Szeregi liczbowe
mgr Zofia Makara
9 lipca 2004
1
Szeregi liczbowe - wprowadzenie
Definicja 1 Szereg liczbowy (nieskończony szereg liczbowy) jest sumą ele-
mentów ciągu liczbowego:
∞
X
n=1
a
n
= a
1
+ a
2
+ . . . + a
n
+ . . . ,
gdzie a
1
, a
2
, . . . , a
n
są wyrazami szeregu.
Jeśli elementy ciągu a
i
∈ R, dla 1 ¬ i ¬ n są liczbami rzeczywistymi, to
szereg nazywa się szeregiem liczbowym rzeczywistym.
Sumą częściową nazywa się sumę:
S
n
=
n
X
i=1
a
i
= a
1
+ a
2
+ . . . + a
n
,
Więc {S
n
} jest ciągiem sum częściowych szeregu
P
∞
n=1
a
n
, takim, że:
S
1
= a
1
;
S
2
= a
1
+ a
2
;
S
3
= a
1
+ a
2
+ a
3
;
. . .
S
n
= a
1
+ a
2
+ . . . + a
n
;
. . .
Definicja 2 Szereg liczbowy
P
∞
n=1
a
n
nazywa się zbieżnym (zbieżnym do
S ∈ R) jeśli ciąg sum częściowych jest zbieżny:
∞
X
n=1
a
n
= lim
n→∞
S
n
= lim
n→∞
n
X
i=1
a
i
= S
1
Definicja 3 Szereg liczbowy nazywa się rozbieżnym jeśli nie jest szeregiem
zbieżnym.
Twierdzenie 1 Warunkiem koniecznym zbieżności każdego szeregu
∞
X
n=1
a
n
jest:
lim
n→∞
a
n
= 0
Co łątwo wykazać, bo:
a
n
= S
n
− S
n−1
Więc:
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
(S
n
− S
n−1
) = lim
n→∞
S
n
− lim
n→∞
S
n−1
= 0 − 0 = 0.
Twierdzenie 2 Jeśłi dany jest szereg
P
∞
n=1
a
n
i stała c, to jeśli szereg
P
∞
n=1
a
n
jest zbieżny, to również
P
∞
n=1
c · a
n
jest zbieżny.
Co łatwo wykazać, bo jeśli:
P
∞
n=1
a
n
= S
to:
P
∞
n=1
c · a
n
= c
P
∞
n=1
a
n
= cS
Twierdzenie 3 Jeśli dany jest szereg
P
∞
n=1
a
n
i stała c 6= 0, to jeśli szereg
P
∞
n=1
a
n
jest rozbieżny, to również
P
∞
n=1
c · a
n
jest rozbieżny.
Twierdzenie 4 Jeśli dane są szeregi
P
∞
n=1
a
n
i
P
∞
n=1
b
n
, to jeśli są zbieżne
to szereg
P
∞
n=1
(a
n
+ b
n
) też jest zbieżny.
Co łatwo wykazać, bo jeśli:
P
∞
n=1
a
n
= S
P
∞
n=1
b
n
= T
to:
P
∞
n=1
(a
n
+ b
n
) =
P
∞
n=1
a
n
+
P
∞
n=1
b
n
= S + T
Twierdzenie 5 Jeśli dane są szeregi
P
∞
n=1
a
n
i
P
∞
n=1
b
n
, to jeśli są zbieżne
to szereg
P
∞
n=1
(a
n
− b
n
) też jest zbieżny.
Co łatwo wykazać, bo jeśli:
P
∞
n=1
a
n
= S
P
∞
n=1
b
n
= T
to:
P
∞
n=1
(a
n
− b
n
) =
P
∞
n=1
a
n
−
P
∞
n=1
b
n
= S − T
2
2
Wybrane rodzaje szeregów
Podczas badania zbieżności szeregów rozróżnia się ”dwie kategorie” szere-
gów:
1. o wyrazach nieujemnych, czyli:
∀
0¬i¬n
a
i
0;
2. szeregi przemienne, czyli takie, których wyrazy na przemian są ujemne
i dodatnie:
∀
0¬i¬(n−1)
a
i
· a
i+1
< 0;
Są oczywiście szeregi, które nie należą do żadnej z tych grup.
2.1
Szereg arytmetyczny
∞
X
n=1
a
1
+ (n − 1) · r
jest zawsze rozbieżny. Nietrudno zauważyć, że jeśli:
• a 0 i r 0, to szereg rozbieżny do +∞;
• a ¬ 0 i r ¬ 0, to szereg rozbieżny do −∞;
• a 0 i r ¬ 0, wówczas skończona ilość wyrazów jest dodatnia i szereg
rozbieżny do −∞;
• a ¬ 0 i r 0, wówczas skończona ilość wyrazów jest ujemna i szereg
rozbieżny do +∞;
2.2
Szereg geometryczny
∞
X
n=1
a
1
· q
n−1
jest rozbieżny dla |q| > 1, bo nie spełnia warunku koniecznego. Jeśli zaś
|q| < 1, wówczas szereg jest zbieżny do S =
a
1−q
.
Można to wykazać:
S
n
= a + aq + aq
2
+ . . . + aq
n−1
qS
n
= aq + aq
2
+ . . . + aq
n−1
+ aq
n
S
n
− qS
n
= a − aq
n
3
Stąd
S
n
(1 − q) = a(1 − q
n
)
Co daje:
S
n
=
a(1 − q
n
)
1 − q
Czyli:
S = lim
n→∞
S
n
= lim
n→∞
a(1 − q
n
)
1 − q
=
a
1 − q
.
2.3
Szereg harmoniczny
∞
X
n=1
1
n
jest rozbieżny do +∞, co można udowodnić wprowadzając pojęcie reszty R
n
szeregu:
∞
X
n=1
a
n
=
n
X
i=1
a
i
+
∞
X
i=n+1
a
i
= S
n
+ R
n
Stąd:
R = lim
n→∞
R
n
= lim
n→∞
(S − S
n
) = 0.
Obliczając resztę szeregu harmonicznego, która nie dąży do 0 (R >
1
2
),
stwierdza się, że szereg jest rozbieżny do +∞.
2.4
Szereg harmoniczny rzędu α
∞
X
n=1
1
n
α
jest szeregiem zbieżnym dla α > 1, zaś rozbieżnym dla α = 1, co wynika z
poprzedniego podpunktu i rozbieżnym dla α < 1, bo nie spełnia warunku
koniecznego.
3
Kryteria zbieżności szeregów
3.1
Kryterium d’Alemberta zbieżności szeregów
Jeśli iloraz
a
n+1
a
n
elementów danego szeregu
P
∞
n=1
a
n
, od pewnego miejsca i,
gdzie i 1 jest zawsze:
• mniejszy od pewnej stałej p < 1 to szereg jest zbieżny;
• większy lub równy pewnej stałej p 1 to szereg jest rozbieżny;
4
Wnioski:
• lim
n→∞
a
n+1
a
n
< 1, szereg zbieżny;
• lim
n→∞
a
n+
a
n
> 1, szereg rozbieżny;
• lim
n→∞
a
n+
a
n
= 1, zbieżność/rozbieżność szeregu nie jest znana (należy
zastosować inne kryterium badania zbieżności);
Przykład 1 Zbadać zbieżność szeregu:
∞
X
n=1
n
10
10
n
.
Rozwiązanie:
lim
n→∞
(n+1)
10
10
n+1
n
1
0
10
n
= lim
n→∞
(n + 1)
10
10
n+1
·
10
n
n
10
= lim
n→∞
1
10
· (
n + 1
n
)
10
=
1
10
.
Szereg zbieżny.
3.2
Kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów
Jeśli n-ty pierwiastek z a
n
n
√
a
n
elementu danego szeregu
P
∞
n=1
a
n
, (dla pra-
wie wszystkich wyrazów ciągu, za wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości)
jest zawsze:
• mniejszy od pewnej stałej p < 1 to szereg jest zbieżny;
• większy lub równy pewnej stałej p 1 to szereg jest rozbieżny;
Wnioski:
• lim
n→∞
n
√
a
n
< 1, szereg zbieżny;
• lim
n→∞
n
√
a
n
> 1, szereg rozbieżny;
• lim
n→∞
n
√
a
n
= 1, zbieżność/rozbieżność szeregu nie jest znana (należy
zastosować inne kryterium badania zbieżności);
Uwaga 1 Kryterium Cauchy’ego jest silniejsze niż kryterium d’Amberta.
Przykład 2 Zbadać zbieżność szeregu:
∞
X
n=1
log n
2
n
.
Rozwiązanie:
lim
n→∞
n
s
log n
2
n
=
1
2
lim
n→∞
n
p
log n =
1
2
.
Szereg zbieżny.
5
3.3
Kryterium całkowe
Jeśli jest dana nierosnąca i nieujemna funkcja f na przedziale [i, ∞), to
szereg:
∞
X
n=i
f (n)
i całka
Z
∞
i
f (x)
są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.
Przykład 3 Zbadać zbieżność szeregu:
∞
X
i=1
n
e
n
2
Rozwiązanie:
Jest więc dana funkcja f (x) =
x
e
x2
. Funkcja f , przyjmuje wartości dodatnie
jest funkcją malejącą, zatem wyznacza się całkę:
Z
∞
1
x
e
x
2
Nim zostanie policzona dana całka niewłaściwa, wyznaczona zostanie całka
nieoznaczona (metoda: przez podstawianie):
t = −x
2
,
dt = −2xdx
Zatem:
1
2
Z
1
e
−t
=
1
2
Z
e
t
= e
t
+ C,
C ∈ R.
Stąd:
Z
x
e
x
2
= e
−x
2
+ C
C ∈ R.
Całka niewłaściwa:
Z
∞
1
x
e
x
2
= lim
a→∞
Z
a
1
x
e
x
2
= lim
a→∞
(e
−a
2
− e
−1
) = −
1
e
.
3.4
Kryterium ilorazowe
Jeśli są dane dwa szeregi
P
∞
n=1
a
n
oraz
P
∞
n=1
b
n
zachodzi:
lim
n→∞
a
n
b
n
= p,
gdzie p ∈ (0, ∞), to oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie
rozbieżne.
6
Przykład 4 Zbadać zbieżność szeregu:
∞
X
n=1
1
n
2
− n
Rozwiązanie:
Niech będzie także dany szereg
P
∞
n=1
1
n
2
.
Granica ilorazu n − tych wyrazów tych szeregów wynosi:
lim
n→∞
1
n
2
−n
1
n
2
= lim
n→∞
1
n
2
− n
· n
2
= 1,
a więc skoro
P
∞
n=1
1
n
2
jest zbieżny, to również szereg
P
∞
n=1
1
n
2
−n
jest zbieżny.
3.5
Kryterium porównawcze
Jeśli są dane dwa szeregi
P
∞
n=1
a
n
oraz
P
∞
n=1
b
n
i jeśli dla każdych n−tych
wyrazów szeregu, zaczynając od i−tych, i ¬ 1, zachodzi nierówność:
a
n
¬ b
n
to jeśli wiadomo, że:
1. szereg
P
∞
n=1
b
n
jest zbieżny, to szereg
P
∞
n=1
a
n
również jest zbieżny;
2. szereg
P
∞
n=1
a
n
jest rozbieżny, to szereg
P
∞
n=1
b
n
również jest rozbież-
ny;
Przykład 5 Zbadać zbieżność szeregu:
∞
X
n=1
1
log n
.
Rozwiązanie:
Nietrudno zauważyć, że skoro:
∀
n
log n < n,
to:
∀
n
1
log n
>
1
n
.
Wiadomo, że szrereg
P
∞
n=1
1
n
jest rozbieżny, zatem również
P
∞
n=1
1
log n
jest
rozbieżny.
Uwaga 2 TO KRYTERIUM JEST RÓWNIEŻ PRAWDZIWE DLA SZE-
REGÓW O WYRAZACH NIEDODATNICH!
7
4
Zadania
4.1
Wyznaczyć sumy szeregów:
1.
∞
X
n=1
2 · 3
n
;
2.
∞
X
n=1
5
n+3
;
3.
∞
X
n=1
3
n
+ 6
n
9
n
;
4.
∞
X
n=1
4 · 3
n
+ 3 · 6
n
9
n
;
5.
∞
X
n=1
2 + 4 + 8 + . . . + 2
n
4
n
;
6.
∞
X
n=1
ln
n + 1
n
;
7.
∞
X
n=1
ln
2n + 1
2n + 3
;
8.
∞
X
n=1
−2
n(n + 1)
;
9.
∞
X
n=1
2
(n + 1)(n + 2)
;
8
10.
∞
X
n=1
3
(2n + 1)(2n + 3)
;
11.
∞
X
n=1
2
1
n+1
− 2
1
n+2
;
12.
∞
X
n=1
2n+1
√
3 −
2n+3
√
3;
4.2
Zbadać zbieżność szeregów:
1.
∞
X
n=1
(
n + 2
n + 1
)
−n+1
;
2.
∞
X
n=1
2
n + 1
;
3.
∞
X
n=1
2n
n
2
+ 1
;
4.
∞
X
n=1
| sin n
3
|
n
3
;
5.
∞
X
n=1
n!
10
n
;
6.
∞
X
n=1
n
4
4
n
;
9
7.
∞
X
n=3
log n
10
n
;
8.
∞
X
n=3
n + 1
n
3
log n
;
9.
∞
X
n=1
n
10
3
n
4
n
;
10.
∞
X
n=1
n
10
4
n
3
n
;
11.
∞
X
n=1
4
n
n
10
3
n
;
12.
∞
X
n=3
2
n log n
;
13.
∞
X
n=3
4
n log
2
n
;
14.
∞
X
n=3
3
n
· n!
n
n
;
15.
∞
X
n=3
n!
n
n
;
16.
∞
X
n=3
n!
3
n
· n
n
;
10
17.
∞
X
n=1
3
q
√
n + 3
3
√
n
;
18.
∞
X
n=1
2
√
n
q
√
n + 3
3
√
n
;
19.
∞
X
n=1
1
q
n + 3
3
√
n
;
20.
∞
X
n=1
n
q
n +
√
n
;
21.
∞
X
n=1
n!
(2n)!
;
22.
∞
X
n=1
(n!
2
)
(2n)!
;
23.
∞
X
n=1
3
n!
n!
;
24.
∞
X
n=1
n! · (2n)!
(3n)!
;
25.
∞
X
n=5
(
n + 1
2n
2
− 15
)
n
;
11
26.
∞
X
n=2
(
n + 1
2n − 3
)
n
;
27.
∞
X
n=1
n
1
00
100
n
;
28.
∞
X
n=1
n
2
+ n
n
n
+ 3
;
29.
∞
X
n=1
5
n
2
n
+ 3
n
;
30.
∞
X
n=1
3
n
+ 4
n
2
n
+ 5
n
;
31.
∞
X
n=1
4
n
− 3
n
5
n
− 4
n
;
32.
∞
X
n=1
1 −
n
√
2;
33.
∞
X
n=1
n
2
(
1
2
)
n
;
34.
∞
X
n=1
n
2
· 2
n
;
35.
∞
X
n=1
(1 +
1
n
)
−n
2
;
12
36.
∞
X
n=1
(
n + 2
n + 1
)
n
2
;
37.
∞
X
n=1
(
n + 1
n + 2
)
n
2
;
38.
∞
X
n=1
n · ln(
2n + 4
2n + 1
);
39.
∞
X
n=1
sin
1
√
n+n
1
2
√
n+n
;
40.
∞
X
n=1
2n
n
n
2n
+ 3
;
41.
∞
X
n=1
3n
n
n
3n
+ 3
;
42.
∞
X
n=1
n
n
n
n
2
+ 3
;
43.
∞
X
n=3
log
−n
n;
44.
∞
X
n=1
(
n+1
n
)
2n
2
7
n
;
13
45.
∞
X
n=1
(
n+1
n
)
2n
2
3
n
;
46.
∞
X
n=1
√
n
2
+ 1 −
√
n
2
− 1
n
;
47.
∞
X
n=1
√
1 + n
2
−
√
1 − n
2
n
;
48.
∞
X
n=1
3
1
n2
n
2
;
49.
∞
X
n=1
3
1
√
n
√
n
;
50.
∞
X
n=1
n sin
3
n
2
;
51.
∞
X
n=1
sin
2
1
n
;
52.
∞
X
n=1
(1 − cos
1
n
2
;
4.3
Zamień ułamki dziesiętne (okresowe) na zwykłe:
1.
0.(3)
14
2.
0.21(2)
3.
0.(2)
4.
0.(12)
5.
0.(9)
15