ycznaat
ń
ematMaiz
-tego
Anal
n
równa
egow
ści
o
runkówa to
klasy
ar
.
czk
w n w
żni
y
ró
˛
.
rokiej
acej
...,
gór
0
e
ązanie
,
z
x
z
y 1
so
dane
rozwi
równania
spełniaj
)= 0 — punkcie dla
1
bardz
(x
−
y
n
ym
,
’ego
,y
dla
y
równania,
y 0
stalon
,...
u
tego
)=
’ego
w
y
Cauch
0
y 0
jednoznaczne ałki
(x
ych
’ego
c
y
auch
ma
y
gdzie,
C
anie
1−
ychw
auch
postaci
y n pochodn o
C
o
Zagadnieniem jej
)=
)i
3.
poszukiw
wych
0
(x
o
(x
żniczk
jest
y
˛
i
atk
1)
Zagadnienie ró
−
ędu
(n
•
Definicja rz
pocz
y
funkcj
Zagadnienie
6.p–
ycznaat
em
(1)
atMaiz
e
Anal
łca
wc 2C
ązaniem
i 1C
rozwi
ięc
tałychs
,
.W
,
):
=0
2
.
2
+1
0,
1.
1=0
C
y
=
=
ustaleniu
−
=1
,
punkt
2
2
1.
’ego
=
na
,
=1
y
C
C
(0) (0)
2
−
y
y
y
+
−
1
⎧ ⎪ ⎨
⎪ ⎩
1
1
C x e
auch
polega
C
C
że
C
przykład
)=(x
˛
(v.
azanie
y
wynika,
edzie
Rozwi
b˛
.
równania
układu
1
4.
Zagadnienia tego
ązanie statniegoo Przykład Rozwi
ogólnej
Z
zagadnienia Przykład
ycznaat
em
a
y
y
atMaiz
),
mje
i/lub
Anal
(y
nazyw
u
x
.
)ϕ
ych,
łka
od
ru
(x
=0
e
ic
ży
z
ψ= )dy
)dy
alez
y (y
(y
równe
)Q
ych.
rozdzielon h
które
jest
ędu
(x
on
=
,
rz
P
el
ych
+
)dx
żenie
żenie
ego
a
a
rozdzi (x
ych
f
wyr
wyr
rwsz
)dx
zmienn
ie
(y
ych
ez
to
p
o
rz
e
)N
enn
p
ych
wo
(x
miz
postaci
o
o
któr
rozdzielon czk
M
d
na
żni
ym
równanie
o
równania
ró
w
g
ych
o
ć
y
postaci
czk
˛
ązania,
w
aza
i
żni
y.
w
ż
ze
ró
dzieleniu
adzam
o
zmienn
Równanie
tak
rozwi
w
tron
ćr
o
s
5.
y
Przy
ane
. 6 gubiz Żeb
dopro
obie
równaniem aga
żna
˛
•
e
Definicja zapisyw
si
Uw
mo
Równania
8.p–
ycznaat
ię
em
s
atM
jest
aiz
Anal
ich
mogły
nz
C.
ięc
e
+
2 ,w
1 x
x
−
1)
pierwsz
− ,
ych
1|=
(y
ście
−
ez
.
|y
rz
czywi
p
2
n
O
dx x
y
.
=
+l
śm
rozdzielon
=0
y
dy
+
ielili
x
mienne:
ych
z
1
dz
2
2
2
az
y
y
−y
y
hc
or
.y
y
.ie
=
=1
n
⇐⇒
y:
⇐⇒
zmienn
mienn
y
2
z
o
+1
1
trons dx x rugie
Rozdzielam
−
d
2 y
˛
1.
y
azania
obie
=
i
ieleniu
2 y
=
y
z
wz
x
.
dy
d
o
˛
7.
dy
dx
1
roz
ćr
azaniem,
równania
2
2 y −
y
˛
y
azanie 2 y
rz
x
Całkujem
P
zgubi
rozwi
2.
3.
Przykład Rozwi
Przykład
9.p–
ycznaat
ematMaiz
spełnia
Anal
a)s˛
R
y
ę
∈
postaci
si
w
(x,
je
∀t
ż
N
un ostanie
)i
˙
o
z
zelie
równaniem
y
,j
ię
równie
α
s
(x,
wyk
a
,
M
ych.
apisane
równanie
stopnia ˛
)nazyw
z
a
ć
y ( x
y
funkcje
b
równanie
)
f
czym
˙
y
=
ze
o
rozdzielon gdzie
p
mo
,
.
jednorodn (x,
y
a
,y x
ię
F
=0
ych
s
α t
)=
a
stopnia
jednorodne postaci
)dy
)=
ć
(x
mienn
jednorodne y
u
z
ty
(x,
˛
)nazyw
aza
o
y
N
samego
(tx,
(x,
F
Równanie
+
wienie
ć
tego
rozwi
F
ś
jednorodne 8.
ym.
Równanie
y
.
)dx
9
y
Żeb
podsta
równaniem
żsamo
aga
(x,
•
Funkcja
o
a
ęt
Definicja jednorodn Uw
M
jednorodne si
Równania
01.p–
ycznaat
ematMaiz
Anal
dzieleniu
=u
przy
⇒
.u
dx
+
=
agubionoz
x
du dx
xdu
stało
=
o
ym.
z
dy
dx
⇐⇒ .) tórek ięc
,
)dx
C
jednorodn
,w
.
y
|+
=0
ux
+
x
)dx
jest
|x
=
y
x
(ln
+
y
=(
x
˛
x
=
azanie
jednorodnego
=(
Równanie
wienie
xdy
y
,
rozwi
1.
⇒
xdy
C
jest
.
podsta
posób
.
y
s
tym
x
10.
|+
równania
z
taki
|x
za
e
ązanie o
Zróbm
W
ln
P
prz
2.
3.
4.
Przykład Rozwi
Przykład
ycznaat
em
˙
˛
zy
a
).
atMa
(x
iz
Anal
nale,
Cć
wiadom
ź
równaniem ego
otrzymanej ien
ięs
w
nale
,
z
z
a
e
,
ego
pierwsz
=0
prz
nazyw
)y
C
˛
ędu
(x
ła
a
pierwsz
)=0
rz
ta
istotnego
e
+
(x
˛
w y as
ędu
b
lno
rz
+
linio
w
e
)y
o
równania
w
(x
z
a
ćd
równanie
linio
+ .
ć
e
y
równanie
tym,
w
ego
ć
ąza
o
o
zamieni
p
˛
),
aza
(x
pierwsz rozwi
C
˙
Równanie
zniczk
rozwi
ogólnej
ę
ró
ędu
11.
rz
y
m
Żeb
najpierw
całce
funkcj
wy
•
Definicja linio
Równania
21.p–
ycznaat
ematMaiz
=
C.
Anal
=
.x
x
+
dx
sin
ctg
x=
x x
C
y
cos sin
=
dx
y
osx,
ego
|=
⇒
)c
)=
|y
(x
(x
ln
nC
C
C
⇒
|+l
+
⇒
pierwsz
x
x
inx
inx
˛
)s
edu
.
tgxd
|sin
rz
n
(x
=s
inx
=c
=l
C
inx
ego
=s
=
dt t
.
w
dy
y
)s
x
y
⇒
inx
=
⇒ (x
)s
linio
ctg
C
y
=0
x
C
−
inx
⇒
+
1.
x
y
inx
)s
osxd
x
.
ctg
(x
osx
=s
12.
y
=c
C
)c
)=(
równania
−
t
=
(x
˛
(x
azanie
y dt y
C
y
2.
3.
Przykład Rozwi
Przykład
ycznaat
emat
o
Ma
ć
iz
,p
Anal
n
1− y
podzieli
=
równaniem z
ię
ży
sa
1.
nale, wienie ˛
nazyw
edu
n
rz
)y
e
(x
podsta
w
b
noulliego
ć
=
er
linio
B
ona
)y
yk
(x
w
a
i
+
n
y
równanie
y
równanie
y
ć
ezrz
ąza
py
noulliego
Równanie
er
rozwi
tron
otrzymam
B
s
13.
y
Żeb
obie
czym
noulliego
•
Definicja Ber
Równanie
41.p–
ycznaat
C.
ematM
+
aiz
⇒
2
Anal
1
x
ym
= 3 2
nC
x
=
któr
x
w,
|+l
4 ,z
|x
−
xd
n
)x
3l
(x
rnoulliego 2 .
−
)=3
.
e
3C
3
B
−
(x
x
|=
−
C x
=
|z
3
C
+
−
z x
ln
)x
⇒
3 2x
+
2
jest
3
⇒
(x
−
x
to
równaniem
1 z 3
=
dx
C
3 x
=
2 .
=
y
jest
3
−
⇒
−
−
3 .
y
=
z
)x
−
noulliego
1 2
równania
x
2 .
2 y
⇒
x
⇐⇒
er
=
−
y
dz z
3
(x
C
B
x
−
C
C
y
x
Równanie
+
=
=3
⇒ 3 .
)x 1 3
danego
+
+
z
−
2
2
1.
1 x
(x
⇒
x
x
y
3
⇒
=0
Cx
C 4
3 2
3 2
.
2.
y
−
+
3
z x
ogólna
=
14.
−
y
+
)=
)=
)x
)=
równania
=
3
=
(x
˛
(x
(x
(x
azanie 2 y
z
3 x
n
y
z
1 3
z
z
C
z
Całka
y
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Przykład Rozwi
Przykład