1. Obliczenie płyty swobodnie podpartej na obwodzie Schemat podstawowy
12
11
13
14
15
21
22
23
24
25
Gdzie:
a = 5 m
a
31
32
3
3
34
35 → P = 12 kN
kN
→ q = 3
2
m
42
41
43
44
45
52
51
53
54
55
a
Dyskretyzacja układu wraz z obciążeniem zastępczym 11
12
13
14
15
∆ x
q
~
21
22
23
24
25
5
x
∆ = = ,
1 25 m
4
∆ x
q
~
q
~
31
32
33
34
35
P
12
~
kN
q =
∆ x
(
=
=
x
∆ )
6
,
7 8
2
( ,125)2
2
m
q
~
41
42
43
44
45
∆ x
51
52
53
54
55
∆ x
∆ x
∆ x
∆ x
Sformułowanie zagadnienia brzegowego
∂4 (
w x, y)
∂4 (
w x, y) ∂4 (
w x, y)
q( x, y)
+ 2
+
=
4
2
2
4
∂ x
∂ x ∂ y
∂ y
D
x = const.
w = ,
0
M x = 0
y = const.
w= ,0 My =0
M
→ w
= − w oraz w
= − w
x = 0
k '
1
,
k ,2
k ,5'
k ,4
M
→ w
= − w oraz w = − w
y = 0
,'
1 j
2, j
5 ,' j
4, j
w
w
w
w
j =
k
=
j =
k
= 0
,
1
1
,
5,
,5
gdzie: k, j ∈ N ∧ k, j ∈ 1: 5 (współrzędne punktu płyty) Ilorazy różnicowe dla węzłów wewnętrznych i leżących w pobliżu krawędzi Ilorazy różnicowe
4
∂ (
w x, y)
1
≅
w
w
w
w
w
k j
− 4 k j + 6 k j − 4 k j +
4
4 (
, −2
,
1
−
,
,
1
+
k , j +2 )
∂ x
∆ x
4
∂ (
w x, y)
2
2
≅
w
w
w
w
w
w
w
w
w
k
j
− 2 k j + k j − 2 k j + 4 k j − 2 k j + k j − 2 k j +
2
2
4 (
− ,
1
1
−
− ,
1
− ,
1
1
+
,
1
−
,
,
1
+
+ ,
1
1
−
+ ,
1
k + ,
1 j 1
+ )
∂ x ∂ y
∆ x
4
∂ (
w x, y)
1
≅
− 4
+ 6
− 4
+
4
4 ( w
w
w
w
w
k −2, j
k − ,
1 j
k , j
k + ,
1 j
k +2, j )
y
∂
x
∆
Po zsumowaniu:
1
w
2 w
8 w
2 w
w
8 w
20 w
8 w
w
4 (
k −2, j +
k − ,
1 j−1 −
k − ,
1 j +
k − ,
1 j +1 +
k , j −2 −
k , j −1 +
k , j −
k , j +1 +
k , j 2 +
∆
+
x
q( x, y)
+ 2 w + − − 8 w + + 2 w + + + w +
=
,
k
,
1 j 1
k
,
1 j
k
,
1 j 1
k 2, j
D
czyli:
20 w
− 8 − +
− +
+ +
+
+ 2 − − + − + + + − + + + +
k , j
( w
w
w
w
k
,
1 j
k , j 1
k , j 1
k
,
1 j )
( w
w
w
w
k
,
1 j 1
k
,
1 j 1
k
,
1 j 1
k
,
1 j 1 )
q ⋅ x 4
∆
+ w − + w − + w + + w + =
k 2, j
k , j 2
k , j 2
k 2, j
D
Równania różnicowe dla węzłów siatki dyskretyzacyjnej 3
Sztywność płyty :
=
Eh
D
12 ⋅ (
2
1 −ν )
Przyjęto: E = 3 G
0 Pa (B25), ν = ,
0 2 , h =
a
1
,
0
= 5
,
0 m
Eh 3
6
3
30 ⋅10 ⋅ 5
,
0
D =
=
=
⋅
12 ⋅ (
,
3 2552 10
2
1−ν ) 12⋅(
2
1− ,
0 2 )
5 kNm
o Węzeł 22
⋅ ∆ 4
20 w
22 −
(8 w 12 + w 21 + w 23 + w 32)+ (2 w 11 + w 13 + w 31 + w 33) q
x
+ w '12 + w 2 '1 + w 24 + w 42 = 4⋅ D
4
⋅
20 w −
w + w
+ w − w − w + w + w =
22
(8 23 32)
3 ,
1 25
2 33
22
22
24
42
4 ⋅ 325520
18 w
− 8 w − 8 w + 2 w + w + w
−5
= 5
,
0 625 ⋅10 m
22
23
32
33
24
42
o Węzeł 23
⋅∆ 4
20 w
23 −
(8 w 13 + w 22 + w 24 + w 33)+ 2( w 12 + w 14 + w 32 + w 34) q
x
+ w '13 + w 21 + w 25 + w 43 = 4⋅ D
4
⋅
20 w − w + w + w
+ w + w − w + w =
23
(8 22
24
33 )
2( 32
34 )
3 ,
1 25
23
43
4 ⋅ 325520
19 w − 8 w − 8 w − 8 w + 2 w + 2 w + w
−5
= 5
,
0 625 ⋅10 m
23
22
24
33
32
34
43
o Węzeł 24
~
4
,
0 25 +
⋅ ∆
20 w − 8
+
+
+
+ 2
+
+
+
+
+
+
+
=
24
( w w w w
14
23
25
34 )
( w w w w
13
15
33
35 )
( q q) x
w
w
w
w
'
1 4
22
25'
44
D
4
⋅ +
⋅
20 w − w + w
+ w − w + w − w + w =
24
(8 23 34)
( ,025 3 ,76 )8 ,125
2 33
24
22
24
44
325520
18 w
−8 w −8 w + 2 w + w + w 5
= 3
,
6 225 10−
⋅
m
24
23
34
33
22
44
~
4
5
,
0
+ ⋅∆
20 w − 8
+
+
+
+ 2
+
+
+
+
+
+
+
=
32
( w w w w
22
31
33
42 )
( w w w w
21
23
41
43 )
( q q) x
w
w
w
w
12
3 '
1
34
52
D
( 5,
0 ⋅ 3 + 7,68)⋅ ,
1 254
20 w − 8 w − 8 w − 8 w + 2 w + 2 w − w + w =
32
22
33
42
23
43
32
34
325520
19 w
− 8 w − 8 w − 8 w + 2 w + 2 w + w
−5
= 8
,
6 850 ⋅10 m
32
22
33
42
23
43
34
o Węzeł 33
~
4
5
,
0
+ ⋅ ∆
20 w − 8
+
+
+
+ 2
+
+
+
+
+
+
+
=
33
( w w w w
23
32
34
43 )
( w w w w
22
24
42
44 )
( q q) x
w
w
w
w
13
31
35
53
D
( 5,
0 ⋅3 + 7,68)⋅ ,
1 254
20 w − 8 w − 8 w − 8 w − 8 w + 2 w + 2 w + 2 w + 2 w =
33
23
32
34
43
22
24
42
44
325520
20 w − 8 w − 8 w − 8 w − 8 w + 2 w + 2 w + 2 w + 2 w
−5
= 8
,
6 850 ⋅10 m
33
23
32
34
43
22
24
42
44
o Węzeł 34
4
0 ⋅ ∆
20 w − 8
+
+
+
+ 2
+
+
+
+
+
+
+
=
34
( w w w w
24
33
35
44 )
( w w w w
23
25
43
45 )
x
w
w
w
w
14
32
35'
54
D
20 w − w + w + w
+ w + w + w − w =
34
(8 24
33
44 )
2( 23
43 )
0
32
34
19 w − 8 w − 8 w − 8 w + 2 w + 2 w + w = 0
34
24
33
44
23
43
32
o Węzeł 42
⋅ ∆ 4
20 w
42 −
(8 w 32 + w 41 + w 43 + w 52)+ 2( w 31 + w 33 + w 51 + w 53) q
x
+ w 22 + w 4 '1 + w 44 + w 5'2 = 2⋅ D
4
⋅
20 w − w + w
+ w + w − w + w − w =
42
(8 32 43)
3 ,
1 25
2 33
22
42
44
42
2 ⋅325520
18 w
− 8 w − 8 w + 2 w + w + w
−5
= 1,
1 250 ⋅10 m
42
32
43
33
22
44
⋅∆ 4
20 w
43 −
(8 w 33 + w 42 + w 44 + w 53)+ 2( w 32 + w 34 + w 52 + w 54) q
x
+ w 23 + w 41 + w 45 + w 5'3 = 2⋅ D
4
⋅
20 w
− w + w + w + w + w + w − w =
43
(8 33
42
44 )
(2 32
34 )
3 ,
1 25
23
43
2 ⋅ 325520
19 w − 8 w − 8 w − 8 w + 2 w + 2 w + w
−5
= 1,
1 250 ⋅10 m
43
33
42
44
32
34
23
o Węzeł 44
~
4
⋅∆
20 w − 8
+
+
+
+ 2
+
+
+
+
+
+
+
=
44
( w w w w
34
43
45
54 )
( w w w w
33
35
53
55 )
q
x
w
w
w
w
24
42
45'
5'4
D
4
⋅
20 w −
w + w
+ w + w + w − w − w =
44
(8 34
43 )
7,68 ,
1 25
2 33
24
42
44
44
325520
18 w
− 8 w − 8 w + 2 w + 2 w + w + w
−5
= ,
5 7600 ⋅10 m
44
34
43
33
35
24
42
Układ równań algebraicznych
18 w − 8 w + w − 8 w + 2 w + w
−5
= 5
,
0 625 ⋅10 m
22
23
24
32
33
42
− 8 w + 19 w − 8 w + 2 w − 8 w + 2 w + w
−5
= 5
,
0 625 ⋅10 m
22
23
24
32
33
34
43
w
−8 w +1 w
8
+ 2 w −8 w + w
5
= 3
,
6 225 10−
⋅
m
22
23
24
33
34
44
− 8 w + 2 w + 19 w − 8 w + w − 8 w + 2 w
−5
= 8
,
6 850 ⋅10 m
22
23
32
33
34
42
43
2 w
− 8 w + 2 w − 8 w + 20 w − 8 w + 2 w − 8 w + 2 w
−5
= 8
,
6 850 ⋅10 m
22
23
24
32
33
34
42
43
44
2 w
− 8 w + w − 8 w + 19 w + 2 w − 8 w = 0
23
24
32
33
34
43
44
w
− 8 w + 2 w + 18 w − 8 w + w
−5
= 1,
1 250 ⋅10 m
22
32
33
42
43
44
w
+ 2 w − 8 w + 2 w − 8 w + 19 w − 8 w 5
= 1
,
1 250 10 −
⋅
m
23
32
33
34
42
43
44
w
+ 2 w − 8 w + w − 8 w + 18 w
−5
= ,
5 7600 ⋅10 m
24
33
34
42
43
44
Postać macierzowa:
18
− 8 1
− 8 2
0
1
0
0 w
−
⋅
22
5
,
0 625 10 5
− 8 19 − 8 2 − 8 2
0
1
0
w
−
⋅
23
5
,
0 625 10 5
1
− 8 18
0
2
− 8 0
0
1 w
−
⋅
24
3
,
6 225 10 5
− 8 2
0
19
− 8 1
− 8 2
0
w
−
⋅
32
8
,
6 850 10 5
2 − 8 2 − 8 20 − 8 2 − 8 2 ⋅ w =
⋅ −
33
8
,
6 850 10 5 , [ m]
0
2
− 8 1
− 8 19
0
2
− 8 w 34
0
1
0
0
− 8 2
0
18
− 8 1
w
⋅ −
42
1
,
1 250 10 5
0
1
0
2
− 8 2 − 8 19 − 8 w
−
⋅
43
1
,
1 250 10 5
0
0
1
0
2
− 8 1
− 8 18
w
−
⋅
44
,
5 7600 10 5
Rozwiązanie układu równań (z programu lineq):
w ,
1 6995
22
w
,
2 4179
23
w 9
,
1 310
24
w
,
2 7101
32
w
−5
= ,
3 6534 ⋅10 m
33
w
5
,
2 021
34
w ,
1 7576
42
w
,
2 4695
43
w
9
,
1 188
44
Momenty zginające
Na kierunku x
2
∂ w
2
∂ w
D
M = − D ⋅
+ν
≅ −
⋅ w
− 2 w + w
+ ,
0 2 w
− ,
0 4 w
+ ,
0 2 w
x
2
2
2
( k, j 1−
k , j
k , j 1
+
k − ,
1 j
k , j
k + ,
1 j )
x
∂
y
∂
( x
∆ )
D
M = −
⋅ w
− ,
2 4 w
+ w
+ ,
0 2 w
+ ,
0 2 w
x
2
( k, j 1−
k , j
k , j 1
+
k − ,
1 j
k + ,
1 j )
( x
∆ )
325520
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= 3
,
2 31
x 22
2
( w
w
w
w
w
21
22
23
12
32 )
( ,125)
kNm
325520
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= ,
3 004
x 23
2
( w
w
w
w
w
22
23
24
13
33 )
( ,125)
kNm
325520
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= 5
,
3 75
x 24
2
( w
w
w
w
w
23
24
25
14
34 )
( ,125)
kNm
o Wykres momentu w przekroju 2-2
2
2
Mx [kNm]
2,331
3,004
3,575
Na kierunku y
2
2
∂ w
∂ w
D
M
D
ν
w
w
w
w
w
w
y = −
⋅
+
≅ −
⋅ k j − 2 k j + k j + , 0 2 k j − ,
0 4 k j + ,
0 2
2
2
2
( − ,1
,
+ ,
1
,
1
−
,
k , j 1
+ )
∂ y
∂ x
(∆ x)
D
M
w
w
w
w
w
y = −
⋅ k j − ,
2 4 k j + k j + ,
0 2 k j + ,
0 2
2
( − ,1
,
+ ,
1
,
1
−
k , j 1
+ )
(∆ x)
325520
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= 9
,
2 66
y 23
(
2
13
23
33
22
24
,
1 25)
( w
w
w
w
w )
kNm
325520
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= 9
,
5 13
y 33
(
2
23
33
43
32
34
,
1 25)
( w
w
w
w
w )
kNm
325520
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= ,
3 204
y 43
(
2
33
43
53
42
44
,
1 25)
( w
w
w
w
w )
kNm
3
o Wykres momentu w przekroju 3-3
3
My [kNm]
2,966
3,204
5,913
2. Obliczenie płyty swobodnie podpartej na obwodzie spoczywającej na podłożu Winklera
Sformułowanie zagadnienia brzegowego
∂4 (
w x, y)
∂4 (
w x, y) ∂4 (
w x, y)
q( x, y) − k ⋅ (
w x, y)
+ 2
+
=
4
2
2
4
∂ x
∂ x ∂ y
∂ y
D
x= const.
w = ,
0
M x = 0
y = const.
w= ,0 My =0
M
→ w
= − w oraz w
= − w
x = 0
k '
1
,
k ,2
k ,5'
k ,4
M
→ w
= − w oraz w = − w
y = 0
,'
1 j
2, j
5 ,' j
4, j
w
w
w
w
j =
k
=
j =
k
= 0
,
1
1
,
5,
,5
gdzie: k, j ∈ N ∧ k, j ∈ 1: 5 (współrzędne punktu płyty) Ilorazy różnicowe dla węzłów wewnętrznych i leżących w pobliżu krawędzi 20 w
− 8 w − + w − + w + + w + + 2 w − − + w − + + w + − + w + + +
k , j
( k ,1 j k, j 1 k, j 1 k ,1 j ) ( k ,1 j 1 k ,1 j 1 k ,1 j 1 k ,1 j 1) q
⋅ x 4
4
∆
⋅ ∆
k , j
k
x
+ w − + w − + w + + w + =
−
w
k 2, j
k , j 2
k , j 2
k 2, j
k , j
D
D
Równania różnicowe dla węzłów siatki dyskretyzacyjnej Eh 3
6
3
30 ⋅10 ⋅ 5
,
0
kN
D =
=
=
⋅
,
4
k = 5 ⋅10
- grunty średnie
12 ⋅ (
,
3 2552 10
2
1 −ν ) 12 ⋅ (
2
1 − ,
0 2 )
5 kNm
3
m
4
4
5
k ⋅ (∆ x)
5 ⋅10 ⋅ ⋅12 ⋅ 9
,
0 6
4
4
=
= 3
,
0 75
D
30 ⋅106 ⋅ 53 ⋅10−3
−5
18 w
− 8 w + w − 8 w + 2 w + w = 5
,
0 625 ⋅10
− 3
,
0 75 w
22
23
24
32
33
42
22
18 3
, 75 w
− 8 w + w − 8 w + 2 w + w
−5
= 5
,
0 625 ⋅10 m
22
23
24
32
33
42
o Węzeł 23
−5
− 8 w +19 w − 8 w + 2 w − 8 w + 2 w + w = 5
,
0 625 ⋅10
− 3
,
0 75 w
22
23
24
32
33
34
43
23
− 8 w +19 3
, 75 w
− 8 w + 2 w − 8 w + 2 w + w
−5
= 5
,
0 625 ⋅10 m
22
23
24
32
33
34
43
o Węzeł 24
5
w
− 8 w +18 w + 2 w − 8 w + w = 3
,
6 225 ⋅10− − 3
,
0 75 w
22
23
24
33
34
44
24
w
− 8 w +18 3
, 7 w
5
+ 2 w − 8 w + w
5
= 3
,
6 225 10−
⋅
m
22
23
24
33
34
44
o Węzeł 32
−5
− 8 w + 2 w +19 w − 8 w + w − 8 w + 2 w = 8
,
6 850 ⋅10
− 3
,
0 75 w
22
23
32
33
34
42
43
32
− 8 w + 2 w +19 3
, 75 w − 8 w + w − 8 w + 2 w
−5
= 8
,
6 850 ⋅10 m
22
23
32
33
34
42
43
o Węzeł 33
5
2 w
− 8 w + 2 w − 8 w + 20 w − 8 w + 2 w − 8 w + 2 w = 8
,
6 850 ⋅10− − 3
,
0 75 w
22
23
24
32
33
34
42
43
44
33
2 w
− 8 w + 2 w − 8 w + 20 3
, 75 w − 8 w + 2 w − 8 w + 2 w 5
= 8
,
6 850 10−
⋅
m
22
23
24
32
33
34
42
43
44
o Węzeł 34
2 w
− 8 w + w − 8 w +19 w + 2 w − 8 w = 0 − 3
,
0 75 w
23
24
32
33
34
43
44
34
2 w
− 8 w + w − 8 w +19 3
, 75 w
+ 2 w − 8 w = 0
23
24
32
33
34
43
44
o Węzeł 42
−5
w
− 8 w + 2 w +18 w − 8 w + w = 1, 1 250 ⋅10
− 3
,
0 75 w
22
32
33
42
43
44
42
w
− 8 w + 2 w +18 3
, 75 w
− 8 w + w
−5
= 1,
1 250 ⋅10 m
22
32
33
42
43
44
Węzeł 43
−5
w + 2 w − 8 w + 2 w − 8 w + 19 w − 8 w = 1
,
1 250 ⋅10
− 3
,
0 75 w
23
32
33
34
42
43
44
43
w + 2 w − 8 w + 2 w − 8 w + 19 3
, 75 w
− 8 w
−5
= 1
,
1 250 ⋅10 m
23
32
33
34
42
43
44
o Węzeł 44
−5
w
+ 2 w − 8 w + w − 8 w + 18 w = , 5 7600 ⋅10
− 0 3
, 75 w
24
33
34
42
43
44
44
w
+ 2 w − 8 w + w − 8 w +18 3
, 75 w
−5
= ,
5 7600 ⋅10 m
24
33
34
42
43
44
Układ równań algebraicznych
18 3
, 75 w
− 8 w + w − 8 w + 2 w + w
−5
= 5
,
0 625 ⋅10 m
22
23
24
32
33
42
− 8 w +19 3
, 75 w
− 8 w + 2 w − 8 w + 2 w + w
−5
= 5
,
0 625 ⋅10 m
22
23
24
32
33
34
43
w
− 8 w +18 3
, 7 w
5
+ 2 w − 8 w + w
5
= 3
,
6 225 10−
⋅
m
22
23
24
33
34
44
− 8 w + 2 w +19 3
, 75 w − 8 w + w − 8 w + 2 w
−5
= 8
,
6 850 ⋅10 m
22
23
32
33
34
42
43
2 w
− 8 w + 2 w − 8 w + 20 3
, 75 w − 8 w + 2 w − 8 w + 2 w 5
= 8
,
6 850 10−
⋅
m
22
23
24
32
33
34
42
43
44
2 w
− 8 w + w − 8 w +19 3
, 75 w
+ 2 w − 8 w = 0
23
24
32
33
34
43
44
w
− 8 w + 2 w +18 3
, 75 w
− 8 w + w
−5
= 1,
1 250 ⋅10 m
22
32
33
42
43
44
w + 2 w − 8 w + 2 w − 8 w + 19 3
, 75 w
− 8 w
−5
= 1
,
1 250 ⋅10 m
23
32
33
34
42
43
44
w
+ 2 w − 8 w + w − 8 w +18 3
, 75 w
−5
= ,
5 7600 ⋅10 m
24
33
34
42
43
44
Postać macierzowa:
1
8 3
, 75
− 8
1
− 8
2
0
1
0
0
w
−
⋅
22
5
,
0 625 10 5
− 8
19 3
, 75
− 8
2
− 8
2
0
1
0
w
−
⋅
23
5
,
0 625 10 5
1
− 8
18 3
, 75
0
2
− 8
0
0
1
w
−
⋅
24
3
,
6 225 10 5
− 8
2
0
19 3
, 75
− 8
1
− 8
2
0
w
−
⋅
32
8
,
6 850 10 5
2
− 8
2
− 8
20 3
, 75
− 8
2
− 8
2
⋅ w =
⋅ −
33
8
,
6 850 10 5 , [ m]
0
2
− 8
1
− 8
19 3
, 75
0
2
− 8 w 34
0
1
0
0
− 8
2
0
18 3
, 75
− 8
1
w
⋅ −
42
1
,
1 250 10 5
0
1
0
2
− 8
2
− 8
19 3
, 75
− 8 w
−
⋅
43
1
,
1 250 10 5
0
0
1
0
2
− 8
1
− 8
18 3
, 75
w
−
⋅
44
,
5 7600 10 5
Rozwiązanie układu równań:
w 3
,
1 147
22
w
8
,
1 731
23
w 5
,
1 419
24
w
1
,
2 598
32
w
−5
= 8
,
2 780 ⋅10
33
[ m]
w
9
,
1 530
34
w 3
,
1 705
42
w
9
,
1 224
43
w
5
,
1 290
44
Momenty zginające
Na kierunku x
2
∂ w
2
∂ w
D
M = − D ⋅
+ν
≅ −
⋅ w
− 2 w + w
+ ,
0 2 w
− ,
0 4 w
+ ,
0 2 w
x
2
2
2
( k, j 1−
k , j
k , j 1
+
k − ,
1 j
k , j
k + ,
1 j )
x
∂
y
∂
( x
∆ )
D
M = −
⋅ w
− ,
2 4 w
+ w
+ ,
0 2 w
+ ,
0 2 w
x
2
( k, j 1−
k , j
k , j 1
+
k − ,
1 j
k + ,
1 j )
( x
∆ )
325520
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= ,
1 771
x 22
2
( w
w
w
w
w
21
22
23
12
32 )
( ,125)
kNm
325520
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= ,
2 215
x 23
2
( w
w
w
w
w
22
23
24
13
33 )
( ,125)
kNm
325520
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= 9
,
2 93
x 24
2
( w
w
w
w
w
23
24
25
14
34 )
( ,125)
kNm
o Wykres momentu w przekroju 2-2
2
2
Mx [kNm]
1,771
2,215
2,993
Na kierunku y
2
2
∂ w
∂ w
D
M
D
ν
w
w
w
w
w
w
y = −
⋅
+
≅ −
⋅ k j − 2 k j + k j + , 0 2 k j − ,
0 4 k j + ,
0 2
2
2
2
( − ,1
,
+ ,
1
,
1
−
,
k , j 1
+ )
∂ y
∂ x
(∆ x)
D
M
w
w
w
w
w
y = −
⋅ k j − ,
2 4 k j + k j + ,
0 2 k j + ,
0 2
2
( − ,1
,
+ ,
1
,
1
−
k , j 1
+ )
(∆ x)
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= 1
,
2 79
y 23
2
( w
w
w
w
w
13
23
33
22
24 )
( ,125)
kNm
325520
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= ,
4 769
y 33
2
( w
w
w
w
w
23
33
43
32
34 )
( ,125)
kNm
325520
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= ,
2 408
y 43
2
( w
w
w
w
w
33
43
53
42
44 )
( ,125)
kNm
3
o Wykres momentu w przekroju 3-3
3
My [kNm]
2,179
2,408
4,769
3. Porównanie wyników oraz wnioski.
W ćwiczeniu projektowym przedstawiono obliczenie płyty w dwóch schematach statycznych:
- płyta swobodnie podparta na obwodzie,
- płyta swobodnie podparta na obwodzie, spoczywająca na sprężystym podłożu Winklera.
W drugim przypadku występuje odpór gruntu powodujący redukcję sił wewnętrznych w stosunku do pierwszego przypadku. Taką redukcję można zauważyć na wykresach. W miejscach przyłożenia dużej siły wartości momentów, w płycie opartej na podłożu Winklera, są mniejsze o ok. 18 %, natomiast w węzłach, gdzie obciążenie jest małe redukcja ta sięga ok. 25 %.
Należy pamiętać, że metoda różnic skończonych nie oddaje poprawnych wyników przy tak dużej dyskretyzacji, aby uzyskać prawidłowy przebieg wykresów sił wewnętrznych trzeba zagęścić siatkę dyskretyzacji. Mimo to pozostaną błędy zaokrągleń, które przy łatwych schematach nie mają większego wpływu na obliczone wyniki.