1.

Sprawdź, czy trójkąt o bokach długości
a)

3, 4, 5,

b)

5, 12, 13

jest prostokątny. Jeśli tak, oblicz promień R okręgu opisanego na tym trójkącie, promień r okręgu wpi-
sanego w ten trójkąt, długość wysokości h poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego, pole P trójkąta.
2.

Oblicz promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie o bokach: 10, 13, 13. Oblicz pole trójką-
ta.

3.

Na okręgu o promieniu

2

r

=

opisano trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna c ma długość

10. Oblicz pole P i obwód L tego trójkąta.

4.

Dany jest trójkąt o wierzchołkach:

(

)

1, 3

A

= −

,

( )

3, 5

B

=

,

(

)

3, 5

C

=

−

.

5.

Uzasadnij, że jest to trójkąt prostokątny.

6.

Wyznacz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.

7.

Jednym z boków trójkąta równobocznego jest odcinek AB, gdzie

(

)

2, 5

A

= −

,

(

)

4, 3

B

=

−

. Oblicz

pole tego trójkąta. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie i promień okręgu wpisanego w
ten trójkąt.

8.

Dany jest trójkąt o wierzchołkach:

(

)

6,1

A

= −

,

(

)

2, 5

B

= − −

,

( )

5, 4

C

=

. Wyznacz pole trójkąta

ABC. *Wyznacz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

9.

a)

Wyznacz miary kątów:

BAD

∢

,

BCD

∢

i

DEF

∢

.

b)

Wyznacz kąty:

PAC

∢

,

ABC

∢

.

c)

Oblicz miary kątów trój-
kąta ABC, wiedząc że

AB

BC

=

.

10.

Oblicz miary kątów oznaczonych literami:
a)

b)

c)

d)

11.

W kwadrat o boku

12

a

cm

=

wpisano okrąg, a w ten okrąg wpisano trójkąt równoboczny. Oblicz

stosunek pól kwadratu do trójkąta.

12.

Na kwadracie o boku

12

a

cm

=

opisano okrąg, a na tym okręgu opisano trójkąt równoboczny. Ob-

licz stosunek pól kwadratu do trójkąta.

13.

Napisz równanie okręgu o środku

( )

2, 4

S

wiedząc, że do tego okręgu należy punkt

( )

1,1

A

=

.

14.

Napisz równanie okręgu o promieniu 5 stycznego do prostej

2

1

0

x

y

−

− =

w punkcie

( )

3,1

A

=

.

15.

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 6 i 12. Oblicz długość promienia okręgu
stycznego do obu przyprostokątnych o środku należącym do przeciwprostokątnej.

16.

W prostokącie połączono środki sąsiednich boków i otrzymano romb, którego obwód jest równy 20,
a pole 24. oblicz długości boków prostokąta.

17.

Obwód rombu jest równy 20, a suma przekątnych 14. Oblicz pole i wysokość rombu.

18.

W rombie o obwodzie 8 5 długości przekątnych różnią się o 4. Oblicz ich długości.

ϕ

δ

ω

2

2

β

γ

r

r

α

19.

W półokrąg o promieniu

8

r

=

wpisano prostokąt ABCD , którego wierzchołki A i B leżą na średni-

cy tego okręgu, a wierzchołki C i D na półokręgu. Oblicz pole prostokąta wiedząc, że stosunek dłu-
gości jego boków AB i BC jest równy 2.

20.

Kąt ostry równoległoboku ma miarę 60

°

. Odległość punktu przecięcia się przekątnych równoległo-

boku od jego boków są równe 5 3 i 2 3 . Oblicz pole i obwód tego równoległoboku.

Zadania z matur na poziomie podstawowym:
(maj 2008 r.)
21.

Prosta o równaniu 5

4

10

0

x

y

+

−

=

przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie A oraz oś Oy w

punkcie B . Oblicz współrzędne wszystkich punktów C leżących na osi Ox i takich, że trójkąt ABC ma
pole równe 35.

22.

Dany jest trapez, w którym podstawy mają długość 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworzą z dłuższą pod-

stawą kąty o miarach 30

° i 45°. Oblicz wysokość tego trapezu.

23.

Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa

α

.

a)

Uzasadnij, że spełniona jest nierówność sin

tg

0

α

α

−

<

.

b)

Dla

2 2

sin

3

α

=

oblicz wartość wyrażenia

3

2

cos

cos

sin

α

α

α

+

⋅

.

(maj 2009 r.)
24.

W trapezie ABCD długość podstawy CD jest równa 18 ,
a długości ramion trapezu AD i BC są odpowiednio
równe 25 i 15. Kąty ADB i DCB, zaznaczone na rysun-
ku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu.

25.

Punkty

(

)

0,10

B

=

i

( )

0, 0

O

=

są wierzchołkami trójkąta prostokątnego OAB, w którym

90

OAB

= °

∢

. Przyprostokątna OA zawiera się w prostej o równaniu

1
2

y

x

=

. Oblicz współrzędne

punktu A i długość przyprostokątnej OA.

(maj 2010 r.)
26.

Prosta o równaniu

(

)

2

3

3

y

x

m

= − +

+

przecina w układzie współrzędnych oś Oy w punkcie

( )

0, 2

.

Wtedy
A.

2
3

m

= −

B.

1
3

m

= −

C.

1
3

m

=

D.

5
3

m

=

27.

Odcinki AB i DE są równoległe. Długości odcinków
CD

, DE i AB są odpowiednio równe 1, 3 i 9. Długość

odcinka AD jest równa
A.

2

B.

3

C.

5

D.

6

28.

Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego wynosi:
A.

7

B.

14

C.

21

D.

28

29.

Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta
równobocznego. Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego
ASB

jest równa

A.

120

°

B.

90

°

C.

60

°

D.

30

°

30.

Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu

3

5

y

x

= − +

jest równy:

A.

1
3

−

B.

3

−

C.

1
3

D.

3

31.

Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma dłu-
gość 5. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość
A.

3

B.

4

C.

34

D.

61

32.

Latawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia zacieniowanego trójkąta jest
równa
A.

2

3200cm

B.

2

6400cm

C.

2

1600cm

D.

2

800cm

33.

Wskaż równanie okręgu o promieniu 6.
A.

2

2

3

x

y

+

=

B.

2

2

6

x

y

+

=

C.

2

2

12

x

y

+

=

D.

2

2

36

x

y

+

=

34.

Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu jest równa:

A.

4 2

B.

2 2

C.

8

D.

4

35.

Punkty

(

)

5; 2

A

= −

i

(

)

3; 2

B

=

−

są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Obwód tego trójką-

ta jest równy
A.

30

B.

4 5

C.

12 5

D.

36

36.

W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny.
Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.

(maj 2011 r.)
37.

Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany

α

ma miarę

A.

80

°

B.

100

°

C.

110

°

D.

120

°

38.

Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60

°

jest równa:

A.

3 3

B.

3

C.

6 3

D.

6

39.

Prosta k ma równanie

2

3

y

x

=

−

. Wskaż równanie prostej l równole-

głej do prostej k i przechodzącej przez punkt

(

)

2;1

D

= −

.

A.

2

3

y

x

= − +

B.

2

1

y

x

=

+

C.

2

5

y

x

=

+

D.

1

y

x

= − +

40.

Styczną do okręgu

(

)

2

2

1

4

0

x

y

−

+

− =

jest prosta o równaniu

A.

1

x

=

B.

3

x

=

C.

0

y

=

D.

4

y

=

41.

Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB CD

. Na boku BC wybrano taki punkt E, że

EC

CD

=

i

EB

BA

=

. Wykaż, że kąt AED jest prosty.

42.

Okrąg o środku w punkcie

( )

3;7

S

=

jest styczny do prostej o równaniu

2

3

y

x

=

−

. Oblicz współ-

rzędne punktu styczności.

(listopad 2009 r.)
43.

W trójkącie równoramiennym ABC dane są

7

AC

BC

=

=

oraz

12

AB

=

. Wysokość opuszczona z

wierzchołka C jest równa

A.

13

B.

5

C.

1

D.

5

44.

Oblicz długość odcinka AE wiedząc, że AB CD

i

6

AB

=

,

4

AC

=

,

8

CD

=

.

A.

2

AE

=

B.

4

AE

=

C.

6

AE

=

D.

12

AE

=

45.

Dane są punkty

(

)

2;3

A

= −

oraz

( )

4;6

B

=

. Długość odcinka AB jest równa

A.

208

B.

52

C.

45

D.

40

46.

Promień okręgu o równaniu

(

)

2

2

1

16

x

y

−

+

=

jest równy

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

47.

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty

( )

2;5

A

=

i

( )

6;7

C

=

są przeciwległymi wierz-

chołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej BD.

48.

Trójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A, C i E leżą na
jednej prostej. Punkty K, L, M są środkami odcinków AC, CE i
BD (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty K, L i M są wierzchoł-
kami trójkąta równobocznego.

49.

Pole trójkąta prostokątnego jest równe

2

60cm . Jedna przypro-

stokątna jest o 7 cm dłuższa od drugiej. Oblicz długość prze-
ciwprostokątnej tego trójkąta.

50.

Punkty

( )

2; 0

A

=

i

(

)

12; 0

B

=

są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o przeciwprostokątnej

AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y

x

=

. Oblicz współrzędne punktu C.

(listopad 2010 r.)
51.

Ogród ma kształt prostokąta o bokach długości 20 m i 40 m. Na dwóch końcach przekątnej tego pro-
stokąta wbito słupki. Odległość między tymi słupkami jest
A.

równa 40 m

B.

większa niż 50 m

C.

większa niż 40 m i mniejsza niż 45 m

D.

większa niż 45 m i mniejsza niż 50 m

52.

Pionowy słupek o wysokości 90 cm rzuca cień o długości 60 cm. W tej samej chwili stojąca obok
wieża rzuca cień długości 12 m. Jaka jest wysokość wieży?
A.

18 m

B.

8 m

C.

9 m

D.

16 m

53.

Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara zazna-
czonego kąta wpisanego ACB jest równa
A.

65

°

B.

100

°

C.

115

°

D.

130

°

54.

Dane są punkty

( )

2;1

S

=

,

( )

6; 4

M

=

. Równanie okręgu o środku S

i przechodzącego przez punkt M ma postać:

A.

(

) (

)

2

2

2

1

5

x

y

−

+

−

=

B.

(

) (

)

2

2

2

1

25

x

y

−

+

−

=

C.

(

) (

)

2

2

6

4

5

x

y

−

+

−

=

D.

(

) (

)

2

2

6

4

25

x

y

−

+

−

=

55.

Dany jest prostokąt ABCD. Okręgi o średnicach AB i AD przecinają
się w punktach A i P (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty B, P i D le-
żą

na jednej prostej.

56.

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej
przyprostokątnej o 1 cm i od drugiej przyprostokątnej o 32 cm. Oblicz
długości boków tego trójkąta.

57.

Punkty

( )

1;5

A

=

,

(

)

14;31

B

=

(

)

4;31

C

=

są wierzchołkami trójkąta.

Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierz-
chołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz długość odcinka
BD.