys. 1.8.2: Schemat wiskozymetru rotacyjnego.
Chcemy znalez
ć rozkład prędkości cieczy pomiędzy walcami. Zaczniemy od znalezienia
wzoru na naprężenie ścinające spowodowane lepkością cieczy, w odległości r od osi
(da/2 < r < db/2). Ze względu na symetrię zagadnienia można założyć, że istnieje
tu tylko przepływ w kierunku prostopadłym do płaszczyzn przechodzących przez oś
walców i że jego wielkość zależy tylko od promienia r, czyli Å = Å(r). Jeżeli obserwować
pyłek poruszający się wraz z wodą, w odległości r od osi, to jego współrzędne jako
funkcja czasu są równe
x = r cos(Ét), (1.8.3)
y = r sin(Ét), (1.8.4)
gdzie É(r) = Å(r)/r. SkÅ‚adowe prÄ™dkoÅ›ci w kierunkach x i y sÄ… wiÄ™c równe
Åx = -rÉ sin(Ét) = -Éy, (1.8.5)
Åy = rÉ cos(Ét) = Éx. (1.8.6)
60 Mechanika
Z równania (1.8.2) mamy:

"É "É
Sxy = · x - y . (1.8.7)
"x "y
Dla punktu o współrzÄ™dnej y = 0, "É/"y = 0 i x"É/"x jest równe rdÉ/dr. Dla tego
zatem punktu naprężenie ścinające w kierunku prostopadłym do płaszczyzny przecho-
dzÄ…cej przez oÅ› walca i oÅ› x wynosi:
dÉ
(Sxy)y=0 = ·r . (1.8.8)
dr
Moment siły, działający na powierzchnię walca utworzonego z cząstek cieczy w od-
ległości r od osi, można otrzymać mnożąc naprężenie ścinające przez ramię r i po-
wierzchnię 2Ąrl. Ponieważ liczona jest długość wektora momentu siły, to należy użyć
wartoÅ›ci bezwzglÄ™dnej |dÉ/dr|, ponieważ prÄ™dkość kÄ…towa może zarówno rosnąć jak
i maleć z promieniem r (wiÄ™c pochodna dÉ/dr może być dodatnia i ujemna). W wyni-
ku otrzymujemy:

dÉ

N1 = 2Ä„r2l (Sxy)y=0 = 2Ä„·lr3 . (1.8.9)

dr
Ponieważ ruch wody jest jednostajny  nie ma przyspieszenia kątowego  wypadkowy
moment siły działający na cylindryczną warstwę cieczy zawartą pomiędzy r a r + dr,
musi być równy zeru. Oznacza to, że moment siły działający w odległości r musi być
równoważony przez równy mu i skierowany przeciwnie moment siły w odelgłości r +dr,
czyli N1 musi być niezależne od r. Innymi sÅ‚owy, r3dÉ/dr jest równe jakiejÅ› staÅ‚ej, np.
C1 czyli:
dÉ C1
= . (1.8.10)
dr r3
CaÅ‚kujÄ…c znajdujemy, że É zmienia siÄ™ z r jak
C1
É = - + C2. (1.8.11)
2r2
Stałe C1 i C2 należy tak określić, aby spełnione zostały warunki brzegowe. Dla r = da/2
prędkość kątowa cieczy musi być równa prędkości kątowej wewnętrznego walca czyli
É = 2s/(tdc). Dla r = db/2 prÄ™dkość kÄ…towa cieczy musi być równa zero. Dostajemy
więc
d2d2s
a
b
C1 = , (1.8.12)
tdc(d2 - d2)
a
b
2sd2
a
C2 = . (1.8.13)
tdc(d2 - d2)
a
b
Wiskozymetr rotacyjny (M17) 61
Korzystając z wzorów (1.8.9), (1.8.10) oraz (1.8.12) otrzymujemy wyrażenie na moment
siły:
2Ä„·ld2d2s
a
b
N1 = 2Ä„·l |C1| = . (1.8.14)
tdc(d2 - d2)
a
b
Ruch walca wewnętrznego wywołany jest momentem siły (m+ms)gdc/2 pochodzącym
od szalki z ciężarkiem, gdzie g to przyspieszenie ziemskie. W czasie ruchu jednostajnego
walca ten moment siły musi być równy przeciwnie skierowanemu momentowi siły N1.
Z porównania momentów sił, po odpowiednich przekształceniach, otrzymujemy wzór
na zależność liniową odwrotności czasu przelotu od masy ciężarka na szalce
1
= Am + B, (1.8.15)
t

gd2 d2 - d2
c a
b
A = , B = Ams. (1.8.16)
4Ä„·lsd2d2
a
b
1.8.2 Przebieg pomiarów
Układ doświadczalny
Przyrządy: wiskozymetr rotacyjny, układ z fotokomórkami do pomiaru czasu prze-
lotu, suwmiarka, głębokościomierz, przymiar, odważniki, badana ciecz, termometr.
Przebieg doświadczenia
Zdjąć szalkę, a nitkę nawinąć na wiskozymetr. Odkręcić śrubę trzymającą walec
wewnętrzny oraz górną kopułę wiskozymetru. Wyjąć walec wewnętrzny i położyć go
poziomo na drewnianej podstawce. Ciecz zlać do zlewki do ponownego wykorzystania.
Należy uważać, aby nie uszkodzić łożyska znajdującego się na spodzie walca wewnętrz-
nego. Nie wolno kłaść walca bezpośrednio na płaskiej powierzchni stołu lub zlewu.
Nie wolno składać wiskozymetru na sucho (należy najpierw wlać ciecz do walca ze-
wnętrznego, a potem wkładać walec wewnętrzny). Umyć walce szczotką i płynem do
mycia naczyń, a następnie wysuszyć je przy pomocy wentylatora. Po umyciu nie wol-
no części wewnętrznych wiskozymetru wycierać szmatką lub watą. Wykonać pomiary
odpowiednich średnic i wysokości części wiskozymetru - da, db, dc, lg, lw.
Złożyć wiskozymetr podkładając na stole papierowe ręczniki, które wchłoną wyle-
wający się nadmiar cieczy. Do walca zewnętrznego wlać badaną ciecz. Ostrożnie wło-
żyć walec wewnętrzny i przez pewien czas wolno obracać go w celu rozprowadzenia
cieczy po szczelinie pomiędzy walcami i pozbycia się pęcherzyków powietrza. Dobrze
napełniony wiskozymetr poznajemy po widocznym menisku wypukłym wokół szcze-
liny pomiędzy walcami. Należy utrzymywać jednakową szerokość szczeliny pomiędzy
walcami, aby uniknąć wylania cieczy. Zmierzyć wielkość "l określającą poziom cieczy.
Zakręcić górną kopułę wiskozymetru z mocno wykręconą (lub zdjętą) śrubą.
62 Mechanika
Kluczową sprawą jest właściwe dokręcenie śruby. Walec wewnętrzny musi obra-
cać się wokół pionowej osi, a szczelina z cieczą między walcami musi być wszędzie
jednakowa. Należy jedną ręką przykręcać delikatnie śrubę, przytrzymując drugą ręką
walec w pozycji pionowej uważając na to, aby wystająca część łożyska znalazła się we
wgłębieniu śruby (można lekko obracać walec). Kiedy opór przy zakręcaniu śruby jest
wyczuwalny, śrubę należy lekko popuścić i trzymając ją zakręcić nakrętkę. Dobrze za-
kręcony wiskozymetr powinien poruszać się ruchem jednostajnym pod ciężarem pustej
szalki (lub z masą 1g). Wszelkie zatrzymania świadczą o złym przykręceniu łożyska,
zbyt małej ilości cieczy lub zabrudzeniu wiskozymetru w czasie składania.
Ustawić fotokomórki tak, aby szalka bez problemu je uruchamiała. Górna fotoko-
mórka powinna być tak ustawiona, aby ruch szalki z odważnikami był już jednostajny
po dotarciu do niej. Zmierzyć odległość s między fotokomórkami i wyznaczyć masę
szalki ms. Zmierzyć kilkakrotnie czasy przelotu szalki dla mas z zakresu od 1 g do 20
g. Na końcu odczytać temperaturę otoczenia, przy której wykonano ćwiczenie.
1.8.3 Opracowanie wyników
Dla każdej masy m obliczyć średni czas przelotu i jego odwrotność. Porównać ob-
liczoną niepewność przypadkową z niepewnością systematyczną (dokładność fotoko-
mórki). Metodą regresji liniowej obliczyć współczynniki A i B określone w równaniu
(1.8.15) oraz wyznaczyć ich niepewności pomiarowe.
Obliczyć średnie wartości da, db, dc, lg, lw, l, d, dd i ich niepewności. Używając
współczynnika A obliczyć współczynnik lepkoÅ›ci · i jego niepewność. Wyniki porównać
z tablicowymi wartościami dla wody, gliceryny i cieczy zbliżonych do badanej.
Obliczyć masę szalki ms = B/A i porównać ją z wartością zmierzoną bezpośred-
nio. Różnica tych dwóch wartości pozwala oszacować wielkość stałych oporów ruchu
wiskozymetru.
Można oszacować, czy wolno było zaniedbać wpływ cieczy pod walcem wewnętrz-
nym. Moment siły działający na boczną powierzchnię walca wynosi N1. Załóżmy, że
prędkość cieczy rośnie liniowo od dna do spodu walca wewnętrznego. Szacujemy mo-
ment siły "N2 pochodzący od cieczy, która znajduje się w odległości od r do (r + "r)
od osi obrotu

Éar
"N2 = r"F = r· (2Ä„r"r) . (1.8.17)
dd
Całkowity moment siły pochodzący od cieczy na dnie wynosi

2Ä„·Éa da/2 Ä„·Éad4
a
N2 = r3dr = . (1.8.18)
dd 0 32dd
Korzystając ze zmierzonych wielkości wyznaczyć stosunek momentów sił N2/N1. Na
podstawie otrzymanego wyniku stwierdzić czy wpływ cieczy na spodzie wiskozymetru
jest zaniedbywalny.