Wzór
Przykłady na zmiennych
Przykłady na liczbach
Wyjaśnienie wzoru
∙ = =
5 ∙ 5 = 5 = 5
ఴ
l
1.
∙ =
∙ = ∙
∙
∙ ∙
∙
∙
∙
=
య
p
ఱ
ఴ
∙ ∙ = ( ) = = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 3
.
a
7
1
f
= =
7 = 7 = 7 = 7
e
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
2.
r
= ; ≠ 0
=
∙ ∙ ∙
= =
t
2
s
= ( ) =
2 = 2 ( ) = 2
.
a
= ∙ =
8 = 8∙ = 8
k
= ∙
3.
∙
∙
=
y
=
= ∙
=
1
∙
∙
∙
t
= ∙ =
5 = 5 ∙ = 5 = 5
a
m
∙ = ∙
4 ∙ 5 = 4 ∙ 5 = 20
∙ = ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙ =
e
4.
∙ = ∙
t
= ∙
∙ = ∙
2 ∙ 3 = 2 ∙ 3 = 6
a
m
5
/
=
9 = 5
9
/
∙ ∙
5.
:
= ; ≠ 0
= ∙ ∙ = ∙ ∙ =
p
3
11
= 11 =
t
=
11 = 3
11
3
3
t
h
1
1
=
4 = 4
—
1
6.
= ; ≠ 0
1
1
1
3
5
5
1
1
3
=
=
= 1:
=
=
( )
=
( )
5
3
3
3
5 = 1 ∙ 3 = 3 = 5
3
5
5
5
Wzory na potęgi, pierwiastki, logarytmy (potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) + przykłady na liczbach i na zmiennych (niewiadomych). To jest darmowy e-book pdf z matematyki do gimnazjum, liceum, technikum, matury. Download go.
Wzór
Przykłady na zmiennych
Przykłady na liczbach
Wyjaśnienie wzoru
=
√ , gdy =
7.
—
√య8 = 2, bo 2 = 8
—
l
Jeśli ݊ jest liczbą parzystą, to ܽ ≥ 0.
p
.
భయ
భయ
భయ
భయ
వ
వ
వ
వ
2 + ∙ √5 = (2 + ) ∙ 5 = 10 + 5
√15 = √3 ∙ 5 = √3 ∙ √5
√4
∙ √9
= 2 ∙ 3 = 6 = √36 =
a
√ ∙ √ = √ ∙
8.
√
f
Jeśli ݊ jest liczbą parzystą, to ܽ, ܾ ≥ 0.
Mnożąc pierwiastki tego samego stopnia, złączamy je w jeden symbol pierwiastka భభ
భభ
భభ
భభ
e
Stopień pierwiastka nigdy nie może być równy 0.
√
i mnożymy ich liczby podpierwiastkowe.
7 ∙ √2 = √7 ∙ 2 = √14
= √4 ∙ 9
r
t
ఱ −
ఴ
ఱ − ( + )
ఴ
s
√ ∶ √ = √ ∶
√12
=
=
ఱ −
ఴ
= 12 = √4
√36
: √9
= 6 ∶ 3 = 2 = √4 =
ఱ
ఴ
.
+
+
√
3
Dwukropek można zastąpić kreską ułamkową.
3
9.
√
a
Jeśli ݊ jest liczbą parzystą, to ܽ ≥ 0, ܾ > 0.
Dzieląc pierwiastki tego samego stopnia, złączamy je w jeden symbol pierwiastka k
Jeśli ݊ jest liczbą nieparzystą, to ܾ > 0.
=
tego samego stopnia i dzielimy ich liczby podpierwiastkowe pamiętając o tym,
√36 ∶ 9
√42 ∶ √10 = 4,2
Stopień pierwiastka nie może być równy 0.
y
że dzielenie nie jest przemienne.
t
య
య
ర
ఴ
a
√5 + 1 = 5 + 1 = 5 + 1భయ
3 = 3ర = 3 = 9
మ
= ೖ
మ
మ
3 = √3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = √9 ∙ 9 =
10.
మ
మ
m
య
భళ
భళ
భ
=
భళ
√9 ∙ √9 = 3 ∙ 3 = 3 = 3ర/మ
Jeśli ݊ jest liczbą parzystą, to ܽ ≥ 0. Dodatkowo ݊ ≠ 0.
2 + 3 = 2 + 3 లయ = 2 + 3
√5 = 5 = 5
e
t
√
యల
ర
ఴ
=
√వ
ర
7 =
వ 7 = (7)
వ = (7) = 2401
√3 = 3 = 3ర = 9
య
య
భ
a
√5 = 5 = 5య =
11.
Jeśli ݊ jest liczbą parzystą, to ܽ ≥ 0. Dodatkowo ݊ ≠ 0.
m
ళ
భబబ
య
య
య
మబ
/
Potęga która jest za nawiasem wchodzi pod symbol
=
=
మబ
= 5య =
2 + 3 2 + 3
= 2 = 32
5
2 + 3
√2 = 2
pierwiastka.
/
:
Jeśli ݊ jest:
ర
రబ
ల
−5
=
−5భర
=
p
a) liczbą parzystą, to
b) liczbą nieparzystą, to:
√
√
5 = |5| = 5,
gdy ≥ 0
−5,
gdy < 0
√−8 = |−8| = 8
t
12.
= −5భర = 5భర = 5/ = 5
= ||
=
t
√
√
W obu przypadkach ݊ ≠ 0.
య
య√వ
Podnosząc liczbę ujemną do potęgi parzystej, np.
5 = 5
√−8 = −8
ሺ−5ሻସ dostajemy zawsze wynik dodatni.
h
భ
ೖ
ర
√
∙ೖ∙
య
భ
ర
భ
భమ
=
√
ఱ
√
య
ర
2 = 2
= 2భమ = √2 =
ఴ
13.
య√మ
ఱ∙ర∙య∙మ
భమబ
య
ఴ∙య
మర
3 + 2 =
√3 + 2 = √3 + 2
√11 = √11 = √11
ర∙య
Jeśli choćby jedna z liczb ݊, ݇, jest liczbą parzystą, to
= √2
ܽ ≥ 0. Dodatkowo ݊, ݇, ≠ 0.
Wzory na potęgi, pierwiastki, logarytmy (potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) + przykłady na liczbach i na zmiennych (niewiadomych). To jest darmowy e-book pdf z matematyki do gimnazjum, liceum, technikum, matury. Download go.
Wzór
Przykłady
L.p.
Wzór
Przykłady
log
ln 7,389 ≈ 2, bo eଶ ≈ 7,389
log
ଶ32 = 5, bo 2ହ = 32
= ! ⟺ =
ln = ! ⟺ e =
14.
21.
ܽ, ݔ > 0. Dodatkowo ܽ ≠ 1.
ଵ
ݔ > 0
l
logଵ2 = , bo 16ଵ/ସ = 2
ln 4 ≈ 1,386, bo eଵ,ଷ଼ ≈ 4
ସ
p
Wnioski ze wzoru 14 (założenia jak wyżej): Wnioski ze wzoru 21 (założenia jak wyżej): logଽ9 = 1, bo 9ଵ = 9
.
log
ଵହ1 = 0, bo 15 = 1
ln eହ = 5
log ܽ
ܽ
= 1
log1 = 0
log
= ܿ
ln e = 1
ln 1 = 0
ln e = ܿ
log7ଵସ = 14, bo 7ଵସ = 7ଵସ
a
f
log
ሺ
ଶ4
ᇣᇤᇥ + logଶ8
ᇣᇤᇥ = logଶ 4 ∙ 8ሻ = logଶ32 = 5
ln 5 + ln 8 = ln 40
e
log + log = log ∙
ଶ
ଷ
ln + ln = ln ∙
15.
22.
r
ܽ, ݔ, ݕ > 0. Dodatkowo ܽ ≠ 1.
ݔ, ݕ > 0
t
log
ሺ
ହ63 = logହ 7 ∙ 9ሻ = logହ7 + logହ9
ln 21 = ln 3 + ln 7
s
.
log
log
− log
= log ሺ27 ∶ 9ሻ = log
ହ
− log = log ∶
ଷ27
ᇣᇧᇤᇧᇥ
ଷ9
ᇣᇤᇥ
ଷ
ଷ3 = 1
ln − ln = ln ∶
ln 5 − ln 8 = ln
ଷ
ଶ
଼
a
16.
Dwukropek można zastąpić kreską ułamkową.
23.
Dwukropek można zastąpić kreską ułamkową.
k
ଶଵ = ln 21 − ln 1
ต
ܽ, ݔ, ݕ > 0. Dodatkowo ܽ ≠ 1.
log ൬5൰
= log5 − log2
ln 21 = ln ଵ
y
ݔ, ݕ > 0
2
t
ଵ
logଶ16
ᇣᇧᇤᇧᇥ = − logଶ
ᇣᇤ
ଵ
ᇥ
ଵ
a
ସ
ᇣᇧᇤᇧᇥ
ln 8 = − ln
log
ିସ
଼
= −log 1
ln = − ln 1
ସ
m
17.
24.
e
ܽ, ݔ > 0. Dodatkowo ܽ ≠ 1.
ଽ
ଷ
ସ
ݔ > 0
log
= −log
ହ
ln = − ln
ଽ
ହ
ସ
ଷ
t
a
log
log
log
ସ8
ଶ2
!
log
log
ଶ8 =
!
ln 2 =
m
log =
logସ2
ln =
logଶe
18.
log!
25.
log!e
/
ln 2
1
ln e
1
/
ܽ, ܾ, ݔ > 0. Dodatkowo ܽ, ܾ ≠ 1.
= logଷଶ2 =
ܾ, ݔ > 0. Dodatkowo ܾ ≠ 1.
log
=
ln 32
5
ହe = ln 5
ln 5
:
p
ହ
"
ሺlog
ሺln 3ሻ = ln3
ଵଵ7ሻହ = logଵଵ 7
t
log" = log
ln " = ln"
19.
26.
t
ܽ, ݔ > 0. Dodatkowo ܽ ≠ 1.
ଷ
ܽ, ݔ > 0. Dodatkowo ܽ ≠ 1.
log଼ 9 = ሺlog଼9ሻଷ
ln3 = ሺln 3ሻ
h
వ
ଷర
ଶ
%( య
&('
log
ᇣᇧ ሺ
ᇩᇪᇫ
"∙#$ೌ = #$ೌ = "
%&'
ଷ 9ଶ
ᇤᇧ ሻ
ฑ
ᇥ = 2 ∙ log
ᇣᇧᇤ ଷ9
ᇧᇥ
2∙#$మ
= 8 = 512
log
" = " ∙ log
ସ
ସ
20.
27.
#"∙#
= ## = "
ܽ, ݔ > 0. Dodatkowo ܽ ≠ 1.
ସ
ଵ.ସ଼.ହ
5 ∙ log
ᇩᇭᇪᇭᇫ = log
ᇣᇧᇧᇧ ሺ1
ᇩ6ହ
ᇪ
ᇤᇧᇧ ሻ
ᇫ
ܽ, ݔ > 0. Dodatkowo ܽ ≠ 1.
ᇣᇧᇤଶ16
ᇧᇥ
ଶ
ᇧᇥ
#∙# = 5 = 125
ଶ
ଶ
Wzory na potęgi, pierwiastki, logarytmy (potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) + przykłady na liczbach i na zmiennych (niewiadomych). To jest darmowy e-book pdf z matematyki do gimnazjum, liceum, technikum, matury. Download go.