1

PRZEMIANY ENERGII ZA POMOCĄ

POLA MAGNETYCZNEGO

W PRZETWORNIKACH O RUCHU

OBROTOWYM

Elektromechaniczne

przetwornikami

energii

–

przetwarzają energię elektryczną na mechaniczną
lub mechaniczną na elektryczną przy wykorzystaniu
pola magnetycznego.

Najważniejsze są przetworniki o ruchu obrotowym
Są wykorzystywane od ponad 100 lat.

BUDOWA PRZETWORNIKÓW

O RUCHU OBROTOWYM

Magnetowód złożony z dwóch ferromagnetycznych
walcowych

części:

nieruchomej

i

obrotowej,

rozdzielonych szczeliną powietrzną.

Elementy stanowiące magnetowód, czyli obwód
magnetyczny

przetwornika,

mają

kształt

współosiowych walców, których powierzchnie od
strony

szczeliny

powietrznej

są

odpowiednio

ukształtowane, nadając przetwornikowi odpowiednie
właściwości.

2

Obwód magnetyczny przetwornika wykonywany jest
z materiałów o bardzo dobrych właściwościach
magnetycznych, w taki sposób, aby ograniczyć
przewodność elektryczną magnetowodu.

Cewki,

stanowiące

uzwojenia

przetwornika,

wykonywane są z materiałów dobrze przewodzących
prąd, aby ograniczyć straty mocy. Cewki te
umieszczone

są

w

specjalnie

ukształtowanych

żłobkach biegnących równolegle do osi obrotu
przetwornika. Prądy tych cewek wytwarzają w
magnetowodzie pole magnetyczne, wykorzystywane
do przetwarzania energii.


Opis obwodu magnetycznego przetworników oraz
sposobu wykonania cewek można znaleźć w
książkach poświeconych budowie i konstrukcji
maszyn elektrycznych różnych typów.

3

Przetworniki stanowią układy elektromechaniczne
utworzone ze zbioru cewek umieszczonych we
wspólnym obwodzie magnetycznym. Obrotowa część
przetwornika stanowi w najprostszym ujęciu bryłę
sztywną o stałym momencie bezwładności.

Funkcja

Lagrange’a

takiego

przetwornika

elektromechanicznego

składa

się

wyłącznie

z

koenergii,

gdyż

w

przetworniku

nie

ma

kondensatorów, a w układzie mechanicznym, przy
jego najprostszej reprezentacji, nie ma elementów
sprężystych.

Koenergia obrotowej części przetwornika

2

2

1

ω

J

ko

⋅

=

E

ω

- prędkość kątowa

J - momentem bezwładności.

4

OBLICZANIA KOENERGII ZBIORU CEWEK

Sprzężenie

magnetyczne

cewek

powoduje,

że

koenergia zależy od prądów wszystkich cewek.

Obliczanie koenergii dwóch cewek

w obwodzie magnetycznym przetwornika

k

1'

2'

Oś magnetyczna cewki 1

Oś magnetyczna cewki 2

Przekrój poprzeczny przetwornika o dwóch cewkach

z symbolicznie zaznaczonymi miejscami ich usytuowania.

5

Strumienie skojarzone cewek w liniowym obwodzie
magnetycznym

2

1

1

1

1

i

i

L

L

,2

,1

⋅

+

⋅

=

ψ

2

2

1

2

2

i

i

L

L

,2

,1

⋅

+

⋅

=

ψ

L

,1

1

,

L

,2

2

indukcyjności własne cewek

L

,2

1

,

,1

L

2

indukcyjności wzajemne

Koenergia dwóch cewek jest sumą koenergii każdej z
cewek

(

)

1

2

1

1

1

1

'

'

i

i

i

E

i

o

d

L

L

,2

,1

ko,1

∫

⋅

+

⋅

=

(

)

2

2

2

1

2

2

'

'

i

i

i

E

i

o

d

L

L

,2

,1

ko,2

∫

⋅

+

⋅

=

W jakiej kolejności całkować ??

Ważne:
Energia i koenergia cewek nie zależy od sposobu jej
gromadzenia

6

)

,

(

2

1

ko

i

i

E

)

,

(

2

1

i

i

Ilustracja różnych sposobów gromadzenia energii

w dwóch cewkach

Uporządkowany proces gromadzenia energii:
- w pierwszym etapie prąd cewki ‘1’ jest zmieniany
od wartości 0 do wartości

1

i ,

- w drugim etapie prąd cewki ‘2’ jest zmieniany od

wartości 0 do wartości

2

i , prąd cewki ‘1’ pozostaje

bez zmian.

(

)

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

+

=

∫

∫

2

2

2

1

2

1

1

1

2

1

'

'

'

'

i

i

i

i

i

E

E

E

i

o

i

o

d

L

L

d

L

,2

,1

,1

ko,2

ko,1

ko

( )

( )

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

i

i

i

i

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

=

,2

,1

1,1

L

L

L

7

Gdy zmienić kolejność gromadzenia energii

(

)

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

∫

∫

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

'

'

'

'

i

i

i

i

i

E

i

o

i

o

d

L

L

d

L

,1

,2

,2

ko

( )

( )

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

i

i

i

i

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

=

,2

,1

1,1

L

L

L

Wniosek

M

L

L

=

=

1

2

2

1

,

,

Równość ta wynika z faktu, że energia zgromadzona
w układzie cewek nie zależy od sposobu jej
zgromadzenia.

8

ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI INDUKCYJNOŚCI

const

L

=

1

1

,

const

L

=

2

2

,

π)

M(

)

M(

2

+

=

ϕ

ϕ

)

M(

ϕ

Zmienność indukcyjności wzajemnej

w funkcji kąta obrotu

ϕ

9

Funkcja Lagrange’a przetwornika

( )

( )

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

ω

ϕ

J

L

)

M(

L

,2

1,1

+

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

=

i

i

i

i

L

Równania Lagrange’a przetwornika

1

1

1

1

i

u

q

L

i

L

t

⋅

−

=

∂

∂

−

∂

∂

1

R

d

d

2

2

2

2

i

u

q

L

i

L

t

⋅

−

=

∂

∂

−

∂

∂

2

R

d

d

ω

ϕ

ω

⋅

−

=

∂

∂

−

∂

∂

D

d

d

z

m

L

L

t

Po wykonaniu operacji matematycznych

(

)

1

1

2

1

1

u

i

i

i

t

=

⋅

+

⋅

+

⋅

R

)

M(

L

d

d

1

,1

ϕ

(

)

2

2

2

2

1

u

i

i

i

t

=

⋅

+

⋅

+

⋅

R

L

)

M(

d

d

2

,2

ϕ

1

2

2

i

i

m

t

t

⋅

⋅

∂

∂

+

=

+

)

M(

d

d

D

d

d

J

z

2

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

10

Pierwsze dwa równania opisują obwody elektryczne
przetwornika, trzecie opisuje ruch obrotowy

Moment elektromagnetyczny przetwornika

1

2

i

i

m

⋅

⋅

∂

∂

=

)

M(

el

ϕ

ϕ

określa moment elektromagnetyczny przetwornika.

11

MACIERZOWA POSTAĆ RÓWNAŃ

Zależności strumieni sprzężonych od prądów













⋅













=













2

1

2

1

2

1

i

i

L

)

M(

)

M(

L

,2

,1

ϕ

ϕ

ψ

ψ

lub

i

L

⋅

=

)

(

ϕ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

gdzie

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

wektor strumieni sprzężonych,

i

wektor prądów,

)

(

ϕ

L

macierzą indukcyjności.

Koenergia

ko

E

[

]













⋅













⋅

=

2

1

2

1

2

1

2

1

i

i

i

i

E

L

)

M(

)

M(

L

,2

,1

ko

ϕ

ϕ

lub

( )

i

L

i

⋅

⋅

=

ϕ

T

E

2

1

ko

12

Równania przetwornika

( )

(

)

u

i

R

i

L

=

⋅

+

⋅

ϕ

t

d

d

( )

i

L

i

⋅

∂

∂

⋅

+

=

+

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

T

m

t

t

2

1

2

z

2

d

d

D

d

d

J

Cechy matematyczne macierzy indukcyjności

związane z właściwościami fizycznymi:

- macierz indukcyjności jest nieosobliwa

( )

0

≠

ϕ

L

det

ponieważ sprzężenia magnetyczne rzeczywistych
cewek nie mogą być całkowite, co matematycznie
wyraża nierówność

(

)

2

ϕ

M(

L

L

2,2

1,1

<

⋅

Strumienie skojarzone są jednoznacznie określone
przez

prądy

cewek

oraz

prądy

cewek

są

jednoznacznie

określone

przez

strumienie

skojarzone.

13

- macierz indukcyjności jest symetryczna

( )

( )

(

)

T

ϕ

ϕ

L

L

=

ponieważ energia i koenergia zgromadzona w
układzie cewek nie zależą od sposobu ich
gromadzenia.

- macierz indukcyjności dla przetworników o ruchu
obrotowy jest okresowa

( ) (

)

π

2

+

=

ϕ

ϕ

L

L

ponieważ po obrocie o kąt pełny wszystkie cewki
powracają do poprzednich pozycji.