Część 2 15. DRGANIA WA
ASNE RAM  OBLICZANIE CZ
STOŚCI KOA
OWYCH... 1
15. ����Ł�
15. DRGANIA WA
ASNE RAM  OBLICZANIE CZ
STOŚCI
KOA
OWYCH DRGAC
WA
ASNYCH
15.1. Wprowadzenie
Rozwiązywanie zadań z zakresu dynamiki budowli sprowadza się aż do dwóch zagadnień. Należy
określić częstość drgań własnych układu w przypadku drgań swobodnych oraz wartość amplitudy
przemieszczenia w przypadku drgań wymuszonych obciążeniem zewnętrznym.
Znajomość częstości drgań własnych konstrukcji pozwala uniknąć zjawiska rezonansu. Nie wolno
obciążać konstrukcji urządzeniami, których częstość kołowa pokrywa się z częstością drgań własnych, gdyż
wtedy amplitudy przemieszczeń układu wzrastają w sposób niekontrolowany. W drugim typie zadań układ
obciążony jest urządzeniem o znanej sile wymuszania i częstości drgań. Trzeba wtedy wyliczyć amplitudy
przemieszczeń i porównać je z dopuszczalnymi.
Analizę układu należy rozpocząć od ustalenia stopnia swobody dynamicznej (niezależne, możliwe
kierunki ruchu masy). Dalej należy zapisać równania ruchu po kierunkach swobody dynamicznej, określić
wartości przemieszczeń powstałych od sił dynamicznych.
W układach statycznie wyznaczalnych przemieszczenia liczymy w prosty sposób korzystając z
równania pracy wirtualnej. W układach statycznie niewyznaczalnych obliczenia komplikują się, gdyż
potrzebne są wykresy momentów od sił jednostkowych w układach niewyznaczalnych.
Przemieszczenia od sił jednostkowych (wyznaczony w ten sam sposób jak w metodzie sił) dają układ
zwany macierzą podatności [D]. Ten sposób rozwiązywania zadania nazywa się często rozwiązaniem  przez
podatność .
Istnieją jednak układy, które prościej rozwiązuje się metodą przemieszczeń aniżeli metodą sił (nakład
pracy jest mniejszy). Tego typu ramy łatwiej rozwiązać  przez sztywność , klasyczną metodą przemieszczeń
przyjmując układ podstawowy (muszą być zablokowane kierunki swobody dynamicznej) obciążony siłami
dynamicznymi. W tym przypadku trzeba stworzyć macierz sztywności układu [K], czyli określić reakcje od
jednostkowych przemieszczeń.
Ramy statycznie wyznaczalne rozwiązujemy zazwyczaj korzystając z koncepcji metody sił
(wyznaczamy macierz podatności), natomiast układy statycznie niewyznaczalne rozwiązujemy korzystając z
metody przemieszczeń (wyznaczając macierz sztywności) lub metody sił. Podział ten wynika z nakładu pracy,
jaką trzeba wykonać przy rozwiązywaniu układu poszczególnymi metodami.
W układach statycznie wyznaczalnych obliczenie współczynników � nie jest skomplikowane. Ten sam
ik
układ, rozwiązywany metodą przemieszczeń wymagałby zapewne blokowania obrotów i przesuwów, co
zwiększyłoby liczbę współczynników r .
ik
[ D]=[�ąik ] [ K ]=[rik ]
Obie macierze charakterystyczne: podatności i sztywności
są symetryczne:
�ąik=�ąki
rik=rki
oraz zachodzi między nimi zależność:
[ D]-1=[ K ]
[ D]�"[ K ]=[ K ]�"[ D]=[ I ]
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 15. DRGANIA WA
ASNE RAM  OBLICZANIE CZ
STOŚCI KOA
OWYCH... 2
15.2. Rozwiązywanie przez sztywność (metoda przemieszczeń)
Dla dowolnego układu o zadanej geometrii, sposobie podparcia i rozkładzie masy
J2, A2
1 2
J1, A1
J3, A3
0
3
�, ź
znamy wzory transformacyjne na przywęzłowe momenty przęsłowe, siły tnące i normalne.
M12
N12 N21
M21
1 2
M10 M23
T12 T21
T10
N23 T23
N10
Niewiadome przemieszczenia z węzła 1 (Ć , u , v ) i 2 (Ć , u , v ) wyznaczymy zapisując dla każdego z tych
1 1 1 2 2 2
węzłów równania równowagi:
X =0
"
Y =0
"
M =0
"
Otrzymany w ten sposób układ równań jednorodnych, ma rozwiązanie nieosobliwe wówczas, gdy wyznacznik
tego układu będzie równy zero. Otrzymywane w ten sposób równanie charakterystyczne umożliwia wyliczenie
częstości drgań własnych. Metodę tę przybliżymy rozwiązując zadanie.
Zadanie 1
Obliczyć częstości kołowe i postacie drgań własnych dla układu z rysunku 15.1.
m, Im
2
1
4
0
6
[m]
Rys. 15.1. Rama obciążona masą skupioną
Parametry geometryczne i fizyczne układu są następujące:
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 15. DRGANIA WA
ASNE RAM  OBLICZANIE CZ
STOŚCI KOA
OWYCH... 3
EJ =6000 kN m2
m=300 kg
I =25 kgm2
m
Masa ma możliwość ruchu tylko w jednym kierunku (SSD = 1). Kierunek ten (w = Ć) i siłę dynamiczną B
1 1
będącą wynikiem działania bezwładności masy opisuje rys. 15.2.
R1, Ć
w1, B1
2
1
4
0
6
[m]
Rys. 15.2. Kierunki stopni swobody dynamicznej i układ podstawowy metody przemieszczeń
Funkcja rozwiązująca różniczkowe równanie ruchu dla drgań harmonicznych ma postać:
w1 śąt źą=a1 sin �ąt (15.1)
1 śąt źą=-a1 �ą2 sin �ą t
Zapiszmy zatem równanie kanoniczne metody przemieszczeń:
R1 =r11 w1śąt źą�ąr1 P=0
(15.2)
Aby wyznaczyć wartości współczynników r i r musimy zapisać sumy momentów w węz
le 1, kolejno w
11 1P
stanie Ć = 1 oraz P:
a) B1 = -Imw1(t)
b)
3 EJ
r11
6 r1P
4 EJ
4
2 EJ
4
Rys. 15.3. Wartości momentów: a) w stanie Ć = 1, b) w stanie P
Z sumy momentów w węz
le 1 otrzymamy:
r11 =0,5 EJ �ąEJ =1,5 EJ
r1 P=I 1śątźą
m
Podstawiając te wartości do równania kanonicznego (15.2) dostajemy różniczkowe równanie ruchu:
1,5 EJ�"w1 śąt źą�ąI 1 śątźą=0
(15.3)
m
Wykorzystując funkcję (15.1) otrzymujemy rozwiązanie:
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 15. DRGANIA WA
ASNE RAM  OBLICZANIE CZ
STOŚCI KOA
OWYCH... 4
1,5 EJ a1 sin�ąt-I a1 �ą2 sin�ą t=0 (15.4)
m
Wyeliminowanie zmiennej czasu t prowadzi do równania jednorodnego:
1,5 EJ
śą -I �ą2 a1 =0 (15.5)
źą
m
Równanie to ma nietrywialne rozwiązanie (a `" 0), gdy:
1
1,5 EJ -I �ą2 =0 (15.6)
m
zatem:
1,5 EJ
�ą= (15.7)
I
ćą
m
Po podstawieniu danych liczbowych do rozwiązania (15.7) otrzymujemy:
1,5 �"6000 �"103 =600 rad
�ą=
[ ]
25 s
ćą
Postać drgań własnych w przypadku SSD = 1 ogranicza się do jednej amplitudy przemieszczenia a , która
1
może przyjmować dowolną, różną od zera wartość.
Przemieszczeniem (kierunkiem swobody dynamicznej) w tym zadaniu jest kąt obrotu (rys. 15.4).
a1
Rys. 15.4. Postać drgań własnych
15.3. Rozwiązanie przez podatność (metoda sił)
Zastosowanie koncepcji metody sił w obliczeniach częstości kołowych drgań własnych pokażemy na
przykładach układów statycznie wyznaczalnych.
Zadanie 2
Znalez
ć częstości kołowe drgań własnych i narysować ich postacie, dla układu z rys. 15.5.
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 15. DRGANIA WA
ASNE RAM  OBLICZANIE CZ
STOŚCI KOA
OWYCH... 5
k
3
m
3
k
[m]
3
Rys. 15.5. Rama obciążona masą skupioną
Parametry geometryczne i fizyczne układu są następujące:
EJ =31000 kN m2
EJ
k=
4
m=200 kg
Masa ma możliwość ruchu w dwóch kierunkach (SSD = 2), ich kierunki i siły dynamiczne będące wynikiem
działania bezwładności masy przedstawiono na rys. 15.6.
k
3
B1 = -mw1(t)
w1, B1
m B2 = -mw2(t)
w2, B2
3
k
[m]
3
Rys. 15.6. Układ obciążony dynamicznie
Funkcja rozwiązująca różniczkowe równanie ruchu dla drgań harmonicznych ma postać:
wi śąt źą=ai sin �ąt (15.8)
i śąt źą=-ai �ą2 sin �ą t
Wiemy, że na przemieszczenie w danym kierunku wpływ mają obie siły:
w1śąt źą=�ą11 B1 �ą�ą12 B2
(15.9)
{
w2śątźą=�ą21 B1 �ą�ą22 B2
Po podstawieniu wyrażeń na siły bezwładności otrzymujemy układ równań różniczkowych:
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 15. DRGANIA WA
ASNE RAM  OBLICZANIE CZ
STOŚCI KOA
OWYCH... 6
w1 śąt źą=-m�"1 śąt źą�"�ą11 -m�"2 śątźą�"�ą12
w2 śąt źą=-m�"1 śąt źą�"�ą21 -m�"2 śąt źą�"�ą22
Wykorzystując funkcję (15.8) otrzymujemy:
a1 sin �ą t=�ą11�"śąm�"a1 �ą2 sin �ą t źą�ą�ą12�"śąm�"a2�ą2 sin�ąt źą
(15.10)
{
a2 sin �ąt=�ą21�"śąm�"a1 �ą2 sin �ą tźą�ą�ą22�"śąm�"a2 �ą2 sin �ąt źą
Wyeliminowanie zmiennej czasu t prowadzi do układu równań jednorodnych:
śą�ą11 m�ą2 -1źąa1 �ą�ą12 m�ą2 a2 =0
(15.11)
{
�ą21 m�ą2 a1�ąśą�ą22 m�ą2 -1źąa2=0
Dla ułatwienia obliczeń zastosujemy podstawienie:
EJ
�ą=
�ą2 m
(15.12)
�ą' =�ąij EJ
ij
Wówczas po przekształceniach mamy:
śą�ą' -�ąźąa1 �ą�ą' a2 =0
11 12
(15.13)
{
�ą' a1�ąśą�ą' -�ąźąa2=0
21 22
Jest to układ równań jednorodnych, który posiada rozwiązanie, gdy:
śą�ą' -�ąźą �ą'
11 12
det =0 (15.14)
#" #"
�ą' śą�ą' -�ąźą
21 22
Z warunku (15.14) otrzymujemy równanie charakterystyczne:
śą�ą' -�ąźąśą�ą' -�ąźą-�ą' �ą' =0 (15.15)
11 22 12 21
Teraz obliczymy współczynniki równania � , narysujmy więc wykresy od stanów jedynkowych:
ik
1
2
B1 = 1
1,5
1,5
3,0
M1
1
2
Rys. 15.7. Obciążenie po kierunku pierwszym
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 15. DRGANIA WA
ASNE RAM  OBLICZANIE CZ
STOŚCI KOA
OWYCH... 7
1
2
0
B2 = 1
1,5
M2
1
2
Rys. 15.8. Obciążenie po kierunku drugim
Na podstawie rys. 15.7 i 15.8 obliczamy współczynniki � :
ik
1 �"1 �"4
�ą11=1 2 �"1 �"3 �"3 �"2 �"3 �ą1 �"3 �"3 �"2 �"3 �ą2 �"2 2 Śą �ą' =EJ �ą11=15,5
11
śą źą
EJ 2 2 3 2 2 3 EJ
1 �"1 �"4
�ą22=1 2 �"1 �"3 �"3 �"2 �"3 �ą2 �"2 2 Śą �ą' =EJ �ą22=6,5
22
śą źą
EJ 2 2 3 2 EJ
�ą12=0
Po podstawieniu do równania (15.15):
śą15,5 -�ąźąśą6,5 -�ąźą=0 (15.16)
Otrzymujemy dwa pierwiastki rzeczywiste:
�ą1=6,5
(15.17)
�ą2=15,5
z których wyliczmy częstości drgań własnych:
31000 �"1000 rad
�ąI = =100
[ ]
15,5 �"200 s
ćą
(15.18)
rad
�ąII =154,422
[ ]
s
�ą12=0
Ponieważ z układu (15.13) otrzymujemy dwa niezależne równania. Zmienne a są rozprzężone dlatego
i
�ą
mając nawet wartości własne nie możemy stworzyć wektora własnego. Amplituda przemieszczenia a
1
może zmieniać się niezależnie od amplitudy a .
2
Przyjmując a = 1 otrzymujemy:
1
śą6,5 -15,5źą�"a2 =0
a2 =0
i na odwrót dla a = 1 dostaniemy:
2
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 15. DRGANIA WA
ASNE RAM  OBLICZANIE CZ
STOŚCI KOA
OWYCH... 8
a1 =0
Rys. 15.9. Postacie drgań
Zadanie 3
Znalez
ć częstości kołowe drgań własnych i narysować ich postacie dla układu z jedną masą (rys. 15.10).
m
1
[m]
3
3
Rys. 15.10. Układ z jedną masą
W zadaniu przyjęto następujące wartości liczbowe:
EJ =9000 kN m2
m=400 kg
W układzie o dwóch stopniach swobody dynamicznej przyjęto dwa prostopadłe do siebie kierunki
przemieszczeń (rys. 15.11).
w2, B2
1
w1, B1
[m]
3
3
Rys. 15.11. Kierunki stopni swobody dynamicznej
Podobnie jak poprzednio przyjęto funkcję opisującą przemieszczenia:
wi śąt źą=ai sin�ą t
(15.19)
i śąt źą=-ai �ą2 sin �ą t
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 15. DRGANIA WA
ASNE RAM  OBLICZANIE CZ
STOŚCI KOA
OWYCH... 9
Do równań ruchu:
w1śąt źą=�ą11 B1 �ą�ą12 B2
(15.20)
{
w2śątźą=�ą21 B1 �ą�ą22 B2
podstawiamy wyrażenia na siły bezwładności:
w1 śąt źą=-m�"1 śąt źą�"�ą11 -m�"2 śątźą�"�ą12
w2 śąt źą=-m�"1 śąt źą�"�ą21 -m�"2 śąt źą�"�ą22
Równania różniczkowe rozwiązujemy przyjmując postać funkcji rozwiązującej (15.19):
a1 sin �ą t=�ą11�"śąm�"a1 �ą2 sin �ą t źą�ą�ą12�"śąm�"a2 �ą2 sin �ąt źą
(15.21)
{
a2 sin �ą t=�ą21�"śąm�"a1 �ą2 sin �ą tźą�ą�ą22�"śąm�"a2 �ą2 sin �ą t źą
śą�ą11 m�ą2 -1źąa1 �ą�ą12 m�ą2 a2 =0
(15.22)
{
�ą21 m�ą2 a1�ąśą�ą22 m�ą2 -1źąa2=0
Po wprowadzeniu symboli zastępczych:
EJ
�ą=
�ą2 m
(15.23)
�ą' =�ąij EJ
ij
mamy:
śą�ą' -�ąźąa1 �ą�ą' a2 =0
11 12
(15.24)
{
�ą' a1�ąśą�ą' -�ąźąa2=0
21 22
Układ równań jednorodnych posiada rozwiązanie, gdy:
śą�ą' -�ąźą �ą'
11 12
det =0 (15.25)
#" #"
�ą' śą�ą' -�ąźą
21 22
To prowadzi do równania charakterystycznego:
(15.26)
śą�ą' -�ąźąśą�ą' -�ąźą-�ą' �ą' =0
11 22 12 21
Aby obliczyć współczynniki podatności � , narysujmy wykresy od stanów jedynkowych:
ik
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 15. DRGANIA WA
ASNE RAM  OBLICZANIE CZ
STOŚCI KOA
OWYCH... 10
1 1
1
2
1
M1 M2
1
3
2
2
Rys.15.12. Wykresy momentów od obciążeń jednostkowych
Na podstawie rys. 15.12 obliczamy współczynniki � :
ik
�ą11=1 2 �"1 �"3 �"3 �"2 �"3 Śą �ą' =EJ �ą11=4,5
11
śą źą
EJ 2 2 3 2
�ą22=1 2 �"1 �"3 �"1 �"2 �"1 �ą1 �"1 �"1 �"2�"1 Śą �ą' =EJ �ą22=0,83
22
śą źą
EJ 2 2 3 2 2 3
�ą12=0
I podstawiamy do równania (15.26):
śą4,5-�ąźąśą0,83-�ąźą=0 (15.27)
otrzymujemy:
�ą1=4,5
�ą2=0,83
Stąd częstość drgań własnych:
9000�"1000 rad
�ąI = =70,7107
[ ]
4,5 �"400 s
ćą
(15.28)
9000�"1000 rad
�ąII = =164,3167
[ ]
0,83�"400 s
ćą
Postacie drgań własnych dla rozprzężonych amplitud przemieszczeń przedstawiono na rys. 15.13.
a1`"0 a1=0
a2=0 a2`"0
Rys. 15.13. Postacie drgań
Zadanie 4
Sprawdzić czy dla układu z rys. 15.14 możliwe jest dobranie takiej wartości współczynnika k, aby drgania
uległy rozprzężeniu. Jeżeli tak, to określić wartość sztywności k podpory podatnej.
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 15. DRGANIA WA
ASNE RAM  OBLICZANIE CZ
STOŚCI KOA
OWYCH... 11
3
m
k
6
[m]
Rys. 15.14. Rama obciążona masą
Układ ma dwa stopnie swobody dynamicznej przemieszczenie liniowe i kątowe.
Masa może przemieszczać się tylko w poziomie, ale z uwagi na gabaryty może też się obracać. Mamy do
czynienia z bezładnością liniową i kątową.
w2, B2
3
w1, B1
m
k
6
[m]
Rys. 15.15. Kierunki swobody dynamicznej
B1 =-m 1
(15.29)
B2=-�ą J 2
0
gdzie:
�ą[kg /m2] to rozkład masy,
J [m4]
to moment bezwładności obrotowej.
0
Do wyznaczenia współczynników podatności potrzebne są wykresy momentów (rys. 15.16, rys. 15.17)
1
M1
B1 =1
3
1 1
2 2
Rys. 15.16. Obciążenie jednostkowe po kierunku pierwszym
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 15. DRGANIA WA
ASNE RAM  OBLICZANIE CZ
STOŚCI KOA
OWYCH... 12
M2
B2 =1
1
1 1
2 2
Rys. 15.17. Obciążenie jednostkowe po kierunku drugim
1
-1
śą źą
2 2
�ą12=1 1 �"6 �"3 �"2 �"1 �ą =6 -1
śą źą
EJ 2 3 k EJ 4 k
Aby drgania uległy rozprzężeniu w układzie równań ruchu (15.13) współczynnik �ą' powinien być równy
12
zero. Stąd otrzymujemy zależność:
6 1
- =0
EJ 4 k
z której wynika poszukiwana wartość parametru k :
EJ
k =
24
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater