WZORY
Zobacz: www.twojamatma.blogspot.com
Wzory, które mogą Wam się przydać - czyli ”tego nie ma w tablicach”
1. Procent składany - kapitalizacja złożona
W tablicach macie coś takiego:
Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p% w skali rocznej, to kapitał końcowy Kn wyraża się wzorem: Kn = K · (1 + p ) n
100
Oczywiście wzór ten działa tylko, gdy mamy do czynienia z kapitalizacją roczną i corocznym dopisywa-niem odsetek. Pojawiły się jednak zadania (głównie na próbnych maturach - z Operonu), gdzie trzeba było wzór zmodyfikować, bo np. kapitalizacja była kwartalna. Wówczas należy stopę roczną zamienić na stopę okresową:
- w przypadku kapitalizacji półrocznej, p dzielimy na 2, bo w ciągu roku są dwa półrocza;
- w przypadku kapitalizacji kwartalnej, p dzielimy na 4, bo w ciągu roku są cztery kwartały;
- w przypadku kapitalizacji miesięcznej, p dzielimy na 12, bo w ciągu roku jest 12 miesięcy.
To samo tyczy się potęgi n - jeśli mamy lokatę n-letnią, to zastępujemy wykładnik:
- w przypadku kapitalizacji półrocznej, na n · 2;
- w przypadku kapitalizacji kwartalnej, na n · 4;
- w przypadku kapitalizacji miesięcznej, na n · 12.
PRZYKŁAD:
Kapitał 1000 zł został złożony w banku na lokacie o rocznej stopie procentowej 6% i kapitalizacji kwartalnej.
Podaj wzór przedstawiający stan rachunku po 3 latach:
6 : 4
1000 · (1 +
)3 · 4 = 1000 · (1 , 015)12
100
Stopa została podzielona przez 4 - na stopę kwartalną, liczba lat została pomnożona przez 4 - tyle razy dopiszemy w ciagu 3 lat (co kwartał) odsetki.
2. Podwójne obniżki, podwyżki
Pamiętajcie, że jeśli cena towaru została obniżona najpierw o np. 10%, następnie o 20%, to NIE obniżono jej łącznie o 30%!!!
Robimy tak:
x - cena wyjściowa;
0 , 9 x - cena po obniżce o 10%;
0 , 8 · 0 , 9 x - cena po drugiej obniżce o 20%; Zwróćcie uwagę, że druga obniżka jest od ceny wyżej, zostało 80% a więc 0 , 8 ceny poprzedniej!
Na koniec wystarczy policzyć:
x − 0 , 8 · 0 , 9 x = x − 0 , 72 x = 0 , 28 x, 1
Polub nas na www.facebook.com/twojamatma
WZORY
Zobacz: www.twojamatma.blogspot.com
co oznacza, że cena została obniżona łącznie o 28%.
3. Funkcja kwadratowa
Oś symetrii funkcji kwadratowej to zawsze x = p, uważajcie, bo w odpowiedziach podchwytliwie dają y.
Zbiór wartości funkcji kwadratowej to zawsze:
- w przypadku funkcji z ramionami do góry ( a > 0): Zw = ⟨q; + ∞)
- w przypadku funkcji z ramionami w dół ( a < 0): Zw = ( −∞; q⟩.
4. Funkcja liniowa
Funkcja liniowa jest:
- rosnąca, gdy a > 0
- malejąca, gdy a < 0
- stała, gdy a = 0.
Współczynnik b we wzorze y = ax + b odpowiada za punkt przecięcia z osią OY.
5. Ciągi
Pamiętamy, że Sn to suma n początkowych wyrazów ciągu.
W związku z tym
Sn = a 1 + a 2 + ... + an− 1 + an Sn = Sn− 1 + an
Mając podany wzór na sumę Sn możemy więc wyznaczyć wzór na n-ty wyraz ciągu: an = Sn − Sn− 1 .
6. Wielokąty
Liczba przekątnych w n-kącie wyraża się wzorem: ( n − 3) · n .
2
Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta to:
( n − 2) · 180 ◦.
Żeby policzyć miarę jednego kąta wewnętrznego w wielokącie foremnym liczymy sumę a następnie dzielimy przez n.
2
Polub nas na www.facebook.com/twojamatma
WZORY
Zobacz: www.twojamatma.blogspot.com
7. Figury i okręgi
√
W trójkącie równobocznym o boku a wysokość wynosi h = a 3 (wzór na wysokość jest w tablicach).
2
Promień okręgu opisanego na takim trójkącie to:
2
R =
h
3
Promień okręgu wpisanego:
1
r =
h.
3
√
W kwadracie o boku długości a, przekątna ma długość d = a 2, promień okręgu opisanego to R = 1 d, a 2
promień okręgu wpisanego to r = 1 a.
2
8. Graniastosłupy i ostrosłupy
Sześcian o boku a:
objętość V = a 3;
pole powierzchni całkowitej Ppc = 6 a 2;
√
przekątna sześcianu d = a 3;
Prostopadłościan o wymiarach a, b, c:
√
przekątna: d =
a 2 + b 2 + c 2
Graniastosłup:
podstawa: n-kąt
liczba wierzchołków: 2 n
liczba ścian bocznych: n
Liczba podstaw: 2
liczba wszystkich ścian: n + 2
liczba krawędzi 3 n
Ostrosłup:
podstawa: n-kąt
liczba wierzchołków: n + 1
liczba ścian bocznych: n
Liczba podstaw: 1
liczba wszystkich ścian: n + 1
liczba krawędzi 2 n
9. Mediana
Nie zapomnijcie uporządkować danych!
3
Polub nas na www.facebook.com/twojamatma
WZORY
Zobacz: www.twojamatma.blogspot.com
10. Liczby przeciwne i odwrotne
Liczba przeciwna ma przeciwny znak. Np. liczbą przeciwną do − 5 jest 5, a liczbą przeciwną do 2 jest − 2 .
3
3
Liczba odwrotna do x to 1 . Np. liczbą odwrotną do − 5 jest − 1 , a liczbą odwrotną do 2 jest 3 .
x
5
3
2
11. Figury przystające i podobne
Figury przystające to dwie identyczne figury. Tych samych wymiarów, tego samego kształtu.
Figury podobne, to figury tego samego kształtu, ale ich wymiar różni się. Skala podobieństwa długości od-cinków w figurach podobnych to k.
Jeżeli boki figur są podobne w skali k to pola są podobne w skali k 2.
Mam nadzieję, że najważniejsze rzeczy zdołałam Wam przypomnieć i że przydadzą się podczas egzaminu maturalnego!
Możecie też spróbować się w zadaniach powtókowych, dostępnych na www.twojamatma.blogspot.com.
Zapraszam!!!
4
Polub nas na www.facebook.com/twojamatma