Transfiguracja gwiazda-trójkąt … .
2011
K. M. Gawrylczyk
1
Transfiguracja gwiazda-trójkąt
JeŜeli w obwodzie da się wyodrębnić układ składający się z trzech rezystorów ze wspólnym
punktem połączenia N, to taki układ z punktu widzenia jego zacisków 1, 2, 3 moŜna zastąpić
połączeniem trójkątnym. Taką operację nazywamy transfiguracją. RównowaŜność obu
obwodów oznacza jedynie równość prądów I
1
, I
2
, I
3
, jak teŜ napięć U
12
, U
23
oraz U
31
.
Rys.1. Gwiazda rezystancji i równowaŜny trójkąt.
W poniŜszym wyprowadzeniu będą uŜywane wymiennie oznaczenia rezystorów jako:
1
2
3
1
2
3
1
1
1
,
oraz
G
G
G
R
R
R
=
=
=
.
Pr
ą
dy w poszczególnych gał
ę
ziach mo
Ŝ
na zapisa
ć
u
Ŝ
ywaj
ą
c potencjałów w
ę
złów
1
,
2
,
3
i
N
:
(
)
(
)
(
)
1
1
1
2
2
2
3
3
3
,
,
.
I
G V V
I
G V
V
I
G V
V
=
−
=
−
=
−
N
N
N
Poniewa
Ŝ
suma tych pr
ą
dów jest równa zeru,
(
)
(
)
(
)
1
2
3
1
1
2
2
3
3
0
I
I
I
G V V
G V
V
G V
V
+ + =
−
+
−
+
−
=
N
N
N
,
mo
Ŝ
na wyznaczy
ć
potencjał w
ę
zła
N
:
1
1
2
2
3
3
1
2
3
G V
G V
G V
V
G
G
G
⋅ + ⋅ + ⋅
=
+ +
N
.
Transfiguracja gwiazda-trójkąt … .
2011
K. M. Gawrylczyk
2
Znajomość potencjału punktu wspólnego N pozwala wyznaczyć prądy gałęzi
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
1
1
1
1
1
1
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
1
2
3
,
,
G V
G V
G V
G V
G V
G V
I
G V
G V
G
G
G
G
G
G
G
G V
G V
G V
G V
G V
G V
I
G V
G V
G
G
G
G
G
G
G
G V
G V
G V
G
I
G V
G V
G
G
G
G
⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅
=
−
= ⋅ − ⋅
+ +
+ +
⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅
=
−
= ⋅ − ⋅
+ +
+ +
⋅ + ⋅ + ⋅
=
−
= ⋅ − ⋅
+ +
1
1
2
2
3
3
1
2
3
.
V
G V
G V
G
G
G
⋅ + ⋅ + ⋅
+ +
Sprowadzaj
ą
c do wspólnego mianownika otrzymujemy
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
3
3
1
1
1
1
2
1
1
3
1
1
1
1
2
2
1
3
3
1
1
2
3
1
2
3
2
2
2
3
2
3
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
3
2
1
2
1
2
2
3
2
3
2
1
2
3
1
2
3
1
3
3
2
3
,
,
G G V V
G G V V
G V G G V G G V G V G G V
G G V
I
G G
G
G G
G
G G V V
G G V V
G G V
G V
G G V
G G V G V
G G V
I
G G
G
G G
G
G G V G
I
⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ −
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
=
=
+ +
+ +
⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ −
⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅
=
=
+ +
+ +
⋅ ⋅ +
=
(
)
(
)
2
2
3
1
3
1
3
2
2
3
3
3
3
3
1
3
1
2
3
2
3
3
1
2
3
1
2
3
.
G G V V
G G V V
G V G V G G V G G V
G V
G G
G
G G
G
⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ −
⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =
+ +
+ +
Ró
Ŝ
nice potencjałów na ko
ń
cach gał
ę
zi s
ą
równe odpowiednim napi
ę
ciom gał
ę
ziowym:
1
2
12
1
3
31
1
3
1
2
1
12
31
12
31
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
3
23
2
1
12
2
3
2
1
2
23
12
23
12
1
2
3
1
2
3
1
2
3
3
1
31
3
2
23
3
1
3
31
1
2
3
1
2
3
,
,
G G U
G G U
G G
G G
I
U
U
I
I
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G G U
G G U
G G
G G
I
U
U
I
I
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G G U
G G U
G G
G
I
U
G
G
G
G
G
G
⋅ ⋅
− ⋅ ⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
−
⋅
= −
+ +
+ +
+ +
⋅ ⋅
− ⋅ ⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
−
⋅
=
−
+ +
+ +
+ +
⋅ ⋅
− ⋅ ⋅
⋅
=
=
⋅
−
+ +
+ +
3
2
23
31
23
1
2
3
.
G
U
I
I
G
G
G
⋅
⋅
= −
+ +
W ten sposób otrzymali
ś
my składniki pr
ą
dów
I
1
,
I
2
,
I
3
płyn
ą
ce w gał
ę
ziach trójk
ą
ta
I
12
,
I
23
,
I
31
.
Oznacza to,
Ŝ
e wyra
Ŝ
enia ułamkowe wyst
ę
puj
ą
ce przy
U
12
,
U
23
oraz
U
31
reprezentuj
ą
konduktancje gał
ę
zi trójk
ą
ta:
2
3
3
1
1
2
12
23
31
1
2
3
1
2
3
1
2
3
,
,
G G
G G
G G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
⋅
⋅
⋅
=
=
=
+ +
+ +
+ +
,
lub przechodz
ą
c na rezystancje
2
3
2
3
1
2
12
23
23
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
1
1
1
1
1
,
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
R R
R R
R R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
⋅
⋅
⋅
=
=
=
+
+
+
+
+
+
czyli
2
3
3
1
1
2
12
1
2
23
2
3
31
3
1
3
1
2
,
,
R R
R R
R R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
⋅
⋅
⋅
= + +
= + +
= + +
.
Transfiguracja gwiazda-trójkąt … .
2011
K. M. Gawrylczyk
3
W celu uzyskania wzorów dla przekształcenia trójkąta na gwiazdę obliczymy kilka
pomocniczych wielkości:
2
3
3
1
1
2
12
23
31
1
2
3
3
1
2
2
2
2
;
R R
R R
R R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
⋅
⋅
⋅
+
+
=
+
+
+
+
+
2
3
1
2
12
23
1
2
2
3
3
1
2
2
2
2
2
3
1
2
1
2
1
3
2
3
2
2
3
1
2
2
1
3
2
3
3
1
1
2
2
1
2
3
3
1
2
2
2
2
;
R R
R R
R
R
R
R
R
R
R
R
R R
R R
R R
R R
R R
R
R R
R R
R
R
R
R R
R R
R R
R
R
R
R
R
R
R
⋅
⋅
⋅
=
+ +
+ +
=
⋅
⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +
+
+ ⋅ +
=
⋅
⋅
⋅
= ⋅
+
+
+
+
+
2
3
3
1
23
31
2
3
3
1
1
2
2
2
2
2
3
1
2
3
2
3
2
1
3
1
3
3
1
2
3
3
2
1
2
3
3
1
1
2
3
2
3
1
1
2
3
2
2
2
;
R R
R R
R
R
R
R
R
R
R
R
R R
R R
R R
R R
R R
R
R R
R R
R
R
R
R R
R R
R R
R
R
R
R
R
R
R
⋅
⋅
⋅
=
+ +
+ +
=
⋅
⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +
+
+ ⋅ +
=
⋅
⋅
⋅
= ⋅
+
+
+
+
+
3
1
1
2
31
12
3
1
1
2
2
3
2
2
2
2
3
1
1
2
3
1
3
2
1
2
1
1
2
3
1
1
3
2
3
1
2
3
1
2
1
3
1
2
2
3
1
2
2
2
;
R R
R R
R
R
R
R
R
R
R
R
R R
R R
R R
R R
R R
R
R R
R R
R
R
R
R R
R R
R R
R
R
R
R
R
R
R
⋅
⋅
⋅
=
+ +
+ +
=
⋅
⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +
+
+ ⋅ +
=
⋅
⋅
⋅
= ⋅
+
+
+
+
+
Z wyliczonych wielko
ś
ci pomocniczych wida
ć
,
Ŝ
e:
31
12
12
23
23
31
1
2
3
12
23
31
12
23
31
12
23
31
,
,
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
⋅
⋅
⋅
=
=
=
+
+
+
+
+
+
.
Podobnie jak poprzednio uzyskujemy wzory dla konduktancji:
12
31
23
21
31
23
1
12
31
2
23
21
3
31
23
23
31
12
,
,
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
⋅
⋅
⋅
=
+
+
=
+
+
=
+
+
.
Przypadek szczególny (równe rezystancje gwiazdy):
1
2
3
1
2
3
, czyli:
:
R
R
R
R
G
G
G
G
= = =
=
=
=
Y
Y
3
,
3
R
R
G
G
∆
∆
= ⋅
= ⋅
Y
Y
.
Opracowano na podst.: T. Cholewicki „Elektrotechnika teoretyczna”, tom I, WNT.