Dystrybucja grzebieniowa
Znaleźć transformatę Fouriera ciągu równoodległych impulsów o jednostkowym natężeniu i
powtarzających się co T sekund. Jest to funkcja bardzo istotna w teorii próbkowania i dlatego
dogodnie jest oznaczyć ją przez
)
(t
T
δ
.
t
T
)
(t
T
δ
T
2
−
T
3
−
0
T
4
T
3
T
2
T
−
)
1
(
T
5
∑
∞
−∞
=
−
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
−
+
−
+
=
n
T
nT
t
nT
t
T
t
T
t
nT
t
T
t
T
t
t
t
)
(
)
(
)
2
(
)
(
)
(
)
2
(
)
(
)
(
)
(
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
L
L
L
L
Jest to oczywiście funkcja okresowa o okresie T. Rozwiniemy najpierw tę funkcję w szereg
Fouriera
∑
∞
−∞
=
=
n
t
jn
n
T
e
X
t
0
)
(
ω
δ
przy czym
∫
−
−
=
2
/
2
/
0
)
(
1
T
T
t
jn
T
n
dt
e
t
T
X
ω
δ
Funkcja
)
(t
T
δ
w przedziale
(
jest po prostu funkcją
)
2
/
,
2
/
T
T
+
−
)
(t
T
δ
. Zatem
∫
−
−
=
2
/
2
/
0
)
(
1
T
T
t
jn
n
dt
e
t
T
X
ω
δ
Z właściwości próbkowania funkcji impulsowej wyrażonej w równości
)
0
(
)
(
)
0
(
)
(
)
(
x
dt
t
x
dt
t
t
x
=
=
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
δ
δ
równanie powyższe redukuje się do
T
X
n
1
=
