KLASYFIKACJA ZACHOWAŃ
WYBRANYCH UKŁADÓW
DYNAMICZNYCH
Wojciech MITKOWSKI
Katedra Automatyki
Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Zielona Góra, 22 listopada 2010
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
2
WPROWADZENIE
• Podstawowe kierunki badań
• Zachowania klasyczne i „dziwne”
• Diagnostyka dziwnych zachowań
• Źródła zachowań „chaotycznych”
• System pojęciowy
• Przykłady
• Uwagi końcowe
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
3
DWA PODSTAWOWE
KIERUNKI BADAŃ
• Poszukiwanie zachowań regularnych (np.
stabilnych w różny sposób).
• Poszukiwanie i zrozumienie zachowań
nieregularnych (chaos).
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
4
ZACHOWANIA REGULARNE
• Globalna asymptotyczna stabilność
• Asymptotyczna stabilność-zbiory
przyciągania
• Stabilność praktyczna
• Trajektorie okresowe
• Parametry określające zachowania
• Układy liniowe
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
5
STABILNOŚĆ PRAKTYCZNA
RÓWNANIE VAN DER POLA:
t
x
x
x
a
x
sin
)
1
(
2
2
δ
β
µ
=
+
−
+
&
&
&
x
1
= x , x
2
= ˙x , a= 1.
1
,
1
−
=
=
µ
β
0
=
δ
9
.
0
=
δ
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
6
DZIWNE ZACHOWANIA
I STABILNOŚĆ PRAKTYCZNA
)
sin(
)
(
t
x
bsign
x
x
a
x
ω
δ
=
+
−
+ &
&
&
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
7
"ONION" ATRAKTOR
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
8
NORMA W CZASIE
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
9
AUTOKORELACJA
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
10
ANALIZA WIDMOWA
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
11
DIAGNOSTYKA DZIWNYCH
ZACHOWAŃ
• Obserwacja „normy” w czasie
• Atraktor
• Autokorelacja
• Analiza widmowa
• Inne
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
12
WYBRANE HIPOTEZY
BADAWCZE
mieszanie
cj
autokorela
zanikanie
e
Wykladnicz
sygnalu
sc
chaotyczno
cji
autokorela
zanikanie
Szybkie
okresowa
cja
autokorela
okresowe
Sygnaly
⇒
⇒
⇒
chaos
ostrzem
jednym
z
mowe
szerokopas
Widmo
⇒
)
1999
ker
(
"
"
Tuc
chaos
atraktora
Istnienie
wrazeniowa
Ocena
⇒
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
13
DETERMINIZM
A PRZYPADKOWOŚĆ
• „Chaos” deterministyczny
• Szum losowy (przypadkowy)
• Metody badania chaosu tworzą pomost pomiędzy
zachowaniami deterministycznymi i przypadkowymi
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
14
KIEDY MOŻEMY MÓWIĆ
O CHAOSIE ? -INTUICJA
1. Potok trajektorii ma deterministyczny i prosty
opis.
2. Zachowania trajektorii są skomplikowane i
przypadkowe.
Przypadkowość oznacza, że potok jest
nieprzewidywalny i trajektorie są wrażliwe na
małe perturbacje warunków początkowych –
potok wygląda jak szum losowy.
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
15
ŹRÓDŁA DYNAMIKI
„CHAOTYCZNEJ”
• Różnego rodzaju nieliniowości.
• Czas ciągły - n>2.
• Czas dyskretny - n>0.
• „Chaos”
w
układach
liniowych
–
ale
nieskończenie wymiarowych.
• Wiele (setki) różnych definicji „chaosu”.
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
16
TRZY RÓŻNE PODEJŚCIA
BADANIA CHAOSU
1.
Makroskopowe: badanie całego potoku, w
konsekwencji szukanie atraktorów o
skomplikowanej strukturze.
2.
Mikroskopowe: badanie własności
poszczególnych trajektorii, trajektorii
niestabilnych, turbulentnych lub gęstych w
przestrzeni stanu.
3.
Stochastyczne: wykorzystuje teorię ergodyczną
– bada się istnienie ergodycznej miary
niezmienniczej.
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
17
WYBRANE POJĘCIA
W CELU WPROWADZENIE
PORZĄDKU
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
18
UKŁAD DYNAMICZNY (X, f)
ciagla
jest
X
X
f
s
t
f
f
f
I
f
t
X
X
f
X
na
dynamiczny
czny
semidynami
uklad
f
s
t
s
t
t
t
t
→
×
∞
≥
=
=
≥
→
+
≥
)
,
0
[
:
0
,
,
,
0
,
:
)
(
}
{
0
0
o
n
A
At
R
X
e
f
x
e
t
x
t
t
Ax
t
x
=
=
=
≥
=
,
)
0
(
)
(
0
),
(
)
(
&
Przykłady:
A
f
x
A
k
x
k
k
Ax
k
x
k
=
=
=
=
+
)
0
(
)
(
,
2
,
1
,
0
),
(
)
1
(
K
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
19
UKŁAD MINIMALNY
)
,
(
:
,
)
|
,
(
,
)
(
:
:
f
X
podukladem
jest
D
mówimy
to
m
dynamiczny
ukladem
jest
f
D
para
czyli
domkniety
jest
D
Gdy
D
D
f
X
D
czy
niezmienni
Zbiór
D
∗
⊂
⊂
∗
•Układ, który nie posiada żadnych niepustych właściwych
podukładów nazywamy układem minimalnym.
•Jeżeli domknięty zbiór niezmienniczy wyznacza układ minimalny,
to nazywamy go zbiorem minimalnym.
•Układ jest minimalny wtedy i tylko wtedy, gdy każda orbita
jest gęstym podzbiorem przestrzeni fazowej (domknięcie dowolnej
orbity jest zawsze podukładem).
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
20
UKŁAD DYSKRETNY
0
),
(
)
(
}
),
(
),
(
,
{
)
(
)
(
0
1
0
2
0
0
0
0
≥
=
=
=
∈
−
k
x
f
x
f
x
x
f
x
f
x
x
O
f
wzgledem
X
x
punktu
orbita
a
Trajektori
k
k
k
K
}
)
(
:
{
)
(
)
(
.
)
(
)
(
:
1
)
(
:
1
0
0
0
0
0
x
x
f
x
f
Fix
staych
punktów
Zbiór
f
Per
okresowych
punktów
Zbior
m
m
podstawowy
okresie
o
okresowego
punktu
orbita
cykl
m
m
dlugosci
o
Cykl
x
x
f
m
liczba
a
najmniejsz
podstawowy
Okres
x
x
f
n
f
dla
x
okresowy
Punkt
m
n
=
=
−
∗
−
∗
−
−
∗
=
≥
∗
=
≥
∃
∗
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
21
ZASADA ODWZOROWAŃ
ZWĘŻAJĄCYCH
(Stefan Banach, Kraków 30.03.1892-Lwów 31.08.1945)
K
K
,
3
,
2
,
1
,
0
)),
(
,
(
1
)
,
(
,
3
,
2
,
1
,
0
),
(
)
(
:
!
,
),
1
,
0
(
),
,
(
))
(
),
(
(
,
:
0
0
0
1
2
1
2
1
2
1
=
−
≤
→
∈
=
=
=
∃
∈
∈
≤
→
+
m
x
F
x
x
x
x
x
X
x
n
x
F
x
x
F
x
x
X
x
x
x
x
x
F
x
F
X
X
F
m
m
o
o
n
n
n
o
o
o
ρρρρ
α
α
α
α
α
α
α
α
ρρρρ
α
α
α
α
αρ
αρ
αρ
αρ
ρρρρ
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
22
PRZESTRZEŃ FRAKTALI
METRYKA HAUSDORFFA
d(x,B) x
B
B A
)}
,
(
),
,
(
max{
)
,
(
)
,
(
max
)
,
(
)
,
(
max
)
,
(
A
B
d
B
A
d
B
A
h
A
y
d
A
B
d
B
x
d
B
A
d
B
y
A
x
=
=
=
∈
∈
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
23
ODWZOROWANIA ITEROWANE
K
,
3
,
2
,
1
,
0
,
0
)
0
(
,
)
(
)
1
(
=
=
+
=
+
i
x
b
i
Ax
i
x
=
=
=
=
=
=
3
1
,
0
2
,
0
0
,
1
0
0
1
2
1
3
2
1
3
2
1
b
b
b
A
A
A
n=1 n=2 n=3
n=10 000
TRÓJKĄT SIERPIŃSKIEGO
m
n
dla
A
A
h
n
m
n
<
<
−
2
)
,
(
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
24
ODWZOROWANIE
ODCINKA [0, 1] W SIEBIE
,..
5
,
4
,
3
,
2
,
1
),
1
(
)
,
(
),
),
(
(
)
1
(
=
−
=
=
+
i
x
x
x
F
i
x
F
i
x
λ
λ
λ
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
generator(3.8284,15,0.5)
generator(3.8284,15,0.55)
))
0
(
,
,
(
x
n
generator
λ
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
25
ORBITA dla lambda=4
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
26
Histogram dla orbity
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
27
ROZWIĄZANIE NUMERYCZNE
c
t
bx
t
ax
t
x
+
+
=
)
(
)
(
)
(
2
&
....
,
2
,
1
,
0
),
(
,
2
1
=
=
+
+
=
−
+
i
ih
x
x
c
bx
ax
h
x
x
i
i
i
i
i
5
.
0
)
0
(
,
0
,
4
/
3
,
1
=
=
=
−
=
x
c
b
a
0
10
20
30
40
50
60
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
10
20
30
40
50
60
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
5
.
0
=
h
99
.
3
=
h
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
28
ORBITY OKRESOWE
PORZĄDEK SZARKOWSKIEGO (1964)
1
2
2
2
2
2
2
7
2
5
2
3
2
7
2
5
2
3
2
7
2
5
2
3
2
7
2
5
2
3
2
7
5
3
0
1
2
3
4
5
3
3
3
2
2
2
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
f
f
f
f
f
f
K
f
K
K
f
f
f
f
K
K
f
f
f
f
K
f
f
f
f
K
K
f
f
f
f
K
f
f
f
n
n
n
]
1
,
0
[
]
1
,
0
[
:
→
f
Jeżeli f posiada orbitę okresową o okresie podstawowym m
a k jest liczbą naturalną mniejszą od m w porządku Szarkowskiego,
to f posiada także orbitę okresową o okresie podstawowym k.
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
29
ZBIÓR CZASÓW
PRZEJŚCIA
e
natura
liczby
pusty
zbiór
V
U
f
n
V
U
N
X
V
U
otwarte
zbiory
V
do
U
z
przejscia
czasów
V
U
N
Zbiór
n
ln
,
},
)
(
:
{
)
,
(
,
,
:
)
,
(
−
Ν
−
Θ
Θ
≠
∩
Ν
∈
=
⊂
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
30
TRANZYTYWNOŚĆ
}.
),
(
),
(
,
{
)
(
:
)
,
(
0
2
0
0
0
0
0
K
x
f
x
f
x
x
O
ciagu
podciagu
jakiegoś
granice
jako
uzyskać
mozna
które
punktów
mozliwych
wszystkich
zbiór
X
x
punktu
graniczny
zbiór
x
f
Zbiór
=
∈
−
ω
X
x
f
X
x
e
tranzytywn
jest
f
=
∈
∃
⇔
)
,
(
:
ω
.
)
(
:
,
,
)
(
:
Θ
≠
∩
Ν
∈
∃
−
⊂
∀
→
V
U
f
n
otwartych
i
niepustych
X
V
U
gdy
wtedy
tylko
i
wtedy
X
na
przechodni
jest
uklad
e
tranzytywn
jest
X
X
f
n
Każdy układ minimalny jest tranzytywny
Układ (X, f) jest tranzytywny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych niepustych i otwartych
zbiorów U i V zbiór N(U,V) jest nieskończony.
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
31
WRAŻLIWOŚĆ NA
WARUNKI POCZĄTKOWE
X
w
metryka
y
f
x
f
n
U
y
U
otoczenia
jego
i
X
x
jezeli
poczatkowe
warunki
na
wrazliwe
jest
X
X
f
n
n
−
≥
>
∃
∈
∃
∈
∀
>
∃
→
ρ
δ
ρ
δ
.
))
(
),
(
(
:
0
:
0
,
:
Jeżeli układ tranzytywny (przechodni) i posiada gęsty zbiór
punktów okresowych, to jest również wrażliwy na zmiany
warunków początkowych (Banks i inni 1992).
Wrażliwość na warunki początkowe implikuje niestabilność
w sensie Lapunowa.
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
32
MIESZANIE I SPLĄTANIE
.
)
(
:
,
,
N
n
V
U
f
N
otwartych
niepustych
X
V
U
gdy
mieszajace
jest
f
n
>
∀
Θ
≠
∩
∃
⊂
∀
.
0
|
)
(
)
(
|
inf
lim
0
|
)
(
)
(
|
sup
lim
,
,
,
tan
=
−
>
−
∞
→
≠
∈
∀
⊂
y
f
x
f
oraz
y
f
x
f
n
dla
warunek
zachodzi
y
x
S
y
x
gdy
f
przez
ym
spla
nazywamy
X
S
Zbior
n
n
n
n
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
33
DEFINICJE CHAOSU
Układ jest chaotyczny w sensie Auslandera i Yorke’a (1980), jeżeli jest tranzytywny
i wrażliwy na warunki początkowe.
Układ jest chaotyczny w sensie Li i Yorke’a (1983), gdy istnieje nieprzeliczalny zbiór
zbiór splątany S w X. Wcześniej w innym języku była to pierwsza definicja chaosu (1975).
Układ jest chaotyczny w sensie Devaneya (1986), jeżeli jest tranzytywny i zbiór punktów
okresowych f jest gęsty w X (oraz f jest wrażliwe na warunki początkowe).
Jeżeli układ tranzytywny (przechodni) i posiada gęsty zbiór
punktów okresowych, to jest również wrażliwy na zmiany
warunków początkowych (Banks i inni 1992).
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
34
CHAOS DYSTRYBUCYJNY
W definicji Li i York’a wymaga się by iteracje dwóch punktów nieskończenie wiele
razy oddalały się od siebie i zbliżały dowolnie blisko. W chaosie dystrybucyjnym
wymaga się dodatkowo by zbliżanie i oddalanie odbywało się odpowiednio często.
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
35
PRZYKŁADY
• Równanie Lorenza
• Obwód elektryczny Chuy
• Sieci komórkowe
• Układ LC
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
36
RÓWNANIE LORENZA
1
1
,
1
:
,
),
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
0
,
0
,
0
)
(
,
)
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
1
0
0
1
0
0
,
0
0
0
1
0
),
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
2
3
1
1
1
2
3
2
1
2
3
1
1
=
=
=
=
−
=
>
>
>
∈
∈
−
=
=
−
−
−
=
+
=
εεεε
εεεε
K
K
gdy
rownanie
Typowe
t
x
t
x
K
t
u
t
x
t
x
K
t
u
c
b
a
R
t
u
R
t
x
t
x
t
x
K
t
x
t
x
K
t
Bu
B
c
b
a
a
A
t
Bu
t
Ax
t
x&
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
37
LORENZ 1
0
10
20
30
40
50
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
-30
-20
-10
0
10
20
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
38
LORENZ 2
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
39
ATRAKTOR LORENZA
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
40
WYKRES NORMY W CZASIE
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
41
AUTOKORELACJA
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
42
KORELACJA WZAJEMNA, BLISKIE
WARUNKI POCZĄTKOWE: (1;0;0) I (1.1;0;0)
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
43
ANALIZA WIDMOWA
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
44
OBWÓD ELEKTRYCZNY CHUY
0
R
R
))
(
(
)
(
1
t
x
g
t
i
=
)
(
3
t
x
L
2
C
)
(
2
t
x
1
C
)
(
1
t
x
R=2.0
R=2.1
-3
-2
-1
0
1
2
3
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0
,
0
,
)
(
3
>
<
+
=
b
a
bv
av
v
g
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
45
TRAJEKTORIA FAZOWA
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
46
WYKRES NORMY OD CZASU
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
47
AUTOKORELACJA
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
48
KORELACJA WZAJEMNA, BLISKIE WARUNKI
POCZĄTKOWE: (0.1;0.05;0.08) I (0.101;0.05;0.08)
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
49
ANALIZA WIDMOWA
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
50
SIEĆ KOMÓRKOWA
p1
-s x f(x)
-s
-s
p2 y f(y)
-r
-s
-r z f(z)
p3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
51
MODEL SIECI
KOMÓRKOWEJ
))
(
(
)
(
)),
(
(
)
(
)),
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
,
,
1
0
0
0
1
0
0
0
1
),
(
)
(
)
(
3
2
1
3
2
1
t
z
f
t
u
t
y
f
t
u
t
x
f
t
u
t
z
t
y
t
x
p
r
s
r
p
s
s
s
p
B
A
t
Bu
t
Aw
t
w
=
=
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
=
+
=
&
Galias 1995, s. 26; model złożonej sieci komórkowej.
p1=1.25; p2=1.1; p3=1.0; s=3.2; r=4.4;
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
52
Trajektoria sieci komórkowej
-3
-2
-1
0
1
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
53
TURBULENCJE
W UKŁADZIE LC
]
1
,
0
[
,
0
,
)
,
(
)
,
(
2
2
2
2
∈
≥
∂
∂
=
∂
∂
z
t
z
z
t
x
t
z
t
x
LC
0
)
1
,
(
,
0
)
0
,
(
=
=
t
x
t
x
L
L
L
L
C
)
(
1
t
x
)
(
2
t
x
C
)
(t
x
n
n
i
n
i
LC
n
i
i
i
,
,
2
,
1
,
1
,
2
sin
2
)
1
(
1
K
=
+
=
+
=
ππππ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ω
ω
ω
ω
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
54
RZUT TRAJEKTORII
dla n=20
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
55
NORMA W CZASIE
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
56
AUTOKORELACJA
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
57
ANALIZA WIDMOWA
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
58
Analiza widmowa c.d.
w
i
0,00
71
0,01
42
0,02
12
0,02
81
0,03
48
0,04
13
0,04
76
0,05
36
0,0594
0,06
48
m
ax
0,00
76
0,01
41
0,02
12
0,03
45
0,03
47
0,03
53
0,04
75
0,05
89
0,0591
w
i
0,06
98
0,07
45
0,07
87
0,08
25
0,08
58
0,08
87
0,09
10
0,09
29
0,09
42
0,09
50
m
ax
0,06
94
0,07
84
0,08
05
0,08
49
0,08
85
0,09
12
0,09
78
0,10
15
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
59
UWAGI KOŃCOWE
• Ograniczone możliwości komputera
• Sterowanie komputerowe
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
60
REDUKCJA WYMIARU
Redukcja wymiaru: n=2 n=1
Utrata informacji
+∞
<
⇒
+∞
=
n
n
dim
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
61
OGRANICZONE MOŻLIWOŚCI
KOMPUTERA
2
/
)
/
2
(
)
(
),
(
1
x
x
x
F
x
F
x
i
i
+
=
=
+
0
>
x
2
→
i
x
3333
.
0
)
3
.(
0
33333333
.
0
3
1
≈
=
=
K
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
62
STEROWANIE KOMPUTEROWE
,........
2
,
1
,
0
,
)
(
,
)
(
),
(
)
(
)
0
(
),
(
)
(
)
1
(
=
∈
∈
=
∈
+
=
+
k
R
k
y
R
k
u
k
Cx
k
y
R
x
k
Bu
k
Ax
k
x
m
r
n
)
)
1
(
,
[
h
k
kh
t
+
∈
,....
2
,
1
,
0
,
0
,
=
>
=
k
h
kh
t
∫
=
=
=
h
At
Ah
C
C
Bdt
e
B
e
A
0
:
,
:
,
:
C/A
)
(k
u
)
(k
y
C/A
SYSTEM
CIĄGŁY
A/C
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
63
Wykorzystane prace
• Lasota, Rudnicki (2004)
• Oprocha (2008), Kwietniak (2008)
• Banasiak (2005), Galias, Kudrewicz (1993)
• Mitkowski P.(2009, 2010), Obrączka (2010)
• Dawidowicz, Zgliczyński, Srzednicki
• Inne ...np. Bronsztejn i inni (2004)
Wojciech Mitkowski, KA AGH-
Kraków, wersja robocza
64
DZIĘKUJĘ I PROSZĘ
O UWAGI
wojciech.mitkowski@agh.edu.pl
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Zabiegi fizjoterapeutyczne na wybrane schorzenia0 11 10[1]
Badanie wybranych układów przekładników prądu
Wybrane metody diagnostyczne 7 10 2015
Projekt i uruchomienie wybranych ukladow sterowania w napedzie elektrycznym
Wybrane zagadnienia prawa 8 10 13r
Badanie wybranych układów techniki impulsowej
Praktyczna analiza wybranych kanonów z dnia 8 10 2012
wybrane tech procesowe 10 11 10
Klasyfikacje według wybranych autorów opracowań pedagogicznych
Fundamentalizm islamski dr D Wybranowski, wykłady 10 2009
Receptory klasyfikacja, budowa i szlaki tworzenia sygnałów ( 10 2010
3 Systemy Operacyjne 19 10 2010 Klasyfikacja Systemów Operacyjnych2
10 Klasyfikacja osnów realizacyjnych oraz osnów budowlano montażowych
Wybrane pytania z testow polityka spol zdnia 06 10
10 Klasyfikacja stożkowatych
więcej podobnych podstron