Znaleźć transformatę Fouriera ciągu równoodległych impulsów o jednostkowym natężeniu i powtarzających się co T sekund. Jest to funkcja bardzo istotna w teorii próbkowania i dlatego dogodnie jest oznaczyć ją przez δ ( t) .
T
δ ( t)
T
)
1
(
− T
3
− T
2
− T 0
T
T
2
T
3
T
4
T
5
t
δ t() =δ t()+δ t( − T)+δ t( − T 2)+L+δ t( − nT)+
T
L
+ δ t( + T ) + +δ t( + T
2 )L+ δ t( + nT) +L = ∑
∞ δ t( − nT) n=−∞
Jest to oczywiście funkcja okresowa o okresie T. Rozwiniemy najpierw tę funkcję w szereg Fouriera
δ t( =
X e ω0
)
T
∑∞ jn t
n
n=−∞
przy czym
/ 2
1 T
X
t e ω
δ
dt
n
∫
−
=
jn 0
( )
t
T
T − T /2
Funkcja δ ( t) w przedziale ( T
− / ,
2 + T / )
2 jest po prostu funkcją δ ( t) . Zatem T
T
/ 2
1 T
X
t e ω
δ
dt
n
∫
−
=
jn 0
( )
t
T − T /2
Z właściwości próbkowania funkcji impulsowej wyrażonej w równości
∞
∞
x( t)δ ( t) dt = x( ) 0 δ ( t) dt = x( ) 0
∫
∫
−∞
−∞
równanie powyższe redukuje się do 1
X =
n
T
1
A zatem X redukuje się do . Wynika stąd, że ciąg impulsów o okresie T zawiera składowe o n
T
pulsacjach ω = ,
0 ± ω , ± 2ω ,
± ω
n
gdzie ω = 2π / T i 0
0 L
L,
0
0
1
δ t() =
e ω0
T
∑∞ jn t
T n=−∞
Do znalezienia transformaty Fouriera funkcji δ ( t) wykorzystamy równanie T
F{ x t
( )} = 2π ∑
∞
X δ (ω − nω ) n
0
n=−∞
definiujące transformatę Fouriera funkcji okresowej. Otrzymujemy
∞
1
2π ∞
F{δ ( t)} = 2π
n
n
n
T
∑
∞
δ (ω − ω ) =
∑δ(ω − ω ) =ω ∑δ(ω − ω ) =ω δ (ω) 0
0
0
0
0 ω0
T
T
n=−∞
n=−∞
n=−∞
Wynika stąd, że transformata Fouriera dystrybucji grzebieniowej jest również dystrybucją grzebieniową.
ω δ (ω)
0 ω0
(ω )
0
− 3ω − 2ω −ω 0
ω
2ω
3ω
4ω
5ω
ω
0
0
0
0
0
0
0
0