1 

 

PRZEMIANY ENERGII ZA POMOCĄ  

POLA MAGNETYCZNEGO 

W PRZETWORNIKACH O RUCHU 

OBROTOWYM 

Elektromechaniczne 

przetwornikami 

energii 

– 

przetwarzają  energię  elektryczną  na  mechaniczną  
lub  mechaniczną  na  elektryczną  przy  wykorzystaniu 
pola magnetycznego. 
 
NajwaŜniejsze  są  przetworniki  o  ruchu  obrotowym 
Są wykorzystywane od ponad 100 lat. 
 
 
 

BUDOWA PRZETWORNIKÓW  

O RUCHU OBROTOWYM 

 
Magnetowód  złoŜony  z  dwóch  ferromagnetycznych 
walcowych 

części: 

nieruchomej 

i 

obrotowej, 

rozdzielonych szczeliną powietrzną.  
 
Elementy  stanowiące  magnetowód,  czyli  obwód 
magnetyczny 

przetwornika, 

mają 

kształt 

współosiowych  walców,  których  powierzchnie  od 
strony 

szczeliny 

powietrznej 

są 

odpowiednio 

ukształtowane,  nadając  przetwornikowi  odpowiednie 
właściwości. 
 

2 
 

 
Obwód  magnetyczny  przetwornika  wykonywany  jest 
z  materiałów  o  bardzo  dobrych  właściwościach 
magnetycznych,  w  taki  sposób,  aby  ograniczyć 
przewodność elektryczną magnetowodu.  
 
Cewki, 

stanowiące 

uzwojenia 

przetwornika, 

wykonywane  są  z  materiałów  dobrze  przewodzących 
prąd,  aby  ograniczyć  straty  mocy.  Cewki  te 
umieszczone 

są 

w 

specjalnie 

ukształtowanych 

Ŝłobkach  biegnących  równolegle  do  osi  obrotu 
przetwornika.  Prądy  tych  cewek  wytwarzają  w 
magnetowodzie  pole  magnetyczne,  wykorzystywane 
do przetwarzania energii.  
 
 
Opis  obwodu  magnetycznego  przetworników  oraz 
sposobu  wykonania  cewek  moŜna  znaleźć  w 
ksiąŜkach  poświeconych  budowie  i  konstrukcji 
maszyn elektrycznych róŜnych typów.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3 

 

 
Przetworniki  stanowią  układy  elektromechaniczne 
utworzone  ze  zbioru  cewek  umieszczonych  we 
wspólnym  obwodzie  magnetycznym.  Obrotowa  część 
przetwornika  stanowi  w  najprostszym  ujęciu  bryłę 
sztywną o stałym momencie bezwładności.  
 
Funkcja 

Lagrange’a 

takiego 

przetwornika 

elektromechanicznego 

składa 

się 

wyłącznie 

z 

koenergii, 

gdyŜ 

w 

przetworniku 

nie 

ma 

kondensatorów,  a  w  układzie  mechanicznym,  przy 
jego  najprostszej  reprezentacji,  nie  ma  elementów 
spręŜystych.  
 
Koenergia obrotowej części przetwornika  

 

2

2

1

ω

 

J

ko

⋅

=

E

 

 

ω

 - prędkość kątowa  

J    - momentem bezwładności.  
 
 
 
 
 
 
 

4 
 

OBLICZANIA KOENERGII ZBIORU CEWEK 

 
SprzęŜenie 

magnetyczne 

cewek 

powoduje, 

Ŝe 

koenergia zaleŜy od prądów wszystkich cewek. 
 
 

Obliczanie koenergii dwóch cewek  

w obwodzie magnetycznym przetwornika 

 
 

k

1'

2'

Oś magnetyczna cewki 1

Oś magnetyczna cewki 2

 

Przekrój poprzeczny przetwornika o dwóch cewkach

 

z symbolicznie zaznaczonymi miejscami ich usytuowania. 

 
 

 
 

5 

 

Strumienie  skojarzone  cewek  w  liniowym  obwodzie 
magnetycznym 

 

2

1

1

1

1

i

i

 

L

 

L

,2

,1

⋅

+

⋅

=

ψ

    

 

2

2

1

2

2

i

i

 

L

 

L

,2

,1

⋅

+

⋅

=

ψ

 

 

 

 

L

,1

1

, 

 

L

,2

2

  

indukcyjności własne cewek  

 

L

,2

1

, 

,1

L

2

   

indukcyjności wzajemne 

 
Koenergia dwóch cewek jest sumą koenergii kaŜdej z 
cewek  

 

(

)

1

2

1

1

1

1

'

'

i

i

i

E

i

o

d

 

 

L

 

L

,2

,1

ko,1

∫

⋅

+

⋅

=

 

(

)

2

2

2

1

2

2

'

'

i

i

i

E

i

o

d

 

 

L

 

L

,2

,1

ko,2

∫

⋅

+

⋅

=

 

 

 

W jakiej kolejności całkować ?? 
 

 
WaŜne: 
Energia  i  koenergia  cewek  nie  zaleŜy  od  sposobu  jej 
gromadzenia 

 

6 
 

)

,

(

2

1

ko

i

i

E

)

,

(

2

1

i

i

 

 Ilustracja róŜnych sposobów gromadzenia energii 

 

w dwóch cewkach 

 
 

Uporządkowany proces gromadzenia energii: 
 - w pierwszym etapie prąd cewki ‘1’ jest zmieniany  
   od wartości 0 do wartości 

1

i , 

-  w  drugim  etapie  prąd  cewki  ‘2’  jest  zmieniany  od 

wartości 0 do wartości 

2

i , prąd cewki  ‘1’ pozostaje 

bez zmian. 

 

(

)

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

+

=

∫

∫

2

2

2

1

2

1

1

1

2

1

'

'

'

'

i

i

i

i

i

E

E

E

i

o

i

o

d

 

L

L

d

 

L

,2

,1

,1

ko,2

ko,1

ko

 

( )

( )

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

i

i

i

i

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

=

,2

,1

1,1

L

 

L

L

 

 

7 

 

Gdy zmienić kolejność gromadzenia energii 
 
 

(

)

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

∫

∫

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

'

'

'

'

i

i

i

i

i

E

i

o

i

o

d

 

L

L

d

 

L

,1

,2

,2

ko

 

( )

( )

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

i

i

i

i

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

=

,2

,1

1,1

L

 

L

L

 

 
 
Wniosek    

 

 

M

L

L

=

=

1

2

2

1

,

,

 

 
Równość  ta  wynika  z  faktu,  Ŝe  energia  zgromadzona 
w  układzie  cewek  nie  zaleŜy  od  sposobu  jej 
zgromadzenia.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

8 
 

ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI INDUKCYJNOŚCI 

 
 

const 

L

=

1

1

,

 

 

 

const 

L

=

2

2

,

 

 

π)

M(

)

M(

2

+

=

ϕ

ϕ

 

 
 

)

M(

ϕ

 

 

Zmienność indukcyjności wzajemnej  

w funkcji kąta obrotu 

ϕ

 

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

9 

 

 
 
 
Funkcja Lagrange’a przetwornika  

 

( )

( )

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

ω

ϕ

 

J

L

 

 

)

M(

L

,2

1,1

+

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

=

i

i

i

i

L

 

 

Równania Lagrange’a przetwornika  

 

1

1

1

1

i

u

q

L

i

L

t

⋅

−

=

∂

∂

−

∂

∂

1

R

d

d

 

2

2

2

2

i

u

q

L

i

L

t

⋅

−

=

∂

∂

−

∂

∂

2

R

d

d

 

ω

ϕ

ω

⋅

−

=

∂

∂

−

∂

∂

D

d

d

z

m

L

L

t

 

 

Po wykonaniu operacji matematycznych  

 

(

)

1

1

2

1

1

u

i

i

i

t

=

⋅

+

⋅

+

⋅

 

R

 

)

M(

 

L

d

d

1

,1

ϕ

 

(

)

2

2

2

2

1

u

i

i

i

t

=

⋅

+

⋅

+

⋅

 

R

 

L

 

)

M(

d

d

2

,2

ϕ

 

1

2

2

i

i

m

t

t

⋅

⋅

∂

∂

+

=

+

 

)

M(

d

d

D

d

d

J

z

2

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

 

 

10 
 

Pierwsze  dwa  równania  opisują  obwody  elektryczne 
przetwornika, trzecie opisuje ruch obrotowy  
 
Moment elektromagnetyczny przetwornika 

 

1

2

i

i

m

⋅

⋅

∂

∂

=

 

)

M(

el

ϕ

ϕ

 

 

określa moment elektromagnetyczny przetwornika.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

11 

 

MACIERZOWA POSTAĆ RÓWNAŃ 

 
 
ZaleŜności strumieni sprzęŜonych od prądów   

 













⋅













=













2

1

2

1

2

1

i

i

 

 

L

 

)

M(

 

)

M(

L

,2

,1

ϕ

ϕ

ψ

ψ

 

 

lub    

 

 

i

L

⋅

=

)

(

ϕ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

 

gdzie 

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

    wektor strumieni sprzęŜonych, 

i  

wektor prądów,  

)

(

ϕ

L

  

macierzą indukcyjności.  

 
Koenergia 

ko

E   

 

[

]













⋅













⋅

=

2

1

2

1

2

1

2

1

i

i

i

i

E

 

 

L

 

)

M(

 

)

M(

L

,2

,1

ko

ϕ

ϕ

 

 

lub    

 

( )

i

L

i

⋅

⋅

=

ϕ

T

E

2

1

ko

 

 
 
 
 
 
 
 

12 
 

Równania przetwornika 

 

( )

(

)

u

i

R

i

L

=

⋅

+

⋅

ϕ

t

d

d

 

( )

i

L

i

⋅

∂

∂

⋅

+

=

+

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

T

m

t

t

2

1

2

z

2

d

d

D

d

d

J

 

 

 

Cechy matematyczne macierzy indukcyjności 

związane z właściwościami fizycznymi: 

 

- macierz indukcyjności jest nieosobliwa 
 

( )

0

≠

ϕ

L

det

 

 

poniewaŜ  sprzęŜenia  magnetyczne  rzeczywistych 
cewek  nie  mogą  być  całkowite,  co  matematycznie 
wyraŜa nierówność 

 

(

)

2

ϕ

M(

L

L

2,2

1,1

<

⋅

 

 

 
Strumienie  skojarzone  są  jednoznacznie  określone 
przez 

prądy 

cewek 

oraz 

prądy 

cewek 

są 

jednoznacznie 

określone 

przez 

strumienie 

skojarzone. 
 
 

13 

 

- macierz indukcyjności jest symetryczna 

 

( )

( )

(

)

T

ϕ

ϕ

L

L

=

 

 

poniewaŜ  energia  i  koenergia  zgromadzona  w 
układzie  cewek  nie  zaleŜą  od  sposobu  ich 
gromadzenia.   

 
 
- macierz indukcyjności dla przetworników o ruchu   
  obrotowy jest okresowa 

 

( ) (

)

π

2

+

=

ϕ

ϕ

L

L

 

 

poniewaŜ  po  obrocie  o  kąt  pełny  wszystkie  cewki 
powracają do poprzednich pozycji.