MATEMATYKA

Tematy prac kontrolnych

uzupełniający plan nauczania

Klasa

II liceum ogólnokształcącego

/wg programu zatwierdzonego przez Ministra Edukacji Narodowej i Sportu

decyzją Nr DKOS-4015-104/02/.

Warszawa 2004

I. Podstawa programowa. Treści nauczania z matematyki

Zasadniczym aktem prawnym w zakresie nauczania matematyki w liceum
ogólnokształcącym jest podstawa kształcenia ogólnego obowiązująca od 1
września 2002 r. na mocy Rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej i
Sportu z dnia 26 lutego 2002 r., która zamieszczona jest w Dzienniku Ustaw nr
51 z dnia 9 maja 2002 r.

Podstawa programowa zawiera cele edukacyjne, zadania szkoły, treści
nauczania i osiągnięcia jakie należy uwzględnić przy tworzeniu programów i
podręczników do nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych.
Podstawa programowa zakłada kształcenie z matematyki w liceum
ogólnokształcącym w zakresie podstawowym oraz rozszerzonym.

Treści nauczania z matematyki dla klas I - III liceum ogólnokształcącego w
zakresie podstawowym
Treści podkreślone zaplanowane zostały do realizacji w klasie drugiej. Treści

te wraz z przewidywanymi osiągnięciami uczniów określają zakres prac

kontrolnych z matematyki dla uczniów klasy drugiej.

Liczby i ich zbiory.

1. Zbiory; suma, iloczyn, różnica zbiorów. Podstawowe pojęcia rachunku zdań.

2. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory; liczby naturalne (liczby

pierwsze), liczby całkowite, wymierne i niewymierne. Rozwinięcie

dziesiętne liczby rzeczywistej.

3. Przypomnienie działań na potęgach. Potęga o wykładniku wymiernym.

4. Oś liczbowa. Przedziały na osi liczbowej. Suma przedziałów; iloczyny i

różnice takich zbiorów.

5. Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej. Interpretacja geometryczna.

6. Pojęcie błędu przybliżenia. Szacowanie wartości liczbowych. Obliczanie

procentowe.

Funkcje i ich własności.

1. Pojęcie funkcji. Wykres funkcji liczbowej.

3

2.Wyznaczenie dziedziny funkcji, jej miejsc zerowych, zbioru wartości,

wartości największej i najmniejszej w danym przedziale, przedziałów

monotoniczności.

3. Zastosowanie funkcji do opisu zależności w przyrodzie, gospodarce i życiu

codziennym.

4. Przesuwanie wykresu funkcji wzdłuż osi x i osi y.

Wielomiany i funkcje wymierne.

1. Funkcja liniowa.

2. Trójmian kwadratowy i jego pierwiastki. Wykres funkcji kwadratowej.

3. Rozwiązywanie zadań prowadzących do równań i nierówności stopnia

drugiego.

4. Wielomiany. Działania na wielomianach.

5. Dzielenie wielomianów z resztą. Twierdzenie Bẻzout. Zastosowanie do

znajdywania pierwiastków wielomianów metodą rozkładania na czynniki.

6. Działania na wyrażeniach wymiernych. Funkcja homograficzna.

7. Rozwiązanie równań i nierówności z funkcją homograficzną.

Funkcje trygonometryczne.

1. Funkcje trygonometryczna kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

2. Miara łukowa kąta. Definicja funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta.

3. Wykresy funkcji trygonometrycznych.

4. Najprostsze tożsamości trygonometryczne.

Ciągi liczbowe.

1. Definicja i przykłady ciągów liczbowych.

2. Ciąg arytmetyczny i geometryczny. Wzór na sumę n początkowych

wyrazów.

3. Procent składany. Oprocentowanie lokat i kredytów.

Planimetria

4

1. Własności czworokątów wypukłych. Okrąg wpisany w czworokąt. Okrąg

opisany na czworokącie.

2. Wyznaczenie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem

trygonometrii.

3. Oś symetrii i środek symetrii figury.

4. Twierdzenie Talesa i jego związek z podobieństwem. Cechy podobieństwa

trójkątów.

Geometria analityczna

1.Równanie prostej na płaszczyźnie. Półpłaszczyzna – opis za pomocą

nierówności.

2. Odległość na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Stereometria

1. Graniastosłupy i ostrosłupy. Walec, stożek, kula.

2. Wzajemne położenie krawędzi i ścian brył: kąt nachylenia prostej do

płaszczyzny i kąt dwuścienny.

3.Wyznaczanie związków miarowych w bryłach z zastosowaniem

trygonometrii.

Rachunek prawdopodobieństwa

1. Proste zadania kombinatoryczne.

2. Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności.

3. Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń w skończonych przestrzeniach

probabilistycznych.

4.Elementy statystyki opisowej: średnia arytmetyczna, średnia ważona,

mediana, wariancja i odchylenie standardowe (liczone z próby).

5

II. Przewidywane osiągnięcia uczniów po ukończeniu klasy drugiej

Uczeń kończący klasę drugą powinien umieć:

- wykonywać działania na wielomianach;

- rozkładać wielomiany na czynniki stosując wzory skróconego mnożenia,

grupowanie i wyłączanie wspólnego czynnika;

- zastosować twierdzenie Bézout;
- sprawdzać, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu;
- rozwiązywać równania i nierówności wielomianowe;
- skracać i rozszerzać wyrażenia wymierne;
- dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić wyrażenia wymierne;
- rysować wykresy funkcji homograficznych;
- opisywać własności funkcji homograficznych;
- rozwiązywać równania wymierne i nierówności wymierne;

-rozwiązywać zadania tekstowe prowadzące do prostych równań

wymiernych;

- zamieniać miarę kąta w stopniach na miarę łukową i odwrotnie;

- obliczać wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów o mierze

radianowej;

- stosować wzory redukcyjne;

-stosować

związki

między

funkcjami

trygonometrycznymi

tego

samego argumentu rzeczywistego do dowodzenia prostych tożsamości
trygonometrycznych;

- sporządzać wykresy funkcji trygonometrycznych i odczytywać własności

tych funkcji z ich wykresów;

- rozwiązywać proste równania trygonometryczne wykorzystując poznane

wzory;

- rozwiązywać nierówności trygonometryczne posługując się wykresami

funkcji trygonometrycznych;

- obliczać wartości wyrazów ciągu na podstawie wzoru;
- sprawdzać, czy dana wartość jest wyrazem danego ciągu;
- rysować wykresy ciągów;
- sprawdzać, które wyrazy ciągu należą do danego przedziału;
- badać monotoniczność ciągu;
- sprawdzać, czy ciąg jest arytmetyczny;
- ustalać wzór ciągu arytmetycznego na podstawie różnych danych;
- obliczać sumy n kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego;
- rozwiązywać zadania z wykorzystaniem średniej arytmetycznej wzorów na a

n

i S

n

;

- sprawdzać, czy ciąg jest geometryczny;
- ustalać wzór ciągu geometrycznego na podstawie różnych danych;
- obliczać sumy n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;

- rozwiązywać zadania o ciągach geometrycznych z wykorzystaniem wzorów

6

na a

n

i S

n

;

- posługiwać się ciągiem geometrycznym do obliczeń związanych z procentem

składanym, z oprocentowaniem kredytów i lokat bankowych;

- rozróżniać trapezy, równoległoboki, prostokąty, romby, kwadraty, deltoidy

wśród innych czworokątów;

- ustalać zależności między zbiorami czworokątów;

- stosować warunki istnienia okręgu wpisanego w czworokąt oraz okręgu

opisanego na czworokącie;

- rozróżniać figury osiowosymetryczne;

- rozwiązywać zadania z wykorzystaniem osi symetrii trójkątów i

czworokątów;

- rozróżniać figury środkowosymetryczne;
- rozwiązywać zadania z wykorzystaniem środka symetrii figury;
- obliczać obwody i pola wielokątów i kół.


III. Podręczniki . Zbiory zadań i książki pomocnicze

Na bazie podstawy programowej powstało ponad 20 autorskich programów

nauczania matematyki dla liceum ogólnokształcącego, które zamieszczone

są w wykazie programów MENiS. Na podstawie tych programów

wydanych zostało wiele podręczników do nauczania matematyki w zakresie

podstawowym, w tym między innymi:

1)Wiktor Bartol, Krystyna Dałek, Ewa Łakoma, Zofia Milczek, Grażyna

Miłosz, Leszek Rudak, Grażyna Rygał, Wacław Zawadowski – Podręcznik.

Matematyka się liczy. 2. Liceum ogólnokształcące, liceum profilowane,

technikum. Kształcenie w zakresie podstawowym – WSiP SA. 2003.

2)Matematyka przyjemna i pożyteczna. Podręcznik, klasa 2, szkoły

ponadgimnazjalne, zakres podstawowy – Marek Zakrzewski, Tomasz Żak,

Eugeniusz Jakubas, Piotr Nodzyński, Jacek Szuty, Danuta Zakrzewska –

Wydawnictwo Szkolne PWN. 2003.

3) Małgorzata Trzeciak, Monika Jankowska – Matematyka. Klasa 2. Podręcznik

dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum.

Kształcenie w zakresie podstawowym – WSiP SA. 2003.

7

4)Maciej Antek, Piotr Grabowski – Matematyka. Podręcznik dla liceum

ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum. 2. Kształcenie

ogólne w zakresie podstawowym. – Wydawnictwo Nowa Era. 2003.

5)Stanisław Zieleń – Matematyka dla klasy 2. Liceum ogólnokształcące,

liceum profilowane, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony –

Wydawnictwo Nowik. 2003.

6)Matematyka krok po kroku. Podręcznik dla klasy drugiej liceum

ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy

i rozszerzony - Ryszard J. Pawlak, Helena Pawlak, Alicja Rychlewicz,

Andrzej Rychlewicz, Kazimierz Żylak – Res Polona. 2003.

7) Matematyka z plusem. Matematyka II. Podręcznik dla liceum i technikum.

Zakres podstawowy. - Marcin Karpiński, Małgorzata Dobrowolska, Jacek

Lech – Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe. 2003.

8)Krzysztof Kłaczkow, Marcin Kurczab, Elżbieta Świda – Matematyka.

Podręcznik dla uczniów liceów i techników. Klasa II. Zakres podstawowy i

rozszerzony – Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro. 2003.

W poszerzaniu i sprawdzaniu umiejętności mogą pomóc między innymi
następujące zbiory zadań i książki pomocnicze:

1) Matematyka. Klasa 2. Kształcenie w zakresie podstawowym. Zbiór zadań dla

liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum – Małgorzata
Trzeciak, Monika Jankowska, Anna Oszańska-Iwanek - WSiP SA. 2003.

2)Matematyka. Klasa 2. Kształcenie w zakresach podstawowym i

rozszerzonym. Zbiór zadań dla liceum ogólnokształcącego, liceum
profilowanego i technikum – Norbert Dróbka, Karol Szymański – WSiP
SA. 2003.

3) Matematyka przyjemna i pożyteczna. Zbiór zadań. Klasa 2 – Jacek Szuty,

Eugeniusz Jakubas, Piotr Nodzyński – Wydawnictwo Szkolne PWN. 2003.

4) Matematyka się liczy. Zbiór zadań i zagadnień : Kształcenie w zakresie

podstawowym. Część 2 – Wiktor Bartol, Krystyna Dałek, Ewa Łakoma,
Zofia Milczek, Grażyna Miłosz, Leszek Rudak, Grażyna Rygał. Wacław
Zawadowski – WSiP SA. 2003.

5) I ty zostaniesz Euklidesem. Zbiór zadań z matematyki dla klasy drugiej

liceum i technikum. Zakres podstawowy. – Anna Zalewska,, Edward

8

Stachowski – Oficyna Wydawniczo – Poligraficzna „Adam”. 2003.

6) Encyklopedia Szkolna. Matematyka – w wersji książkowej lub CD–ROM –

WSiP SA.

7) Tablice matematyczne.

W cyklu edukacyjnym „ Matematyka się liczy” zawarta jest również obudowa

internetowa dostępna pod adresem

http://www.wsip.com.pl

.

9

IV. Prace kontrolne

Terminy i kryteria oceniania prac kontrolnych

Uczniów obowiązuje wykonanie czterech – spośród sześciu – zaproponowanych

prac kontrolnych. Dwie pierwsze należy przesłać do Zespołu Szkół w

Warszawie do 31 stycznia, a następne dwie do 15 czerwca.

Pisz starannie długopisem lub piórem, rysunki wykonuj ołówkiem. Każda praca

zawiera sześć zadań. Ostatnie z nich jest o podwyższonym stopniu trudności. Za

każde zadanie można otrzymać najwyżej 4 punkty. Prace będą oceniane według

następujących zasad:

24 – 23 pkt – celujący,

22 – 20 pkt – bardzo dobry,

19 – 16 pkt – dobry,

15 – 12 pkt – dostateczny,

11 – 8 pkt – dopuszczający,

7 – 0 pkt – niedostateczny.

POWODZENIA!

10

Praca kontrolna nr 1

Wielomiany

Zadanie 1.
Dane są wielomiany:
W(x) = 2x² – 3; P(x) = x³ + x – 2

Wykonaj działania i uporządkuj wielomiany:
a) 3 P(x) – 2 W(x);
b) W(x) · P(x);

Zadanie 2.
a) Wykonaj dzielenie wielomianów:
(x

4

– 3x³ – x² + 2x + 6) : (x – 2).

b) Nie wykonując ilorazu podaj resztę z dzielenia:
x

5

– 4x³ – 3x² – 2x – 5 przez x + 1.

Zadanie 3.
Rozłóż na czynniki wielomiany:

a) 8x³ + 1;
b) x

5

+ 3x

4

– 4x³ – 12x²;

Zadanie 4.
Rozwiąż równania:
a) x³ – 3x² + 4x – 12 = 0;
b) x

7

– 5x

5

+ 4x³ = 0;

Zadanie 5.
Rozwiąż nierówności:

a) (3x² – 5x + 2)(3 – 2x)²(9 – x) < 0;
b) 3x³ + 5x² – 27x – 45 ≤ 0;

Zadanie 6.
Wykaż, że nierówność x

4

+ 2x³ + 3x² + 2x + 2 > 0 jest spełniona

przez każdą liczbę rzeczywistą x.

11

Praca kontrolna 2

Wyrażenia wymierne. Funkcja homograficzna

Zadanie 1.
a) Rozszerz wyrażenie tak, aby otrzymać wyrażenie o wskazanym

mianowniku:

6

5

1

1

2

−

−

=

+

x

x

x

. Wyznacz dziedziny lewej i prawej

strony równości.

b) Skróć ułamek

1

1

2

3

2

4

6

+

+

+

+

+

+

x

x

x

x

x

x

i oblicz jego wartość dla x = -2.

Zadanie 2.
Ustal dziedzinę wyrażenia i wykonaj wskazane działania:

a)

;

25

5

4

1

5

2

2

−

−

−

⋅

+

−

x

x

x

x

x

b)

;

2

3

1

9

4

4

3

2

1

2

2

x

x

x

x

x

x

−

+

−

−

−

+

+

−

Zadanie 3.
Rozwiąż równania:

a)

;

1

3

2

2

1

3

−

=

−

x

x

x

b)

0

6

5

3

2

2

1

3

2

=

+

+

+

+

+

+

+

x

x

x

x

x

x

.

Zadanie 4.
Rozwiąż nierówności:

a)

;

0

2

3

2

>

−

−

x

x

b)

3

1

2

1

1

<

−

−

+

x

x

.

Zadanie 5.

Dana jest funkcja:

x

x

y

−

−

=

1

1

2

. Narysuj wykres tej funkcji uwzględniając

punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych. Podaj dziedzinę, zbiór
wartości i przedziały monotoniczności funkcji.

12

Zadanie 6.

Wykaż, że jeśli

1

,

0

1

2

2

2

2

2

2

=

+

+

=

+

+

=

+

+

c

z

b

y

a

x

to

z

c

y

b

x

a

i

c

z

b

y

a

x

,

gdzie a, b, c, x, y, z są różne od 0.

13

Praca kontrolna nr 3

Funkcje trygonometryczne

Zadanie 1.
Wyznacz miarę łukową kątów wewnętrznych następujących
wielokątów foremnych: trójkąta, kwadratu, pięciokąta, sześciokąta.

Zadanie 2.
Oblicz wartości:

a) sin 1020°;

b) ctg

4

11

π.

Zadanie 3.
Narysuj w przedziale < -2π; 2π > wykres funkcji:
y = - 2 + 2cos x.
Wyznacz: zbiór wartości, miejsca zerowe i przedziały, w których
funkcja rośnie.

Zadanie 4.
Rozwiąż równania:

a) cos x =

2

1

;

b) tg x = tg

3

2

π

Zadanie 5.
Rozwiąż nierówności:

a)

sin x >

2

1

dla x

∈

< -2π; 2π >;

b) tg x ≤ 1 dla x

∈

< -2π; 2π >.

Zadanie 6.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x spełniony jest warunek - 2
< tg (sin x) < 2.

14

Praca kontrolna nr 4

Ciągi liczbowe. Ciąg arytmetyczny

Zadanie 1.
Oblicz pięć początkowych wyrazów ciągu (a

n

) określonego wzorem:

a) a

;

4

15

2

5

−

+

=

n

n

n

b) a

;

4

−

=

n

n

n

Zadanie 2.
Zbadaj monotoniczność ciągów określonych wzorami:

a) a

3

5

2

5

+

+

=

n

n

n

; b) b

n

n

3

1

=

Zadanie 3.
Które wyrazy każdego z ciągów (a

n

) i (b

n

) są równe liczbom: - 8; 0;

8, jeżeli a

4

n

n

=

; b

n

= n² + n –12 ?

Zadanie 4.
Ciąg arytmetyczny (a

n

) spełnia warunki: a

4

=3 i a

7

= 9. Oblicz a

30

oraz S

30

.

Zadanie 5.
Wartość użytkowa pewnej maszyny malała z roku na rok
w ciągu arytmetycznym. Po ilu latach maszyna całkowicie straciła
wartość użytkową, jeżeli wiadomo, że jej wartość po 18 latach była
dwa razy mniejsza niż jej wartość po 4 latach.

Zadanie 6.
Ciąg (a

n

) określony jest wzorem a

n

= n² , zaś ciąg (b

n

) wzorem b

n

= a

1

+

n

- a

n

. Wykaż, że ciąg (b

n

) jest arytmetyczny.

15

Praca kontrolna nr 5

Ciąg geometryczny. Procent składany

Zadanie 1.

Ciągi (a

n

), (b

n

), (c

n

) i (d

n

) są określone wzorami ogólnymi: a

n

n

)

3

(

=

;

b

n

= n²; c

n

n

3

2

=

; d

n

= 2n – 5. Zbadaj, który z ciągów jest geometryczny.

Zadanie 2.
O ciągu geometrycznym (a

n

) wiemy, że a

2

= 8 i a

3

= 4. Oblicz a

10

i S

10

.

Zadanie 3.
Wpłacono do banku 10000 zł na lokatę oprocentowaną na 12%
w stosunku rocznym. Oblicz stan lokaty po dwóch latach, bez
uwzględniania podatku od odsetek, jeżeli dopisywanie odsetek jest:

a) roczne;
b) miesięczne.

Uwaga! Jeśli nie dysponujesz kalkulatorem, wystarczy, że jako
rozwiązanie podasz odpowiednie wyrażenie zawierające dane z zadania.
Jeśli chcesz policzyć wszystko do końca, wynik możesz WYJĄTKOWO
podać w przybliżeniu.

Zadanie 4.
Przedsiębiorca otrzymał z banku 100000 zł kredytu. Oprocentowanie
kredytu wynosi p% rocznie, przy czym odsetki dolicza się po upływie
każdego roku (kapitalizacja roczna). Po dwóch latach niespłacania
kredytu zobowiązania przedsiębiorcy wobec banku z tego tytułu
wynosiły 150000 zł. Ile wynosił procent p?
Uwaga! Wynik możesz WYJĄTKOWO podać w przybliżeniu.

Zadanie 5.
Kowalski co miesiąc wpłaca 200 zł na fundusz emerytalny, w którym
oprocentowanie wynosi p% i odsetki dopisywane są co miesiąc. Jaki
kapitał zgromadzi Kowalski w funduszu emerytalnym po 30 latach?

16

Zadanie 6.
Udowodnij, że jeżeli liczby x, y, z tworzą ciąg geometryczny, to (x + y
+ z)(x – y + z) = x² + y² + z².

17

Praca kontrolna nr 6

Figury osiowosymetryczne i środkowosymetryczne.

Wielokąty

Zadanie 1.
Wyznacz równania wszystkich osi symetrii kwadratu ABCD, gdzie
A = (3, 2), B = (– 1, 4), C = (– 3, 0), D = (1, – 2).

Zadanie 2.
Na okręgu o promieniu 4 cm opisany jest równoramienny trapez,
którego długości podstaw różnią się o 12 cm. Oblicz obwód trapezu.

Zadanie 3.
W koło wpisano prostokąt, w którym stosunek długości sąsiednich
boków wynosi 2 : 1. Wyznacz stosunek pola prostokąta do pola koła.

Zadanie 4.

Naszkicuj wykres funkcji f określonej wzorem f(x) =

4

3

−

−

x

x

. Wyznacz

współrzędne środka symetrii oraz równania osi symetrii tego wykresu.
Dokonaj obliczeń uzasadniających odpowiedź!

Zadanie 5.
Długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 2, a ich
iloczyn jest równy 480. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zadanie 6.
Wykaż, że jeśli w czworokącie wypukłym ABCD przekątne przecinają
się w punkcie O i zachodzi równość AO · OC = BO · OD, to na tym
czworokącie można opisać okrąg.

18

18